Funciones
- 1. 1. Coordenadas en el plano Este plano es el de una ciudad. Observa: – La catedral está en el punto (1, 3). – El ayuntamiento en el punto (4, 1). – El jardín botánico en el punto (7, 2). Para situar un punto en el plano se necesitan Eje de ordenadas dos rectas perpendiculares que se llaman ejes de coordenadas. El punto de corte de los ejes se llama origen. Cualquier punto tiene dos coordenadas. se mide sobre el eje • La primera horizontal o de abscisas; se llama O • abscisa del punto. sobre el eje La segunda se mide vertical o de ordenadas; se llama Origen Eje de abscisas ordenada del punto.
- 2. 2. Los ejes de coordenadas: cuadrantes (I) Tomamos una cuadrícula y trazamos los ejes de coordenadas. Se tendrá: Eje de ordenadas I cuadrante II cuadrante Eje de abscisas O Origen III cuadrante IV cuadrante
- 3. 2. Los ejes de coordenadas: cuadrantes (II) Los ejes de coordenadas dividen el plano en cuatro cuadrantes. Y • Los puntos del primer cuadrante tienen abscisa y ordenada positivas. Segundo Primer • Los del segundo cuadrante cuadrante cuadrante tienen abscisa negativa y (– , +) (+, +) ordenada positiva. • Los del tercer cuadrante O X tienen abscisa y ordenada negativas. • Los del cuarto cuadrante Tercer Cuarto tienen abscisa positiva y cuadrante cuadrante ordenada negativa. (– , – ) (+, – )
- 4. 2. Los ejes de coordenadas: cuadrantes (III) Cada punto del plano se designa por un par ordenado de números que se llaman coordenadas del punto. El primer número se llama abscisa; el segundo, ordenada. Así: A (4, 1); B (-2, 1); C (0, 5); C(0, 5) D (-3, -4); E (5, -5) Las abscisas positivas están B(-2, 1) A(4, 1) a la derecha del origen. Las negativas, a la O izquierda. Las ordenadas positivas E(5, -5) están D(-3, -4) por encima del origen. Las negativas, por debajo.
- 5. 3. Relaciones dadas por tablas (I) Una función puede darse mediante una tabla. Ejemplo: en la tabla siguiente se da la medida de un feto (en cm) dependiendo del tiempo de gestación (en meses). A cada mes de gestación le corresponde una longitud determinada. (2, 4) significa que cuando el feto tiene 2 meses, mide 4 cm. (6, 29) indica que a los 6 meses el feto mide 29 cm. La longitud del feto está en función de su tiempo de gestación.
- 6. 3. Relaciones dadas por tablas (II) El nivel de agua que se alcanza en un recipiente depende del tiempo que el grifo esté goteando. Esta dependencia o relación se expresa en la siguiente tabla: A la variable tiempo se le llama variable independiente, y a la variable nivel de agua, variable dependiente. La dependencia entre dos variables puede expresarse mediante una tabla.
- 7. 4. Relaciones dadas por gráficas (I) En una etapa de la vuelta ciclista, a cada distancia del punto de salida le corresponde una determinada altitud. Esta dependencia o relación se expresa por la siguiente gráfica: Cuando llevan 100 km recorridos es cuando están a mayor altitud. A la variable kilómetros recorridos se le llama variable independiente, y a la variable altura en metros, variable dependiente. La dependencia entre dos variables puede expresarse mediante una gráfica.
- 8. 4. Relaciones dadas por gráficas (II) Una función puede darse mediante una gráfica. Ejemplo: En la gráfica siguiente se da el consumo de gasolina de un coche según la velocidad a la que circula. Si el coche va a 130 km/h, consume, aproximadamente, 8 litros cada 100 km El consumo mínimo se consigue a 60 km/h: punto (60, 4) El consumo de gasolina depende (o está en función) de la velocidad del coche.
- 9. 5. Relaciones dadas por fórmulas Si conoces el lado de un cuadrado puedes hallar su área. Lado l cm 3 cm 1 cm 2 cm 9 cm 2 l 2 cm2 4 cm2 1 cm2 S=l2 Área A cada valor del lado le corresponde un área. El área es función del lado: S = l 2 A la variable lado l se le llama variable independiente, y a la variable área, variable dependiente.
- 10. 6. Idea de función (I) Consideremos otra relación dada por una y = 2x +1 fórmula: x vale -2, y = 2·(-2) +1 = -3. Par (-2, -3) Si Si x vale -1, y = 2·(-1) +1 = -1. Par (-1, Las relaciones -1) de Si x vale 2, y = 2·2 +1 = 5. Par (2, este tipo se 5) llaman Observa que a cada número x le funciones. corresponde un único número y. En una función, El número y depende del valor dado a x. la O también: y está en función de x. corresponden A x se le llama variable independiente. cia entre las En este caso puede tomar cualquier valor variables A y se le llama variable dependiente. Toma valores que dependen de la x: y = debe ser única 2x +1
- 11. 7. Representación gráfica de funciones (I) Ejemplo: La fórmula que expresa el área de un cuadrado en función de su lado es S = l 2 Para representarla gráficamente: Primero: formamos la tabla de valores Segundo: representamos los pares asociados, uniendo los puntos. (4, 16) (3, 9) (2, 4)
- 12. 7. Representación gráfica de funciones (II) El precio del revelado de un carrete de 36 fotos es de Ejemplo: 1,50 euros y por cada foto cobran 0,35 euros. Representa la gráfica de esta función. Primero: formamos la tabla de Segundo: representamos los valores pares asociados. Variable dependiente (En este caso no tiene sentido unir los puntos: no se revelan fracciones de fotos.) Variable independiente
- 13. 7. Representación gráfica de funciones (III) La planta de Macinto ha ido creciendo con el tiempo según se indica en la tabla: Para representarla gráficamente: representamos los pares de valores sobre unos ejes de coordenadas y obtenemos distintos puntos de la gráfica. (6, 26) (2, 11) Uniendo los puntos se obtiene la gráfica de la función.
- 14. 7. Representación gráfica de funciones (IV) Consideremos la función f que asigna a cada número entero el doble más 1. decir, f(x) = 2x + 1. Es Para representarla gráficamente: 1. Formamos la tabla de 2. Representamos los pares de valores. valores sobre unos ejes de coordenadas (2, 5) O En este caso no se pueden unir los puntos ya que la función está definida únicamente para los (–3, –5) números enteros.
- 15. 8. Función lineal o de proporcionalidad directa (I) Ejemplo: Si el precio de un kilo de naranjas es de 1,2 euros: forma una tabla que relacione (b) representa la gráfica de la (a) peso con precio. función asociada. Multiplicando por 1,2 el Trazando los pares (1, 1,2), número de kilos, se tiene: (2, 2,4), … (7, 8,4), se tiene: La fórmula de esta función es: y = 1,2x Las funciones cuyas gráficas son rectas que pasan por el origen se llaman funciones lineales o de proporcionalidad directa
- 16. 8. Función lineal o de proporcionalidad directa (II) Vamos a representar gráficamente otras funciones lineales. Representa las siguientes funciones: a) y = x; b) y = –5x; c) y = 2x ; d) y = –x y=–x y = 5x xy xy 4 –4 1 5 –3 3 –1 –5 y = 0,2x y = 2x xy xy 0 0 1 2 5 1 2 4
- 17. 8. Función lineal o de proporcionalidad directa (III) Al comprar en el supermercado un trozo de queso nos hemos fijado en la etiqueta del paquete que reproducimos: Peso en kg Precio por kg en € Total en € 0,820 5,12 4,20 Las magnitudes precio y peso son directamente proporcionales. 7 Si x es el peso en kg, e y el 6 precio, la expresión que da el Euros 5 precio en euros es y = 5,12x. 4 y = 5,12x Calculamos valores, representamos y unimos forma los 3 Las funciones se la puntos.mx se llaman funciones 2 y= lineales. 1 Son rectas que pasan por el 1,5 0,5 1 origen. Peso (kg) · m es la pendiente o inclinación de la recta.
- 18. 9. Funciones afines (I). Representa las siguientes funciones: a) y = x +1 ; b) y = x – 3; c) y = 2x +3; d) y = 2x – 4 y=x+1 y=x–3 xy xy 0 1 0 –3 3 4 4 1 y = 2x + 3 y = 2x – 4 xy xy 0 3 0 –4 –3 –3 3 2
- 19. 12. Resolución de problemas (I) Problema: Un caracol se desliza por el borde de una piscina a razón de 5 cm por minuto. (a) Encuentra la ecuación asociada a las magnitudes espacio recorrido y tiempo. (b) representa esta función. (c) ¿cuánto tiempo tardará en recorrer 23 cm? 1º. Hacemos la tabla Tiempo (min): 1 2 3 4 5 6 … Espacio (cm): 5 10 15 20 25 30 … 2º. Observamos que las 1 5 1 por 5 magnitudes 2 10 2 por 5 son directamente proporcionales: x 5x x por 5 y = 5x es una 3º. La fórmula de esta función es: y = función de 5x proporcionalidad directa.
- 20. 12. Resolución de problemas (II) Problema: Un caracol se desliza por el borde de una piscina a razón de 5 cm por minuto. (a) Encuentra la ecuación asociada a las magnitudes espacio recorrido y tiempo. (b) representa esta función. (c) ¿cuánto tiempo tardará en recorrer 23 cm? Ya hemos visto que la función asociada es y = 23 5x 4ª Representamos los puntos: (1, 5), (2, 10)... espacio Observa que las escalas de los ejes son (2, 10) distintas 5º. En recorrer 23 cm tardará 23 : 5 = 4,6 (1, 5) min tiempo Si y = 23, entonces 23 = 5x, luego x = 23 : 4,6 5