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El documento presenta dos problemas de programación lineal. El primer problema involucra maximizar las utilidades de una fábrica de pintura sujeto a restricciones en los recursos disponibles. El segundo problema busca maximizar y minimizar una función objetivo sujeta a varias restricciones. En ambos casos, se resuelven los problemas determinando los valores óptimos, las restricciones activas e inactivas y los excedentes o holguras.
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- 1. INVESTIGACIÓN OPERATIVA CORRECCIÓN DE LA PRUEBA C U E S T I O N A R I O. Hallar el valor óptimo, la solución óptima, las restricciones activas, las restricciones inactivas, la holgura o el excedente de los siguientes problemas 1. Una fábrica de pintura produce pinturas para interiores y exteriores, a partir de dos materias primas M1 y M2. Por cada tonelada de pintura para interiores se requiere 4 toneladas de M1 y 2 toneladas de M2. Y para cada tonelada de pintura para exteriores se requiere 6 toneladas de M1 y una de M2. Se dispone de 24 toneladas de M1 y 6 de M2 diariamente. La utilidad que arroga una tonelada de pintura para exteriores es de $ 5 000 y de una tonelada para interiores es de $ 4 000. La demanda máxima diaria de pintura para interiores es de 2 toneladas. Además la demanda diaria de pintura para interiores no puede exceder a la de pintura para exteriores por más de una tonelada. La compañía quiere determinar la mezcla de producción óptima de pinturas para interiores y exteriores que maximice las utilidades diarias y satisfaga las limitaciones. Minimizar: Z= 4000X1+ 5000X2 1. 4푋1 + 6푋2 ≤ 24 4푋1 + 6푋2 = 24 2. 2푋1 + 푋2 ≤ 6 2푋1 + 푋2 = 6 3. 푋1 ≥ 2 4. 푋2 − 푋1 ≤ 1 푋1, 푋2 ≤ 0 F G 0 6 3 0 F G 0 4 6 0
- 2. INVESTIGACIÓN OPERATIVA 1. 4푋1 + 6푋2 = 24 −4푋1 +2푋2 =12 4푋2 =12 푋2 = 3 2푋1 + 3 = 6 2푋1 = 6 − 3 푋1 = 1.5 2. 2푋1 + 푋2 = 6 − 2푋1+ 2푋2= −1 3푋2=5 푋2 = 2.5 2.5 − 푋1 = 1 푋1 = 1.5 HOLGURAS O EXCEDENTES 1. 푿ퟐ − 푯 ≥ ퟐ ퟏ. ퟓ − 푯 ≥ ퟐ 푯 = ퟐ 2. 푿ퟏ − 푿ퟐ + 푯 ≤ ퟏ ퟑ − ퟏ. ퟓ + 푯 ≤ ퟏ 푯 = ퟎ. ퟓ 2. Min Z= 3F + 4G s.a. F + G ≥ 8 2F + G ≥ 12 G ≥ 2 F ≤ 10 F , G ≥ 0 VALORES ÓPTIMOS Z 21000 X1 1.5 X2 3 r.a 1,2 r.i 3,4 HOLGURA EXCEDENTE
- 3. INVESTIGACIÓN OPERATIVA Minimizar: Z= 3F+ 4G 1. 퐹 + 퐺 ≥ 8 2. 2퐹 + 퐺 ≥ 12 3. 퐺 ≥ 2 4. 퐹 ≤ 10 퐹, 퐺 ≥ 0 푭+푮=ퟖ ퟐ푭+푮=ퟏퟐ (−ퟏ) −푭= −ퟒ 푭=ퟒ 푭 + 푮 = ퟖ ퟒ(ퟏ) + 푮 = ퟖ ퟒ + 푮 = ퟖ 푮 = ퟖ − ퟒ 푮 = ퟒ 풁 = ퟑ푭 + ퟒ푮 풁 = ퟑ(ퟒ) + ퟒ(ퟒ) 풁 = ퟐퟖ F G 0 8 8 0 F G 0 12 6 0
- 4. INVESTIGACIÓN OPERATIVA VALORES ÓPTIMOS Z 28 F 4 G 4 r.a 1,2 r.i 3,4 HOLGURAS O EXCEDENTES 1. 푭 + 푮 + 푯ퟏ = ퟖ ퟒ + ퟒ + 푯ퟏ = ퟖ 푯ퟏ = ퟖ − ퟖ 푯ퟏ = ퟎ 2. ퟐ푭 + 푮 + 푯ퟐ = ퟏퟐ ퟐ(ퟒ) + ퟒ + 푯ퟐ = ퟏퟐ 푯ퟐ = ퟏퟐ − ퟏퟐ 푯ퟐ = ퟎ 3. 푮 − 푯ퟑ = ퟐ ퟒ − 푯ퟑ = ퟐ −푯ퟑ = ퟐ − ퟒ −푯ퟑ = −ퟐ 푯ퟑ = ퟐ (excedente) ퟒ. 푭 + 푯ퟒ = ퟏퟎ ퟒ + 푯ퟒ = ퟏퟎ 푯ퟒ = ퟏퟎ − ퟒ 푯ퟒ = ퟔ (holgura) 3. Para el siguiente problema de programación lineal: Z = 3X1 – 5X2 Restricciones: 5X1 – 4X2 > -20 X1 < 8 X2 < 10 X2 > 3 5X1 + 4X2 > 20 Xj > 0 ; j =1,2
- 5. INVESTIGACIÓN OPERATIVA a) Cuál es el valor de X1 y X2 que maximiza la función objetivo Z. FUNCIÓN OBJETIVO: MAXIMIZAR 1. 5X1 – 4X2 = -20 x y 0 5 -4 0 2. X1 = 8 3. X2 = 10 4. X2 = 3 5. 5X1 + 4X2 =20 x y 0 5 4 0
- 6. INVESTIGACIÓN OPERATIVA b) Cuál es el valor de X1 y X2 que minimiza la función objetivo Z. MINIMIZAR: 3 X1 -5 X2 -5 X1 + 4 X2 ≥ 20 1 X1 + 0 X2 ≥ 8 0 X1 + 1 X2 ≥ 10 0 X1 + 1 X2 ≥ 3 5 X1 + 4 X2 ≥ 20 X1, X2 ≥ 0 El problema no está acotado pero como se trata de un problema de minimización es posible encontrar una solución. 1. 5X1 – 4X2 = -20 x y 0 5 -4 0 2. X1 = 8 3. X2 = 10 4. X2 = 3 5. 5X1 + 4X2 =20 x y 0 5 4 0
- 7. INVESTIGACIÓN OPERATIVA Punto Coordenada X (X1) Coordenada Y (X2) Valor de la función objetivo (Z) O 0 0 0 A 0 5 -25 B 8 15 -51 C 4 10 -38 D 8 0 24 E 8 10 -26 F 8 3 9 G 0 10 -50 H 0 3 -15 I 1.6 3 -10.2 J 4 0 12