Funciones

CONTENIDOS DEL TEMA

1. Coordenadas en el plano
2. Ejes de coordenadas. Cuadrantes
3. Relación dada por tablas
4. Relación dada por gráficas
5. Relaciones dada por fórmulas
6. Idea de función
7. Representación gráfica de funciones
8. La función lineal o de proporcionalidad directa
9. Funciones afines
10. Funciones cuadráticas
11. Funciones de proporcionalidad inversa
12. Resolución de problemas

1. Coordenadas en el plano

Este plano es el de una ciudad.
Observa:
– La catedral está en el punto (1, 3).
– El ayuntamiento en el punto (4, 1).
– El jardín botánico en el punto (7, 2).

Para situar un punto en el plano se necesitan dos Eje de ordenadas
rectas perpendiculares que se llaman ejes de
coordenadas.
El punto de corte de los ejes se llama origen.
Cualquier punto tiene dos coordenadas.
• La primera se mide sobre el eje horizontal o
de abscisas; se llama abscisa del punto.
O
• La segunda se mide sobre el eje vertical o
de ordenadas; se llama ordenada del punto. Origen Eje de abscisas

2. Los ejes de coordenadas: cuadrantes (I)

Tomamos una cuadrícula y trazamos los ejes de coordenadas. Se tendrá:
Eje de ordenadas

I cuadrante
II cuadrante

Eje de abscisas
O
Origen

III cuadrante
IV cuadrante

2. Los ejes de coordenadas: cuadrantes (II)

Los ejes de coordenadas dividen el plano en cuatro cuadrantes.
Y
• Los puntos del primer cuadrante
tienen abscisa y ordenada positivas.
Segundo Primer
• Los del segundo cuadrante tienen cuadrante cuadrante
abscisa negativa y ordenada positiva. (– , +) (+, +)

• Los del tercer cuadrante tienen O X
abscisa y ordenada negativas.

• Los del cuarto cuadrante tienen Tercer Cuarto
abscisa positiva y ordenada negativa. cuadrante cuadrante
(– , – ) (+, – )

2. Los ejes de coordenadas: cuadrantes (III)

Cada punto del plano se designa por un par ordenado de números que
se llaman coordenadas del punto.
El primer número se llama abscisa; el segundo, ordenada.

Así: A (4, 1); B (-2, 1); C (0, C(0, 5)
5);
D (-3, -4); E (5, -5)
B(-2, 1) A(4, 1)
Las abscisas positivas están
a la derecha del origen.
Las negativas, a la izquierda. O

Las ordenadas positivas están E(5, -5)
por encima del origen. D(-3, -4)
Las negativas, por debajo.

3. Relaciones dadas por tablas (I)

Una función puede darse mediante una tabla.
Ejemplo: en la tabla siguiente se da la
medida de un feto (en cm) dependiendo del
tiempo de gestación (en meses).
Edad Longitud
(meses) (cm)
2 4
3 8
A cada mes de gestación le corresponde una
4 15
longitud determinada.
6 29
(2, 4) significa que cuando el feto tiene 2 meses,
7 34
mide 4 cm.
8 38
9 42 (6, 29) indica que a los 6 meses el feto mide 29 cm.

La longitud del feto está en función de su tiempo de gestación.

3. Relaciones dadas por tablas (II)

El nivel de agua que se alcanza en un recipiente depende del tiempo que el
grifo esté goteando.
Esta dependencia o relación se expresa en la siguiente tabla:

Tiempo Nivel de
(minutos) agua (cm)
0 0
15 10
30 14
45 17
60 19

A la variable tiempo se le llama variable independiente, y a la variable
nivel de agua, variable dependiente.

La dependencia entre dos variables puede expresarse mediante una tabla.

4. Relaciones dadas por gráficas (I)

En una etapa de la vuelta ciclista, a cada distancia del punto de salida le
corresponde una determinada altitud.
Esta dependencia o relación se expresa por la siguiente gráfica:

Cuando llevan 100 km
recorridos es cuando están
a mayor altitud.

A la variable kilómetros recorridos se le llama variable independiente,
y a la variable altura en metros, variable dependiente.

La dependencia entre dos variables puede expresarse mediante una gráfica.

4. Relaciones dadas por gráficas (II)

Una función puede darse mediante una gráfica.

Ejemplo: En la gráfica siguiente se da el consumo de gasolina de un
coche según la velocidad a la que circula.

Si el coche va a 130 km/h,
consume, aproximadamente,
8 litros cada 100 km

El consumo mínimo se
consigue a 60 km/h:
punto (60, 4)

El consumo de gasolina depende (o está en función)
de la velocidad del coche.

5. Relaciones dadas por fórmulas

Si conoces el lado de un cuadrado puedes hallar su área.

Lado l cm
3 cm
1 cm 2 cm

9 cm 2 l 2 cm2
4 cm2
1 cm2 S=l2

Área
A cada valor del lado le corresponde un área.
El área es función del lado: S = l 2

A la variable lado l se le llama variable independiente,
y a la variable área, variable dependiente.

6. Idea de función (I)

Consideremos otra relación dada por una fórmula: y = 2x +1
Si x vale -2, y = 2·(-2) +1 = -3. Par (-2, -3)
Si x vale -1, y = 2·(-1) +1 = -1. Par (-1, -1)
Las relaciones de
Si x vale 2, y = 2·2 +1 = 5. Par (2, 5) este tipo se llaman
funciones.
Observa que a cada número x le corresponde
un único número y.
El número y depende del valor dado a x.
O también: y está en función de x. En una función,
la correspondencia
A x se le llama variable independiente. entre las variables
En este caso puede tomar cualquier valor debe ser única
A y se le llama variable dependiente.
Toma valores que dependen de la x: y = 2x +1

6. Idea de función (II)

• Función: es una relación o correspondencia entre dos magnitudes, de
manera que a cada valor de la primera le corresponde un único valor de la
segunda, que llamamos imagen o transformado.
• Variable independiente: la que se fija previamente.
• Variable dependiente: la que se deduce de la variable independiente.
La fórmula f(x) = 3x2 + 1 define una función.

f(x) = 3x2 + 1
x es la variable independiente
f(x) es la variable dependiente

Fijada la variable independiente, por ejemplo x
= 5, el valor que toma la
variable dependiente es f(5) = 3 · 52 + 1 = 76.
(La imagen de 5 es 76; y es única, pues la operación 3 · 52 + 1 es única.)
Si x = 0, f(0) = 1. Si x = 1, f(1) = 4. Si x = –2, f(–2) = 13.
En toda función a cada valor de la variable independiente le corresponde
un solo valor de la variable dependiente.

7. Representación gráfica de funciones (I)

Ejemplo: La fórmula que expresa el área de un cuadrado
en función de su lado es S = l 2

Para representarla gráficamente:
Primero: formamos la tabla de valores Segundo: representamos los pares
asociados, uniendo los puntos.
Lado: l Área: l 2
18
0 0
16
1 1 (4, 16)
14
1,5 2,25 12
2 4 10 (3, 9)
2,5 6,25 8
3 9 6 (2, 4)
4 16 4
2
0
0 1 2 3 4

7. Representación gráfica de funciones (II)

El precio del revelado de un carrete de 36 fotos es de 1,50
o:
pl
euros y por cada foto cobran 0,35 euros. Representa la
me
Ej

gráfica de esta función.

Primero: formamos la tabla de valores Segundo: representamos los
pares asociados.
Número Importe
de fotos l en euros
0 1,50 Variable 4
1 1,85 dependiente 3

euros
2 2,20
2
3 2,55
4 2,90 (En este caso no 1
5 3,25 tiene sentido 0
6 3,60 unir los puntos: 0 1 2 3 4 5 6
no se revelan
fotos
fracciones de
fotos.) Variable independiente

7. Representación gráfica de funciones (III)

La planta de Macinto ha ido creciendo con el tiempo según se indica en la tabla:
representamos los pares de valores sobre
Tiempo Longitud unos ejes de coordenadas y obtenemos
(meses) (cm) distintos puntos de la gráfica.
0 2
1 6
2 11 30
25

Longitud (cm)
3 17 (6, 26)
4 21 20
5 24 15
6 26 10 (2, 11)
7 27 5
8 28 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Tiempo (meses)

Uniendo los puntos se obtiene la gráfica de la función.

7. Representación gráfica de funciones (IV)

Consideremos la función f que asigna a cada número entero el doble más 1.
Es decir, f(x) = 2x + 1.
1. Formamos la tabla de valores. 2. Representamos los pares de valores
sobre unos ejes de coordenadas
x y = f(x)
–3 –5 (2, 5)
–2 –3
–1 –1
0 1
1 3
O
2 5

En este caso no se pueden unir los
puntos ya que la función está definida
(–3, –5)
únicamente para los números enteros.

8. Función lineal o de proporcionalidad directa (I)

Ejemplo: Si el precio de un kilo de naranjas es de 1,2 euros:
(a) forma una tabla que relacione (b) representa la gráfica de la
peso con precio. función asociada.

Multiplicando por 1,2 el número Trazando los pares (1, 1,2),
de kilos, se tiene: (2, 2,4), … (7, 8,4), se tiene:
Peso Coste La fórmula de 9,6
(kilos) (euros)
1 1,2 esta función es: 8,4
7,2
2 2,4 y = 1,2x 6

euros
4,8
3 3,6 3,6
4 4,8 2,4
Las funciones cuyas
8 9,6 gráficas son rectas que pasan
1,2
0
10 12 por el origen se llaman
35 42 0 1 2 3 4 5 6 7
funciones lineales o de
proporcionalidad Peso en kilos
directa

8. Función lineal o de proporcionalidad directa (II)

Vamos a representar gráficamente otras funciones lineales.
Representa las siguientes funciones: a) y = x; b) y = –5x; c) y = 2x ; d) y = –x

y=–x y = 5x
x y x y
4 –4 1 5
–3 3 –1 –5

y = 0,2x y = 2x
x y x y
0 0 1 2
5 1 2 4

8. Función lineal o de proporcionalidad directa (III)

Al comprar en el supermercado un trozo de queso nos hemos fijado en la
etiqueta del paquete que reproducimos:

Peso en kg Precio por kg en € Total en €
0,820 5,12 4,20

Las magnitudes precio y peso son
directamente proporcionales. 7
Si x es el peso en kg, e y el 6
precio, la expresión que da el
5

Euros
precio en euros es y = 5,12x.
4 y = 5,12x
Calculamos valores, representamos
3
y unimos los puntos.
2
Las funciones se la forma 1
y = mx se llaman funciones lineales.
Son rectas que pasan por el origen. 0,5 1 1,5
Peso (kg)
· m es la pendiente o inclinación de la recta.

9. Funciones afines (I).

Representa las siguientes funciones:
a) y = x +1 ; b) y = x – 3; c) y = 2x +3; d) y = 2x – 4

y= x+1 y=x–3
x y x y
0 1 0 –3
3 4 4 1

y = 2x + 3 y = 2x – 4
x y x y
0 3 0 –4
–3 –3 3 2

9. Funciones afines (II)

Cuando un espeleólogo se adentra hacia el interior de la tierra, la temperatura
aumenta con arreglo a la siguiente fórmula:
t = 0,01 d + 15, (t es la temperatura en ºC; d, la profundidad en m)
Formamos la tabla de valores: Representamos gráficamente
la función:
d t
0 15
150 16,5 24

Temperatura (ºC)
600 21 t = 0,01d + 15
1050 25,5 18
… …
12

Las funciones de la forma y = mx + n (n ≠ 0) 6
se llaman funciones afines.
Son rectas que no pasan por el origen. O 400 800 1200
· m es la pendiente o inclinación de la recta. Profundidad (m)
· n es la ordenada para x = 0, y se llama ordenada en el origen.

10. Funciones cuadráticas (I)

Con una cuerda de 40 cm se pueden formar distintos rectángulos. ¿Cuánto
valdrá su área?

Perímetro: 2x + 2h = 40 x + h = 20 h = 20 – x
h
Área: A = xh = x(20 – A = 20x – x2
x x)
Formamos la tabla de valores: Representamos los pares obtenidos:
(al área le llamamos y)
x y 100
1 19 80
3 51 60
8 96
40
10 100
12 96 20
14 84 0
17 51 0
0 5
5 10
10 15
15 20
19
20
19 19 Unimos los puntos y se obtiene la gráfica.

10. Funciones cuadráticas (II)

Las funciones y = 20x – x2, vista anteriormente, se llama función cuadrática.

Las funciones cuadráticas son de la forma y = ax2 + bx + c con a ≠ 0.
La gráfica de las funciones cuadráticas se llama parábola.
Si a > 0 la parábola está abierta hacia arriba.
Si a < 0 la parábola está abierta hacia abajo.

a>0 a<0
y = –x + 2
2

y = x2

y = –x2
y = x2 – 4x
y = –x2 – 3

11. Función de proporcionalidad inversa (I)

Si el producto de dos números es 24, ¿qué valores pueden tomar esos números?
24
x · y = 24 y= Representamos los pares obtenidos
x y unimos los puntos:
Formamos la tabla de valores:

24
x y=
x
2 12
4 6
6 4
12 2
–12 –2
–6 4
–4 –6
–2 –12

11. Función de proporcionalidad inversa (II)

Si el producto de los valores correspondientes de dos magnitudes x e y es
constante, se dice que las magnitudes son inversamente proporcionales.

k
x·y=k o bien y=
x

k 2
Las funciones de la forma y = se llaman y=
x
x
funciones de proporcionalidad inversa.
La gráfica de las funciones de
proporcionalidad inversa se llama hipérbola. 10 − 12
y= y=
x x

12. Resolución de problemas (I)

Problema: Un caracol se desliza por el borde de una piscina a razón de
5 cm por minuto.
(a) Encuentra la ecuación asociada a las magnitudes espacio recorrido y tiempo.
(b) representa esta función. (c) ¿cuánto tiempo tardará en recorrer 23 cm?

1º. Hacemos la tabla Tiempo (min): 1 2 3 4 5 6 …
Espacio (cm): 5 10 15 20 25 30 …

1 5 1 por 5
2º. Observamos que las magnitudes 2 por 5
2 10
son directamente proporcionales:
x 5x x por 5

y = 5x es una función de
3º. La fórmula de esta función es: y = 5x
proporcionalidad directa.

12. Resolución de problemas (II)

Problema: Un caracol se desliza por el borde de una piscina a razón de
5 cm por minuto.
(a) Encuentra la ecuación asociada a las magnitudes espacio recorrido y tiempo.
(b) representa esta función. (c) ¿cuánto tiempo tardará en recorrer 23 cm?

Ya hemos visto que la función asociada es y = 5x
25
23
20 4ª Representamos los puntos: (1, 5), (2, 10)...
espacio

15
Observa que las escalas de los ejes son
10 (2, 10) distintas
5 (1, 5) 5º. En recorrer 23 cm tardará 23 : 5 = 4,6 min
0
0 1 2 3 4 5
tiempo Si y = 23, entonces 23 = 5x, luego x = 23 : 5
4,6

CALENTAMIENTO GLOBAL
Temperatura:
indicador alarmante

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