Control Pid

CONTROL I

DISEÑO DE UN CONTROLADOR PID ANALOGO PARA
LA VELOCIDAD DE UN MOTOR DC MEDIANTE
MATLAB Y PSPICE

CONTROL I Controlador PID

OBJETIVOS

● Diseñar un compensador PID que modifique la dinámica de la planta para satisfacer
condiciones especificas de la respuesta transitoria del sistema de control en lazo
cerrado.
● Construir un circuito con amplificadores operacionales que simule el comportamiento
dinámico del compensador.
● Construir un circuito con amplificadores operacionales que simule el comportamiento
dinámico de la planta.
● Realizar simulaciones de la respuesta transitoria del sistema de control en lazo
cerrado y de la planta en Pspice y Matlab.
● Construir físicamente el sistema de control y realizar mediciones con el osciloscopio
para mostrar la señal de salida controlada.

MARCO TEÓRICO

Definiciones

Planta. Una planta es cualquier objeto físico que debe controlarse, quizá simplemente
un juego de piezas de una máquina, funcionando conjuntamente, cuyo objetivo es
realizar una operación determinada.

Sistema de control en lazo cerrado. Este sistema tiene una señal de error actuante,
que es la diferencia entre la señal de entrada y la de retroalimentacion (que puede ser
la señal de salida o una funcion de la señal de salida y sus derivadas), la cual entra al
controlador para reducir el error y llevar la salida del sistema a un valor deseado.

Motor DC. Es una máquina eléctrica que transforma energía eléctrica en energía
mecánica por medio de interacciones electromagnéticas.

Controlador PID. Es un mecanismo de control por realimentación que se utiliza en
sistemas de control industriales. Un controlador PID corrige el error entre un valor
medido y el valor que se quiere obtener calculándolo y luego sacando una acción
correctora que puede ajustar al proceso acorde. El algoritmo de cálculo del control PID
se da en tres parámetros distintos: el proporcional, el integral, y el derivativo. El valor
Proporcional determina la reacción del error actual. El Integral genera una corrección
proporcional a la integral del error, esto nos asegura que aplicando un esfuerzo de
control suficiente, el error de seguimiento se reduce a cero. El Derivativo determina la
reacción del tiempo en el que el error se produce. La suma de estas tres acciones es
usada para ajustar al proceso vía un elemento de control como la velocidad de un
motor DC.


Modelación Matemática de la velocidad de un motor DC

El motor se divide en dos partes principales la parte eléctrica de la armadura y la parte
mecánica tal como aparece en la Figura 1. La armadura se modela como un circuito con
resistencia R conectada en serie a un inductor L, una fuente de voltaje V y constante Kb de
fuerza contraelectromotriz (K=Ki=Kb) en el armadura, donde Ki es la constante del par. La
parte mecánica del motor es el rotor el cual al estar en movimiento presenta momento de
inercia J, un par torque T, un coeficiente de fricción viscosa b, una posición  y una
velocidad angular b = . ˙

Figura 1. Modelo de un motor DC en forma separada

La dinámica de la armadura se modela matemáticamente por la siguiente ecuación
diferencial:
d 2i d
L Ri=V −K
dt dt

La dinámica del rotor se modela matemáticamente por la siguiente ecuación diferencial:

2
d  d
J b =K
dt dt

La función de transferencia del motor se encuentra dada en terminos de la transformada de
Laplace y se obtiene juntando las ecuaciones anteriores como un sistema de ecuaciones
diferenciales y hallar la ecuación solución por medio de la tranformada de Laplace.
La función de transferencia del motor obtenida es la siguiente:

s K
=
V s JLs  LbRJ  sK 2
2


La función de transferencia se representa como un diagrama de bloques tal y como se
muestra en la Figura 2.

Figura 2. Diagrama Bloques de un sistema de motor DC

Para un motor con características J=0.01, b=0.1, K=0.01, R=1 y L= 0.56 la función de
transferencia queda de la siguiente manera:

0.01
2
0.0056 s 0.066 s0.1001

Mediante Matlab se obtiene la respuesta transitoria del motor dentro de un sistema de lazo
abierto ante una entrada escalon unitario la cual se muestra en la Figura 3.

Figura 3. Respuesta Transitoria del motor ante una entrada escalon unitario


DESARROLLO

Con base al diagrama de bloques de la Figura 2, se puede observar que consta de cuatro
bloques dos de los cuales corresponde a un sistema de primer orden y dos son bloques de
igual ganancia, además de un sumador. Para los bloques de ganancia se hace uso de dos
amplificadores inversores y para los bloques de primer orden se hace uso de dos
amplificadores integradores, para que la señal de salida del sistema sea positiva se hace uso
de un sumador inversor. El diagrama de circuitos de amplificadores operacionales
correspondiente al diagrama de bloques de la función de transferencia del motor se muestra
en la Figura 4.

Figura 4. Diagram de Circuito simulador de la dinámica del motor

Para obtener los valores de la resistencias y capacitores se sustituyeron las características
del motor en el diagrama de bloques de la Figura 2 y se calcula el valor correspondiente de
las resistencias y capacitores de cada bloque de la Figura 4.

Para demostrar que el Circuito que aparece en la Figura 4 tiene misma función de
transferencia del motor se realiza el analisis del circuito como se muestra a continuación:

−1 −1
V 1=−V i− KV o  , V 2= V V =−KV 2, V o= V
0.56s1 1, 3 0.01s0.1 3

sustituyendo obtemos que:


V o=  −1
0.01s0.1 
 −K  −1
0.56s1 
−1V i− KV o 

K K2
vo = V i− V
0.01s0.10.56s1 0.01s0.10.56s1 o

Despejando V o obtenemos

Vo 0.01
= 2
V i 0.0056 s 0.066 s0.1001

Como se puede observar tiene la misma función de transferencia del motor. Mediante PSpice
se obtiene la respuesta transitoria del circuito ante una señal escalon unitario la cual se
muestra en la Figura 5.

100mV

50mV

0V
0s 1.0s 2.0s 3.0s
V(out)
Time

Figura 5. Respuesta Transitoria del Circuito ante una señal escalon unitario

Como se podra observar en Figura 5 la respuesta transitoria del circuito es identica a la
respuesta transitoria del motor que aperece en la Figura 3.

Hasta este momento se ha podido diseñar un circuito con amplificadores operacionales que
simulen la dinámica de la planta a controlar, en este caso un motor DC con características
J=0.01, b=0.1, K=0.01, R=1 y L= 0.56.


Sistema de control PID en lazo cerrado

El controlador PID es un bloque que se encarga de corregir el error que recibe de la
diferencia de la señal de entrada y la señal de salida del tacometro con ganancia de 0.023, el
error corregido entra en una etapa de amplificación antes de entrar a la planta, el diagrama
de bloques de sistema de control en lazo cerrado se muestra en la Figura 6. La respuesta
transitoria del sistema se desea que responda con una elongacion menor al 30% y frecuencia
de 50.

Figura 6. Sistema de control en lazo cerrado

Localización de los parametros Kp, Kd y Ki del controlador

La función de transferencia del controlador PID esta dada por la siguiente función:

K d s 2K p sK i
s

El objetivo es encontrar los valores adecuados de los coeficientes del numedor tal que el
sistema de control se comporte como se ha definido con sobreelongación menor al 30% y
frecuencia igual a 50. Para hallar los valores del controlador se utilizará el lugar geométrico
de las raíces con ayuda de Matlab.

Primeramente hay que colocar en Matlabrltool las restricciones de nuestro sistema esto es la
sobreelongación y la frecuencia, esto se puede observar en la Figura 7.


Figura 7. Ventana de restricciones de Matlab para el sistema

Una vez introducido las dos restricciones, se introduce la función de transferencia de la
planta, el amplificador con ganancia de dos, el tacometro con ganancia de uno y la función
de transferencia del motor, con ello Matlab se obtiene el lugar geometrico de las raíces del
sistema. Realizado el paso anterior se procede a darle valores arbitrarios a los ceros del
controlador tal que el lugar de geométrico de las raíces se intersecte con la curva de la
frecuencia y se encuentre acotado por las rectas de la sobreelongación, posteriormente el
valor de la ganancia del controlador debe ser colocado sobre la curva de la frecuencia tal y
como se muestra en la Figura 8.

Figura 8. Lugar geométrico del sistema

Con los pasos anteriores los valores del controlador fueron calculados por Matlab, para
obtener los valores solo se tiene que exportar la función de transferencia del controlador a la
consola de Matlab, la cual se muestra a continuación:


7.891 s 2694.4 s0.0006944
s

RESULTADOS

Los valores del controlador son K d =7.891, K p=694.4, K i =0.0006944 , dichos valores
generan la respuesta transitoria que cumple con las restricciones dadas, eso se puede
observar en la Figura 9.

Figura 9. Respuesta transitoria del sistema controlado
Dado que ya se conoce la función de tranferencia del controlador, la función de transferencia
de la planta, las ganancias del amplificador y el tacometro, se procede a calcular la función
de transferencia del sistema controlado, la cual se muestra a continuación:

0.1578 s 213.89 s1.389e005
0.0056 s 30.2238 s 213.99 s1.389e005

Analizando la función de transferencia del sistema se demuestra que la sobrelongacion es de
0.29 y la frecuencia es de 50, por lo tanto el sistema controlado cumple las restricciones
definidas al inicio.

Para finalizar se procede a diseñar en Pspice el circuito controlador de la planta, con los
valores de las resistencias y capacitores que nos permitan obtener los valores
K d , K p , K i . La respuesta transitoria de salida simulada desde Pspice se muestra en la
Figura 10.


Figura 10. Respuesta transitoria, entrada escalon unitario y señal de error del sistema.

Como se podra observar en la Figura 10 la señal de salida converge a la señal de escalon
unitario de entrada a los 800ms y el error de estado estacionario se aproxima a cero
conforme la señal de salida converge con la señal de entrada. Por lo tanto el circuito
controlador controla el sistema cumpliendo las restricciones antes vistas.
El Diagrama del circuito con amplificadores operacionales del sistema se muestra en la
Figura 11 del apéndice del documento.

CONCLUSION

Se concluye con base al desarrollo de la práctica realizada que el implementar un controlador
PID a una planta, permite modificar satisfactoriamente la respuesta transitoria del sistema tal
que cumpla con restricciones específicas.
Se concluye que utilizar Matlab como herramienta de calculo de los parametros del
controlador permite obtener dichos valores de forma rápida,visual y precisa.
Se concluye que los valores del modelo matemático del controlador son valores ideales, por
lo que al diseñar el circuito en Pspice la respuesta de salida del sistema no es identica a la
respuesta transitoria graficada con Matlab, sin embargo la señal converge al valor deseado
cumpliendo con las restricciones del sistema idealizado.

APENDICE


Figura 11.Diagrama de Circuitos del sistema controlado

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