9 funciones

Funciones9
INTRODUCCIÓN
La representación gráfica de las funciones es la forma
más adecuada de entender la relación entre
las variables. Estas gráficas se usan en diferentes
disciplinas para interpretar y deducir las leyes
que rigen determinados fenómenos.
Uno de los objetivos principales de esta unidad
es que los alumnos tengan clara la relación entre
la representación gráfica de una función
y su expresión algebraica, y que sean capaces
de realizar ambas.
RESUMEN DE LA UNIDAD
• Función: correspondencia entre variables
que asocia a una de ellas, como máximo,
un único valor de la otra.
• Variable independiente: puede tomar cualquier
valor. Variable dependiente: su valor depende
del valor que tome la variable independiente.
• Dominio: conjunto de todos los valores que puede
tomar la variable independiente. Recorrido: conjunto
de todos los valores que puede tomar la variable
dependiente.
• Función discontinua: presenta uno o varios puntos
en los que una pequeña variación de la variable
independiente produce un salto en los valores
de la variable dependiente.
1. Conocer las expresiones
de una función.
2. Calcular el dominio
y el recorrido
de una función.
3. Distinguir entre
funciones continuas
y discontinuas.
4. Crecimiento
y decrecimiento.
Máximos y mínimos
de una gráfica.
5. Puntos de corte
con los ejes.
6. Conocer las funciones
definidas por trozos
de recta.
• Formas de expresar la relación
entre dos variables.
• Variable independiente
y variable dependiente.
• Dominio y recorrido
de una función.
• Función continua.
• Función discontinua.
• Función creciente y función
decreciente.
• Máximos y mínimos.
• Puntos de corte con el eje Y.
• Puntos de corte con el eje X.
• Funciones definidas por trozos
de recta.
• Obtención de unas expresiones
de una función a partir de otras.
• Cálculo del dominio y el recorrido
de una función.
• Diferenciación de ambos tipos
de funciones.
• Obtención de los intervalos
de crecimiento y decrecimiento
de una función.
• Determinación de los máximos
y mínimos.
• Cálculo de los puntos de corte
con ambos ejes.
• Representación de una función
definida a trozos.
OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS
339࡯ MATEMÁTICAS 4.° B ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
ADAPTACIÓNCURRICULAR
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340 ࡯ MATEMÁTICAS 4.° B ESO ࡯ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ࡯
OBJETIVO 1
NOMBRE: CURSO: FECHA:
CONOCER LAS EXPRESIONES DE UNA FUNCIÓN
9
La relación entre dos variables se puede expresar de diferentes maneras:
• Mediante un texto: descripción verbal y/o escrita que expresa la relación entre dos variables.
Es lo que se suele llamar enunciado del problema.
• Mediante tablas: los valores de la variable independiente y sus valores asociados para la variable
dependiente se organizan en forma de tabla.
• Mediante gráficos: nos dan una visión cualitativa de la relación que existe entre las variables.
Puede ser una representación en unos ejes de coordenadas.
• Mediante una fórmula o expresión algebraica: con ella podemos calcular qué valor
de la variable dependiente corresponde a un valor de la variable independiente, y viceversa.
En un aparcamiento vemos la siguiente tarifa
de precios. Obtén la tabla, el gráfico y la fórmula
que expresan la relación entre el tiempo (número
de horas) que permanece el coche en el aparcamiento
y el dinero que se abona.
1
TARIFAS
1.a
hora o fracción ............................ 2 €
Cada hora adicional o fracción .......... 1,50 €
Máximo: 10 € por 24 horas
El precio de las naranjas es 1,50 €/kg. Vamos a expresarlo de las maneras que acabamos de explicar.
• Mediante un texto: el importe que se paga es el producto de 1,50 € por el número de kilogramos
adquiridos.
• Mediante una tabla: el número de kilogramos es la variable independiente y el importe es la variable
dependiente.
• Mediante un gráfico: representamos la situación mediante puntos en un sistema de ejes
de coordenadas.
• Mediante una fórmula: si llamamos P al importe en euros y n al número de kilos de naranjas,
la fórmula es: P = 1,5 ⋅ n.
EJEMPLO
KILOGRAMOS
DE NARANJAS
IMPORTE (€)
1
1,50
2
3
3
4,50
…
…
1 2 3 4
4
3
2
1
X
Y
O
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9
La gráfica de una función es la representación del conjunto de puntos que definen esa función.
La tabla expresa la relación entre
los litros de leche adquiridos
y su precio. Obtén la gráfica y la fórmula
que representa la relación entre ambas
magnitudes.
2
1
1
1
1
1
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
2 3 4 5
Dada la función mediante la fórmula y = 3x −1, obtén su tabla de valores y su gráfica.3
5
XO
Y
5
5
XO
Y
Dada la función mediante la fórmula y = x2
−1, halla su tabla de valores y su gráfica.4
5
5
XO
Y
Dada la función mediante la fórmula y = x3
+ 1, determina su tabla de valores y su gráfica.5
5
5
XO
Y
5
1
1
x
0
y = f (x)
1
−1
2
−2
x
0
y = f (x)
1
−1
2
−2
x
0
1
−1
2
−2
y = f (x)
LITROS
DE LECHE
PRECIO
(€)
1 0,75
2 1,50
3 2,25
4 3
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9 OBJETIVO 2
CALCULAR EL DOMINIO Y EL RECORRIDO DE UNA FUNCIÓN
Una función y = f(x) es una relación entre dos magnitudes o variables, tal que a cada valor
de la variable independiente x se le asocia, como máximo, un único valor de la variable dependiente y.
Para indicar que a cada valor de x se le asocia un único valor de y se escribe: x → f(x).
Se llama original al valor x, e imagen al valor y; o también puede ser el valor y la imagen
y el valor x su antiimagen.
El conjunto de valores que puede tomar la variable x se llama dominio de la función,
y el conjunto de valores que puede tomar la variable y se denomina recorrido de la función.
Sea la función f(x) que asocia a cada número real su doble más 5 unidades.
a) Halla su fórmula o su expresión algebraica.
b) Calcula f (0), f (−1) y .
c) Obtén la antiimagen de .
d) Determina su dominio y su recorrido.
16
3
f
1
2
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
1
Dada la relación que asocia a cada número real el inverso de la resta de ese número menos 3:
a) Determina si es o no una función y, en caso de serlo, obtén su fórmula.
b) Halla f(0), f(−1) y .
c) Calcula la antiimagen de .
d) Determina su dominio y su recorrido.
1
4
f
1
2
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
2
Halla el dominio y el recorrido de las funciones.
a) f(x) = −5x −2 En este caso, la variable independiente x puede tomar cualquier valor real,
y para cada uno de esos números reales se obtiene un valor real de la variable
dependiente y. Así, tenemos que: Im f = R, Dom f = R.
b) f(x) = En este caso, la variable independiente x puede tomar cualquier valor real, salvo aquel
valor para el que se anula el denominador, ya que no existe la división entre cero.
Por tanto, el dominio es: Dom f = R − {1}.
El recorrido es todos los números reales, Im f = R.
c) f(x) = En este caso, la variable independiente puede tomar cualquier valor real positivo mayor
o igual que cero, pues no existe la raíz cuadrada de un número negativo. Así, el dominio
es Dom = R+
. El recorrido es el conjunto de los números reales positivos, R = R+
.
x
2
1x −
EJEMPLO
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9
OBJETIVO 3
DISTINGUIR ENTRE FUNCIONES CONTINUAS Y DISCONTINUAS
Representa la función que relaciona el número
de fotocopias realizadas y el importe total.
¿Es una función continua?
FUNCIÓN NO CONTINUA
Una función no es continua si tiene puntos
en los cuales una pequeña variación
de la variable independiente produce un salto
en los valores de la variable dependiente. Esos
puntos se denominan puntos de discontinuidad.
FUNCIÓN CONTINUA
Una función es continua si su gráfica
puede dibujarse de un solo trazo, es decir,
no presenta puntos de discontinuidad.
En una tienda de fotocopias tienen la siguiente lista de precios.1
La tarifa por la bajada de bandera en un taxi es 2 € y por cada 500 metros recorridos
hay que abonar 0,50 €.
a) Construye la tabla de valores y representa la función.
b) ¿Es una función continua o discontinua?
c) Calcula el precio de un recorrido de 3 km.
2
X
Y
X
Y
5
55
5
O O
CANTIDAD PRECIO POR COPIA
Menos de 10
De 11 a 20
De 21 a 50
Más de 50
0,06 €
0,04 €
0,03 €
0,02 €
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9
Dados una función f(x) y dos valores x1 y x2, tales que x1 < x2:
• Si f(x1) − f(x2) > 0, la función es creciente entre x1 y x2.
• Si f(x1) − f(x2) < 0, la función es decreciente entre x1 y x2.
Representa una función definida por los siguientes valores.
f(x = 0) = 2 f(2) = 1 f(4) = 3 f(6) = 6 f(8) = 4
f(1) = 2 f(3) = 3 f(5) = 5 f(7) = 4 f(9) = 2
a) ¿En qué tramos la función es creciente?
b) ¿En qué tramos es decreciente?
c) ¿Y en qué tramos es constante?
d) ¿Tiene algún punto de discontinuidad?
1
OBJETIVO 4
CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO. MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA GRÁFICA
La temperatura de un enfermo evolucionó a lo largo de 14 días según se muestra
en el gráfico siguiente.
a) ¿En qué días subió la temperatura?
b) ¿En qué días permaneció constante?
c) ¿Y en qué días bajó?
d) ¿Cuál fue la temperatura máxima
alcanzada? ¿En qué día la alcanzó?
e) ¿Cuál fue la temperatura mínima
alcanzada? ¿En qué día la alcanzó?
f) Si le dieron una pastilla los días
en que la temperatura subió
por encima de 38 ºC,
¿qué días tomó la pastilla?
a) Vemos que la temperatura subió los días 5.o
, 6.o
y 8.o
. Los intervalos de crecimiento de la función
son (4, 6) y (7, 8).
b) Permaneció constante los días 1.o
, 2.o
, 4.o
, 7.o
, 10.o
, 12.o
, 13.o
y 14.o
.
c) La temperatura descendió los días 3.o
, 9.o
y 11.o
. Los intervalos de decrecimiento de la función
son (2, 3), (8, 9) y (10, 11).
d) La temperatura máxima fue de 40 °C, y la alcanzó el día 8.o
.
e) La temperatura mínima fue de 36 °C. La alcanzó el undécimo día y la mantuvo hasta el final.
f) Tomó la pastilla los días 6.o
, 7.o
, 8.o
, 9.o
, 10.o
y 11.o
.
EJEMPLO
5
5
Días
T (°C)
36
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 140
37
38
39
40
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9
• Una función tiene un máximo en un punto
si a la izquierda de ese punto la función
es creciente, y a la derecha, la función es
decreciente.
• Una función tiene un mínimo en un punto
si a la izquierda de ese punto la función
es decreciente, y a la derecha, la función es
creciente.
En la siguiente tabla aparecen las temperaturas medias registradas durante
un año en una localidad.
a) Dibuja una gráfica a partir de la tabla.
b) La función representada, ¿es continua?
c) Di cuáles son los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
d) ¿Tiene algún máximo o mínimo?
3
Dada la función y = x2
− 1, construye su tabla de valores, represéntala y estudia
si es continua o discontinua, su crecimiento y decrecimiento, y si tiene máximos
y mínimos.
2
XX
Y Y
a a
f (a)
f (a)
Máximo
Mínimo
Creciente
Creciente
Decreciente
Decreciente
MES
T (°C)
Ene. Feb. Mar. Abr. May. Jun. Jul. Ago. Sep. Oct. Nov. Dic.
4 9 11 16 15 22 26 25 22 14 11 7
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9
Los puntos en los que la función y = f(x) corta a los ejes se calculan de esta manera.
• Puntos de corte con el eje Y: haciendo x = 0 se obtiene f(0). Los puntos de corte son del tipo P(0, f(0)).
• Puntos de corte con el eje X: haciendo f(x) = 0 se obtiene el valor o los valores correspondientes
de x. Los puntos de corte son del tipo Q(x, 0).
Dadas las siguientes funciones, resuelve.
1.º Construye su tabla de valores y dibuja la función.
2.º Determina su dominio y su recorrido.
3.º Di cuáles son sus intervalos de crecimiento o decrecimiento, y si tienen algún máximo o mínimo.
4.º Halla los puntos de corte con los ejes, si los hubiera.
a) f(x) = 2x − 1 c) f(x) = x2
− 4x + 4
b) f(x) = x3
− x2
− x + 1 d) f(x) =
− +x 6
3
1
OBJETIVO 5
PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES
La función f(x) = x2
− 4 tiene estos puntos de corte.
• Con el eje Y, si x = 0 → y = 0 − 4 = −4.
Tiene un único punto de corte con el eje Y: P(0, −4).
• Con el eje X, si y = 0 → x2
− 4 = 0 → x2
= 4 → x = ±2.
Tiene dos puntos de corte con el eje X: Q(2, 0) y Q'(−2, 0).
EJEMPLO
5
5
X
Y
Q
1
1Q'
P
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9
Representa la función.
5 si x <−4
− x − 3 si −4 ≤x <0
f(x) = x − 3 si 0 ≤x ≤2
− x + si 2 ≤x <4
−5 si 4 ≤x
3
2
1
2
2
5
1
2
1
OBJETIVO 6
CONOCER LAS FUNCIONES DEFINIDAS POR TROZOS DE RECTA
x + 3 si x < −1
Consideramos la función definida por: f(x) = 1 si −1 ≤ x ≤ 1
si 1 < x
Esta función tiene tres trozos rectos que determinan el dominio formado por los números reales.
Para cada intervalo construimos su tabla de valores y dibujamos su gráfica.
Señalamos con un punto (•) para indicar que el punto está incluido en dicho trozo de recta.
La función f(x) es discontinua en x = −1 y en x = 1, es creciente en el primer trozo y decreciente
en el tercero.
− +
x
2
11
2
EJEMPLO
5
5
X
1
1 1
1
1
1
1
1
Y
5
5
X
Y
5
5
X
Y
5
5
X
Y
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
x
f(x)
−4 −3 −2
−1 0 1
x
f(x)
−1 0 1
1 1 1
x
f(x)
2 3 4
9/2 4 7/2
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9
Representa las siguientes funciones.
x − 2 si x ≤ 0
a) f(x) = 3 si 0 < x ≤ 2
si x > 2
x + 1 si x ≤ −2
b) f(x) = 0 si 2 < x ≤ 0
x − 7 si x > 0
si x ≤ 3
c) f(x) = 7x si 3 < x ≤ 5
7x − 2 si x > 5
1
4
1x −
x + 1
3
2
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
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9 funciones

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