Control digital

1.Elementos Principales de un sistema de
control de Datos Discretos.

Muestreador

Filtro

Proceso
Controlado

El muestreador es un mecanismo que entrega un tren de pulsos
cuya amplitud corresponde a los valores de la señal análoga a
muestrear en el instante que se produce el muestreo.

e(t)

e(t)

t
0
Señal de entrada continua al
muestreador

t
0
Salida discreta del muestreador

Ejemplo de Sistema de Control Digital
Comando
+

Altitud

Prefiltro
-

+

A/D
-

Control
Digital

DA

Proceso
Controlado

θº

1

θ
S

Giroscopio
Transduct.
Posición

Control automático para un eje para el pilotaje automático
de un avión.

Comando
Prefiltro
Altitud

+

Control
Digital

A/D
-

Retenedor

Retenedor

T2

T1

DA

Proceso
Controlado

θº

1

θ
S

Giroscopio
TX
Posición

Sistema con muestreo múltiple
Los muestreadores adquieren muestras de la señal con
frecuencia constante, se cumple un periodo de muestreo.
Los retenedores mantienen el valor de la señal retenida
hasta que llega un nuevo valor correspondiente a una nueva
muestra.

La Bucla Típica de Control Realimentada
W (T )
R (KT )

+

ˆ
e( KT )

-

Computador
Digital

µ (KT )

DA

µ (T )

Actuador

Reloj

ˆ
e( KT )
A/D

Sensor

N (T )

Planta
Proceso

c(T )

Funciones de un Computador de Proceso
Tratamiento (Data Login):
• Recoger la máxima información sobre el funcionamiento del
proceso.
• Medición de variables y parámetros.
• Pretratamiento:

- Normalizar
- Convertir unidades
- Linealizar parámetros

Procesamiento:

- Cálculos
- Análisis estadística
- Almacenamiento en dispositivos
- Presentación en plantilla o impresora

•Supervisión:

- Alarmas: verificar el correcto funcionamiento
del proceso - aviso de falla.
- Asistencia: facilitar las operaciones normales
del operador.

- Indicación de acciones a ejecutar.
•Presentación: entrega información importante para la toma
de decisiones en la operación de mando y control.
CUANTIZACIÓN: En el proceso de conversión A / D o el
proceso de representar una señal en un número finito de
estados discretos, la precisión depende del # de bits de la
palabra de cuantización.

Muestra

Cuantización en
tiempo

Cuantización en
amplitud

Codificación

Se define un nivel de cuantización Q que corresponde a la
distancia entre dos niveles adyacentes de decisión.

Q=

Rango de plena escala

2

n

n = # de bits de la palabra de cuantización.
El error de redondeo es:
X = señal análoga.
Xq = señal digital

e(t ) = X − X q

Selección del Periodo de Muestreo.
El teorema del muestreo especifica que una señal de tiempo
continua con componentes de frecuencia hasta WC rad/seg,
teóricamente puede ser reconstruida sin distorsión si se
muestrea a una velocidad mayor de 2WC rad/seg.
En procesos con constantes de tiempo mayores se podrá utilizar
un tiempo de muestreo más grande.
Debe tenerse en cuenta:
a) El equipo de medida: se recomienda diseñarlos con una
Wcorte = ancho de banda de red cerrada.
b)
El rechazo a las perturbaciones: Se recomiendan
frecuencias de muestreo entre 5 y 20 veces el ancho de banda
de la respuesta al ruido en red abierta. En la medida en que se
exijan tiempo de muestreo más altos, se requiere de
conversores y microprocesadores más rápidos.

c)

La calidad del control: Generalmente disminuye con
periodos de muestreos largos.

-

Muestrear entre 8 y 10 veces durante el ciclo de oscilación
amortiguada en la señal, si el sistema es sub-amortiguado.

-

Muestrear de 8 a 10 veces la frecuencia del ancho de
banda de red cerrada, el límite inferior teórico es 2.

-

Muestrear de 8 a 10 veces durante el tiempo de subida si
es sobreamortiguado.

Tipos de Señales
Señal de Tiempo Continuo:
c(t )

c(t )

t

t

(b)

(a)

Es una señal que tiene valores para todo instante de tiempo.
Señal Análoga:
Es una señal de
continuo
con
un
continuo de valores.

c(t )

tiempo
rango
t

Señal de Tiempo Discreto:
Es una señal definida solamente en instantes del tiempo
generalmente iguales.

00

11
10

11

01

01
00

0 T

2T

3T

Señal de datos muestreados

T

2T

3T

Señal Digital

Si la amplitud asume un rango continuo de valores se denomina
señal de datos muestreado. Si los posibles valores están
registrados a un conjunto de valores se denomina señal digital.

Muestreo y Cuantificación
Existen varios tipos de muestreo:
• Muestreo Periódico: es el más usual, los instantes de
muestreo están igualmente espaciados cada T segundos, sea
T = KT, T: es el periodo de muestreo, con K =0,1,2,3,…
• Muestreo de Orden Múltiple: El patrón de tK`s se repite
periódicamente: tK + r- tK = constante, para todo tK.
• Muestreo Múltiple: Sistemas de múltiples lazos que debido a
la dinámica de cada lazo requieren diferentes periodos de
muestreo.
• Muestreo Aleatorio: La variable tK es una variable aleatoria.

Tipos de Sistemas
De acuerdo al tipo de señal:
• Sistema Análogo:
Si sólo existen en él señales análogas se describen mediante
ecuaciones diferenciales.
• Sistema de Tiempo Discreto:
Si sólo existen en él señales discretas, se describen mediante
Ecuaciones de diferencias.
•Sistema de Datos Muestreados:
Tienen señales discretas (pulsos de amplitud modulada) y
señales de tiempo continuo
•Sistema Digital:
Si incluye señales de tiempo continuo y señales digitales en
forma de código numérico.

•
Sistemas Discretos:
Es el que procesa secuencia, es decir recibe una secuencia y
entrega otra, la cual corresponde a una frecuencia
preestablecida de la secuencia de entrada.
Secuencia de salida = f (secuencia de entrada)
En bloque funcional:

µ (k )

SISTEMA
DISCRETO

Los sistemas discretos se clasifican en:

Estática

Dinámicos
a) Causales
b) No causales

{Yk}

• Sistema discreto estático:

µ (k )

Sistema
Discreto Estática

Y (k ) = f {µ (k )}

La salida en un instante de muestreo depende de la entrada
en ese instante de muestreo
• Sistema Discreto Dinámico:
La salida puede ser función de la entrada y la salida de índices
de diferente orden al actuar

µ( k )

Sistema
Discreto Dinámico

...µ ( k + 2) , µ ( k + 1) , µ ( k ) , µ ( k − 1) , µ ( k − 2) ,
Y(k) = f 

...Y ( k + 2) , Y ( k + 1) , Y ( k ) , Y ( k − 1) , Y ( k − 2) , 


• Sistema Discreto Dinámico Causal:
El elemento de salida puede estar influenciada por las salidas
anteriores y por las entradas hasta el instante de muestreo
en que se produce la salida.

µ (k )

Sistema Discreto
Dinámico Casual

µ ( k ) , µ ( k − 1) , µ ( k − 2 ) , 
Y(k) = f 

...Y ( k ) , Y ( k − 1) , Y ( k − 2) 


• Sistema no causal:
Este sistema puede generar elementos de índice superior al
elemento de entrada, realizar una función a través de un
algoritmo considerando los elementos generados y entregar
una secuencia de salida

µ (k )

Sistema Discreto
Dinámico no casual

Y ( k ) = 1 3[ µ ( k − 1) + µ ( k ) + µ ( k + 1) ]

• Secuencias:
Definición: Un conjunto numerado de elementos en donde se
hace corresponder a cada número entero el valor de
modelos elementos del conjunto de valores de la señal de
tiempo discreto.
Una secuencia se representa como {Xk}, donde K es el entero
asociado a cada elemento e indica el orden de ubicación
relativa de ese elemento dentro de la secuencia, K puede
ser positiva o negativa.
Se escoge el índice 0 para indicar el elemento que se
encuentra ubicado en el origen de referencia y que define la
frontera entre los valores positivos y negativos del índice K.
Ejemplo:

{ X K } = { X −2 , X −1 , X 0, X 1, X 2, X 3 }

De igual forma también se puede expresar colocando los
elementos en el orden en que se encuentran en la
secuencia.

{ X K } = { 0,1,4,6,8,...}

Puede también especificarse

{3 ,8 , 9 ,10 , 6 } = { x }
−2

−1

0

1

x

2

k

k

10
9
8
6
3

−3

−2

−1

1
0

2

3

K

• Secuencia impulso
unitario:

α(k)

1 → k = 0 
α(k) = 
0 → k ≠ 0




1

0
Secuencia escalón
unitario:

1 → k ≥ 0
µ( k ) = 
0 → k < 0

µ( k )

1

1
0

2

3

• Secuencia exponencial:

X ( k ) = a → −∞ ≤ k ≤ ∞
k

X (k)

−2

−1

0

1

0 < a <1

X (k)

2

k

−1

−2

0

1

−1 < a < 0

2

X (k)

−2

−1

0

a < −1

1

X (k)

2

k

−1

−2

1

0

a >1

2

k

• Secuencia Sinosoidad

e

jk

= Cosk + Senk

• Muestreo de Señales Continuas:

↓T

Y (t)

Y

*

El muestreador es un dispositivo lineal, cumple con el principio
de superposición

Durante el instante del muestreo el muestreador toma
la señal continua y toma la forma de la Fig. (a) para el
desarrollo matemático el muestreador actúa en un
∆t → 0 , el área bajo el impulso es igual al valor o
magnitud de la señal continua en el instante del muestreo,
el impulso en el punto del muestreo
es
t = kt
dado por:
*

y ( kt ) = y( kt )δ ( t − kt )

δ ( t − kt )

Donde
es el impulso muestrario.
Un muestreador con salida como la ecuación es
como muestreador impulso ideal.

y (t)
*

La secuencia de* impulsos
*
y (t ) = y (u) +

y

*

a la* salida del muestreador es:
(1t ) + y ( 2t ) + ...

= y ( o )δ ( t ) + y ( t )δ ( t − T ) + y ( 2t )δ ( t − 2T ) + ...

∞

y ( t ) = ∑ y( kT )δ ( t − kT )
*

k =0

• Nota: Tomando TL a ambos lados de la ecuación
∞

∞

k =0

k =0

y ( 5) = ∑ y ( kT ) f {δ ( t − kT )} = ∑ y ( kt ) 
*

∞

y ( 5) = ∑ y ( KT ) 
*

k =0

− KTS

− KTS

f {δ ( t ) }

Reconstrucción de señales continuas a partir de señales
discretas
• Considere la señal de control producida intermitentemente
cada T segundos por un computador expresado por una
serie de impulsos:

( u ) = mu δ ( t ) , mx ( T ) = m( T )δ ( t − T )
m
*

m ( 2) = m( 2T )δ ( t − 2T ) ,...
*

m( t )

m*

1T

2T

4T

3T

5T

6T

T

1T

2T

3T

4T

5T

(b)

(a)

Retenedor de orden
cero Ideal

m( t )

T

2T

3T

(c)

4T

5T

T

Retenedor de primer orden

T

• Una simple manera de convertir una señal discreta en una
señal continua es sostener la señal discreta en el valor
constante ___________ hasta que el siguiente valor llegue.
Entonces si m t es el resultado de la señal continua,

()

m( t ) = m( KT )

para

KT ≤ t ≤ ( K + 1)T

y

k = 0,1,2,...

En particular,
para

0≤t <T

m( t ) = m( 0 )

para

T ≤ t < 2T

m( t ) = m( T )

para

2T ≤ t < 3T

m( t ) = m( 2T ) ,...

La ecuación anterior corresponde al retenedor
de orden cero

• Considerando dos valores discretos sucesivos,

m[ ( K − 1)T ]

y

m( KT )

se asume que el siguiente periodo

KT ≤ t < ( K + 1)T , la señal continua puede ser dada por una

extrapolación lineal de los dos valores previos

( t ) = m( KT ) + m( KT ) − m[ ( K − 1)T ]( t − KT )
m
para

KT ≤ t < ( K + 1)T

T

y

K = 1,2,3,4,...

La ecuación anterior corresponde al retenedor de primer
orden.
El retenedor de primer orden requiere al menos de dos
valores para hacerlo. Construcción de la señal
continua, en tanto que el de orden cero requiere de un
solo valor.
Nota: 1. El fundamento matemático del retenedor
independiente del orden es:

Considere una señal continua m(t ) , el cual debe ser constante
de valores discretos m( T ) , m( 2T ) , m( 3T )
La serie de Taylor alrededor del valor muestreado m(KT ) es
dado por:
1  d 2m 
 dm 
( T − KT ) +  2  ( t − KT ) 2 + ...
m( t ) = m( KT ) + 

2  dt  t = KT
 dt  t = KT


Si consideramos solo el término de orden cero, entonces el
retenedor de orden cero es:

m( t ) = m( KT )

,

KT ≤ t ≤ ( K + 1)T

Si consideramos el término constante y el de primer
orden:

 dm 
( t + KT )
m( t ) = m( KT ) + 

 dt  t = KT

La derivada de 


dm 
, puede ser aproximada por:

 dt  t = KT

m( KT ) − m[ ( K − 1)T ]
 dm 
=


dt  t = KT
T

Entonces el elemento retenedor de primer orden:

m( t ) = m( KT ) +

m( KT ) − m[ ( K − 1)T ]
( t − KT )
T

2. La salida del elemento retenedor de orden cero es un
pulso con una altura constante igual a m( KT ) y una
duración T
La transformación de Laplace del retenedor es:

 1 − e − ST
m( s ) = m( KT ) 
 S







La F. de T. del retenedor de orden cero es:

1 − e − ST
H 0 ( s) =
s
3. De igual forma la F. de T. del retenedor de primer
orden es:

1 + ST
H1 ( s) =
T

1− e

 S


− ST






2

Conversión de modelos continuos o modelos discretos
Ref.

y( t )

+
-

Control
Digital

y ( KT )

D/A
Convert.

A/D
Convert.

retenedor

proceso

Caso modelo discreto del retenedor digital PID
Sea y ( KT ) el valor muestreado en el instante
de
muestreo, al compararlo con el valor del
resulta en: e( KT ) = y sp ( KT ) − y ( KT ) , la acción central
proporcional es: K e KT
c

(

)

La acción de control integral es basado en la integración del
ERROR sobre un periodo de tiempo como los valores del
ERROR son variables en modo discreto, entonces la e t dt

∫()
Puede ser aproximado por integración numérica (usando
integración rectángular)

e

m

Área = T

∑ e( KT ) = ∫ e( t )dt

K =0

0

T 2T 3T 4T 5T 6T

t

Entonces la acción de control en modo integral está dado
por:
m
KcT
Ti

∑e( KT )

K =0

Para el modo derivativo necesitamos una evaluación
numérica de la derivada de
dt

e( t )
e( KT ) − e[ ( K − 1)T ] de
≈
T
dt

( K − 1) T

KT

t

La aproximación de primer orden para la derivada es:
e( KT ) − e[ ( K − 1)T ] de
≈
T
dt

Entonces la acción de control en el modo derivado es:
de K c TD
KcTd
=
[ e( KT ) − e[ ( K − 1)T ] ]
dt
T

La acción de control para el PID digital es modulada:
KT
e( KT ) = K c e( KT ) + c
Ti

m

∑ e( KT ) +

K =0

K c TD
{ e( KT ) − e[ ( K − 1)T ]} + es
T

La ecuación anterior es conocida como ecuación de
diferencias
Ejemplo: modelo en tiempo discreto de un proceso de
primer orden.

Dado un proceso no lineal de primer orden:

dy
= f ( y, m )
dt
Aproximando la derivada por diferencia de primer orden

dy y K +1 − y K
=
dt
T

; entonces en un instante de tiempo
dado t = KT

y K +1 = y K + Tf ( y K , m K )
Para un sistema lineal de primer orden

dy
Tp + y = Kpm
dt

Usando la aproximación de la derivada, entonces resulta en:

y K +1


T 
KpT
= 1 −  y K +
mK
 Tp 
Tp



Ejemplo: modelo discreto para un proceso de segundo
2
orden
dy
2 d y
T
+ 2ξT
+ y =K,m
dt
dt
Dado el sistema lineal

La aproximación de la derivada de primer orden

dy y K +1 − y K
=
dt
T

;

Para la segunda derivada

d 2 y d  dy  d  y K + 1 − y K  1  y K + 2 − y K + 1 y K + 1 − y K  1
=  ≈ 
−
2
≈T
 = T 2 ( yK + 2 − 2 yK +1 + yK )
T
T 
dt dt  dt  dt  T 

Entonces al reemplazar en la ecuación del modelo

T2
2ξT
( y K + 2 − 2 y K +1 + y K ) +
( y K +1 − y K ) + y K = K p mk
2
T
T
y K +2

K pT 2

T

 ξT 
2ξT
 y K +1 −  2 −
= 21 −
+ 1 y K +
mk
2


ξ

ξ 
T
T



2

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