Rectas Matemáticas

MATEMATICAS III
RECTAS
Ingrid Denise camarillo zavala
Fernanda del rosario cadena de la cruz
Karla patricia Mendoza Núñez

La ecuación de la recta como modelo matemático
La ecuación de la recta es un modelo
matemático utilizado para
representar una línea recta en un
plano cartesiano. Esta ecuación se
expresa de la forma y = mx + b,
donde m representa la pendiente de
la recta y b representa el punto de
corte con el eje y (ordenada al
origen). La pendiente m indica la
inclinación de la recta, mientras que
el término b determina su posición
vertical. Al manipular esta ecuación,
es posible determinar diversas
propiedades de la recta, como su
intersección con otros objetos

El modelo matemático de la recta: su ecuación o función
La modelación matemática de la recta se utiliza en diversas
situaciones, como:
1. Predicción de crecimiento: Se puede usar para predecir
el crecimiento de una población o el aumento de ventas a
lo largo del tiempo.
2. Trayectoria de un objeto: Permite modelar la trayectoria
de un objeto en movimiento, como un proyectil o un
vehículo.
3. Análisis económico: Ayuda a entender las relaciones
entre variables económicas, como la oferta y la demanda,
o los costos y los ingresos.
4. Estimación de datos: Sirve para ajustar una línea recta a
un conjunto de datos y realizar estimaciones o
extrapolaciones.
5. Planeación urbana: Ayuda a diseñar y planificar el
desarrollo urbano al modelar la ubicación de calles,
edificios u otras infraestructuras.
6. Análisis financiero: Permite analizar tendencias
financieras, como el crecimiento de inversiones o el

Solución de situaciones que impliquen la modelación matemática de la recta.
Una llave está llenando de agua un
bote de plástico de forma cilíndrica
de un metro y diez centímetros de
alto y medio metro de diámetro.
Se midieron los niveles del agua en
determinados intervalos de tiempo
y en la siguiente tabla se muestran
los resultados obtenidos en la que
el tiempo inicial se consideró
cuando se tenían 20 centímetros
de nivel
TIEMPO [X]
(MINUTOS)
NIVEL [Y]
(CENTIMETRO
S)
0 20
2 29
4 38
6 47
8 56
SOLUCIÓN A)
•La razón de cambio constante se obtiene
de cualesquier dos renglones de datos en la
tabla, mientras se divida un cambio en el
nivel (∆𝑦) ocurrido entre el respectivo
cambio de tiempo . Esto representaría en
términos matemáticos la pendiente de la
recta que modela la situación. Así
́, si
utilizamos los renglones dos y tres
tenemos:
•𝑚 = ∆𝑦 = 38−29 = 9 = 4.5 𝑐𝑒𝑛𝑡í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠/𝑚𝑖𝑛
𝑢𝑡𝑜 ∆𝑥= 4 – 2 =
•Podemos comprobar que llegamos al
mismo valor utilizando, por ejemplo, los
renglones tres y cinco:
•𝑚 = ∆𝑦 = 56−38 = 18 = 4.5𝑐𝑒𝑛𝑡í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠/𝑚𝑖𝑛
𝑢𝑡𝑜 ∆𝑥 8−4 = 4 =
•Lo anterior nos indica que el llenado tiene
un comportamiento lineal
SOLUCIÓN B)
•Para determinar la ecuación que
permita predecir el nivel del agua
en cualquier tiempo admisible,
mientras el tanque se está llenando,
realizamos lo siguiente:
•Con el dato del renglón uno 𝑦0 =
20 tomado de la tabla y la razón de
cambio (pendiente) calculada en el
inciso anterior y, empleando la
ecuación pendiente-ordenada al
origen, tenemos que:
•𝑦=𝑚𝑥+𝑏
•𝑦=4.5𝑥+20
SOLUCIÓN C) Y D)
•En este inciso evaluamos la ecuación en el valor del
tiempo 𝑥 = 15 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠:
•𝑦 15 =4.5 15 +20=87.5𝑐𝑒𝑛𝑡í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠
•Para que el bote se llene, el nivel debe llegar a ser de
𝑦 = 110 𝑐𝑒𝑛𝑡í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠. Así
́, sustituyendo este valor en la
ecuación y despejando el tiempo 𝑥, se tiene:
•110=1.5𝑥+20
•110−20=1.5𝑥
•90 = 1.5𝑥
•𝑥=90/1.5 =60𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠

Los distintos registros de representación de la recta.
Los distintos registros de representación de la recta son diferentes
formas en las que podemos describir y representar una recta. Estos
registros nos permiten comprender y comunicar las características y
propiedades de una recta de manera más clara y precisa.
1. Representación algebraica: En este registro, utilizamos
ecuaciones o expresiones algebraicas para describir la recta. Por
ejemplo, la ecuación general de una recta es Ax + By + C = 0,
donde A, B y C son constantes. Esta ecuación nos proporciona
información sobre la pendiente y el intercepto de la recta.
2. Representación gráfica: En este registro, representamos la recta
en un sistema de coordenadas cartesianas. Utilizamos puntos en el
plano para trazar la recta y visualizar su posición y dirección. La
pendiente de la recta se puede determinar a través de la inclinación
de la línea trazada.
3. Representación verbal: En este registro, utilizamos palabras para
describir las características de la recta. Por ejemplo, podemos decir
que una recta es ascendente si su pendiente es positiva, o que es
descendente si su pendiente es negativa. También podemos
describir su posición relativa a los ejes coordenados, como si corta
al eje x o al eje y.
Estos distintos registros de representación nos brindan diferentes

Ecuación pendiente-ordenada al origen de una recta (Forma ordinaria).
La forma pendiente-ordenada al origen
es y=mx+b donde m es la pendiente y b es
la intersección con el eje y , también llamada
ordenada al origen.
La forma pendiente-ordenada al origen es
muy útil cuando quieres graficar.
Por ejemplo, imagina que nos dan la
ecuación y=2x+7y y nos piden graficarla.
Directamente de la ecuación, sabemos que la
intersección con el eje y es 7.
Y sabemos que la pendiente es 2.
Pendiente=Δy= 2 / Δx=1. =2
Así que por cada unidad que vamos a la
derecha, debemos ir dos unidades hacia

Conversión de registros: verbal, algebraico, gráfico y tabular de la recta.
•Descripción verbal: Una función puede venir definida mediante una
descripción verbal. Por ejemplo, la función que indica la relación existente
entre el peso de las manzanas y el precio que hay que pagar por ellas,
suponiendo que el kilo de manzanas cuesta 1.5 euros.
•Representación tabular: Una manera importante de representar una
función es mediante una tabla. Es lo que hacemos, normalmente, cuando
vamos a representar gráficamente una función: darle valores y formar una
tabla con ellos. La tabla puede construirse de manera horizontal o vertical.
•Expresión algebraica: En Cálculo la principal manera de representar una
función es mediante una ecuación que liga a las variables (dependiente e
independiente). Para evaluar la función se aísla la variable dependiente en la
parte izquierda de la ecuación, con objeto de obtener la relación funcional.
•Gráfica: Una manera de visualizar una función es por medio de una
gráfica. La gráfica de una función de una variable, por lo general, es una
curva en el plano. Sin embargo, no toda curva del plano es la representación

Ejemplificaremos las 3 formas de expresar una
función:
Fernando compra pan todos los días; desea saber el
importe de las piezas de pan que va a comprar
dependiendo del N.º de piezas adquiridas. Para
ello, ha recogido los datos de varios días distintos
en los que ha adquirido distinto número de piezas
de pan y ha formado una tabla de valores
Por último, se da cuenta de que para calcular el
precio del pan debe multiplicar 1.20 $ (precio de una
barra) por el número de barras que compre,
obteniendo así una fórmula que relaciona el N.º de
barras con el precio:
Con esta fórmula puede calcular cuánto le va a
costar el pan de cualquier día sin más que saber el
N.º de barras de pan que va a comprar. No sólo eso,
puede completar la tabla de valores e incluso dibujar
la gráfica.
Tabla de valores:
Una tabla de valores es una tabla donde aparecen
los valores de la variable independiente x y sus
correspondientes valores de la variable dependiente
y.
Para que pueda ser manejable y útil, deben aparecer
pocos valores de ambas variables. Y tomar la
siguiente forma:

Ecuación punto-pendiente de una recta.
La forma punto-pendiente de
una ecuación de la línea recta se
escribe como y-y1=m(x-x1).
En ésta ecuación, m es la
pendiente y (x1, y1) son las
coordenadas del punto.
Veamos como surgió esta
ecuación
Esta forma de obtener la ecuación de
una recta se suele utilizar cuando se
conocen su pendiente y las
coordenadas de uno solo de sus
puntos.
Entonces, la ecuación de la recta que
pasa por el punto P1 = (x1, y1) y
tiene la pendiente dada m, se
establece de la siguiente manera:
y – y1 = m(x – x1)

Ecuación simétrica de la recta.
Para obtener la fórmula de la recta,
veamos la siguiente gráfica. Donde
tenemos una recta "L" que intersecta a los
ejes "x" y "y" en los puntos A (a,0) y B
(0,b), respectivamente. Tal como se ilustra
en la gráfica:
Las coordenadas que tenemos, son las
siguientes:
Las coordenadas que tenemos,
son las siguientes:
X1= a
Y2= 0
X2= 0
Y2= b
Si deseamos encontrar la pendiente de la recta,
tenemos que utilizar la fórmula de la pendiente.
m= y1 - y2/ x1- x2
Al sustituir en nuestros datos en la fórmula:
m= y1-y2 = 0- b / x1-x2 = a-0 = - b/a
Es decir m=-b/a
Ahora procedemos a utilizar la fórmula de la
ecuación punto - pendiente:
Sustituimos nuestros datos en dicha fórmula:
Simplificando . . .
Multiplicando toda la ecuación por "a",
obtenemos:
Vamos a dividir la ecuación por "ab":
Obtenemos:
Ordenando,
finalmente tenemos:

Ecuación general de la recta
Es necesario recurrir a una ecuación que permita abarcar
de forma general, todas las rectas en el plano
cartesiano. esto lo haremos definiendo la recta no como
una ecuación explícita, sino como una ecuación
implícita. Es decir, no como una variable (y) que
depende explícitamente de otra variable (x), sino como
una relación entre ambas variables.
Entonces, si a, b y c son números reales tal que a y b no
son iguales a cero al mismo tiempo, definimos La
Ecuación General La Recta como una relación entre dos
variables x y y a través de una igualdad de la siguiente
forma:
De esta forma, podemos cubrir lo dos casos que hemos
expuestos ya que,
Si a = 0, entonces la ecuación general de la recta será de la
forma y=r para algún número real r, es decir, todos los
puntos de esta recta tendrán la misma coordenada en el Eje
Y y su gráfica será una recta totalmente horizontal.
Si b = 0 , entonces la ecuación general de la recta será de la
forma x=r para algún número real r, es decir, todos los
puntos de esta recta tendrán la misma coordenada en el Eje
X y su gráfica será una recta totalmente vertical.
Calcule la ecuación general de la recta que pasa por
los puntos P1 = (1,2) y P_2 = (-3,2).
Podemos abordar este caso notando
inmediatamente que la coordenada en el Eje Y es la
misma para ambos puntos, que es 2. Sin embargo,
veamos qué ocurre si calculamos la pendiente de la
recta que pasa por estos dos puntos.
Posteriormente aplicamos la ecuación punto-
pendiente, escogiendo el punto de nuestra
preferencia. Usemos el punto P1
Concluimos entonces que la ecuación de la
recta que estamos buscando es y = 2 y para
determinar su gráfica, simplemente trazamos
una recta por todos los puntos de la forma

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