Curso i.modulo 2.modelo de regresion dos variables.2012
- 1. MODULO 2. EL MODELO DE REGRESION DE DOS VARIABLES (ESTIMACIÓN UNIECUACIONAL)
- 2. UNIDAD 2. EL MODELO DE REGRESIÓN DE DOS VARIABLES Objetivos Particulares •Podrá constituir modelos económicos simples de relaciones entre variables económicas . Aplicará la metodología para evaluar modelos de regresión simple Contenido 2.1. Antecedentes 2.2. El problema de la estimación 2.3. Planteamiento del modelo 2.4. Estimación de la media 2.5. El método de los mínimos cuadrados 2.6. Propiedades de los estimadores mínimo-cuadráticos 2.7. El teorema de Gauss-Markov 2.8. Estimación de la varianza. Coeficiente de determinación
- 3. EL MODELO DE REGRESION DE DOS VARIABLES (ESTIMACIÓN UNIECUACIONAL) ANTECEDENTES El modelo de regresión. Origen histórico del término regresión: Este término fue introducido por Francis Galton en un estudio donde se analiza la estatura de los hijos en base a la estatura de los padres obteniendo lo que le denomina él una Regresión a la mediocridad. Ley de regresión Universal de Galton Karl Pearson comprueba dicho estudio posteriormente con un trabajo parecido.
- 4. x x x Estatura de los hijos en75 x x Pulgadas. x x x 70 x x x x x x x x 65- x x x x x x 60 x 60 65 70 75 Estatura de los padres, en pulgadas Distribución hipotética de las estaturas de los hijos correspondientes a estaturas dadas de los padres.
- 5. Interpretación moderna del término regresión El análisis de regresión está relacionado con el estudio de la dependencia de una variable, con una o más variables adicionales (denominadas como variables independientes o explicativas) con la perspectiva de estimar y/o predecir el valor (poblacional) medio o promedio de la primera en términos de valores conocidos y fijos (en muestras repetidas) de las segundas.
- 6. El modelo de regresión de dos variables
- 7. El modelo de regresión de dos variables El estudio de este modelo, no es por su importacia práctica o de aplicación, sino porque sirve para expresar en forma simple las ideas básicas del análisis de regresión
- 8. Planteamiento del modelo. Partiendo de un modelo teórico o económico donde el consumo (C) está en función del ingreso (Ing) C = f( Ing ) Que matemáticamente queda expresado como C =β o +β 1 Ing si sustituimos variables como C=Y e Ing= Xi; este se puede expresar como sigue: Y= β o + β1 X .........( 1) Que graficamente se plantea como sigue.
- 9. GRAFICO 1. PLANTEAMIENTO MATEMÁTICO DE LA EXPRESIÓN C=Bo + B1 Ing Si C= Y Ing= Xi Y B1 Consumo 1 Bo X Ingreso la expresión anterior alquedar como sigue: Y= β o + β1 X .........( 1) el cual es ahora un modelo mas general.
- 10. Como el análisis de regresión relaciona una variable dependiente, con una o más independientes , con la perspectiva de estimar y/o predecir el valor medio o promedio de la primera en términos de valores conocidos o fijos de las segundas, matemáticamente el modelo (1) se puede expresar como sigue al aplicar la definición de regresión E (Y | Xi) = β o + β1 Xi ...........( 2) a esta se le llama como FUNCIÓN DE REGRESIÓN POBLACIONAL (FRP). Que graficamente es:
- 11. GRAFICO 2: PLANTEAMIENTO GRÁFICO DE LA FUNCIÓN DE REGRESIÓN POBLACIONAL (FRP). Y FRP CONSUMO E(Y | Xi) X INGRESO
- 12. La misma ecuación dos expresada en forma estocástica se plantea de la siguiente forma: Y = β o + β1 Xi + u i ...........( 3) donde como sabemos β o + β1 Xi = E (Y| Xi ) y u i es una variable aleatoria o término de error estocástico, por tanto ( 3) se expresa así Y= E (Y| Xi) + u i . Pero como en la práctica no esta a nuestro alcance toda la información de una población para analizarla o estudiarla, se toma una o unas muestras de esta población de valores de Y y de valores fijos de X, quedando expresada como: Λ Λ Λ Y = β 0 + β1 X i .........( 4 ) donde Ŷ = estimador de E (Y | Xi) . β o = estimador de βо ˆ β = estimador de βı ˆ1 A la ecuación ( 4 ) se le denomina Función de Regresión Muestral (FRM)
- 13. Yi Yi Λ Λ Λ FRM: Yi = β 0 + β1 X i ei Ui ˆ Yi CONSUMO FRP:E (Y| Xi)= E( Y| βο+βıXi A Xi) Λ Yi= Yi + ei : FRM Yi= E(Y | Xi) +ui :FRP INGRESO X GRAFICO 3. REPRESENTACIÓN GRAFICA DE LAS ECUACIONES DE REGRESIÓN POBLACIONAL Y MUESTRAL
- 14. EL MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS ORDINARIOS (MCO) El método de mínimos cuadrados ordinarios o mínimos cuadrados es atribuible a Carl Friedrich Gauss, matemático alemán , quien lo desarrollado en 1821. Mínimos cuadrados permite obtener una FRM con buenas características para explicar una población, si cumple con ciertos supuestos. MCO ofrece bajo ciertos supuestos algunas propiedades estadísticas muy atractivas en sus resultados, pero veamos en que consiste y por que se utiliza. Si partimos de la expresión ( 5) que es la Función de Regresión Muestral (FRM) ˆ ˆ Yi = β o + β1 Xi + ei como sabemos que parte de (5) se puede expresar como sigue: Λ Λ Λ Yi = β 0 + β1 X i que es la expresión (4) por lo tanto Yi = Ŷi + ei ......( 6 ) donde Ŷi es el valor estimado Yi poblacional.
- 15. Al expresar la función de regresión muestral en su forma estocástica de la siguiente manera tendremos: ei = Yi – Ŷi .....................................( 7 ) ei = Yi - β o - β1 Xi esta última nos expresa que los ei (los residuales) son simplemente la ˆ ˆ diferencia entre los valores reales y los estimados de Y (ver grafica 4 ) De aquí se tiene que una función de regresión que esta bién ajustada tendrá una diferencia entre el valor observado y calculado pequeña, como lo muestra el grafico 4. Pero como se está trabajando con una serie de información como lo denota el subíndice “i”, se tendrá a ( 7 ) como: Σei = Σ (Yi – Ŷi ) ...........( 8 )
- 16. Yi Yi Λ Λ Λ e3 Ŷi FRM:Yi = β 0 + β1 X i e1 Ŷi Ŷi Ŷi e4 e2 Yi Yi GRAFICO 4. EL CRITERIO DE MÍNIMOS CUADRADOS
- 17. En este caso una función de regresión que este bien ajustada tendrá una diferencia entre los valores observados y calculados mínima, es decir, que la Σei debe ser la más pequeña posible. Sin embargo al hacer la suma algebráica esta puede ser pequeña o aun cero, lo cual nos indicaría un buen ajuste en el modelo pero, al analizar los datos nos podemos dar cuenta que esto no es así es decir estos estan muy dispersos. Una forma de solucionar esto es mediante lo siguiente:
- 18. El Método de Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO) elimina la posibilidad planteada con anterioridad al realizar lo siguiente: Σe2i = Σ (Yi – Ŷi)2 …………………….. ( 9 ) haciendo por lo tanto que todos los ei, sean positivos. Si se sustituye a Ŷi por su equivalente ( 9 ) puede expresarse como β o β1 ˆ ˆ sigue: la expresión–anterior se …………….. ( 10) también como sigue: Σe2i = Σ (Yi - Xi )2 puede plantear ˆ ˆ β o β1 Σe2i = Q ( ) …………………….. (11 ) ¿qué implica esto? Que se le asigna un mayor peso a los residuales que son más grandes como es el caso de e1 y e4 , que a los que están más cerca (ver grafico), debido a que cuanto más grandes sean los ei (en valores absolutos), mayor será Σe2i Una justificación adicional para usar el método de MCO es el hecho de que los estimadores obtenidos tienen propiedades deseables desde el punto de vista estadística.
- 19. ¿Qué es lo que hace mínimos cuadrados? ˆ ˆ El principio de MCO es seleccionar el valor de β 0 y β1 de forma que para un conjunto muestral de información la Σe2i sea la mas pequeña posible, es decir, que para una muestra dada, el método de MCO arroja estimadores únicos de βο y βı que producen el valor más pequeño posible de la Σe2i . Lo anterior se obtiene mediante un ejercicio sencillo de cálculo diferencial. Hay que recordar que existen dos condiciones para que se obtengan valores mínimos de los parámetros o β´s en una función cualquiera.
- 20. CONDICIONES PARA MÍNIMIZAR UNA FUNCIÓN Máximo (+ ) (-) (-) (+) Mínimo
- 21. CONDICIONES PARA MÍNIMIZAR UNA FUNCIÓN 1er. Condición Necesaria pero no suficiente para alcanzar un mínimo. Para que ocurra un mínimo de una función Q, las derivadas parciales que se obtienen de sus parámetros ˆ β 0 ˆ β 1 y deben de igualarse a cero, con el fin de asegurar la obtención de un valor extremo. 2da. Condición Necesaria y Suficiente para que “Q” sea un mínimo. Esta se demuestra cuando a la función “Q” se le obtienen sus ˆ β ˆ β 0 1 segundas derivadas con respecto a y ( de las ecuaciones normales) y se comprueba a partir de estos resultados que es positivamente definida ”Q”, al evaluar sus hesianos o menores y todos son positivos. NOTA: TODO EL PROCESO DEMOSTRATIVO PARA OBTENER LOS ESTIMADORES MÍNIMO CUADRÁTICOS Y DEMOSTRACIÓN DE QUE CUMPLEN CON LAS ANTERIORES
- 22. La empresa Nielsen Media research reúne datos sobre cuales publicistas captan las mayores audiencias durante las horas preferentes en varias cadenas de TV. A continuación vemos los datos que muestran la cantidad de familias espectadoras, en millones, y la cantidad de veces que el anuncio salió al aire durante la semana del 28 de abril al 4 de mayo de 1997 (USA Today, 5 de mayo de 1997). •Determine la ecuación de regresión estimada que indique como se relaciona la cantidad de veces que apareció el anuncio con la cantidad de familias espectadoras, explique los resultados Veces que salió al Familias Marca anunciada aire espectadoras Burger King 86 616.7 McDonald's 54 439.2 Sears 33 338 Wendy's 28 191.7 Ford Escort 20 174.6 Austin Power movie 14 161.3 Nissan 16 161.1 Pizza Hut 16 147.7 Saturn 16 146.3 Father's Day movie 11 138.2