Corripio
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Este documento presenta un modelo matemático para describir el calentamiento y enfriamiento de un tanque. El modelo incluye ecuaciones de balance de energía que relacionan la entrada y salida de caudal, densidad, capacidad calorífica y temperatura. También se describen variables como desviación de la temperatura y se aplica la transformada de Laplace para resolver la ecuación diferencial resultante, obteniendo una función de transferencia G(s) que relaciona la temperatura de entrada y salida.
![𝒌 =
𝑽
𝒒𝝆𝑪𝒑
𝒚 𝝉 =
𝑽𝝆𝑪𝒗
𝒒𝝆𝑪𝒑
𝑻𝒊( 𝒕) − 𝑻( 𝒕) + 𝒌
𝒅𝑸
𝒅𝒕
= 𝝉
𝒅𝑻( 𝒕)
𝒅𝒕
Despejando 𝑻𝒊( 𝒕):
𝑻𝒊( 𝒕) = 𝝉
𝒅𝑻( 𝒕)
𝒅𝒕
− 𝒌
𝒅𝑸
𝒅𝒕
+ 𝑻( 𝒕)
Aplicandotransformadade Laplace:
𝓛[ 𝑻𝒊(𝒕)] = 𝝉𝓛 [
𝒅𝑻(𝒕)
𝒅𝒕
]+ 𝓛[ 𝑻(𝒕)] − 𝒌𝓛[
𝒅𝑸
𝒅𝒕
]
𝑻𝒊( 𝒔) = 𝝉𝒔𝑻( 𝒔)+ 𝑻( 𝒔) − 𝑲𝒔𝑸𝒔
𝑻𝒊( 𝒔) = 𝑻( 𝒔)( 𝝉𝒔 + 𝟏) − 𝒌𝒔𝑸(𝒔)
𝑻(𝒔)
𝑻𝒊( 𝒔)
=
𝒌𝒔𝑸(𝒔)
𝝉𝒔 + 𝟏
𝑮( 𝒔) =
𝒌𝒔𝑸(𝒔)
𝝉𝒔 + 𝟏](https://image.slidesharecdn.com/corripio-170503041337/85/Corripio-3-320.jpg)
Corripio
- 1. Datos: 𝑞𝜌 = 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑙𝑖𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑦 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 𝑒𝑛 𝑘𝑔 𝑚3 𝑐𝑝 = 𝑐𝑎𝑝𝑎𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑎 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑐𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝐽 𝐾𝑔°𝐶 𝐶𝑣 = 𝑐𝑎𝑝𝑎𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑎 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑐𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝐽 𝐾𝑔°𝐶 𝑉 = 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑐𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑚3 Balance general en términos de temperatura: 𝒒 𝟏 𝝆 𝟏 𝑪𝒑 𝟏 𝑻𝒊( 𝒕) + 𝑽 𝒅𝑸 𝒅𝒕 = 𝒒 𝟐 𝝆 𝟐 𝑪𝒑 𝟐 𝑻( 𝒕) + 𝑽𝑪𝒗𝝆 𝒅𝑻(𝒕) 𝒅𝒕 Análisis dimensional: 𝒎 𝟑 𝒔 𝒌𝒈 𝒎𝒔 𝑱 𝒌𝒈°𝒄 °𝒄 + 𝑱 𝒔 = 𝒎 𝟑 𝒔 𝒌𝒈 𝒎 𝟑 𝑱 𝒌𝒈°𝒄 °𝒄 + 𝒎 𝟑 𝒌𝒈 𝒎 𝟑 𝑱 𝒌𝒈°𝒄 °𝒄 𝒔 Siendo: 𝑻́ = 𝒕𝒓𝒂𝒃𝒂𝒋𝒐 𝑽́ = 𝒗𝒐𝒍𝒕𝒂𝒈𝒆 𝑰 = 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒏𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅 𝑹 = 𝒓𝒆𝒔𝒊𝒔𝒕𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒆𝒏 𝒐𝒉𝒎 Tenemos que: 𝑻́ = 𝑽́ 𝑰𝒕 𝑽́ = 𝑹𝑰 𝑻 = 𝑹𝑰 𝟐 𝒒 𝟏 𝝆 𝟏 𝑪𝒑 𝟏 𝑻𝒊( 𝒕) + 𝑽 𝒅𝑸(𝒕) 𝒅𝒕 = 𝒒 𝟐 𝝆 𝟐 𝑪𝒑 𝟐 𝑻( 𝒕) + 𝑽𝑪𝒗𝝆 𝒅𝑻(𝒕) 𝒅𝒕
- 2. Contenido del tanque en estado estacionario: 𝒒 𝟏 𝝆 𝟏 𝑪𝒑𝟏 𝑻𝒊̅̅̅− 𝒒 𝟐 𝝆 𝟐 𝑪𝒑 𝟐 𝑻̅ = 𝟎 Sustituyendo los valores: 𝒒 𝟏 𝝆 𝟏 𝑪𝒑 𝟏(𝑻𝒊( 𝒕)− 𝑻𝒊̅̅̅) + 𝑽 𝒅𝑸(𝒕) 𝒅𝒕 = 𝒒 𝟐 𝝆 𝟐 𝑪𝒑 𝟐(𝑻( 𝒕)− 𝑻̅) + 𝑽𝑪𝒗𝝆 𝒅(𝑻( 𝒕)− 𝑻̅) 𝒅𝒕 Aplicando variables de desviación: 𝑻( 𝒕) = 𝑻( 𝒕)− 𝑻̅ 𝑻𝒊( 𝒕) = 𝑻𝒊( 𝒕)− 𝑻𝒊̅̅̅ Siendo: 𝑻, 𝑻𝒊 = 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒆𝒔𝒕𝒂𝒅𝒐 𝒆𝒔𝒕𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒓𝒊𝒐 𝑻( 𝒕),𝑻𝒊( 𝒕) = 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒃𝒍𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒅𝒆𝒔𝒗𝒊𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒕𝒆𝒎𝒑𝒆𝒓𝒂𝒕𝒖𝒓𝒂 Sustituyendo: 𝒒 𝟏 𝝆 𝟏 𝑪𝒑 𝟏 𝑻𝒊( 𝒕) + 𝑽 𝒅𝑸(𝒕) 𝒅𝒕 = 𝒒 𝟐 𝝆 𝟐 𝑪𝒑 𝟐 𝑻( 𝒕) + 𝑽𝑪𝒗𝝆 𝒅𝑻(𝒕) 𝒅𝒕 Tomando en cuenta que lo siguiente se mantiene constante: 𝒒, 𝑪𝒑, 𝑪𝒗, 𝑽 𝒒𝝆𝑪𝒑𝑻𝒊( 𝒕) − 𝒒𝝆𝑪𝒑𝑻( 𝒕)+ 𝑽 𝒅𝑸(𝒕) 𝒅𝒕 = 𝑽𝝆𝑪𝒗 𝒅𝑻(𝒕) 𝒅𝒕 𝒒𝝆𝑪𝒑(𝑻𝒊( 𝒕)− 𝑻( 𝒕)) + 𝑽 𝒅𝑸(𝒕) 𝒅𝒕 = 𝑽𝝆𝑪𝒗 𝒅𝑻(𝒕) 𝒅𝒕 Para simplificar:
- 3. 𝒌 = 𝑽 𝒒𝝆𝑪𝒑 𝒚 𝝉 = 𝑽𝝆𝑪𝒗 𝒒𝝆𝑪𝒑 𝑻𝒊( 𝒕) − 𝑻( 𝒕) + 𝒌 𝒅𝑸 𝒅𝒕 = 𝝉 𝒅𝑻( 𝒕) 𝒅𝒕 Despejando 𝑻𝒊( 𝒕): 𝑻𝒊( 𝒕) = 𝝉 𝒅𝑻( 𝒕) 𝒅𝒕 − 𝒌 𝒅𝑸 𝒅𝒕 + 𝑻( 𝒕) Aplicandotransformadade Laplace: 𝓛[ 𝑻𝒊(𝒕)] = 𝝉𝓛 [ 𝒅𝑻(𝒕) 𝒅𝒕 ]+ 𝓛[ 𝑻(𝒕)] − 𝒌𝓛[ 𝒅𝑸 𝒅𝒕 ] 𝑻𝒊( 𝒔) = 𝝉𝒔𝑻( 𝒔)+ 𝑻( 𝒔) − 𝑲𝒔𝑸𝒔 𝑻𝒊( 𝒔) = 𝑻( 𝒔)( 𝝉𝒔 + 𝟏) − 𝒌𝒔𝑸(𝒔) 𝑻(𝒔) 𝑻𝒊( 𝒔) = 𝒌𝒔𝑸(𝒔) 𝝉𝒔 + 𝟏 𝑮( 𝒔) = 𝒌𝒔𝑸(𝒔) 𝝉𝒔 + 𝟏