Tipos de funciones y gráficas.
- 1. 1 | P á g i n a ROSARIO GARNICA OLIVERA. LICENCIATURA EN TECNOLOGIA EDUCATIVA. 1° CUATRIMESTRE. PROFESOR: JOSE ANTONIO FERRA CUEVAS. TRABAJO DE MATEMATICAS: TIPOS DE FUNCIONES Y SUS GRAFICAS. FECHA DE ENTREGA: 10/DICIEMBRE/2014
- 2. 2 | P á g i n a INTRODUCCION. A continuación veremos las funciones y sus gráficas. Los tipos de funciones contienen diferentes tipos de gráficas. En los tipos de funciones veremos función lineal y su respectiva gráfica, función cuadrática, funciones polinomiales de grado superior, las funciones exponenciales y las funciones logarítmicas. Se explicara paso a paso en consiste cada una de las funciones, al igual que cada una tendrá su respectiva gráfica, con imágenes para así identificarlas más fácilmente.
- 3. 3 | P á g i n a INDICE FUNCIONES Y SUS GRAFICAS CONCEPTO DE FUNCION Pág………4 TIPOS DE FUNCIONES: a) Funciones lineales y su gráfica. b) Función cuadrática y su gráfica. c) Funciones polinomiales de grado superior y su gráfica. d) Funciones exponenciales y su gráfica. e) Funciones logarítmicas y su gráfica. f) Representación grafica de las diferentes funciones CONCLUSION. BIBLIOGRAFIA. Pág………31 Pág…….5-6 Pág……7-8 Pág…….9 Pág……10-12 Pág…..13-14 Pág……….15-29 Pág……….30
- 4. 4 | P á g i n a Concepto de función: Una función es una relación o correspondencia entre dos magnitudes de manera que a cada valor de la primera le corresponde un único valor de la segunda que llamamos imagen o transformado. A la función se le suele designar por f y a la imagen por f(x) siendo x la variable independiente. VARIABLE INDEPENDIENTE: La que se fija previamente. VARIABLE DEPENDIENTE: La que se deduce de la variable independiente. Las funciones son como maquinas a las que se les introduce un elemento x y devuelven otro valor y, que también se designa por f(x). Por ejemplo, la función f(x) = 3x2 + 1 es la que a cada número le asigna el cuadrado del número multiplicado por 3 y luego sumado 1. Así f(2) = 3*22 + 1= 3*4 + 1 = 12 + 1 = 13
- 5. 5 | P á g i n a TIPOS DE FUNCIONES. Función lineal. En geometría y el álgebra elemental una función lineal es una función polinómica de primer grado; es decir, una función cuya representación en el plano cartesiano es una línea recta. Esta función se puede escribir como: 푓(푥)=푚푥+푏 Donde m y b son constantes reales y x es una variable real. La constante m es la pendiente de la recta, y b es el punto de corte de la recta con el eje y. Si se modifica m entonces se modifica la inclinación de la recta, y si se modifica b, entonces la línea se desplazará hacia arriba o hacia abajo. Algunos autores llaman función lineal a aquella con b= 0 de la forma: 푓(푥)=푚푥 Mientras que llaman función afín a la que tiene la forma: 푓(푥)=푚푥+푏 Cuando b es distinto de cero, dado que la primera (b=0) es un ejemplo también de transformación lineal, en el contexto de algebra lineal. Una función lineal de una única variable dependiente x es de la forma: 푦=푚 푥+푏 Que se conoce como ecuación de la recta en el plano x,y. En la figura se ven dos rectas, que corresponden a las ecuaciones lineales siguientes: 푦=0,5+2
- 6. 6 | P á g i n a En esta recta el parámetro m es igual a 1/2 (correspondiente al valor de la pendiente de la recta), es decir, cuando aumentamos x en una unidad entonces y aumenta en 1/2 unidad, el valor de b es 2, luego la recta corta el eje y en el punto y= 2. En la ecuación: 푦=−푥+5 La pendiente de la recta es el parámetro m= -1, es decir, cuando el valor de x aumenta en una unidad, el valor de y disminuye en una unidad; el corte con el eje y es en y= 5, dado que el valor de b= 5. En una recta el valor de m se corresponde al ángulo θ de inclinación de la recta con el eje de las x a través de la expresión: 푚=푡푎푛 θ La función lineal es del tipo: 푦=푚푥 Su grafica es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas. X = 0 1 2 3 4 Y = 2 x 0 2 4 6 8
- 7. 7 | P á g i n a Función cuadrática. En matemáticas, una función cuadrática o función de segundo grado es una función polinómica definida por: 푦=푎푥² + 푏푥+푐 Con 푎≠0. Las gráficas de estas funciones corresponden a parábolas verticales (eje de simetría paralelo al eje de las ordenadas), con la particularidad de que cuando a>0, el vértice de la parábola se encuentra en la parte inferior de la misma, siendo un mínimo (es decir, la parábola se abre "hacia arriba"), y cuando a<0 el vértice se encuentra en la parte superior, siendo un máximo (es decir, la parábola se abre "hacia abajo"). El estudio de las funciones cuadráticas tiene numerosas aplicaciones en campos muy diversos, como por ejemplo la caída libre o el tiro parabólico. La función derivada de una función cuadrática es una función lineal y su integral indefinida es una familia de funciones cubicas. Hay tres formas de escribir una función cuadrática, aplicables según el uso que se le quiera dar a la función, un estudio analítico de la función o de la ecuación cuadrática, una interpretación o construcción geométrica de la parábola, etc.
- 8. 8 | P á g i n a Forma desarrollada La forma desarrollada de una función cuadrática (o forma estándar) corresponde a la del polinomio de segundo grado, escrito convencionalmente como: 푓(푥)=푎푥² + 푏푥+푐 Con: 푎≠0. Forma factorizada: Toda función cuadrática se puede escribir en forma factorizada en función de sus raíces como: 푓(푥)=푎(푥−푥1) (푥−푥2) Siendo a el coeficiente principal de la función, y 푥1 푦 푥2 y las raíces de 푓 (푥) . En el caso de que el discriminante Δ sea igual a 0 entonces 푥1=푥2 por lo que la factorización adquiere la forma: 푓 (푥)=푎 (푥−푥1)² En este caso a 푎 푥1 se la denomina raíz doble, ya que su orden de multiplicidad es 2. Si el discriminante es negativo, las soluciones son complejas, no cabe la factorización. Forma canónica Toda función cuadrática puede ser expresada mediante el cuadrado de un binomio de la siguiente manera: 푓 (푥)=푎 (푥−ℎ)² + 푘. Siendo a el coeficiente principal y el par ordenado (h;k) las coordenadas del vértice de la parábola.
- 9. 9 | P á g i n a Funciones polinomiales de grado superior. Funciones polinomiales de grado superior Un polinomio es una suma de números finitos, la expresión de una función polinomial es: f(x)= an xn +an-1 xn-1+… +a2 x2 + a1 x+a0 donde n es un número real entero no negativo al igual que cada una de las constantes an ,an – 1, …, a2 ay a0. El grado del polinomio es n y su coeficiente de mayor grado, o sea, an, es su coeficiente principal. Si a0 es diferente de 0 y n=0, entonces f(x)=a0 es una función de grado 0 y se llama función constante. Si n=1 la función polinomial es de primer grado y se llama función lineal. La expresión de esta función es de la forma: f(x)= a1x+a0; donde a1 es diferente de cero. Los ceros de una función polinomial Definidos por la ecuación y=f(x) son aquellos valores de x que son la solución de la ecuación f(x)=0.Teorema del residuo Si un polinomio P(x) se divide entre x-a hasta obtener un residuo en el que no aparece la variable x, el residuo resultante es igual P(a). Si dividimos P(x) entre x-a y designamos por Q(x) el coeficiente y por r el residuo, entonces P(x)= Q(x)(x-a)+r.
- 10. 10 | P á g i n a Función exponencial. La función exponencial es del tipo: 푓 (×)=푎ˣ Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia ax se llama función exponencial de base a y exponente x. Ejemplos 푓 (×)=2ˣ X y= 2ˣ -3 1/8 -2 1/4 -1 1/2 0 1 1 2 2 4 3 8
- 11. 11 | P á g i n a La función exponencial es conocida formalmente como la función real ex, donde e es el número de Euler, aproximadamente 2.71828...; esta función tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales, y tiene la particularidad de que su derivada es la misma función. Se denota equivalentemente como f(x)=ex o exp(x), donde e es la base de los logaritmos naturales y corresponde a la función inversa del logaritmo natural. En términos mucho más generales, una función real E(x) se dice que es del tipo exponencial en base a si tiene la forma 퐸 (×)=푘 ∙ 푎ˣ Siendo a, K ∈ R números reales, con a > 0. Así pues, se obtiene un abanico de exponenciales, todas ellas similares, que dependen de la base a que utilicen.
- 12. 12 | P á g i n a La función exponencial (y exponencial en base distinta a e) satisfacen las siguientes propiedades generales. Son las únicas funciones que son igual a su derivada (multiplicada por una constante, en el caso de que tengan una base distinta a e) exp(푥+푦)=exp (푥)∙exp (푦) exp(푥−푦)=exp(푥)/exp (푦) exp(0)=1
- 13. 13 | P á g i n a Funciones logarítmicas. La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a. 푓(푥)=log푥 푎>0 ,푎≠1 Una función logarítmica es aquella que genéricamente se expresa como f (x) == logax, siendo a la base de esta función, que ha de ser positiva y distinta de 1. La función logarítmica es la inversa de la función exponencial dado que: loga x = b Û ab = x.
- 14. 14 | P á g i n a Propiedades de la función logarítmica Las propiedades generales de la función logarítmica se deducen a partir de las de su inversa, la función exponencial. Así, se tiene que: La función logarítmica sólo existe para valores de x positivos, sin incluir el cero. Por tanto, su dominio es el intervalo (0,+¥). Las imágenes obtenidas de la aplicación de una función logarítmica corresponden a cualquier elemento del conjunto de los números reales, luego el recorrido de esta función es R. En el punto x = 1, la función logarítmica se anula, ya que loga 1 = 0, en cualquier base. La función logarítmica de la base es siempre igual a 1. Finalmente, la función logarítmica es continua, y es creciente para a > 1 y decreciente para a < 1
- 15. 15 | P á g i n a Gráficas. Representa gráficamente las siguientes funciones 1. Lineales a) Gráfica 1 b) Gráfica 2
- 16. 16 | P á g i n a c) Gráfica 3 d) Gráfica 4 e) Gráfica 5 a)
- 17. 17 | P á g i n a e) Gráfica 5 b) f) Gráfica 6
- 18. 18 | P á g i n a 2. Función cuadrática a) Gráfica 7 b) Gráfica 8
- 19. 19 | P á g i n a c) Gráfica 9 d) Gráfica 10
- 20. 20 | P á g i n a e) Gráfica 11 f) Gráfica 12
- 21. 21 | P á g i n a 3. Polinomiales de grado superior 1. Gráfica 13 2. Gráfica 14
- 22. 22 | P á g i n a 3. Gráfica 15 4. Gráfica 16 5. Gráfica 17
- 23. 23 | P á g i n a 6. Gráfica 18 7. Gráfica 19 8. Gráfica 20
- 24. 24 | P á g i n a 4. Racionales a) Gráfica 21 b) Gráfica 22
- 25. 25 | P á g i n a c) Gráfica 23 d) Gráfica 24
- 26. 26 | P á g i n a 5. Funciones exponenciales 7. Gráfica 25 8. Gráfica 26
- 27. 27 | P á g i n a 9. Gráfica 27 10. Gráfica 28
- 28. 28 | P á g i n a 6. Funciones logarítmicas 7. Gráfica 29 8. Gráfica 30
- 29. 29 | P á g i n a 9. Gráfica 31 10. Gráfica 32
- 30. 30 | P á g i n a Conclusión. En este pequeño trabajo conocimos varias de las funciones y sus diferentes tipos de gráficas, cada función contiene su propia gráfica, hablamos de la función cuadrática, logarítmica, exponencial esas son las que más recuerdo. Con esto estamos aprendiendo un poco más sobre las gráficas de las diferentes funciones y así mismo aprender a graficarlas porque en este trabajo leímos y graficamos todos estos tipos de gráficas, además de saber cuál es la definición de cada gráfica, aprendimos a graficarlas cada una diferente a la otra.
- 31. 31 | P á g i n a BIBLIOGRAFIA. http://www.vitutor.com/fun/2/c_1.html http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_cuadr%C3%A1tica http://www.vitutor.com/fun/2/c_3.html http://www.x.edu.uy/lineal.htm http://www.vitutor.com/fun/2/c_1.html http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_exponencial http://facultad.bayamon.inter.edu/ntoro/expow.htm http://www.vitutor.com/fun/2/c_13.html http://www.vitutor.com/fun/2/c_14.html https://prezi.com/qkzhcxdmk2hx/funciones-polinomiales-de- grado-superior/ http://www.hiru.com/matematicas/funcion-logaritmica
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