Capitulo de polares de villena
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Este documento presenta el sistema de coordenadas polares y cómo graficar ecuaciones en este sistema. Explica las transformaciones entre coordenadas polares y cartesianas, y cómo graficar rectas, circunferencias, parábolas, elipses e hipérbolas usando ecuaciones polares. Incluye ejemplos y ejercicios para la práctica.
![Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares
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Entonces:
( ) ( )
( )[ ]
( )
( )
( )[ ]
( )φ−θ+
=
=φ−θ+
=φ−θ+
φ−θ−=
φ−θ−=
=
cos1
cos1
cos
cos
cos
,,
e
ed
r
eder
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rder
lPdeFPd
Casos especiales son:
1. Si 0=φ tenemos
θ+
=
cos1 e
ed
r
2. Si π=φ tenemos
θ−
=
cos1 e
ed
r
3. Si
2
π
=φ tenemos
θ+
=
sen1 e
ed
r
4. Si
2
3
π
=φ tenemos
θ−
=
sen1 e
ed
r
Ejemplo 1
Graficar
θ+
=
cos1
6
r
SOLUCIÓN:
En este caso " 1=e " (el coeficiente del coseno) por tanto tenemos una parábola con
foco el polo (el origen) y directriz con ecuación cartesiana " 6=x " (a la derecha y
paralela al eje
2
π
). Parábola cóncava a la izquierda.](https://image.slidesharecdn.com/coordenadaspolares-100301144832-phpapp02-140528111156-phpapp02/85/Capitulo-de-polares-de-villena-14-320.jpg)
Capitulo de polares de villena
- 1. Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares 1 1. EL SISTEMA POLAR 2. ECUACIONES EN COORDENADAS POLARES 3. GRÁFICAS DE ECUACIONES EN COORDENADAS POLARES: RECTAS, CIRCUNFERENCIAS, PARÁBOLAS, ELIPSES, HIPÉRBOLAS, LIMACONS, ROSAS, LEMNISCATAS, ESPIRALES. Objetivos: • Graficar Rectas, circunferencias, parábolas, elipses, hipérbolas, limacons, rosas, lemniscatas, espirales en coordenadas polares
- 2. Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares 2 1 EL SISTEMA POLAR El plano cartesiano es un sistema rectangular, debido a que las coordenadas de un punto geométricamente describen un rectángulo. Si hacemos que este punto esté definido por un vector de magnitud r que parte desde el origen y que tiene ángulo de giro θ , tendríamos otra forma de definir un punto. Sería suficiente, para denotar al punto de esta manera, mencionar el valor de r y el valor de θ . Esto se lo va a hacer indicando el par ordenado ( )θ,r , en este caso se dice que son las coordenadas polares del punto. Se deducen las siguientes transformaciones: De rectangulares a polares: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =θ += x y yxr arctg 22 De polares a rectangulares: ⎩ ⎨ ⎧ θ= θ= sen cos ry rx Una utilidad de lo anterior la observamos ahora. Ejemplo Encuentre las coordenadas polares del punto )1,1(P SOLUCIÓN: Representando el punto en el plano cartesiano, tenemos:
- 3. Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares 3 Utilizando las transformaciones ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ π ==θ =+= 4 arctg 211 1 1 22 r Además se podría utilizar otras equivalencias polares: )3,2()5,2()7,2(),2( 4444 ππππ −−=−=−= (Analícelas) Para representar un punto en el plano, conociendo sus coordenadas polares, no es necesario hallar sus coordenadas rectangulares; se lo puede hacer directamente. Este trabajo puede ser muy sencillo si se dispone de un plano que tenga como referencia ángulos y magnitudes. Un plano con estas características se lo llama Sistema Polar o Plano Polar. Consiste de circunferencias concéntricas al origen y rectas concurrentes al origen con diferentes ángulos de inclinación. Al eje horizontal se lo llama “Eje Polar”, al eje vertical se lo llama “Eje 2 π ”. El punto de intersección entre estos dos ejes se lo llama “Polo”.
- 4. Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares 4 Ejercicios propuestos 1 1. Construya un plano polar y marque los puntos cuyas coordenadas polares son dadas. Exprese dichos puntos con 0>r y con 0<r . a. ) 2 ,1( π b. )0,3( c. ) 3 2 ,4( π − d. ),1( π− e. ) 2 3 ,2( π − 2. Construya un plano polar y marque los puntos cuyas coordenadas polares son dadas. Luego encuentre las coordenadas cartesianas de dichos puntos. a. ) 4 ,2( π e. )3,4( π b. ) 3 ,1( π − f. ) 3 2 ,2( π c. ) 6 7 ,4( π − g. ) 3 5 ,2( π −− d. ) 2 3 , 2 3 ( π h. ) 4 5 ,4( π − 3. Encuentre las coordenadas polares de los siguientes puntos. a. )1,1(− b. )2,32( − c. )3,1( −− d. )4,3( 4. (INVESTIGACIÓN) Encuentre la distancia entre los puntos dados en coordenadas polares. Verifique su respuesta hallando la distancia, utilizando coordenadas cartesianas. a. ) 4 3 ,3() 6 ,1( π − π . b. )4,1() 4 ,2( π− π c. ) 6 ,1() 3 ,1( π − π Eje Polar Polo Eje 2 π 15 30 45 60 75 105 120 135 150 165 180 195 210 225 240 255 270 285 300 315 330 345
- 5. Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares 5 2 ECUACIONES EN COORDENADAS POLARES Una ecuación en coordenadas polares la presentaremos de la forma )(θ= fr . Por tanto para obtener la gráfica, en primera instancia, podemos obtener una tabla de valores para ciertos puntos y representarlos en el sistema polar; luego sería cuestión de trazar la gráfica siguiendo estos puntos. Ejercicio Propuesto 2 1. Encuentre la ecuación cartesiana de la curva descrita por la ecuación polar dada. a. 2)sen( =θr b. )sen(2 θ=r c. )cos(1 1 θ− =r d. )2sen(2 θ=r e. θ=2 r f. )cos(42 3 θ− =r 2. Encuentre la ecuación polar de la curva descrita por la ecuación cartesiana dada. a. 5=y e. 1+= xy b. 2522 =+ yx f. yx 42 = c. 12 =xy g. 122 =− yx d. 222222 bayaxb =+ h. p x y 4 2 = 3. Realice una tabla de valores y trace punto a punto en un plano polar, la gráfica de: 1. θ = cos 6 r 2. θ = sen 6 r 3. θ= cos6r 4. θ+= cos33r 5. θ+= cos36r 6. θ+= cos63r 7. θ+ = cos33 9 r 8. θ+ = cos36 9 r 9. θ+ = cos63 9 r
- 6. Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares 6 3 GRÁFICAS DE ECUACIONES EN COORDENADAS POLARES Se trata ahora de presentar ecuaciones polares típicas que permitan por inspección describir su lugar geométrico. 3.1 RECTAS 3.1.1 Rectas que contienen al polo. La ecuación cartesiana de una recta tal que el origen pertenece a ella, es de la forma mxy = Realizando las transformaciones respectivas: φ=θ = θ θ θ=θ = tgtg cos sen cossen m rmr mxy Resulta, finalmente: φ=θ Ejemplo Graficar 4 π =θ Por inspección de la ecuación dada concluimos rápidamente que el lugar geométrico es una recta, que pasa por el polo con un ángulo de 4 π . Es decir:
- 7. Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares 7 3.1.2 Rectas que NO contienen al polo y se encuentran a una distancia "d" del polo. Observemos la siguiente representación gráfica: Del triangulo tenemos: ( ) r d =φ−θcos Por tanto, la ecuación del mencionado lugar geométrico sería: ( )φ−θ = cos d r Ejemplo Graficar ( )6 cos 4 π −θ =r SOLUCIÓN:
- 8. Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares 8 Por inspección de la ecuación dada concluimos rápidamente que el lugar geométrico es una recta, que se encuentra a una distancia de 4 unidades del polo y la medida del ángulo de la perpendicular a la recta es 6 π . ES decir: Ahora veamos casos especiales: 1. Si 0=φ entonces la ecuación resulta θ = cos d r . Una recta vertical. Al despejar resulta dr =θcos es decir dx = . 2. Si 2 π =φ entonces la ecuación resulta: ( ) θ = θ+θ = −θ = πππ sensensencoscoscos 222 ddd r Una recta horizontal.
- 9. Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares 9 3. Si π=φ entonces la ecuación resulta: ( ) θ− = πθ+πθ = π−θ = cossensencoscoscos ddd r Una recta vertical. 4. Si 2 3 π =φ entonces la ecuación resulta: ( ) θ− = θ+θ = −θ = πππ sen3sensen3coscos3cos 222 ddd r Una recta horizontal. 3.2 CIRCUNFERENCIAS 3.2.1 Circunferencias con centro el polo. La ecuación cartesiana de una circunferencia es: 222 ayx =+ Aplicando transformaciones tenemos: ( ) ( ) ( ) 22 2222 22222 222 222 sencos sencos sencos ar ar arr arr ayx = =θ+θ =θ+θ =θ+θ =+ Resultando, finamente: ar =
- 10. Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares 10 Ejemplo Graficar 2=r SOLUCIÓN: Por inspección de la ecuación dada concluimos que el lugar geométrico es una circunferencia con centro el polo y que tiene radio 2. 3.2.2 Circunferencias tales que contienen al polo y tienen centro el punto ( )φ,a Observemos el gráfico: De allí obtenemos el triángulo:
- 11. Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares 11 Aplicando la ley del coseno y despejando, tenemos: ( ) ( )φ−θ= φ−θ−+= cos2 cos2 2 222 arr arara Resultando, finalmente: ( )φ−θ= cos2ar Ejemplo Graficar ( )3 cos4 π −θ=r SOLUCIÓN: Por inspección de la ecuación dada concluimos que el lugar geométrico es una circunferencia tal que el polo pertenece a ella y su centro es el punto ( )3 ,2 π . Por tanto su gráfico es: Casos especiales, serían: 1. Si 0=φ tenemos ( ) θ=−θ= cos20cos2 aar Que transformándola a su ecuación cartesiana, tenemos: ( ) ( ) 222 2222 22 2 02 2 2 2 cos2 ayax ayaaxx axyx axr r x ar ar =+− +=++− =+ = = θ=
- 12. Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares 12 Una circunferencia con centro el punto )0,(a y radio ar = 2. Si π=φ tenemos ( ) θ−=π−θ= cos2cos2 aar Una circunferencia con centro el punto )0,( a− y radio ar = 3. Si 2 π =φ tenemos ( ) θ=−θ= π sen2cos2 2 aar Una circunferencia con centro el punto ),0( a y radio ar =
- 13. Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares 13 4. Si 2 3 π =φ tenemos ( ) θ−=−θ= π sen23cos2 2 aar Una circunferencia con centro el punto ),0( a− y radio ar = 3.3 CÓNICAS tales que el foco es el polo y su recta directriz está a una distancia "d" del polo Observe la figura. Se define a la parábola ( 1=e ), a la elipse ( 10 << e ) y a la hipérbola ( 1>e ) como el conjunto de puntos del plano tales que: ( ) ( )lPdeFPd ,, =
- 14. Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares 14 Entonces: ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( )φ−θ+ = =φ−θ+ =φ−θ+ φ−θ−= φ−θ−= = cos1 cos1 cos cos cos ,, e ed r eder ederr eredr rder lPdeFPd Casos especiales son: 1. Si 0=φ tenemos θ+ = cos1 e ed r 2. Si π=φ tenemos θ− = cos1 e ed r 3. Si 2 π =φ tenemos θ+ = sen1 e ed r 4. Si 2 3 π =φ tenemos θ− = sen1 e ed r Ejemplo 1 Graficar θ+ = cos1 6 r SOLUCIÓN: En este caso " 1=e " (el coeficiente del coseno) por tanto tenemos una parábola con foco el polo (el origen) y directriz con ecuación cartesiana " 6=x " (a la derecha y paralela al eje 2 π ). Parábola cóncava a la izquierda.
- 15. Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares 15 Ejemplo 2 Graficar θ− = cos1 6 r SOLUCIÓN: Como el ejemplo anterior, es una parábola; pero ahora como hay un signo negativo en la función trigonométrica, la recta directriz tendrá ecuación cartesiana “ 6−=x " (a la izquierda y paralela al eje 2 π ). Cóncava hacia la derecha. Ejemplo 3 Graficar θ+ = sen1 6 r SOLUCIÓN: Es una parábola con foco el polo y recta directriz 6=y (paralela y arriba del eje polar). Cóncava hacia abajo.
- 16. Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares 16 Ejemplo 4 Graficar θ− = sen1 6 r SOLUCIÓN: Es una parábola con foco el polo y recta directriz 6−=y (paralela y abajo del eje polar). Cóncava hacia arriba. Ejemplo 5 Graficar θ+ = cos1 6 2 1 r SOLUCIÓN: En este caso " 2 1=e " (el coeficiente del coseno), por tanto tenemos una elipse con un foco el polo y el otro foco a su izquierda en el eje polar. NOTA: La ecuación de esta cónica pudo haber sido dada de la siguiente forma también: θ+ = cos2 12 r ¿Por qué?
- 17. Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares 17 Ejemplo 6 Graficar θ− = cos1 6 2 1 r SOLUCIÓN: Es una elipse con un foco el polo y el otro a su derecha en el eje polar. Ejemplo 7 Graficar θ+ = sen1 6 2 1 r SOLUCIÓN: Es una elipse con un foco el polo y el otro en el eje 2 π hacia abajo.
- 18. Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares 18 Ejemplo 8 Graficar θ− = sen1 6 2 1 r SOLUCIÓN: Es una elipse con un foco el polo y el otro en el eje 2 π hacia arriba. Ejemplo 9 Graficar θ+ = cos21 6 r SOLUCIÓN: En este caso " 2=e " (el coeficiente del coseno), por tanto tenemos una hipérbola con un foco el polo y el otro foco a su derecha en el eje polar.
- 19. Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares 19 Ejemplo 10 Graficar θ− = cos21 6 r SOLUCIÓN: Es una hipérbola con un foco el polo y el otro foco a su izquierda en el eje polar. Ejemplo 11 Graficar θ+ = sen21 6 r SOLUCIÓN: Es una hipérbola con un foco el polo y el otro foco en el eje 2 π hacia arriba.
- 20. Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares 20 Ejemplo 12 Graficar θ− = sen21 6 r SOLUCIÓN: Es una hipérbola con un foco el polo y el otro foco en el eje 2 π hacia abajo. 3.4 CARACOLES Los caracoles tienen ecuación polar de la forma: θ±= cosbar o de la forma θ±= senbar Consideremos tres casos: 1. Si ba = se llama CARDIOIDES Ejemplo 1 Graficar θ+= cos66r Esta gráfica presenta simetría al eje polar, es decir: )()( θ−=θ ff
- 21. Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares 21 Ejemplo 2 Graficar θ−= cos66r Ejemplo 3 Graficar θ+= sen66r Ejemplo 4 Graficar θ−= sen66r
- 22. Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares 22 2. Si ba > se llaman LIMACON O CARACOL SIN RIZO Ejemplo 1 Graficar θ+= cos36r Ejemplo 2 Graficar θ−= cos36r Ejemplo 3 Graficar θ+= sen36r Esta gráfica presenta simetría al eje 2 π , es decir: )()( θ=θ−π ff
- 23. Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares 23 Ejemplo 4 Graficar θ−= sen36r 3. Si ba < se llaman LIMACON O CARACOL CON RIZO Ejemplo 1 Graficar θ+= cos63r Nota: Determine los ángulos de formación del rizo. Ejemplo 2 Graficar θ−= cos63r
- 24. Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares 24 Ejemplo 3 Graficar θ+= sen63r Ejemplo 4 Graficar θ−= sen63r 3.5 ROSAS Estos lugares geométricos tienen ecuación polar de la forma ( )θ= nar cos o ( )θ= nar sen para Nnn ∈∧> 1 De aquí consideramos dos casos: 1. Si n es PAR es una rosa de n2 petálos
- 25. Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares 25 Ejemplo Graficar ( )θ= 2sen4r SOLUCIÓN: Por inspección concluimos que es una rosa de 4 pétalos 2. Si n es IMPAR es una rosa de n petálos Ejemplo Graficar ( )θ= 3cos4r SOLUCIÓN: Por inspección concluimos que es una rosa de 3 pétalos
- 26. Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares 26 3.6 LEMNISCATAS Tienen ecuación polar de la forma θ= 2cos2 ar o de la forma θ= 2sen2 ar Ejemplo 1 Graficar θ= 2cos42 r Ejemplo 2 Graficar θ−= 2cos42 r
- 27. Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares 27 Ejemplo 3 Graficar θ= 2sen42 r 3.7 ESPIRALES Consideramos dos tipos: 3.7.1 ESPIRAL DE ARQUÍMEDES. Su ecuación polar es de la forma θ= ar Ejemplo Graficar θ= 2r
- 28. Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares 28 3.7.2 ESPIRAL DE LOGARÍTMICA. Su ecuación polar es de la forma θ = b aer Ejemplo Graficar θ = 3 2er Ejercicios propuestos 3 1. Trace la gráfica representada por la ecuación polar dada. 1. 5=r 2. 4 π =θ 3. )sen(2 θ=r 4. )cos(θ−=r 5. )cos(3 θ−=r 6. )sen(1 2 θ− =r 7. )sen(2 2 θ− =r 8. )sen(21 2 θ− =r 9. )cos(21 θ−=r 10. )sen(23 θ+=r 11. π≤θ≤θ−= 0;sen42r 12. ))cos(1(3 θ−=r 13. )sen(42 θ+=r 14. 0)sen(52 =θ+−r 15. )3sen( θ=r 16. )5sen( θ=r 17. )4cos(2 θ=r 18. )2cos(42 θ=r 19. )2sen(32 θ=r 20. )3cos(6 θ−=r 21. θ−= 3sen4r 22. 0, >θθ=r 23. )cos()sen( θ+θ=r 24. 0)cos()sen( =θ+θ 2. Graficar en un mismo plano ⎩ ⎨ ⎧ += = θ θ cos1 cos3 r r y determine los puntos de intersección. 3. Graficar en un mismo plano ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ += = θ θ cos1 3 r senr y determine los puntos de intersección. 4. Graficar en un mismo plano ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = θ−= 2 2cos82 r r y determine los puntos de intersección. 5. Graficar en un mismo plano 3 2 4 4 r sen r sen θ θ ⎧ =⎪ +⎨ ⎪ = +⎩ y determine los puntos de intersección. 6. Represente en el plano polar la región comprendida en el interior de ( )θ2cos4=r y exterior a 2=r
- 29. Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares 29 7. Sea ( ) 2 3 , : 1 r sen p r r θ θ ≤⎧ ⎨ ≥⎩ , determine ( ),Ap r θ 8. Sea ( ) ( ) 3 , / 4 4 4 R r r sen π π θ θ θ ⎧ ⎫ = ≤ ∧ ≤ ≤⎨ ⎬ ⎩ ⎭ , bosqueje R