PowerPoint Funciones y graficas.pdf
- 2. Relación En matemáticas una Relación es la correspondencia de un primer conjunto, con un segundo conjunto, de manera que a cada elemento del Dominio le corresponde uno o más elementos del conjunto Imagen. Ejemplo: En una tienda comercial, cada artículo está relacionado con su precio; o sea, a cada artículo le corresponde un precio.
- 3. Función Una función es una relación entre dos conjuntos numéricos que asocia a cada valor, x, del primer conjunto un único valor, y, del segundo. La variable x variable independiente La variable y variable dependiente. La expresión analítica: y = f (x) Ejemplo: El área de un cuadrado es función del valor de su lado. Si x es la longitud del lado e y su área. La expresión analítica de esta función es: f(x) = x2.
- 4. Funciones en diagrama de Venn
- 5. Para que la relación sea función debe haber: Unicidad: Cuando de un elemento del dominio tiene más de un elemento del codominio no se cumple con la condición Existencia: Cundo un elemento del dominio no tiene una llegada en el codominio no se cumple con la condición
- 7. Dominio y recorrido El dominio, Dom(f), de una función es el conjunto de valores para los que está definida la función. Para que la función quede determinada se ha de definir su dominio. Conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente El recorrido, Rec(f), de una función es el conjunto de todas las imágenes. También se le llama imagen codominio o rango, es el conjunto de valores que toma la variable independiente
- 8. Indicar si es función
- 9. Gráfica de una función La gráfica de una función y =f(x) es el conjunto de todos los pares (x,y) donde x pertenece al dominio de la función e y = f(x) es el valor que toma la función en el elemento x
- 11. Tipos de funciones Inyectiva: Una función es inyectiva si a cada elemento del dominio le corresponde una única imagen. Formalmente: Es decir, para cualesquiera dos elementos a y b, pertenecientes al dominio de la función Domf, si sus imágenes f(a) y f(b) son iguales, los elementos son necesariamente iguales.
- 14. Sobreyectiva: Una función es sobreyectiva cuando el codominio y el recorrido coinciden. Formalmente: Las funciones reales son sobreyectivas cuando Recf=ℝ,
- 15. Biyectiva: Una función es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva a la vez. Nota: Si la función es biyectiva podemos encontrar su función inversa.
- 16. Función lineal Una función es lineal si verifica una de las siguientes condiciones: Su gráfica es una recta que pasa por el origen de coordenadas. Relaciona variables directamente proporcionales. Su expresión analítica es de la forma y = m ∙ x La constante de proporcionalidad, m, se llama pendiente de la recta y caracteriza la función. Si m > 0 la función y = m ∙ x es creciente. Si m < 0 la función y = m ∙ x es decreciente. Si m = 0 la función y = 0 es constante. Su gráfica es el eje de abscisas. La pendiente de la recta es x y m
- 17. Gráficas de funciones lineales Ejemplos: Recta que pasa por B (1,3) ¿Cuál es su pendiente? ¿Cuál es su ecuación? Recta que pasa por C (-2,2) ¿Cuál es su pendiente? ¿Cuál es su ecuación? Recta que pasa por D (3,0) ¿Cuál es su pendiente? ¿Cuál es su ecuación?
- 18. Ejemplo
- 19. Funciones afines Una función es afín si verifica una de las siguientes condiciones: Su gráfica es una recta que no pasa por el origen de coordenadas. Su expresión analítica es de la forma y = m ∙ x + n, n ≠ 0 La constante m se denomina pendiente de la recta e indica la variación de la variable dependiente y con respecto a la variable independiente x. La constante n se denomina ordenada en el origen y determina el punto de intersección de la recta con el eje de ordenadas.
- 20. La gráfica de una función afín La gráfica de una función afín es el conjunto de puntos (x, y) del plano tales que y = m ∙ x + n, n ≠ 0 Esta gráfica es una recta que no pasa por el origen. Las funciones afines son crecientes, decrecientes o constantes dependiendo de que la pendiente m sea, respectivamente, positiva, negativa o nula. La pendiente, m, de la recta que pasa por los puntos A (x1, y1) y B (x2, y2) es: 1 2 1 2 x x y y m
- 21. Ejemplo
- 22. Función Cuadrática Una función es cuadrática si verifica una de las siguientes condiciones: Su gráfica es una parábola Su expresión analítica es de la forma: donde a, b y c son números reales y a es distinto de cero ax 2 es el término cuadrático bx es el término lineal c es el término independiente
- 23. Gráfica de una función cuadrática La parábola es la representación gráfica de una función cuadrática. Sus elementos son: Orientación o concavidad: Esta definida por el signo del coeficiente de x² Si a>0 la parábola es cóncava ( sus ramas van hacia arriba) Si a<0 la parábola es convexa (sus ramas van hacia abajo) Puntos de corte con el eje de abscisas (raíces de la ecuación cuadrática) para calcular las raíces (soluciones) de cualquier función cuadrática calculamos f (x) = 0 . Esto significa que las raíces (soluciones) de una función cuadrática son aquellos valores de x para los cuales la expresión vale 0 (ax² + bx +c = 0). Así:
- 24. Punto de corte con el eje de ordenadas Punto donde la grafica pasa por el eje Y. Esta definido como el punto (0,c) Eje de simetría El eje de simetría de una parábola es una recta vertical que divide simétricamente a la curva Esta definida por la recta vertical Vértice El vértice de la parábola es el punto de corte (o punto de intersección) del eje de simetría con la parábola. Esta definido por el punto
- 25. Ejemplo
- 27. Propiedades de la función exponencial Dominio: IR Recorrido: IR+ Es una función continua Los puntos (0, 1) y (1, a) pertenecen a la gráfica Es inyectiva para todo a ≠ 1 Creciente si a > 1 Decreciente si a < 1
- 28. Ejemplos
- 29. Actividad 1: Geogébra Desarrollar de forma ordenada
- 30. Actividad: Geogebra 3. ¿Qué ocurre con el dominio y recorrido en cada caso? 4. ¿Qué ocurre con las intersecciones con los ejes en cada caso? 5. Explicar con sus palabras qué ocurre con la grafica cuando b toma distintos valores Ahora fijar el valor de b=2 y mover el deslizador de a, analizando cada uno de los casos a>1 0<a<1 -1<a<0 a<-1 6. ¿Qué ocurre con el dominio y recorrido en cada caso? 7. ¿Qué ocurre con las intersecciones con los ejes en cada caso? 8. Explicar con sus palabras qué ocurre con la grafica cuando a toma distintos valores
- 33. Función logarítmica La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a Es de la forma Propiedades Dominio: IR+ Recorrido: IR Es continua Es inyectiva Creciente si a> 0 Decreciente si 0<a<1
- 34. Grafica de la función logarítmica Las gráfica de la función logarítmica es simétrica (respecto a la función identidad) de la gráfica de la función exponencial, ya que son funciones inversas entre sí.
- 35. Ejemplo