Procesamiento digital de señales con matlab

PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES
CON MATLAB
1

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Generación y Gráfica de Señales
2

Sea una señal:

Dónde:
A: Amplitud
Fo: Frecuencia
phi: Fase

La representación de esta señal en tiempo discreto está dada por:

Donde:
Fs=1/Ts: Frecuencia de muestreo.

La gráfica de señales discretas se realiza con el comando:

stem(t,xt)

Ejemplo: Generación y gráfica de una señal
muestreada a 8 KHz.
3

Se genera una señal sinusoidal de 400 Hz y amplitud 2.
2

1.5

1

>> F0=400; 0.5

>> A=2; 0
>> phi=pi/4;
>> Fs=8000; -0.5

>> Ts=1/Fs; -1

>> t=-0.002:Ts:0.002; -1.5

>> xt=A*sin(2*pi*F0*t+phi);
>> stem(t,xt)
-2
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
-3
x 10


Ejemplo: Señales no sinusoidales periódicas.
4

Generación de una señal diente de sierra.
1
>> F0=400; 0.8
>> A=2; 0.6
>> Fs=8000; 0.4
>> Ts=1/Fs;
>> t=-0.002:Ts:0.002;
0.2

>> xt=sawtooth(2*pi*F0*t);
x(t) 0

>> stem(t,xt) -0.2

>> hold on -0.4

>> plot(t,xt) -0.6

>> xlabel('time (s)'); -0.8

>> ylabel('x(t)'); -1
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
time (s) -3
x 10


Ejemplo: Señal aperiódica.
5

Muestreo de la señal Sinc.
2

>> F0=400;
1.5

>> A=2;
>> Fs=8000; 1

>> Ts=1/Fs;
>> t=-0.003:Ts:0.003; 0.5

>> xt=A*sinc(2*F0*t);
>> stem(t,xt) 0

-0.5
-3 -2 -1 0 1 2 3
-3
x 10


Generación de Ruido
6

Se utilizan los comandos:

Y=rand(rows,cols): Genera ruido con distribución uniforme.

Y=randn(rows,cols):Genera ruido Gaussiano.

Dónde:

rows, cols: Indica la dimensión de la matriz de ruido aleatorio a
generar.

Para observar el histograma se utiliza el comando:

hist(y,m): Representa el ruido "y" mediante m "contenedores".


Ejemplo: Generación y Representación de Ruido
Gaussiano
7

4
x 10
4

3.5

3

>> Gnoise=randn(1,1e6); 2.5

>> hist(Gnoise,100); 2

1.5

1

0.5

0
-6 -4 -2 0 2 4 6


Submuestreo y Sobremuestro
8

 Submuestreo

xtDown=downsample(xt,N)

La señal xDown tendrá una frecuencia de muestro Fs/N.

Submuestrear la señal significa conservar cada N-ésima muestra y eliminar las muestras
restantes.

 Sobremuestreo

xtUp=upsample(xt,N)

La señal xUp tendrá una frecuencia de muestreo N·Fs.

Sobremuestrear la señal significa introducir N-1 ceros entre muestras consecutivas.


Ejemplo: Submuestreo.
9

Se submuestrea la señal sinusoidal generada anteriormente (Fs=8
KHz) para obtener una señal xtDown muestreada a 2 KHz.
2

>> F0=400;
>> A=2;
1.5

>> phi=pi/4; 1

>> Fs=8000;
>> Ts=1/Fs;
0.5

>> t=-0.002:Ts:0.002; 0

>> xt=A*sin(2*pi*F0*t+phi);
>> stem(t,xt)
-0.5

>>xtDown=downsample(xt,4); -1

>> tDown=downsample(t,4);
-1.5
>> hold on
>> stem(tDown,xtDown,'r'); -2
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
-3
x 10


Procesamiento de Audio
10

Para escuchar un tono de señal en Matlab se utiliza el comando:

soundsc(xt,Fs)

Donde:
xt: Tono a escuchar.
Fs: Frecuencia de muestreo.

Por ejemplo: Para escuchar la señal sinusoidal generada
anteriormente:

>> soundsc(xt,Fs)


Grabación de Audio
11

Para grabar una señal audible mediante la tarjeta de sonido y un
micrófono se utilizan los siguientes comandos:
r=audiorecorder: Crea un objeto de grabación.

record(r): Inicio de grabación.

pause(r) ,stop(r): Pausa y finalización.

play(r): Escuchar la grabación

y=getaudiodata(r): Para obtener la matriz que contiene las muestras
de la señal audible. Ésta es la señal que se puede procesar.

Fs=r.SampleRate: Para obtener la frecuencia de muestreo.

Ejemplo:
12

>> r=audiorecorder;
>> record(r)
>> pause(r)
>> record(r)
>> stop(r)
>> play(r)
>> y=getaudiodata(r);
>> Fs=r.SampleRate
Fs =
8000


Guardar como Archivo de Audio
13

Para guardar la señal de audio que se acaba de grabar se utiliza el
comando:

wavwrite(y,Fs,’grabacion’)

Se guarda en formato wav en la carpeta de trabajo de Matlab.

>> wavwrite(y,Fs,'grabacion');
>> which grabacion.wav
C:UsersCasaDocumentsMATLAB
grabacion.wav


Leer un Archivo de Audio
14

Para leer un archivo de audio en formato wav que se encuentra en la carpeta de trabajo de
Matlab se utiliza la función:

[xt,Fs]=wavread(‘nombre_de_archivo’)

Se guardan las muestras y la frecuencia de muestro en xt y Fs respectivamente.

>> [xt,Fs]=wavread('tuner1');


Análisis en Frecuencia
15

Transformada Rápida de Fourier:

xF=fft(xt,nFFT)

Donde:
nFFT=número de puntos a representar.

Comandos adicionales:

magxF=abs(xF): Magnitud de la fft de xt.
phasexF=angle(xF): Fase de la fft de xt.
phasexF=unwrap(phasexF): Para obtener la apropiada
información de fase.


Ejemplo: Obtención de La FFT de la Función
Compuerta. 16
Magnitud de xF
8

>> Fs=2000;
7

6

>> Ts=1/Fs; 5

>> t=-0.005:Ts:0.005; 4

>> xt=rectpuls(t,0.004); 3

>> nFFT=64;
2

1

>> xF=fft(xt,nFFT); 0
0 10 20 30 40 50 60 70

>> magxF=abs(xF); 0
Fase de xF

>> phasexF=angle(xF); -5

>> phasexF=unwrap(phasexF); -10

>> figure,stem(magxF); -15

>>title(‘Magnitud de xF’)
-20

-25

>> figure,stem(phasexF) -30

>>title(‘Fase de xF’) -35

-40
0 10 20 30 40 50 60 70


Compuerta. 17
Magnitud de xF
8

El comando fft obtiene la transformada 7

de Fourier en la región comprendida entre 6

0 y la frecuencia de muestro Fs. Se 5

requiere desplazar una parte de la gráfica 4

para obtener la región negativa de la 3

transformada de Fourier. 2

1

0

>> magxF=fftshift(magxF);
0 10 20 30 40 50 60 70

Fase de xF

>> phasexF=fftshift(phasexF);
0

-5

>> stem(magxF); -10

>>title(‘Magnitud de xF’) -15

>> figure,stem(phasexF); -20

>>title(‘Fase de xF’) -25

-30

-35

-40
0 10 20 30 40 50 60 70


Compuerta. 18
Magnitud de xF
8

Los gráficos anteriores no
7

6

presentan el eje de frecuencia 5

correcto. Se debe crear el vector 4

de eje de frecuencias para 3

graficar correctamente. 2

1

0

>> f_esp=Fs/nFFT;
-1000 -800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800 1000
Fase de xF
0

>> fNyquist=Fs/2; -5

>> f_inicio=-fNyquist; -10

>> f_fin=fNyquist-f_esp; -15

>> f_eje=f_inicio:f_esp:f_fin; -20

>> stem(f_eje,magxF)
-25

>> figure,stem(f_eje,phasexF)
-30

-35

-40
-1000 -800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800 1000


Sistemas LTI
19

Todos los sistemas LTI
pueden ser analizados
como Filtros LTI
discretos.


Ecuación de Diferencias Para Filtros
Causales
20

Dónde: x[n]: Entrada
y[n]: Salida

En el dominio Z

Función de transferencia
en el dominio Z


Representación de Filtros en Matlab
21

Para representar la función de transferencia del filtro:

en Matlab:
>> num=[1 1.1];
>> den=[1 0 -0.1];


Respuesta al Impulso y Convolución
22

Para obtener la respuesta al impulso se utilizan los comandos:

Impz(num,den): Grafica la respuesta al impulso del filtro. Por defecto se considera Fs=1 Hz y
grafica las 10 primeras muestras.

Impz(num,den,n,Fs): Grafica la respuesta al impulso. Se especifica el número de muestras a
graficar y la frecuencia de muestro utilizada.

[h,t]= Impz(num,den,n,Fs): Guarda los vectores de magnitud y eje de tiempo en h y t
respectivamente.


Ejemplo: Graficando la respuesta al impulso del
filtro creado anteriormente.
23
Impulse Response
1.4

1.2

1

Amplitude
0.8

0.6

>> num=[1 1.1]; 0.4

>> den=[1 0 -0.1]; 0.2

>> impz(num,den);
0
0 1 2 3 4 5 6 7
n (samples)

>> Fs=8000; 1.4

>> [h,t]=impz(num,den,32,Fs); 1.2

>> figure,stem(t,h) 1

0.8

0.6

0.4

0.2

0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
-3
x 10


Señal de Salida del Filtro Para una Señal
de Entrada
24

Se realiza mediante los comandos:

y=conv(h,x)

Donde: h es la respuesta al impulso del filtro.
x es la señal de entrada.

y=filter(num,den,x)

Donde: x es la señal de entrada.


Ejemplo:
25
Espectro de xt

Se obtendrá la señal de salida
35

30

del filtro para una señal de 25

entrada audible: 20

15

10

5

>> [xt,Fs]=wavread('tuner1'); 0
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

>> [h,t]=impz(num,den,10,Fs); Espectro de y2

>> y1=convn(h,xt); 80

>> soundsc(xt,Fs); 70

>> soundsc(y1,Fs); 60

>> y2=filter(num,den,xt);
50

40

>> soundsc(xt,Fs); 30

>> soundsc(y2,Fs); 20

10

0
500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000


Análisis de Filtros en el Dominio de la
Frecuencia
26

Relación Entrada – Salida de un filtro en el dominio de la frecuencia.

Respuesta de magnitud:

Respuesta de fase:

Retardo de grupo:


Respuesta de Magnitud y Fase de Filtros
27


[H,F]=freqz(num,den): Por defecto asume 512 puntos
equidistantemente espaciados y el eje de frecuencias es
normalizada.

[H,F]=freqz(num,den,n,Fs): Donde se especifica número
de puntos n y la frecuencia de muestreo Fs.

[H,F]=freqz(num,den,f,Fs): Donde f es un vector en el que
se especifica las frecuencias particulares en las que se
obtendrá la respuesta de magnitud y fase.


Ejemplo: Respuesta en frecuencia del filtro creado
anteriormente.
28
10

Magnitude (dB)
0

-10

-20
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Normalized Frequency ( rad/sample)

>> num=[1 1.1];
0

Phase (degrees)
-50

>> den=[1 0 -0.1]; -100

>> Fs=8000;
-150

-200

>> freqz(num,den)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

>>figure,freqz(num,den,1024,Fs); 10

>> f=[0,200,400];

Magnitude (dB)
0

>> [H,F]=freqz(num,den,f,Fs); -10

-20
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
Frequency (Hz)

0
Phase (degrees)
-50

-100

-150

-200
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
Frequency (Hz)


Gráfico de Retardo de Grupo
29


[G,F]=grpdelay(num,den)
[G,F]=grpdelay(num,den,n,Fs)
[G,F]=grpdelay(num,den,f,Fs)

Los argumentos son iguales a los del caso anterior.


Ejemplo: Continuando con el ejemplo anterior
30
12

10

Group delay (samples)
8

6

4

2

>> [G,F]=grpdelay(num,den); 0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

>> grpdelay(num,den); 12

>> figure,grpdelay(num,den,1024,Fs); 10

Group delay (samples)
8

6

4

2

0
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
Frequency (Hz)


Análisis de Polos y Ceros de Funciones de
Transferencia
31

Para estudiar la estabilidad de los sistemas LTI.

Función de transferencia:

Ganancia polo – cero:


Obtención de Polos y Ceros
32

Se realiza una transformación del dominio tf al dominio zp.

[z,p,k]=tf2zp(num,den)

Dónde los vectores:
z: ceros
p: polos
k: ganancia de cada numerador de tf.

De manera inversa:

[num,den]=zp2tf(z,p,k)


Ejemplo: Con el filtro implementado
anteriormente.
33

>> num=[1 1.1];
>> den=[1 0 -0.1];
>> [z,p,k]=tf2zp(num,den)
z=
-1.1000
p=
0.3162
-0.3162
k=
1
>> [num,den]=zp2tf(z,p,k)
num =
0 1.0000 1.1000
den =
1.0000 0 -0.1000


Gráfico de Polos y Ceros
34

Se utiliza el comando:
zplane(z,p)

Si hay polos fuera del círculo unitario significa que el sistema es inestable.
Continuando con el ejemplo anterior:
1

0.8

0.6

0.4

Imaginary Part
0.2

>> zplane(z,p) 0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1

-1 -0.5 0 0.5 1
Real Part


Uso del FVTool
35

FVTool (Filter Visualization Tool) Es una herramienta que simplifica
el trabajo de estudiar el comportamiento de los filtros.

Se trata de una interfaz GUI para el análisis de filtros.


Llamada al FVtool
36

Se llama a la herramienta con el comando:

fvtool(num,den)
Donde: num y den corresponden al filtro en estudio.
Continuando con el ejemplo anterior:

>>fvtool(num,den)


Configuración de FVtool
37

El eje de frecuencias por defecto no se corresponde con
los valores correctos. Para configurarlo correctamente:

Menú Analysis>Sampling Frecuency. En el cuadro
Fs se introduce el valor de la frecuencia de muestreo.


La herramienta Fvtool permite visualizar
diferentes respuestas del filtro en estudio
38

 Respuesta de Magnitud
 Respuesta de fase
 Respuestas de magnitud y fase
 Respuesta de retardo de grupo
 Respuesta de retardo de fase
 Respuesta al impulso
 Respuesta al escalón
 Gráfico de polos y ceros
 Etc


Ejemplo:
39

Respuesta al impulso

Respuestas de Magnitud y fase


Visualización de Múltiples Filtros
40

Es posible visualizar la respuesta de varios filtros en simultáneo.

Ejemplo:

>> num1=[1 1];
>> den1=[1];
>> num2=[1 -1];
>> den2=[1];
>> fvtool(num1,den1,num2,den2)


Diseño de Filtros Digitales en Matlab
41

Los filtros elementales son los siguientes:


Diseño de Filtros IIR
42

IIR: Infinite Impulse Response.


Respuesta en frecuencia:


Tipos y Características de Filtros IIR
43


Especificaciones Para un Filtro Pasabanda
44

Para el diseño de un filtro pasabanda se especifica:

 fstop1: Frecuencia stop 1.
 fpass1: Frecuencia pass 1.
 fpass2: Frecuencia pass 2.
 fstop2: Frecuencia stop 2.
 Rp: Rizado en la banda de paso en dB.
 Rs: Atenuación en la banda de supresión en dB.


Diseño de un Filtro Pasabanda
45

El diseño de filtros en Matlab se realiza con valores
normalizados. Para esto se realiza:

 Especificar Fs.
 Fnyquist=Fs/2
 Ws(1)=fstop1/Fnyquist
 Wp(1)=fpass1/Fnyquist
 Wp(2)=fpass2/Fnyquist
 Ws(2)=fstop2/Fnyquist

Dónde Ws y Wp son vectores de frecuencias normalizadas.


Diseño de un Filtro Butterworth
46

1. Determinar el orden del filtro para las especificaciones:

[nB,WnB]=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs)

Wp, Ws, Rp y Rs corresponden a las especificaciones.
WnB: Frecuencia a -3 dB.

2. Obtener los coeficientes del filtro.

[numB,denB]=butter[nB,WnB]

En el diseño de filtros Pasabanda o rechazo de banda el orden del
filtro resulta ser en realidad el doble del especificado por el
comando buttord.

Ejemplo: Diseño de un filtro Butterworth
47

>> fstop1=1000;
>> fpass1=1200;
>> fpass2=2200;
>> fstop2=2400;
>> Rp=1;
>> Rs=60;
>> Fs=8000;
>> Fnyquist=Fs/2;
>> Ws(1)=fstop1/Fnyquist;
>> Wp(1)=fpass1/Fnyquist;
>> Ws(2)=fstop2/Fnyquist;
>> [nB,WnB]=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs)
nB =
22
WnB =
0.2958 0.5551
>>[numB,denB]=butter(nB,WnB);


Diseño de un Filtro Elíptico
48

Se realiza un procedimiento similar al caso anterior.

>> [nE,WnE]=ellipord(Wp,Ws,Rp,Rs)
nE =
6
WnE =
0.3000 0.5500
>> [numE,denE]=ellip(nE,Rp,Rs,Wp);

Se puede observar que la cantidad de
coeficientes es mucho menor que en el
caso de un filtro Butterworth.


Verificación del Diseño de Filtros
49

Con la herramienta Fvtool.

>> fvtool(numB,denB,numE,denE)

Se observa que ambos filtros son
estables.


Ejemplo: Filtrando el archivo «tuner1.wav»
50
Espectro de xt

35

30

25

20

15

10

>> [xt,fs]=wavread('tuner1'); 5

>> yt=filter(numE,denE,xt); 0
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

>> soundsc(xt,fs) Espectro de yt

>> soundsc(yt,fs) 10

8

6

4

2

0
500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000


Llamada a los Comandos de Diseño de
Filtros
51

Los más usuales son los siguientes:

 Butterworth – Pasabajas

[num,den]=butter(nB,Wn)

 Elíptico – Pasabajas

[num,den]=ellip(nE,Rp,Rs,Wp)

 Butterworth – Pasaaltas

[num,den]=butter(nB,Wn,’high’)

 Elíptic0 – Pasaaltas

[num,den]=ellip(nE,Rp,Rs,Wp,’high’)


Diseño de Filtros FIR
52

FIR: Finite Impulse Response.


Respuesta en frecuencia:


Diseño Mediante Método de Ventanas
53

Se multiplica la respuesta en el tiempo de un filtro ideal con una función
ventana. Truncando la respuesta ideal a un número finito de elementos.
1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

-0.2

-0.4
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
Se realiza mediante el comando:

num=fir1(n,Wp)
Dónde:
n: Orden del filtro
Wp: Vector que contiene las frecuencias de corte. Si sólo tiene
un elemento se obtiene un filtro pasabajas y si contiene dos
elementos se obtiene un filtro pasabanda.


Ejemplo:
54

Se diseña un filtro mediante el método de ventanas para las
siguientes especificaciones:

Fs=8000 Hz
fpass1=2200 Hz
fpass2=3200 Hz
Rp=1 dB
Rs=60 dB
Orden=127


Ejemplo:
55

>> Fs=8000;
>> Fnyquist=Fs/2;
>> fpass1=2200;
>> fpass2=3200;
>> Rp=1;
>> Rs=60;
>> n=127;
>> num=fir1(n,Wp);
>>fvtool(num)


Wintool Para diseño de Funciones
Ventana
56

>> wintool
Initializing Window Design & Analysis Tool ..... done.

Herramienta con interfaz GUI que
permite diseñar y visualizar la
respuesta en el tiempo y en frecuencia
de varios tipos de funciones ventana.


Propiedades de Algunas Funciones
Ventana de Longitud M
57

Mínima Atenuación
Anchura de Lóbulo Anchura de Banda
Tipo en la Banda de
Principal de Transición
Rechazo

Rectangular 2·Fs/(2·M+1) 20.9 0.46·Fs/M

Hann 4·Fs/(2·M+1) 43.9 1.55·Fs/M

Hamming 2·Fs/(2·M+1) 54.5 1.55·Fs/M

Blackman 6·Fs/(2·M+1) 75.3 2.78·Fs/M


Diseño de un Filtro FIR Utilizando una
Ventana Diseñada Previamente
58

Se diseña la función ventana Blackman de longitud 128
mediante la herramienta wintool y se exporta a Matlab con
«Save to workspace». El nombre por defecto es window_1.


Continuación…
59

>> numBlackman=fir1(n,Wp,window_1);
>>fvtool(numBlackman)


Ejemplo: Filtrando el archivo de audio
«tuner1.wav» con el filtro diseñado.
60
Espectro de xt

35

30

25

20

15

10


>> yt=filter(numBlackman,1,xt); 0
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

>> soundsc(xt,Fs) Espectro de yt

>> soundsc(yt,Fs) 6

5

4

3

2

1

0
500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000


Diseño de Filtros Mediante la
Herramienta FDATool
61

Fdatool (Filter Design and Analysis tool) es una
herramienta con interfaz GUI para el diseño de filtros
digitales.

>> fdatool


Diseño de un Filtro usando FDATool
62

Se diseñará un filtro pasaaltas con las siguientes especificaciones:

Pasaaltas
Tipo IIR – Elíptico
Mínimo orden posible
Fs=8000 Hz
Fstop=2800 Hz
Fpass=3200 Hz
Rs=60 dB
Rp=1 dB

Se introducen todas estas
Especificaciones en la
herramienta y un clic en
Design Filter.


Exportación al Área de Trabajo
63

Se realiza el siguiente procedimiento:

1. Clic derecho en «Structure» en el campo «Current filter
information» y en seguida se escoge «convert to single section».

2. Menú File>Export… Se le da nombres al numerador y denominador del
filtro. Luego clic en Export.


Ejemplo: Filtrando el archivo de audio
«tuner1.Wav»
64
Espectro de xt

35

30

25

20

15

10


>> yt=filter(numHp,denHp,xt); 0
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

>> soundsc(xt)
Espectro de yt

>> soundsc(yt) 1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0
500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000


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Procesamiento digital de señales con matlab

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