Todo sobre las funciones

República Bolivariana de Venezuela
I.U. Politécnico Santiago Mariño
Barcelona 22/05/2015
Definición, propiedades, ejemplos,
procesos y gráficas de funciones
Profesor: Alumno:
Pedro Beltrán Richard Ivimas C.I. 26.146.424

Función Racional:
En matemáticas, una función racional de una variable es una función que puede ser
expresada de la forma:
Donde P y Q son polinomios y x una variable,
siendo Q distinto del polinomio nulo. Las funciones
racionales están definidas o tienen su dominio de
definición en todos los valores de x que no anulen el
denominador. Obviamente esta definición puede
extenderse a un número finito pero arbitrario de
variables, usando polinomios de varias variables.
La palabra "racional" hace referencia a que la función
racional es una razón o cociente (de dos polinomios);
los coeficientes de los polinomios pueden
ser números racionales o no.
Las funciones racionales tienen diversas aplicaciones
en el campo del análisis numérico para interpolar o
aproximar los resultados de otras funciones más
complejas, ya que son computacionalmente simples
de calcular como los polinomios, pero permiten
expresar una mayor variedad de comportamientos.
Ejemplos:
Función homográfica:
Si el denominador es distinto de cero, y si ad ≠ bc, la
curva correspondiente es una hipérbola equilátera.
Propiedades:
 Toda función racional es de clase en un
dominio que no incluya las raíces del
polinomio Q(x).
Función racional de grado 2:
Función racional de grado 3:

 Todas las funciones racionales en las que el grado de Q sea mayor o igual que el
grado de P tienen asíntotas (verticales, horizontales u oblicuas).
 Todas las funciones racionales cuyos coeficientes pertenecen a un cuerpo forman
un cuerpo que incluye al cuerpo base como subcuerpo. El cuerpo de funciones
racionales forma un subcuerpo del cuerpo de series de potencias formales.
Integración de funciones racionales:
Dada una función racional:
Si el denominador es un polinómico mónico con k raíces diferentes, entonces
admitirá la siguiente factorización en términos de polinomio irreducibles:
Si entonces la función racional puede escribirse como combinación lineal de
fracciones racionales de las formas:
Por lo que la integral de la función es una combinación lineal de funciones de la
forma :

Obsérvese que lo anterior implica que las funciones racionales constituyen un cuerpo
algebraico que es cerrado bajo la derivación, pero no bajo la integración.
Función exponencial
Se llama así a la función y= f(x) = ax, cuando a>0, es decir una potencia donde la variable
independiente es el exponente, siendo la base una constante positiva.
Tendremos, por ejemplo, f(3/2)= a3/2. Tomando la raíz aritmética, la función queda
unívocamente definida para todo x racional, y su variación en este campo resulta de lo
siguiente:
Las potencias de exponente racional de los números positivos mayores(menores) que uno,
son mayores(menores) que uno si el exponente es positivo, y son menores(mayores) que
uno si es negativo. En ambos casos crecen(decrecen) al crecer el exponente.
Si a=1, se reduce a la función constante f(x) =1 y no la consideramos como función
exponencial.
Con lo establecido anteriormente, podemos enunciar las siguientes propiedades de la
función exponencial:
la función exponencial no se anula nunca.
es monótona decreciente desde ð hasta 0, tanto más rápidamente cuanto mayor sea ð bð
.
lim ax = + ð (a>1) lim ax = 0 (0<a<1)
x →ð ð x →ð ð
derecha), tanto más rápidamente cuanto mayor sea ð bð .
lim ax = 0 (a>1) lim ax = +ð (0<a<1)
Representación gráfica de la función exponencial

Ejemplos de funciones exponenciales:
1. La función y = 2x es una función exponencial de base 2. Algunos de los valores que toma
esta función, f: R R, son:
2. La función y= 1/2x es una función exponencial de base 1/2. Algunos de los valores que
toma esta función son:
Exponenciales expresadas como potencias de e
La ecuación funcional E(a +b) = E(a)E(b) tiene muchas consecuencias interesantes. Por
ejemplo podemos utilizarla para demostrar que
(1) E(r) = er
Para todo número racional r.
Tomamos primero b= -a en la ecuación funcional obteniendo
(2) E(a)E(-a)=E(0)=1,
y por lo tanto E(-a)=1/E(a) para todo a real. Tomando b= a, b= 2ª, . . ., b= na en la ecuación
funcional obtenemos, sucesivamente, E(2 a)= E(a)2, E(3 a)= E(a)3, y, en general,
(3) E(na)= E(a)n
para todo n entero positivo. En particular, cuando a=1, obtenemos
(4) E(n)= en

Mientras que para a= 1/n, se obtiene E(1)= E(1/n)n. Puesto que E(1/n)>0, ello implica
(5) E(1/n)= e1/n.
Por consiguiente, si ponemos a= 1/m en (3) y aplicamos (5), encontramos
en/m
Para m y n enteros positivos cualesquiera. Dicho de otro modo, hemos demostrado (1)
para cada número racional positivo. Como E(-r)= 1/E(r)= e-r, también es válida para todo r
racional negativo.
Definición de ex para x real cualquiera:
En el apartado anterior se ha probado que ex = E(x) cuando x es un racional cualquiera.
Ahora se definirá ex para x irracional por
(7) ex = E(x) para cada x real.
La máxima justificación que se puede dar de esta definición es que con ella la ley de los
exponentes
eaeb= ea+b
es válida para todos los números reales a y b. Cuando se toma la definición (7), la
demostración de (8) es trivial puesto que (8) no es más que la misma afirmación de la
ecuación funcional.
Se ha definido la función exponencial de manera que las dos ecuaciones
y= ex y x= ln y signifiquen exactamente lo mismo.
La gráfica de la función exponencial y= ex la obtenemos de la del logaritmo y=L (x) por una
simetría respecto a la recta y= x.
Ecuaciones y sistemas de ecuaciones exponenciales
Las ecuaciones en las que la incógnita aparece como exponente son ecuaciones
exponenciales.

No existe fórmula general alguna que nos muestre cómo resolver todas las ecuaciones
exponenciales. Sólo a través de la práctica podremos determinar, en cada caso, qué
camino tomar.
Para resolver estas ecuaciones hay que tener presente algunos resultados y propiedades
que ya se han descrito anteriormente.
Ejercicio: resolución de ecuaciones exponenciales
1. Resolver
Resolución:
Expresando 1/8 como potencia de 2:
Basta ahora con resolver esta ecuación de segundo grado: 1 - x2 = -3 → x2 = 4 → x = ± 2
2. Resolver 4x+1 + 2x+3 = 320
Resolución:
En algunas ecuaciones es necesario hacer un cambio de variable para su resolución.
Teniendo en cuenta las propiedades de las potencias, la ecuación puede escribirse:
4 · 4x + 23·2x = 320 → 4 · 4x + 8·2x = 320
Expresando 4x como potencia de dos, 4 · 22x + 8 · 2x = 320
Se hace el cambio de variable 2x = y, (por tanto 22x = y2) y se obtiene: 4y2 + 8y = 320
Basta ahora con resolver esta ecuación: y2 + 2y - 80 = 0
Se deshace ahora el cambio y = 2x
y1 = -10 = 2x. No es posible encontrar un x que verifique esta condición (2x es siempre
positivo)
y2 = 8 = 2x → x = 3
La solución es, por tanto, x = 3

3. Resolver 5x + 5x+2 + 5x+4 = 651
Resolución: Aplicando las propiedades de las potencias, la ecuación se puede escribir
como
5x + 52 ·5x + 54 ·5x = 651
Sacando factor común 5x:
5x (1 + 52 + 54) = 651 5x·651 = 651 → 5x = 1 → x = 0
Función logarítmica:
Se llama así a la función inversa a la exponencial, que existe en base a lo demostrado
anteriormente:
x = ð (y) = loga y, definida para 0<y<+ð, si a>0 y að1.
Escribamos ahora la función de otra forma:
y = ð (x) = loga x,
Donde llamamos de nuevo x a la variable independiente e y a la función, y obtenemos de
la gráfica de la función exponencial, la gráfica de la función logarítmica por simetría de
primer y tercer cuadrantes.
Por las propiedades de los logaritmos vistas previamente enunciamos las siguientes:
 La función logax sólo está definida para x>0.
 logaa =1 y loga1=0. [Todas las gráficas pasan por el punto (1, 0)]
 Para a>1 (es decir, b>0) es monótona creciente desde -ð hasta +ð; para a<1 (es
decir, b<0) es monótona decreciente desde +ð hasta -ð, tanto más lentamente
cuanto mayor sea
ð loga xð .
lim logax = + ð (a>1) lim logax = ðð (0<a<1)
arriba), tanto más rápidamente cuanto mayor sea ð logaxð .
lim logax = ðð (a>1) lim logax = +ð (0<a<1)
x →0ð x →0+
Representación gráfica de la función logarítmica:

Función a trozos:
En matemáticas, una función definida a trozos (también denominada función por
partes, función seccionada o función definida por tramos) es una función cuya definición
(la regla que define la dependencia), llamada regla de correspondencia, cambia
dependiendo del valor de la variable independiente.
Formalmente, una función real f (definida a trozos) de una variable real x es la relación
cuya definición está dada por varios conjuntos disjuntos de su dominio (conocidos como
subdominios).
La palabra "A trozos" se usa para describir cualquier propiedad de una función definida a
trozos que se cumple para cada trozo aunque podría no cumplirse para todo el dominio de
f. Por ejemplo, una función es diferenciable a trozos si cada trozo es diferenciable a lo
largo del dominio. En Análisis Convexo, la noción de la derivada puede ser reemplazada
por la de subderivada para funciones definidas a trozos.
Definición
Si A y B son dos conjuntos cualesquiera y f una función
Definida entre ellos. Supongamos que A puede representarse como
una unión de conjuntos disjuntos Ai
y que, para cada uno de los Ai, existe una función fi
Entonces
f es una función definida a
trozos si .
En otras palabras, f es definida a trozos si su regla de asignación es diferente para al
menos dos valores de la variable independiente.

Notación e interpretación:
Gráfica de la función valor absoluto, y = |x|.
Las funciones definidas a trozos se expresan con una notación funcional común, donde el
cuerpo de la función es una lista de expresiones matemáticas asociadas a subconjuntos
del dominio.
Por ejemplo, la función valor absoluto
Puede definirse así
En este caso, el dominio fue dividido en los conjuntos
los cuales son disjuntos y cumplen
Para todos los valores de x menores que cero, la primera expresión matemática de la
definición de abs(x) debe ser utilizada. Como esta expresión es –x, el signo del valor que
asignamos a la variable independiente se invierte. De modo similar, para todos los valores
de x mayores o iguales que cero, la segunda expresión matemática (la función x) es
utilizada.
A continuación, se presenta una tabla con valores de abs(x), en algunos puntos x del
dominio.
x abs(x)
Expresión
utilizada
−3 3 −x

−0.1 0.1 −x
0 0 x
1/2 1/2 x
5 5 x
En general, para evaluar una función definida a trozos en un determinado valor del
dominio, seleccionamos la expresión matemática cuyo subdominio contiene el valor a
evaluar.
Continuidad:
Una función definida a trozos con diferentes funciones cuadráticas a cada lado de .
Una función definida a trozos es continua en un intervalo dado si está definida por el
intervalo, las expresiones matemáticas apropiadas que constituyen a la función son
continuas en ese intervalo, y no hay discontinuidad en ningún punto extremo de los
subdominios en ese intervalo.
La función que está a la derecha, por ejemplo, es una función definida a trozos continua
en todos sus subdominios, pero no es continua en todo el dominio. Dicha función tiene un
salto de discontinuidad (un agujero) en .
Función trigonométrica:
En matemáticas, las funciones trigonométricas son las funciones establecidas con el fin de
extender la definición de las razones trigonométricas a todos los números reales y
complejos.
Las funciones trigonométricas son de gran importancia
en física, astronomía, cartografía, náutica, telecomunicaciones, la representación de
fenómenos periódicos, y otras muchas aplicaciones.

Todas las funciones trigonométricas de un ángulo
θ pueden ser construidas geométricamente en
relación a una circunferencia de radio unidad de
centro O.
Conceptos básicos:
Identidades trigonométricas fundamentales.
Las funciones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados
de un triángulo rectángulo asociado a sus ángulos. Las funciones trigonométricas son
funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un
triángulo rectángulo trazado en una circunferencia unitaria (de radio unidad). Definiciones
más modernas las describen como series infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones
diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y negativos, e incluso a
números complejos.
Existen seis funciones trigonométricas básicas. Las últimas cuatro, se definen en relación
de las dos primeras funciones, aunque se pueden definir geométricamente o por medio
de sus relaciones. Algunas funciones fueron comunes antiguamente, y aparecen en las
primeras tablas, pero no se utilizan actualmente ; por ejemplo el verseno (1 − cos θ) y la
exsecante (sec θ − 1).

Función Abreviatura Equivalencias (en radianes)
Seno sen, sin
Coseno cos
Tangente tan, tg
Cotangente ctg (cot)
Secante sec
Cosecante csc (cosec)
Definiciones respecto de un triángulo rectángulo:
Para definir las razones trigonométricas del ángulo: , del vértice A, se parte de
un triángulo rectángulo arbitrario que contiene a este ángulo. El nombre de los lados de
este triángulo rectángulo que se usará en los sucesivos será:
La hipotenusa (h) es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor longitud del
triángulo rectángulo.
El cateto opuesto (a) es el lado opuesto al ángulo .
El cateto adyacente (b) es el lado adyacente al ángulo .
Todos los triángulos considerados se encuentran en el Plano Euclidiano, por lo que la
suma de sus ángulos internos es igual a π radianes (o 180°). En consecuencia, en cualquier
triángulo rectángulo los ángulos no rectos se encuentran entre 0 y π/2 radianes. Las

definiciones que se dan a continuación definen estrictamente las funciones
trigonométricas para ángulos dentro de ese rango:
El seno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la
hipotenusa:
El valor de esta relación no depende del tamaño del triángulo rectángulo que elijamos,
siempre que tenga el mismo ángulo , en cuyo caso se trata de triángulos semejantes.
El coseno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud
de la hipotenusa:
La tangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del
adyacente:
La cotangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la del
opuesto:
La secante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del
cateto adyacente:
La cosecante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud
del cateto opuesto:

Funcionestrigonométricasde ángulosnotables:
0° 30° 45° 60° 90°
sen 0 1
cos 1 0
tan 0 1
Definición para un número real cualquiera:
No es posible utilizar la definición dada anteriormente, un coseno de para valores
de menores o iguales a 0 o valores mayores o iguales a π/2, pues no se podría construir
un triángulo rectángulo tal que uno de sus ángulos mida radianes. Para definir los
valores de estas funciones para valores comprendidos entre 0 y 2π, se utilizará entonces
una circunferencia unitaria, centrada en el origen de coordenadas del plano cartesiano. Se
definirán las funciones trigonométricas seno y coseno como la abscisa y la ordenada,
respectivamente, de un punto P perteneciente a la circunferencia, siendo el ángulo,
medido en radianes, entre el semieje positivo x y el segmento que une el origen con P.
Puede observarse que estas funciones toman valores entre -1 y 1. Nótese que para valores
entre 0 y π/2, los valores obtenidos para el seno y el coseno con esta definición, coinciden
con los obtenidos utilizando la noción de razón trigonométrica. Si el valor de x está fuera
del intervalo [0,2π], puede descomponerse como x=2kπ+x' siendo k un número entero y x'
un valor entre 0 y 2π. Se asignará a x los mismos valores de seno y coseno que los

asignados a x', ya que puede interpretarse a x como un ángulo coterminal con x', y por lo
tanto, las coordenadas del punto P serán las mismas en ambos casos.
Representación gráfica
Representación gráfica en un sistema de coordenadas cartesianas.
Funciones trigonométrica de ángulo doble
Sabiendo las funciones trigonométricas de la suma de dos ángulos, se pueden determinar
las funciones trigonométricas de ángulo doble al plantear que
Para la fórmula del coseno del ángulo doble se pueden presentar otras dos formas
alternativas con el uso de las identidades pitagóricas: Convirtiendo a términos
de , o convirtiendo a términos de :
Para la tangente del ángulo doble se procede de la misma manera:

Para productos de dos funciones sinusoidales complementarias, se tiene que:
Y para el caso alternativo:
Definiciones analíticas:
La definición analítica más frecuente dentro del análisis real se hace a partir de ecuaciones
diferenciales. Usando la geometría y las propiedades de los límites, se puede demostrar
que la derivada del seno es el coseno y la derivada del coseno es el seno con signo
negativo. (Aquí, como se hace generalmente en cálculo, todos los ángulos son medidos en
radianes).
El teorema de Picard-Lindelöf de existencia y unicidad de las ecuaciones diferenciales lleva
a que existen las funciones anteriores que se llaman respectivamente seno y coseno, es
decir:
Esta definición analítica de las funciones trigonométricas permite una definición no-
geométrica del número π, a saber, dicho número es el mínimo número real positivo que
es un cero de la función seno.
Series de potencias:
A partir de las definición anterior pueden establecerse que las funciones seno y coseno
son funciones analíticas cuya serie de Maclaurin viene dada por:

Estas identidades son a veces usadas como las definiciones de las funciones seno y
coseno. Con frecuencia se utilizan como el punto de partida para el tratamiento riguroso
de las funciones trigonométricas y sus aplicaciones (por ejemplo en las Series de Fourier),
debido a que la teoría de las series infinitas puede ser desarrollada a partir de la base del
sistema de números reales, independientemente de cualquier consideración geométrica.
La diferenciabilidad y continuidad de estas funciones es entonces establecida a partir de
las definiciones de series por sí misma.
Relación con la exponencial compleja:
Existe una relación importante entre la exponenciación de números complejos y las
funciones trigonométricas según la fórmula de Euler:
Esta relación puede probarse usando el desarrollo en serie de Taylor para la función
exponencial y el obtenido en la sección anterior para las funciones seno y coseno.
Separando ahora en parte real e imaginaria en la expresión anterior se encuentran las
definiciones de seno y coseno en términos de exponenciales complejas:
A partir de ecuaciones diferenciales:
Las funciones seno y coseno satisfacen la igualdad:
Es decir, la segunda derivada de cada función es la propia función con signo inverso.
Dentro del espacio funcional de dos dimensiones V, que consiste en todas las soluciones
de esta ecuación,
la función seno es la única solución que satisface la condición inicial y
la función coseno es la única solución que satisface la condición inicial .
Dado que las funciones seno y coseno son linealmente independientes, juntas pueden
formar la base de V. Este método para definir las funciones seno y coseno es

esencialmente equivalente a utilizar la fórmula de Euler. Además esta ecuación diferencial
puede utilizarse no solo para definir al seno y al coseno, con ella también se pueden
probar las identidades trigonométricas de las funciones seno y coseno.
Además, la observación de que el seno y el coseno satisfacen y′′ = −y implica que
son funciones eigen del operador de la segunda derivada.
La función tangente es la única solución de la ecuación diferencial no lineal
Satisfaciendo la condición inicial y(0) = 0. Existe una interesante prueba visual de que la
función tangente satisface esta ecuación diferencial.
Funciones trigonométricas inversas:
Las tres funciones trigonométricas inversas comúnmente usadas son:
 Arcoseno es la función inversa del seno de un ángulo. El significado geométrico es:
el arco cuyo seno es dicho valor.
La función arcoseno real es una función , es decir, no está definida
para cualquier número real. Esta función puede expresarse mediante la siguiente serie de
Taylor:
 Arcocoseno es la función inversa del coseno de un ángulo. El significado
geométrico es: el arco cuyo coseno es dicho valor.
Es una función similar a la anterior, de hecho puede definirse como:
 Arcotangente es la función inversa de la tangente de un ángulo. El significado
geométrico es: el arco cuya tangente es dicho valor.
A diferencia de las anteriores la función arcotangente está definida para todos los reales.
Su expresión en forma de serie es:

Representación gráfica:
Representación gráfica en un sistema de coordenadas cartesianas.
Función inversa:
En matemáticas, si f es una aplicación o función que lleva elementos de I en elementos
de J, en ciertas condiciones será posible definir la aplicación f -1 que realice el camino de
vuelta de J a I. En ese caso diremos que f -1 es la aplicación inversa o recíproca de f.
Una función ƒ y su inversa o recíproca ƒ –1. Como ƒ aplica a en 3, la inversa ƒ –1 lleva 3 de
vuelta en a.

Definiciones formales:
Sea f una función real biyectiva cuyo dominio sea el conjunto I, es decir, creciente o
decreciente en el
conjunto I, y cuya imagen sea el conjunto J. Entonces, lafunción recíproca o inversa de f,
denotada f -1, es la función de dominio J e imagen I definida por la siguiente regla:
Destaquemos que f -1, al igual que f, es una aplicación biyectiva, que queda determinada
de modo único por f y que cumple:
 y
 .
De hecho, estas dos últimas propiedades caracterizan a la función inversa, como muestra
la siguiente definición alternativa.
Definiciones alternativas:
Dadas dos aplicaciones y las propiedades:
1. y
2. ,
Entonces:
Si se cumple 1) entonces f es inyectiva y g sobreyectiva, y diremos que g es inversa por la
izquierda de f.
Si se cumple 2) entonces g es inyectiva y f sobreyectiva, y diremos que g es inversa por la
derecha de f.

Si se cumplen simultáneamente 1) y 2) entonces f y g son biyectivas y g es la inversa de f.
Este último punto se usa como definición de función inversa.
Notación alternativa
La notación tradicional puede ser confusa, ya que puede dar a entender . Una
notación alternativa utilizada en teoría de conjuntos es usar una estrella:
Otra notación menos usada es utilizar solo el signo menos en vez del número -1:
.
Propiedades algebraicas
Inversión del orden en la composición de funciones.
 La recíproca de la composición de dos funciones viene dada por la fórmula
Obsérvese que se invierte el orden de f y g, pues para deshacer el camino avanzado
primero por f y después por g, habrá que empezar deshaciendo este último por medio
de g–1 y terminar con f–1,
 La recíproca de la recíproca de una función es la propia función:
Esta propiedad se deduce de la simetría que hay en las fórmulas:
y .

Propiedades analíticas de funciones reales de una variable:
Continuidad:
f y g son simultáneamente continuas: Si una lo es, también lo será la otra. Sin embargo, es
posible que ninguna lo sea: Por ejemplo se puede definir f así: si x es racional, f(x) = x, y si
es irracional, f(x) = -x. En este caso muy particular g = f.
Además, en tal caso f y g son monótonas y tienen el mismo sentido de variación (ver la
figura).
Gráfica de la función inversa:
Ejemplo de una función f y de su recíproca g, donde los respectivos dominios de definición
son I = [ -6; 6 ] y J = [ -6 ; 2.
Las gráficas que representan f y g son simétricas con relación a la primera diagonal, es
decir, la recta Δ: y = x. En efecto, esta simetría envía un punto cualquiera M(x,y) sobre el
punto M´(y,x). M pertenece a la curva de f si y sólo si M´ pertenece a la de g, porque la
primera condición se escribe y = f(x) y la segunda x = g(y) y son por definición
equivalentes.
Las tangentes en M y M´ tienen pendientes inversas. Es un efecto de la simetría anterior, y
es la ilustración geométrica de la relación ya vista g'(y)· f '(x) = 1.
Derivabilidad:
f y g son simultáneamente derivables: Si una lo es, también lo será la otra, con tal de
aceptar valores infinitos de las derivadas de f y g.
Además, en tal caso, para cualquier x de I, si notamos y = f(x), entonces por regla de la
cadena tenemos que g'(y)· f'(x) = 1. La derivada de g se obtiene así fácilmente a partir de la
de f (vean los ejemplos al final).

Ejemplos:
En un sistema de coordenadas cartesianas se han representado las curvas de algunas
raíces, así como de sus potencias, en el intervalo [0,1]. La diagonal, de ecuación y = x,
es eje de simetría entre cada curva y la curva de su inversa.
Por construcción misma, la función raíz cuadrada es la recíproca de la función "cuadrada"
con dominio los reales no negativos, Es decir, las dos funciones siguientes son
una recíproca de la otra:
Más generalmente, la raíz positiva de orden n de un número positivo es la recíproca de
la potenciación .
También por construcción, la exponencial es la recíproca del logaritmo natural.
Por definición misma, arccos, arcsen y arctan son las recíprocas de las funciones
trigonométricas coseno, seno y tangente, lo que permite hallar sus derivadas:
Para , , y
utilizando se
obtiene:
Para , , y

utilizando se obtiene:
Se generaliza el concepto de función recíproca a otros conjuntos de números, en
particular a los complejos, donde el logaritmo (con un dominio restringido) y la
exponencial siguen siendo funciones recíprocas.
En otras ocasiones una función inversa puede existir y estar bien definida pero no pude
escribirse en términos de funciones elementales, como sucede con la función f:
Aunque la función recíproca se puede aproximar como serie de Taylor:

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