Apunte funciones uba xxi

Funciones
15
Capítulo 1
FUNCIONES
Producto Cartesiano: Dados dos conjuntos A y B, se llama producto cartesiano de A por B
y se designa BA× al conjunto de todos los pares ordenados cuya primera componente
pertenece a A y cuya segunda componente pertenece a B.
A: conjunto de partida
B: conjunto de llegada
),( yx : par ordenado, siendo x la primera componente e y la segunda componente.
En símbolos:
{ }ByAxyxBA ∈∧∈=× /),(
Ejemplo 1: Sean los conjuntos }{ 2;1=A y }{ 5;4;3=B . Entonces, el producto cartesiano
es:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }5,2;4,2;3,2;5,1;4,1;3,1=× BA
Observación: El producto cartesiano no es conmutativo, dado que ABBA ×≠× .
dbcadcba =∧=⇔= ),(),(
Luego, cambiando el orden en que son tomados dos elementos, se obtiene un par ordenado
distinto, es decir, el par (1,3) es distinto del par (3,1).
Relaciones
Una relación entre los elementos de un conjunto A y otro B es cualquier subconjunto del
producto cartesiano BA× . Cada subconjunto define una relación R.
En símbolos:
R es una relación de A en B ⇔ BAR ×⊆
Análogamente R es una relación entre los elementos de un conjunto A si es un subconjunto
del producto cartesiano AA× .

Funciones
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Dominio de una relación ( DR ) : Es el conjunto formado por las primeras componentes de
los pares de la relación.
Recorrido de una Relación ( RR ) : Es el conjunto formado por las segundas componentes de
los pares de la relación.
Observación: D AR ⊆ y R BR ⊆
Formas de Representación
1) Diagrama de Venn
{ }A x x IN x= ∈ ∧ ≤ ≤/ 2 3
{ }B x x IN x= ∈ ∧ ≤ ≤/ 4 6
{ }R x y x y A B x y= ∈ × ∧( , ) / ( , ) es divisor de
Cada flecha representa
un par de la relación.
2) Gráfico cartesiano: Continuemos con el ejemplo anterior
Relación Inversa : Sea R una relación de A en B ):( BAR → . Se llama relación inversa de B
en A, y se nota 1−
R , a aquella formada por pares ( )x y, tales que ( )y x, pertenecen a R.
En símbolos:
{ }RxyAByxR ∈×∈=−
),(/),(1
BA
2
3 6
4
5
32
4
5
6
A
B

Funciones
17
FUNCIONES
Una función f de A en B es una relación que le hace corresponder a cada elemento Ax ∈
uno y sólo un elemento By ∈ , llamado imagen de x por f, que se escribe )(xfy = .
En símbolos:
)(/: xfyBAf =→
Es decir que para que una relación de un conjunto A en otro B sea función, debe cumplir dos
condiciones, a saber:
1) Todo elemento del conjunto de partida A debe tener imagen, es decir, el dominio de la
función debe ser A ∴ ADf = .
En símbolos:
)(/: xfyByAx =∈∃∈∀
2) La imagen de cada elemento Ax ∈ debe ser única. Es decir, ningún elemento del dominio
puede tener más de una imagen.
En símbolos:
zyfzxfyxAx =⇒∈∧∈∈∀ ),(),(:
El conjunto formado por todos los elementos de B que son imagen de algún elemento del
dominio se denomina conjunto imagen o recorrido de f.
En símbolos:
( ){ }fyxAxByRf ∈∧∈∃∈= ,/
Observaciones:
a) En una función BAf →: todo elemento x A∈ tiene una y sólo una imagen By ∈ .
b) Un elemento y B∈ puede:
i) No ser imagen de ningún elemento x A∈ .
ii) Ser imagen de un elemento x A∈ .
iii) Ser imagen de varios elementos x A∈ .
c) La relación inversa 1−
f de una función f puede no ser una función.
Funciones reales de una variable real
Se dice que una función BAf →: es real si B IR⊆ (puede suponerse B IR= ) y se dice
que es de variable real si su dominio es un conjunto de números reales ( )A IR⊆ .
En símbolos:
)(/: xfyBAf =→ con A IR⊆ x: variable independiente o argumento
y: variable dependiente.

Funciones
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Formas de expresión de una función
1) Mediante el uso de tablas:
x y
-1 1
0 0
½ ¼
1 1
2 4
… …
2) Gráficamente: Cabe aclarar que llamamos gráfica de una función real de variable real al
conjunto de puntos del plano que referidos a un sistema de ejes cartesianos ortogonales tienen
coordenadas ( , ( ))x f x donde x A∈ .
Observaciones:
a) El dominio de la función se considera sobre el eje de abscisas.
b) El conjunto imagen o recorrido se considera sobre el eje de ordenadas.
c) Si trazamos paralelas al eje de ordenadas, éstas no pueden intersecar al gráfico de una
función en más de un punto, pues de lo contrario habría más de una imagen para ciertos
elementos del dominio, lo que contradice la definición de función.
*Sugerimos resolver el problema 1 de la guía de trabajos prácticos.
3) Analíticamente: Cuando la función está dada por )(xfy = donde f representa a una
expresión analítica.
Por ejemplo: y x= −2
2
Es la gráfica de una función No es la gráfica de una función
x
y
x
y

Funciones
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Observación: Cuando se da una función real de variable real por medio de una fórmula
( )y f x= que permite hallar la imagen de cada elemento x pero no está dado expresamente el
dominio, se entiende que el mismo es el conjunto más amplio posible A IR⊆ de valores de x
para los cuales la expresión analítica f(x) adquiere un valor real determinado.
Por ejemplo en y x= −2
2 , IRA = , pues esa expresión está definida para cualquier valor de
x.
En cambio si la función está dada por y
x
x
=
+
2
2
, la expresión está definida para cualquier
valor de x excepto para x = −2. Luego, el dominio de la función f(x) es { }Df IR= − − 2 .
Paridad de una función
Sea una función IRAf →: en la que A IR⊆ es simétrico respecto del origen, vale decir si
x A x A∈ ⇒ − ∈ .
Se dice que:
a) f es una función par ⇔ ∀ ∈ − =x A f x f x: ( ) ( )
Es decir, elementos opuestos del dominio tienen la misma imagen.
En cuanto a la gráfica de una función par es una curva simétrica respecto del eje de ordenadas.
b) f es una función impar ⇔ ∀ ∈ − = −x A f x f x: ( ) ( )
Es decir que a elementos opuestos del dominio les corresponden imágenes opuestas en el
recorrido.
En cuanto a las gráficas de estas funciones son curvas con simetría respecto del origen de
coordenadas.

Funciones
20
Intersecciones con los ejes coordenados
Son los puntos en que la gráfica de una función interseca a los ejes de abscisas y de ordenadas.
a) Con el eje de ordenadas (y): Se obtiene haciendo 0=x . Es decir, corresponde al par
( , ( ))0 0f . (Observemos que si existe, es único, tal como lo exige la definición de función).
b) Con el eje de las abscisas (x): Se obtienen para aquellos valores x del dominio donde se
anula el valor de la función. Dichos valores de x se denominan ceros de la función y son
las soluciones o raíces de la ecuación f x( ) = 0.

Funciones
21
Comencemos ahora con el estudio de algunas funciones elementales:
I. FUNCIÓN LINEAL
Está dada por la fórmula bmxy += donde m y b son números reales llamados pendiente
y ordenada al origen respectivamente.
Su gráfica es una recta.
Las intersecciones con los ejes coordenados son:
i) Con el eje y: P b= ( , )0
ii) Con el eje x: Q a= ( , )0 donde a es el cero de la función y raíz de la ecuación m x b+ = 0 .
Por lo tanto, a
b
m
= − .
Observemos que, dada la ecuación y m x b= + :
a) Si 0=m , entonces by = . Es decir, se obtiene la función constante, cuya gráfica es una
recta paralela al eje x que pasa por el punto ),0( b .
b) Si 0=b , entonces y m x= . Esta ecuación tiene por gráfica una recta que pasa por el
origen de coordenadas )0,0( .

Funciones
22
La recta forma con el eje x un ángulo α . Veamos la relación que existe entre m y α .
En el triángulo rectángulo POQ
∆
es:
tgα = =
−
−
=
−
=
− −






=
OP
OQ
b
a
b
a
b
b
m
m
0
0
Luego, αtg=m (la pendiente da la tangente del ángulo α , que forma la recta con el eje x
medido en sentido contrario a las agujas del reloj).
Teniendo en cuenta la conclusión anterior las coordenadas de cualquier par de puntos de la
recta ),( 111 yxP = y ),( 222 yxP = deberán cumplir:
tgα = =
−
−
=m
y y
x x
y
x
2 1
2 1
∆
∆
Definimos ∆y y y= −2 1 como el incremento o variación de y, ∆x x x= −2 1 como el
incremento o variación de x.
Veamos cómo representar gráficamente una función lineal dada su ecuación.
Ejemplo 2: Representemos y x= −2 1
a) Consideramos un punto y la pendiente:
P = −( , )0 1 (intersección con el eje y)
2=m
2es1si2 =∆=∆∴=
∆
∆
yx
x
y

Funciones
23
b) Consideramos dos puntos cualesquiera de la recta, por ejemplo, los puntos de intersección
con los ejes x e y.
( )P = −0 1; Q
b
m
=
−




 =





, ,0
1
2
0
Ejemplo 3: Representemos ahora xy
2
1
=
Su pendiente es
2
1
=m y, por ser
0=b , pasa por el origen )0,0( .
Marcamos )0,0(=P y
consideramos 2=∆x y 1=∆y
para que
2
1
=
∆
∆
=
x
y
m
Ejemplo 4: Observemos los desplazamientos que tendría la recta y x=
1
2
con las siguientes
modificaciones en la ecuación.
i) Sumando o restando un número 0>k a la función.

Funciones
24
1
2
1
+= xy
Hemos considerado 1=k .
Todos los puntos de la recta de
ecuación y x=
1
2
se desplazaron 1
unidad en el sentido positivo del eje y.
Observemos que si hubiésemos
restado 1, el corrimiento hubiera sido
en el sentido negativo del eje y.
ii) Sumando o restando un número real 0>k al argumento x.
( )y x= +
1
2
1
Hemos considerado k = 1.
)0,1(−=P y m =
1
2
Todos los puntos de la recta de ecuación
y x=
1
2
se desplazaron 1 unidad en el
sentido negativo del eje x.
Observemos que si hubiésemos restado 1,
el corrimiento hubiera sido en el sentido
positivo del eje x.
Conclusión: Dada una función y f x= ( ) y 0>k :
a) La gráfica de y f x k= ±( ) se obtiene desplazando la curva de y f x= ( ) en la dirección del
eje y
i) k unidades en el sentido positivo si y f x k= +( )
ii) k unidades en el sentido negativo si y f x k= −( )
b) La gráfica de y f x k= ±( ) se obtiene desplazando la curva de y f x= ( ) en la dirección del
eje x.
i) k unidades en el sentido positivo si y f x k= −( )
ii) k unidades en el sentido negativo si y f x k= +( )
*Sugerimos resolver el problema 2 de la guía de trabajos prácticos.

Funciones
25
Ecuación de una recta que pasa por un punto P = (x0, y0) y pendiente dada m.
Queremos hallar la ecuación de la recta conocida su pendiente y que pasa por un punto dado
P x y= ( , )0 0 . Veamos un ejemplo.
Ejemplo 5: Sea P x y= = −( , ) ( , )0 0 2 1 y sea 1=m la pendiente.
Podemos plantear: bmxy += por tratarse de una función lineal con 1=m y b a determinar.
Si el punto dado pertenece a la gráfica de la función sus coordenadas deben satisfacer la
ecuación, luego:
y m x b0 0= +
1 2= − +m b( ) reemplazamos m = 1
1 2= − + b
b = 3
La función buscada es entonces y x= + 3
*Procediendo análogamente puede resolverse el ejercicio 3) i) de la guía de trabajos
prácticos.
Alternativamente puede aplicarse la siguiente expresión que se obtiene de despejar de la
ecuación m
y
x
y y
x x
= =
−
−
∆
∆
0
0
:
y y m x x− = −0 0( )
Utilicemos esta expresión para resolver el ejemplo anterior. Reemplazando P = −( , )2 1 y
1=m resulta:
y x− = − −1 1 2( ( ))
y x− = +1 2
y x= + 3
Obteniéndose el mismo resultado que por el procedimiento anterior.
Ecuación de una recta conocidos dos de sus puntos
Supongamos ahora que queremos hallar la ecuación de una recta que pasa por dos puntos de
coordenadas P x y0 0 0= ( , ) y P x y1 1 1= ( , ) .
Ejemplo 6: Sean P x y0 0 0 1 1= = −( , ) ( , ) y P x y1 1 1 2 4= = −( , ) ( , ). Como los puntos dados
pertenecen a la recta bmxy += , sus coordenadas deben satisfacer la ecuación de la misma
que es de la forma con m y b a determinar.

Funciones
26
Reemplazando las coordenadas de los puntos en la ecuación general obtenemos un sistema de
ecuaciones cuyas incógnitas son m y b.
bxmy += 00
bxmy += 11
En nuestro ejemplo:
1 1
4 2
= − +
= − +



m b
m b
( )
( )
Sistema de ecuaciones en m y b
Resolviendo el sistema planteado por igualación o por cualquier otro método:
b m
b m
m m m
= +
= +



⇒ + = + ⇒ = −
1
2 4
1 2 4 3
Reemplazando, obtenemos que b = − + = −3 1 2 .
Por lo tanto, la ecuación de la recta es: y x= − −3 2
Alternativamente puede utilizarse la siguiente expresión, que se obtiene reemplazando
m
y y
x x
=
−
−
1 0
1 0
en la ecuación y y m x x− = −0 0( ) :
y y
y y
x x
x x− =
−
−
−0
1 0
1 0
0( )
*Proponemos resolver el problema 3) ii) de la guía de trabajos prácticos.
Rectas paralelas y Perpendiculares
1) Paralelas
r : y m x br r= +
s : y m x bs s= +
r s r s/ / ⇔ =
∧ ∧
α α
α α α αr s r s
∧ ∧ ∧ ∧
= ⇒ = ⇒tg tg m mr s=
Por lo tanto, para que dos rectas sean
paralelas las pendientes deben ser iguales.
Veamos un ejemplo.

Funciones
27
Ejemplo 7: Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P0 1 1= ( , ) y es paralela a la
recta de ecuación 5=+ yx
Podemos plantear:
r : pasa por P0 1 1= ( , ) y tiene pendiente rm
s : x y+ = 5
sr //
Para determinar la pendiente de la recta s ( ms ) , le damos forma explícita a su ecuación:
5+−= xy de donde 1−=sm .
Como sr mmsr =⇒//
Ahora conocemos de la recta r un punto P0 1 1= ( , ) y su pendiente 1−=rm , aplicando
y y m x xr− = −0 0( )
y x− = − −1 1 1( )
y x= − + 2
2) Perpendiculares
∆
⇒⊥ PQRsr rectángulo
α αs r
o
∧ ∧
= + 90
tg tg cot
tg
α α α
α
s r
o
r
r
g
∧ ∧ ∧
∧
= +




 = − = −90
1
m
m
s
r
= −
1
Por lo tanto, la condición de perpendicularidad entre dos rectas es que la pendiente de una de
ellas sea la recíproca cambiada de signo de la pendiente de la otra.
Apliquemos esta condición a la resolución de un ejercicio.
Ejemplo 8: Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto )2,2(=Q y es perpendicular
a la recta que pasa por los puntos )3,0(0 =P y )1,1(1 =P . Graficar ambas rectas.
Llamemos s a la recta que pasa por )2,2(=Q y r a la determinada por )3,0(0 =P y
)1,1(1 =P .
Vamos a hallar primero la ecuación de la recta r, aplicando:

Funciones
28
)( 0
01
01
0 xx
xx
yy
yy −
−
−
=−
y x y x mr− =
−
−
− ⇒ = − + ⇒ = −3
1 3
1 0
0 2 3 2( )
Por la condición de perpendicularidad resulta:
2
1
2
11
=
−
−=−=
r
s
m
m
Ahora hallamos la ecuación de la recta s de la cual conocemos un punto )2,2(=Q y la
pendiente
2
1
=sm para lo cual aplicamos:
( )2
2
1
2 −=− xy
21
2
1
+−= xy
1
2
1
+= xy
* En este momento es oportuno resolver los problemas 4, 5, 6 y 7 de la guía de trabajos
prácticos.
Sistemas de ecuaciones
Lo explicaremos con un ejemplo.
Ejemplo 9: Resolver analítica y gráficamente el sistema:
3 2 12
5 4 2
x y
x y
− = −
+ =



Para resolver analíticamente utilizamos el método de igualación.
Despejamos y de ambas ecuaciones e igualamos las expresiones resultantes.

Funciones
29
y
x
y
x
x x
x x
=
+
=
− +






⇒
+
=
− +
⇒ + = − + ⇒
3 12
2
5 2
4
3 12
2
5 2
4
2 3 12 5 2( )
6 24 5 2 11 22 2x x x x+ = − + ⇒ = − ⇒ = −
Reemplazando:
( )y =
− +
=
3 2 12
2
3
El conjunto solución es { })3,2(−=S .
Para resolver gráficamente el sistema debemos graficar la función lineal que cada ecuación
define y determinar el punto de intersección entre las rectas.
y x
y x
= +
= − +






3
2
6
5
4
1
2
El punto de intersección es
P = −( , )2 3
Observación: Al graficar ambas funciones lineales pueden presentarse los siguientes casos:

Funciones
30
*Proponemos a continuación la resolución del problema 8 de la guía de trabajos prácticos.
II. FUNCIÓN CUADRÁTICA
Esta función responde a la fórmula:
y a x b x c a= + + ≠2
0con
Su gráfica es una curva llamada parábola cuyas características son:
a) Si a > 0 es cóncava y admite un mínimo
Si a < 0 es convexa y admite un máximo
b) Vértice: punto de la curva donde la función alcanza el mínimo o el máximo.
Sus coordenadas se obtienen de la siguiente forma:
x
b
a
V =
−
2
=
+−
=
+−
=+−=++==
a
acb
a
acbb
c
a
b
a
ba
cxbxaxfy VVVV
4
4
4
42
24
)(
2222
2
2
2
ante)(discrimin4donde
44
)4( 2
2
acb
aa
acb
−=∆
∆−
=
−−
=
Luego, V x yV V= ( , )
c) Eje de simetría: x xV=
Hay un único punto de
intersección. Se trata de un
sistema compatible
determinado (admite
solución única).
Se obtienen dos rectas
superpuestas y en
consecuencia hay infinitos
puntos de intersección. Se
trata de un sistema
compatible indeterminado
(existen infinitas
soluciones).
Se obtienen dos rectas
paralelas y, por lo tanto, la
intersección es vacía. Se
trata de un sistema
incompatible (no tiene
solución).

Funciones
31
d) Intersección con el eje y : ( , ( )) ( , )0 0 0f c=
e) Intersecciones con el eje x: Se obtiene resolviendo la ecuación de 2do
grado
a x b x c2
0+ + = .
Las raíces pueden calcularse con la siguiente fórmula:
x
b b ac
a
1 2
2
4
2
, =
− ± −
y según sea el valor de ∆ = −b ac2
4 pueden presentarse los siguientes casos:
i) ∆ > 0 : Las raíces son reales y distintas, en cuyo caso la función tiene dos ceros
reales distintos y la parábola corta al eje x en dos puntos de abscisas
x
b
a
x
b
a
1 2
2 2
=
− −
=
− +∆ ∆
y
Obsérvese que x
x x
V =
+1 2
2
.
ii) ∆ = 0 : La ecuación de 2do
grado tiene en este caso una raíz doble y la función
cuadrática un solo cero. La parábola tiene un solo punto de intersección con el eje x
en
x
b
a
xV=
−
=
2
En este caso el eje x es tangente a la parábola.

Funciones
32
iii) ∆ < 0 : Las raíces de la ecuación de segundo grado f x( ) = 0 son complejas en
cuyo caso la función no tiene ceros reales y la parábola no tiene intersecciones con
el eje x.
Factorización de la función cuadrática: Las posibilidades que se presentan son las
siguientes:
i) y a x x x x= − −( ) ( )1 2 , siendo x1 y x2 los ceros de la función.
ii) y a x x= −( )1
2
si tiene un cero único.
iii) Si la ecuación a x b x c2
0+ + = tiene raíces complejas la función no se puede factorizar y
se dice que es irreducible.
Ejemplo 10: Representemos gráficamente la función cuadrática y x= 2
.
Mediante una tabla de valores obtenemos algunos puntos de la parábola
x y x= 2
0 0
-1 1
-2 4
1 1
2 4

Funciones
33
Observemos que V = ( , )0 0 y el eje de simetría es x = 0. Además se puede ver que la función
y x= 2
es par ya que x x2 2
= −( ) , es decir, f x f x( ) ( )= − .
Ejemplo 11: Estudiemos los desplazamientos de la parábola en los siguientes casos:
1. y x= +2
2 (sumamos 2 a la función y x= 2
)
2. y x= +( )2 2
(sumamos 2 al argumento x de la función y x= 2
)
3. y x= + +( )2 22
4. y x= − 2
Observemos las gráficas. La parábola correspondiente a la función y x= 2
se desplaza en cada
caso:
1. 2 unidades en el sentido positivo del eje y.
2. 2 unidades en el sentido negativo del eje x.
3. 2 unidades en el sentido positivo del eje y y 2 unidades en el sentido negativo del eje x.
4. En este caso se obtiene una parábola simétrica respecto del eje x de la correspondiente a
y x= 2
.

Funciones
34
Observando los desplazamientos del vértice podemos escribir la ecuación de una parábola
cuyo vértice sea V x yV V= ( , ) como:
VV yxxay +−= 2
)(
Dicha ecuación en la que aparecen las coordenadas del vértice se denomina ecuación
canónica.
Dada la ecuación canónica de una parábola es inmediato decir cuáles son las coordenadas del
vértice.
Ejemplo 12: y x V= + − ⇒ = − −2 3 1 3 12
( ) ( , ) . Luego, como a = >2 0 , la parábola es
cóncava y tiene un mínimo.
Si se pregunta el dominio y el recorrido o imagen podemos deducir que Df IR= y
If = − + ∞[ , )1 ya que y yV minimo= = −1
*Proponemos la resolución de los problemas 9 y 10 de la guía de trabajos prácticos.
Cuando la función está escrita en forma polinómica y a x b x c= + +2
y se pide su forma
canónica puede procederse de dos maneras distintas: hallando previamente las coordenadas
del vértice, o bien, completando cuadrados.
Ejemplo 13: Escribamos la ecuación y x x= − +2 4 12
en forma canónica.
i) Hallando previamente las coordenadas del vértice
y x x
x
b
a
y f x f
y xV
V V
= − + ⇒
=
−
=
= = = −




⇒ = − −2 4 1 2
1
1 1
2 1 12 2
( ) ( )
( )
ii) Completando cuadrados
y x x= − +2 4 12
y x x= − +





2 2
1
2
2
Sacamos factor común a. En este caso, a = 2.
y x x= − + − +





2 2 1 1
1
2
2
Sumamos y restamos un número para que los tres
primeros términos del paréntesis sean los de un trinomio
cuadrado perfecto. En este caso, el número sumado y
restado es 1 (el cuadrado de la mitad del coeficiente de
x).
( )y x= − −



2 1
1
2
2
Escribimos el trinomio cuadrado como cuadrado de un
binomio.
y x= − −2 1 12
( ) Distribuimos a.

Funciones
35
*Ahora se puede resolver el problema número 11.
Sistemas de ecuaciones formados por una función cuadrática y una lineal
Recurrimos al siguiente ejemplo para explicarlo:
Ejemplo 14: Resolver analíticamente y gráficamente el siguiente sistema:
y x x
y x
= − +
= − +



2
4 3
3
Analíticamente: Igualamos las funciones
x x x x x x x x x2 2
1 24 3 3 3 0 3 0 0 3− + = − + ⇒ − = ⇒ − = ⇒ = ∨ =( )
Luego el conjunto solución es ( ){ ( ) }0,3,3,0=S
Gráficamente: Debemos representar gráficamente ambas funciones para determinar los puntos
de intersección.
En este caso se trata de determinar los puntos de intersección de una recta con una parábola.
Para representar la parábola determinamos: raíces, vértice, intersección con eje y, simétrico de
éste respecto del eje de simetría.
x
b b ac
a
x x1 2
2
1 2
4
2
4 16 12
2
4 2
2
1 3, =
− ± −
=
± −
=
±
⇒ = ∧ =
x
x x
yV V=
+
=
+
= ⇒ = −1 2
2
1 3
2
2 1
Los puntos de intersección son
P Q= ∧ =( , ) ( , )0 3 3 0 .
*Resolver ahora el problema 12.

Funciones
36
III. FUNCIONES POLINÓMICAS
Son de la forma:
y a x a x a x a x a x an
n
n
n
= + + + + + +−
−
1
1
3
3
2
2
1 0K con an ≠ 0 .
Se dice que la función es de grado n y INn ∈ .
La función lineal y la cuadrática son casos particulares de ella. En efecto:
y a x a x a= + +2
2
1 0 2=n
y a x a= +1 0 1=n
Ejemplo15: Representemos gráficamente y x= 3
.
Construyamos una tabla de valores para obtener algunos puntos.
Observando la gráfica podemos ver que se trata
de una función impar, es decir,
f x f x( ) ( )= − − . Además, Df IR= y If IR= .
Ejemplo 16: Las gráfica de y x= − +( )2 13
se obtiene desplazando la de 3
xy = de la
siguiente forma: 2 unidades en el sentido positivo del eje x y 1 unidad en el sentido positivo
del eje y.

Funciones
37
*Resolver el problema 13 de la guía de trabajos prácticos.
División de polinomios: Recordemos que un polinomio P x( ) puede dividirse por otro
polinomio Q x( ) si se verifica: gr P gr Q≥ .
P x( ) Q x( )
R x( ) C x( )
donde P x( ) es el dividendo; C x( ) el cociente; Q x( ) el divisor y R x( ) el resto
Además,
( )



=+
=∨<∧≤
)()()()(
0
xPxRxQxC
RQgrRgrPgrQgr
Ejemplo 17: Sean P x x x x( ) = − − −4 3 2
2 2 3 y Q x x x( ) = − +2
2 1. Para efectuar la división
los polinomios deben ordenarse según potencias decrecientes de x y el dividendo debe
completarse.
x x x x4 3 2
2 2 0 3− − + − x x2
2 1− +
− + −x x x4 3 2
2 x2
3−
− + −3 0 32
x x
3 6 32
x x− +
− 6x
Observemos que C x x( ) = −2
3 y R x x( ) = −6 .

Funciones
38
*Con la guía del ejemplo anterior se puede resolver el problema 14.
Regla de Ruffini: Se utiliza para hallar los coeficientes del cociente de la división de un
polinomio por otro que guarda la forma x a+
Ejemplo 18: Hallar cociente y resto de la división
( ) :( )x x x x3 2
7 14 21 2− + − −
No hay que olvidar completar y ordenar el dividendo si fuera necesario.
La disposición práctica es la siguiente:
1 -7 14 -21 coeficientes del dividendo
− =a 2 ↓ 2 -10 8
1 -5 4 -13 resto
coeficientes del cociente ordenado
Por lo tanto, obtenemos que C x x x( ) = − +1 5 42
y R x( ) = −13. Observemos que el grado del
cociente es igual al grado del dividendo menos 1, es decir: gr C x( ) = − =3 1 2.
*Realizar el problema 14 de la guía de trabajos prácticos.
Factorización de la función polinómica: Podemos extender lo que ya habíamos visto para
función cuadrática. Dada la función:
y a x a x a x a x a n a IRn
n
n
n
n= + + + + + ∀ ∈−
−
1
1
2
2
1 0K :
Podemos escribirla como:
i) Si tiene n raíces reales simples )()()( 21 nn xxxxxxay −−−= K
ii) Si tiene j raíces reales múltiples jk
j
kk
n xxxxxxay )()()( 21
21 −−−= K
Aclaremos que una raíz o cero xj de un polinomio tiene orden de multiplicidad kj , si el
polinomio es divisible por ( )x xj
k j
− pero no lo es por ( )x xj
k j
−
+1
.
Observación: En la factorización de una función polinómica pueden aparecer expresiones
cuadráticas irreducibles, en cuyo caso la función tiene ceros complejos conjugados.
Ejemplo 19: Veamos algunos ejemplos de polinomios ya factorizados.
a) y x x= −2
1( ) Es una función polinómica de grado 3. Sus ceros son: x1 0= (raíz
doble) y x2 1= (raíz simple).

Funciones
39
b) y x x x= − +2 1 22 3
( ) ( ) Es una función polinómica de grado 6. Sus ceros son: x1 0=
(raíz simple), x2 1= (raíz doble) y x3 2= − (raíz triple).
c) y x x x= + +( ) ( )1 12
Es una función polinómica de grado 4. Tiene sólo dos ceros
reales x1 0= y x2 1= − ; los otros dos ceros son complejos.
Ejemplo 20: Veamos el problema 15 de la guía de trabajos prácticos
Se pide probar que 1 es raíz de P x x x x( ) = − + −3 2
1. Debemos probar que P( )1 0= , o bien,
que el polinomio dado es divisible por ( )x −1 .
Calculamos P( )1 1 1 1 1 03 2
= − + − = .
Para determinar el orden de multiplicidad de la raíz x1 1= dividimos por ( )x −1 en forma
consecutiva hasta que el resto de la división sea distinto de cero.
Podemos aplicar la Regla de Ruffini en forma reiterada.
1 -1 1 -1
1 1 0 1
1 0 1 0
1 1 1
1 1 2
Observar que el polinomio es divisible por ( )x −1 pero no lo es por ( )x −1 2
ya que el resto
de la segunda división no es cero. Luego x1 es una raíz simple.
Para factorizar el polinomio escribimos el productoindicado entre ( )x −1 y el cociente de la
división entre P x( ) y ( )x −1 : P x x x( ) ( ) ( )= − +1 12
.
Obsérvese también que ha aparecido un factor cuadrático irreducible por lo cual el polinomio
tiene un par de raíces complejas conjugadas.
Teorema del Resto: “El resto de la división de un polinomio P x( ) por otro de la forma
( )x a+ es igual al valor del polinomio P x( ) especializado en x a= − , o sea, P a( )− ”
En efecto:
P x( ) ax +
R C x( )
Como P x C x x a R( ) ( ) ( )= + + , si hacemos x a= − resulta
P a C a a a R R( ) ( ) ( )− = − − + + =
Ejemplo 21: Utilizar el teorema del resto para determinar los valores de k, de modo que
g x( ) sea un factor de f x( ) .
f x x k x k x( ) = + − −3 2
9 y g x x( ) = + 3

Funciones
40
Para ello debe ser f x( ) divisible por ( )x + 3 , es decir el resto de la siguiente
división f x x( ) :( )+ 3 debe ser cero.
Podemos plantear:
R f k k k= − = ⇒ − + − − − − = ⇒ =( ) ( ) ( ) ( )3 0 3 3 3 9 0 33 2
Ejemplo 22: Hallar una función polinómica de grado 3 cuyos ceros sean x1 0= , x2 1= y
x3 2= − .
Podemos plantear: y a x x x= − +( ) ( )1 2
Como no está determinado el valor de a, existen infinitas funciones polinómicas de 3er grado
que cumplen con la condición dada. Obtenemos cualquiera de ellas dándole un valor
cualquiera a a, por ejemplo si 1=a : y x x x= − +( ) ( )1 2 , que obviamente no es única.
Si además nos hubieran pedido que: 4)2( =f entonces a está determinada pues:
( )( )
f a a( ) ( ) ( )2 2 2 1 2 2 4
4
2 2 1 2 2
1
2
== − + = ⇒ =
− +
=
y la función pedida sería:
y x x x= − +
1
2
1 2( ) ( )
*Realizar el problema 15 de la guía de trabajos prácticos.
IV. FUNCIÓN MÓDULO o VALOR ABSOLUTO
Está definida por:



<−
≥
==
0
0
)(
xx
xx
xxf
Su dominio es Df IR= y su imagen [ )If = + ∞0, .
Su gráfica es:
Observación: x x= 2

Funciones
41
Ejemplo 23: Desplazando convenientemente la gráfica de xy = se pueden trazar las gráficas
de funciones tales como:
1) y x= − 2
2) y x= − 2
3) y x=
1
2
4) y x= −
1
2
En cada caso se observa:
1) Un desplazamiento 2 unidades en el
sentido positivo del eje x.
2) Un desplazamiento 2 unidades en el
sentido negativo del eje y.
3) Un cambio de pendiente
4) Imágenes opuestas respecto de y x=
1
2
.
Propiedades del valor absoluto
1) 0:0, >≠∀ xxx
2) ( )kxkkxxk <<−⇔<∀>∀ :0
3) ( )kxkxkxxk >∨−<⇔>∀>∀ :0
4) yxyxyx =∀∀ :
5) yxyxyx +≤+∀∀ :
Ejemplo 24: Veamos algunos ejemplos:
a) { }3/ =∈= xIRxA
x x x= ⇒ = ∨ = −3 3 3
b) { }12/ <−∈= xIRxB
x x x x− < ⇒ − < − < ⇒ − + < < + ⇒ < <2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 3
c) { }12/ >−∈= xIRxC
x x x x x x x− > ⇒ − > ∨ − < − ⇒ > + ∨ < − + ⇒ > ∨ <2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 3 1
*Las propiedades vistas y la definición de módulo o valor absoluto permiten resolver el
problema 16.

Funciones
42
V. FUNCIÓN HOMOGRÁFICA
Responde a la forma y
ax b
cx d
=
+
+
donde
c
ad bc
≠
− ≠



0
0
En efecto si:
• ⇒= 0c y =
ax b
d
a
d
x
b
d
+
= + la función es lineal.
•
d
c
b
a
bcadbcad =⇒=⇒=− 0 . Luego,
y
ax b
cx d
b
a
b
x
d
c
d
x
b
d
=
+
+
=
+






+






=
1
1
la función es constante.
La función está definida para todo número x real excepto para aquel que anula el denominador
}{






−−=






−≠∈=≠+∈=
c
d
IR
c
d
xIRxdcxIRxDf /0/
Su gráfica es una curva llamada hipérbola.
Ejemplo 25: Representemos gráficamente la siguiente función:
y
x
=
1
donde 1,1,0 === cba y 0=d .
Hagamos una tabla de valores para obtener algunos puntos:
x y
-¼ 4
-½ -2
-1 -1
-2 -½
1 1
2 ½
½ 2
¼ 4

Funciones
43
Observación:
1) Conforme los valores de x están más próximos a 0 el valor absoluto de la función es cada
vez mayor (se dice que f x( ) tiende a infinito cuando x se acerca a 0).
La función no está definida en x0 0= , su dominio es { }IR − 0 . Se dice que el eje y de
ecuación 0=x es asíntota vertical de la curva.
2) A medida que x crece en valor absoluto los valores que toma la función se acercan cada vez
más a 0. Decimos que el eje x de ecuación 0=y es asíntota horizontal al gráfico de f x( ) .
Las asíntotas (los ejes coordenados en este caso) son perpendiculares (hipérbola equilátera) y
se cortan en un punto que es centro de simetría de la curva.
3) La hipérbola tiene dos ramas simétricas respecto del punto de intersección de las asíntotas
que están situadas en el 1º y 3º cuadrante respecto de ellas.
Para la función y
x
= −
1
las ramas estarían situadas en el 2º y 4º cuadrante.
Conocida la gráfica de
x
y
1
= puede obtenerse mediante los correspondientes
desplazamientos la gráfica de una función que responda a:
β
α
+
−
=
x
K
y con α β> ∧ >0 0
A esta función le corresponde una hipérbola equilátera obtenida corriendo la hipérbola de
ecuación y
K
x
= , α unidades en el sentido positivo del eje x y β unidades en el sentido
positivo del eje y.
Discutir el caso de α y/o β menores que cero.

Funciones
44
Si la función está dada en la forma
dcx
bax
y
+
+
= puede llevarse a la forma β
α
+
−
=
x
K
y
dividiendo los polinomios )( bax + y )( dcx + .
Ejemplo 26: Sea la función y
x
x
=
+
−
1
2
. Dividiendo ambos polinomios obtenemos:
1+x 2−x
2+− x 1
3
Por lo tanto queda: y
x
x x
=
+
−
= +
−
1
2
1
3
2
donde 03 >=K , α = 2 y β = 1.
Las ecuaciones de las asíntotas
son:
A.V. : 2=x
A.H. : 1=y
El dominio de la función es
{ }Df IR= − 2 y el recorrido o
imagen es { }If IR= − 1 .
Observación: El signo de K determina en cuáles cuadrantes respecto de las asíntotas están
incluidas las ramas de la hipérbola:
1) ⇒>=−−⇒> 0))((0 KxyK αβ 1º y 3º cuadrantes respecto de A.V. y A.H.
2) ⇒<=−−⇒< 0))((0 KxyK αβ 2º y 4º cuadrantes respecto de A.V. y A.H.
Alternativamente se pueden aplicar las siguientes fórmulas:
A V x
d
c
A H y
a
c
. .: . .:= − ∧ =
Df IR
d
c
If IR
a
c
= − −






∧ = −







Funciones
45
Sistemas formados por una función lineal y una homográfica
Vamos a ilustrarlo con el siguiente ejemplo.
Ejemplo 27: Resolver el siguiente sistema:
y
x
x
y x
=
+
−
= +




6
2
1
Analíticamente: Igualamos ambas funciones
x
x
x x x x x x x x x x
+
−
= + ⇒ + = + − ⇒ + = − + − ⇒ − − =
6
2
1 6 1 2 6 2 2 2 8 02 2
( ) ( )
Resolvemos ahora la ecuación de segundo grado:
x x x1 2 1 2
2 4 32
2
2 6
2
2 4, =
± +
=
±
⇒ = − ∧ =
Buscamos los valores de las ordenadas: y y1 21 5= − ∧ =
Por lo tanto, el conjunto solución es { }S = − −( , );( , )2 1 4 5
Gráficamente: Hay que graficar la función lineal y la homográfica.
Para trazar la hipérbola determinamos previamente.
A V x A H y. .: . .:= ∧ =2 1
Los puntos de
intersección son
P Q= − − ∧ =( , ) ( , )2 1 4 5

Funciones
46
*Resolver como aplicación de lo que se ha explicado los problemas 17 y 18 de la guía de
trabajos prácticos.
VI. FUNCIÓN EXPONENCIAL
Es de la forma y ax
= con 10 ≠∧> aa .
Su gráfica tiene las siguientes características:
1) a > 1
i) Creciente
ii) Asintótica al semieje
negativo de abscisas
iii) No tiene ceros
iv) f f a( ) ( )0 1 1= ∧ =
2) 0 1< <a
i) Decreciente
ii) Asintótica al semieje positivo
de abscisas
iii) No tiene ceros
iv) f f a( ) ( )0 1 1= ∧ =
En ambos casos: ),0( +∞=∧= IfIRDf .
A partir de las curvas anteriores y desplazamientos correspondientes pueden obtenerse las
curvas de funciones de la forma:
βα
+= −x
ay
*Así son las funciones que proponemos resolver en el ejercicio 19 de la práctica.

Funciones
47
VII. FUNCIÓN LOGARÍTMICA
Recordemos primeramente la definición de logaritmo
loga
c
b c a b= ⇔ =
El logaritmo en base a ( 1,0 ≠> aa ) de un número b ( 0>b ) es el número c al que hay que
elevar la base a para obtener el número b.
Ejemplo 28: Veamos algunos ejemplos:
a) 481log3 = ya que 8134
=
b) 3001,0log10 −= ya que 001,010 3
=−
c) 2
25
1
log5 −= ya que
25
1
5
1
5
2
2
=





=−
d) 01log8 = ya que 180
=
e) 0log10 no está definido
f) 1log =aa ya que aa =1
La función logarítmica responde a:
y xa= log con 10 ≠∧> aa
Su dominio e imagen son: ( ) IRIfDf =∧∞+= ,0 .
Si xya log10 =⇒= (logaritmo decimal)
Si xyea ln=⇒= (logaritmo natural)
Su gráfica tiene las siguientes características:
1) a > 1
i) Función creciente
ii) Asintótica al semieje negativo de
ordenadas
iii) f f a( ) ( )1 0 1= ∧ =
2) 0 1< <a

Funciones
48
i) Función decreciente
ii) Asintótica al semieje positivo de
ordenadas
iii) f f a( ) ( )1 0 1= ∧ =
*Efectuando desplazamientos de la curva xy alog= pueden obtenerse las gráficas de
funciones de la forma βα +−= )(log xy a como las del ejercicio 20 de la práctica.
Propiedades de los logaritmos
1) log ( ) log loga a ab c b c= +
2) log log loga a a
b
c
b c





 = −
3) log loga
n
ab n b=
4) a ba blog
=
Ejemplo 29: Hallar los valores de x que satisfacen las siguientes ecuaciones:
a) 5log)3(log)3(log 44
2
4 =−−− xx
Utilizando las propiedades antes enunciadas
5log)3(log)3(log2 444 =−−− xx
5log)3(log 44 =−x
853 =⇒=− xx
b) 1)13(log 2
3 =−− xx
Utilizando la definición de logaritmo:
043313313 2212
=−−⇒=−−⇒=−− xxxxxx
14
2
53
2
1693
212,1 −=∧=⇒
±
=
+±
=⇒ xxx
VIII. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Consideremos una circunferencia con centro en el origen de coordenadas de radio r.
Sea S la longitud del arco de circunferencia que abarca un ángulo de amplitud α .

Funciones
49
rOPlong =
Luego, llamamos x a:
r
S
x =
Éste es un número real que indica cuántas veces está contenido el radio r en el arco S
abarcado por el ángulo α . En otras palabras, x es la medida del arco tomando como unidad al
radio.
El sistema circular para la medición de ángulos toma como unidad a un ángulo que abarca un
arco de igual longitud que el radio, es decir, rS = . A este ángulo se lo denomina radián.
Así, un ángulo de x radianes abarca un arco de longitud rxS ⋅= .
Para establecer la equivalencia entre la medida de la amplitud de un ángulo en grados
sexagesimales y radianes tengamos en cuenta que un ángulo de 360° abarca un arco cuya
longitud es la de la circunferencia.
Luego:
=α
long circunf
r
r
r
radianes
. .
= =
2
2
π
π
Grados sexagesimales Radianes
360 2 π
180 π
90
2
π
60
3
π
45
π
4
30
π
6

Funciones
50
Las funciones trigonométricas o circulares son aquellas que le asignan a cada número real
x las razones trigonométricas del ángulo de x radianes , las cuales son, observando el gráfico
del principio del capítulo:
r
Pdeordenada
x =sen
r
Pdeabscisa
x =cos
Pdeabscisa
Pdeordenada
x =tg
donde P es el extremo del arco con origen en )0,(r correspondiente al ángulo de x radianes.
Observación: A partir de ahora la circunferencia trigonométrica será considerada de radio 1.
Relación fundamental de la trigonometría
Consideremos el triángulo rectángulo PMO
∆
.
OM PM catetos∧
OP hipotenusa
Aplicando el Teorema de Pitágoras
x y2 2
1+ = . Resulta:
sen cos2 2
1α α+ =
Definición: Una función IRIRf →: es periódica, y su período se indica con T, si se cumple
IRxxfTxf ∈∀=+ )()(
Veamos, ahora, la gráfica de algunas funciones trigonométricas.

Funciones
51
Función seno: Responde a y x= sen
[ ]
Df IR
If
=
= −1 1,
π2=T
Función coseno: Responde a y x= cos
[ ]
Df IR
If
=
= −1 1,
π2=T
Función tangente: Responde a y x
x
x
= =tg
sen
cos

Funciones
52
Df x IR x k k Z= ∈ ≠ + ∧ ∈






/ ( )2 1
2
π
If IR= π=T
Función cosecante: Responde a y ec x
x
= =cos
sen
1
Función secante: Responde a y x
x
= =sec
cos
1
Función cotangente: Responde a y g x
x
x
x
= = =cot
tg
cos
sen
1
Si una función que responde a:
)sen(bxay =
a: amplitud, da el máximo y el mínimo valor que alcanza la función
ayay minmax −=∧=
b: factor que modifica el período T.
T
b
=
2 π
Ejemplo 30: Representemos en un mismo gráfico las funciones:
1) y x T a1 1 12 1= ⇒ = =sen π
2) y x T a2 2 22
1
2
2
1
2
4 2= ⇒ = = =sen
π
π

Funciones
53
*Resolver el ejercicio 21 de la guía de trabajos prácticos.
Es conveniente tener presente la siguiente tabla sobre los valores de las funciones
trigonométricas de los ángulos notables del 1er cuadrante.
α ( )radianes 0 π
6
π
4
π
3
π
2
senα 0 1
2
2
2
3
2
1
cosα 1 3
2
2
2
1
2
0
tgα 0 3
3
1 3 ∃/
Ejemplo 31: Hallar los valores de [ )x ∈ 0 2, π que satisfacen:
a) sen x =
1
2
Trazamos una circunferencia de r = 1 para guiarnos.
Observemos que el senα está dado por la coordenada y ya que 1=r .
Luego, hay dos ángulos en [ )0 2, π para los que el seno vale ½.
El primero pertenece al 1er. cuadrante
: α
π
1
6
= .
El otro pertenece al 2º cuadrante y
podemos calcularlo así:
α π
π
π2
6
5
6
= − =
En la gráfica de la función y x= sen vemos que:

Funciones
54
x x1 2
6
5
6
= ∧ =
π
π
Luego, la solución será:
S =






π
π
6
5
6
,
b)
sen
cos
x
x
=
= −



1
1
Observar que para ningún punto
[ )π2,0∈x se cumple
simultáneamente:
sen cosx x= ∧ = −1 1
Luego, el conjunto solución es:
S = ∅.
DOMINIO DE FUNCIONES
Determinar el dominio de una función real de variable real (función escalar) definida
mediante una fórmula y f x= ( ) cuando éste no está indicado significa hallar el subconjunto
de números reales más amplio posible para el cual la expresión f x( ) tenga sentido y tome
valores reales. Para ello deberán hacerse las siguientes consideraciones:
1) Denominadores: Cuando en la expresión f x( ) figuren denominadores, estos no pueden
valer cero.
Ejemplo 32: Hallar el dominio de
( )( )
f x
x x
( ) =
+ −
2
1 3
Debemos plantear: ( ) ( )x x x x+ − ≠ ⇒ ≠ − ∧ ≠1 3 0 1 3.
Por lo tanto, el dominio de la función es { }Df IR= − −1 3, .

Funciones
55
2) Radicales: Cuando figuran radicales de índice par los radicandos no pueden tomar valores
negativos.
Ejemplo 33: Hallar el dominio de f x x x( ) ( ) ( )= + −1 3
Debemos plantear ( ) ( )x x x x+ − ≥ ⇒ − − ≥1 3 0 2 3 02
. Completando cuadrados
obtenemos:
x x x x2 2
2 1 1 3 0 1 4 0 1 4 2− + − − ≥ ⇒ − − ≥ ⇒ − ≥ = ⇒( )
x x x x− ≥ ∨ − ≤ − ⇒ ≥ ∨ ≤ −1 2 1 2 3 1
Por lo tanto, el dominio de la función es: ( ] [ )Df = − ∞ − ∪ + ∞, ,1 3 .
3) Argumentos de logaritmos: Cuando figure un logaritmo su argumento no puede ser nulo
ni negativo.
Ejemplo 34: Hallar el dominio de ( )( )[ ]f x x x( ) log= + −1 3
Debemos plantear: ( ) ( )x x x x+ − > ⇒ > ∨ < −1 3 0 3 1
Por lo tanto, el dominio de la función es: ( ) ( )Df = − ∞ − ∪ +∞, ,1 3 .
Resolvemos a continuación algunos ejercicios sobre la determinación de dominios.
Ejemplo 35: Hallar el dominio de las siguientes funciones:
1) f x
x
( ) =
−
1
42
Debemos plantear que el denominador sea distinto de cero y que el radicando sea mayor o
igual a cero.
x x x x x2 2
4 0 4 2 2 2− > ⇒ > ⇒ > ⇒ > ∨ < −
Por lo tanto, el dominio de la función es: ( ) ( )Df = − ∞ − ∪ +∞, ,2 2 .
2)
( )
f x
x
( )
log
=
+
2
2 3
Debemos plantear dos condiciones:
i) log( )2 3 0 2 3 1 1x x x+ ≠ ⇒ + ≠ ⇒ ≠ −
ii) 2 3 0
3
2
x x+ > ⇒ > −
Por lo tanto, haciendo la intersección de ambas condiciones, obtenemos:
( )Df x IR x x= ∈ > − ∧ ≠ −






= − −





 ∪ − +∞/ , ,
3
2
1
3
2
1 1
3) f x
x x
x x
( ) =
>
− <



3
1
2 1 1

Funciones
56
En este caso la función está definida para todo x real excepto para 1=x , ya que ninguna de las
expresiones que definen la función es aplicable cuando 1=x .
Luego: { }Df IR= − 1
*Ahora puede resolver el ejercicio 22 de la guía de trabajos prácticos.
CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES
1) Función inyectiva: Una función BAf →: es inyectiva si y solo si a elementos distintos
del dominio (A) le corresponden imágenes distintas en el codominio (B).
En símbolos:
))()((:, 212121 xfxfxxAxAx ≠⇒≠∈∀∈∀
o bien, 2121 )()( xxxfxf =⇒=
Gráficamente si una función es inyectiva cualquier recta paralela al eje x no puede intersecar
al gráfico de ella en más de un punto, ya que ningún elemento del codominio puede ser
imagen de más de un elemento del dominio.
Ejemplo 36: Investigar si las siguientes funciones son inyectivas:
a) 2)(/: 2
+=→ xxfIRIRf
Para investigar analíticamente la inyectividad debemos analizar la validez de la siguiente
proposición:
2121 )()( xxxfxf =⇒=
En este caso, reemplazando 1x y 2x en )(xf :
x x x x x x1
2
2
2
1
2
2
2
1 22 2+ = + ⇒ = ⇒ =
La igualdad a la que hemos llegado no quiere decir que necesariamente sea x x1 2= , ya que
podrían ser números opuestos, o sea:
No es inyectiva Es inyectiva

Funciones
57
x x x x x x1 2 1 2 1 2= ⇒ = ∨ = −
. Luego la proposición 2121 )()( xxxfxf =⇒= no es verdadera. Por lo tanto, f x( ) no
es inyectiva.
Gráficamente se puede observar que la recta de ecuación 6=y interseca a la parábola en los
puntos )6,2(− y )6,2( . Luego, f x( ) no es inyectiva.
− ≠ ∧ − =2 2 2 2f f( ) ( )
b) Consideremos una restricción de la función f x( ) del ejercicio anterior, tomando como
dominio al conjunto [ )+∞= ,0A , es decir:
[ ) 2)(*/,0:* 2
+=→+∞ xxfIRf
Veamos ahora si es inyectiva:
f x f x x x x x x x x x*( ) *( )1 2 1
2
2
2
1
2
2
2
1 2 1 22 2= ⇒ + = + ⇒ = ⇒ = ⇒ =
En efecto, como x1 ∈[ )0,+∞ es x1 0≥ , por lo tanto, x x1 1= . Análogamente, x x2 2= .
La restricción f x*( ) de la función es una función inyectiva.
Geométricamente: cualquier recta de ecuación ky = (constante) interseca a la curva que es
gráfica de f x* ( ) a lo sumo en un punto.

Funciones
58
También hubiéramos obtenido una función inyectiva restringiendo el dominio de la función al
conjunto ( ]− ∞,0 .
c) ( ) 3
2)(/,0: +
=+∞→ x
xgIRg
Veamos si es inyectiva:
g x g x x x x x
( ) ( ) log log1 2
3 3
2
3
2
3
2 2 2 21 2 1 2
= ⇒ = ⇒ = ⇒+ + + +
( ) log ( ) logx x x x x x1 2 2 2 1 2 1 23 2 3 2 3 3+ = + ⇒ + = + ⇒ =
Luego, g x( ) es inyectiva.
2) Función Sobreyectiva o Suryectiva: Una función BAf →: es suryectiva si y solo si
todos los elementos del codominio (B) tienen preimagen en el dominio (A). Dicho con otras
palabras el codominio (B) y el recorrido o imagen If deben coincidir.
En símbolos:
)(/ xfyAxBy =∈∃∈∀
Veamos ejemplos:
Ejemplo 37: Investigar si las siguientes funciones son suryectivas:
a) 2)(/: 2
+=→ xxfIRIRf
Para determinar si una función es sobreyectiva debemos hallar el recorrido para ver si
coincide con el codomonio.
El recorrido o conjunto imagen lo podemos obtener analíticamente despejando x y
determinando para que valores reales de y se obtendrían valores de x pertenecientes al
dominio (IR).
y x y x= + ⇒ − =2 2
2 2
Como x y y2
0 2 0 2≥ ⇒ − ≥ ⇒ ≥ . Luego, [ )If = +∞2, .
La imagen o recorrido If no coincide con el codominio (IR) lo cual implica que no todos los
elementos del codominio tienen preimagen en el dominio. Por ejemplo 1 no es imagen de
ningún elemento x del dominio. Concluimos que la función dada no es sobreyectiva.
b) Si efectuamos una restricción en el codominio del ejemplo anterior:
[ ) 2)(/,2: 2
+=+∞→ xxfIRf
obtenemos una función suryectiva ya que el codominio coincide con la imagen.
c) ( ) 3
2)(/,0: +
=+∞→ x
xgIRg
Busquemos la imagen:
y y y x x yx x
= ⇒ = ⇒ = + ⇒ = −+ +
2 2 3 2 33
2 2
3
2 2 2log log log ( ) log log
Nótese que y sólo puede tomar valores positivos para que se obtengan valores reales de x.
Luego, ( )If = +∞0, que coincide con el codominio o conjunto de llegada.
Por lo tanto, la función g es suryectiva.

Funciones
59
3) Función biyectiva: Una función es biyectiva si y solo si es inyectiva y suryectiva.
FUNCIÓN INVERSA
Las relaciones inversas de funciones biyectivas son también funciones biyectivas. En efecto, si
f es una función cualquiera su relación inversa puede o no ser una función; solo si f es
biyectiva, la relación inversa es otra función llamada función inversa, que anotamos 1−
f .
f es suryectiva pero no inyectiva.
f −1
no es función ( no cumple la condición de
unicidad de la imagen).
f es inyectiva pero no suryectiva.
f −1
no es función ( no cumple la
condición de existencia de imagen para
todo elemento del conjunto de partida).
f es biyectiva, por lo tanto f −1
es
función.
Df If If Df− −
= ∧ =1 1

Funciones
60
Ejemplo 38: Dada la función ( ) )3(log)(/,3:
3
1 +=→+∞− xxfIRf . Clasificarla y
hallar, si existe, su inversa.
• Analizamos inyectividad:
f x f x x x x x x x( ) ( ) log ( ) log ( )1 2 1
3
1 1
3
2 1 2 1 23 3 3 3= ⇒ + = + ⇒ + = + ⇒ =
• Investigamos suryectividad:
y x x x
y y
= + ⇒ + =





 ⇒ =





 −log ( )1
3
3 3
1
3
1
3
3
Todo número real y tiene preimagen x en el conjunto ( )− +∞3, .
En símbolos:
)(/),3( xfyxIRy =+∞−∈∃∈∀
Por lo tanto, f x( ) es suryectiva.
• Concluimos que la función f x( ) es biyectiva y por lo tanto admite función inversa. Para
hallar f x−1
( ) despejamos x de y = f x( ) y en la expresión obtenida cambiamos x por y,
e y por x pues por costumbre se designa con x a la variable independiente e y a la
dependiente.
( ) 3
3
1
)(/,3:3
3
1 11
−





==+∞−→⇒−





= −−
xy
yxfIRfx
Trazamos las gráficas de f x( ) y f x−1
( ).
Observación: Las curvas que son gráficas de una función y de su inversa son simétricas
respecto de la recta de ecuación xy = .
Ejemplo 39: Dadas las siguientes funciones clasificarlas. Redefinir, si fuera necesario,
dominio y codominio para que sean biyectivas y hallar su inversa.
a) { }
2
1
)(/2:
−
+
=→−
x
x
xfIRIRf

Funciones
61
• Investigamos la inyectividad:
f x f x
x
x
x
x
x x x x( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2
1
1
2
2
1 2 2 1
1
2
1
2
1 2 1 2= ⇒
+
−
=
+
−
⇒ + − = + − ⇒
x x x x x x x x x x x x x x1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1 1 22 2 2 2 2 2− + − = − + − ⇒ + = + ⇒ =
Por lo tanto, f x( ) es inyectiva.
• Investigamos la suryectividad:
y
x
x
y x x y x y x y x x y=
+
−
⇒ − = + ⇒ − = + ⇒ − = + ⇒
1
2
2 1 2 1 2 1( )
x y y x
y
y
( )− = + ⇒ =
+
−
1 2 1
2 1
1
Luego, { }If IR= − 1 y, como no coincide con el codominio IR, f x( ) no es suryectiva.
Redefinamos el codominio para que sea biyectiva.
{ } {}
2
1
)(/12:
−
+
=−→−
x
x
xfIRIRf
• Luego, f x( ) es biyectiva por ser inyectiva y suryectiva, por lo tanto f x−1
( ) es función.
Despejamos x
1
12
−
+
=
y
y
x
En la fórmula obtenida cambiamos las variables
1
12
−
+
=
x
x
y
Definamos entonces la función inversa:
{} { }
1
12
)(/21: 11
−
+
=−→− −−
x
x
xfIRIRf
Las gráficas de ambas funciones son las siguientes:
b) 82)(/: 2
−+=→ xxxfIRIRf
Se trata de una función cuadrática cuya gráfica es una parábola como muestra la figura
siguiente:

Funciones
62
Observando el gráfico podemos decir que la función no es inyectiva, ya que cualquier recta de
ecuación y k= con k > −9 interseca a la parábola en dos puntos. Tampoco es suryectiva, ya
que la imagen es el conjunto [ )− +∞9, y el codominio es IR.
Redefinimos dominio y codominio para que sea biyectiva de la siguiente manera:
[ ) [ ) 82)(*/,9,1:* 2
−+=+∞−→+∞− xxxff
Hallamos la inversa despejando x, para lo cual completamos cuadrados.
y x x x x x x y x y= + − = + + − − = + − ⇒ + = + ⇒ + = +2 2 2 2
2 8 2 4 4 8 1 9 1 9 1 9( ) ( ) ( )
Luego, como [ )x ∈ − +∞1, , se verifica que:
x x x x x y≥ − ⇒ + ≥ ⇒ + = + ∴ = + −1 1 0 1 1 9 1
Por lo tanto, la función inversa es:
[ ) [ ) 19)(*/,1,9:* 11
−+=+∞−→+∞− −−
xxff
En la siguiente figura mostramos las gráficas de f x*( ) y f x* ( )−1
.

Funciones
63
*Antes de seguir, resolver el problema 23 de la guía de trabajos prácticos.
Funciones circulares inversas
1) y x= arcsen
La función xxfIRIRf sen)(/: =→ no es inyectiva. En efecto, hay infinitos valores
x IR∈ que tienen la misma imagen. Por ejemplo, consideremos x1 ∈ IR ∧ x2 = x1 + 2 kπ
con k ∈ Ζ , entonces sen senx x1 2= .
Por lo tanto, el seno no tiene función inversa, pero sí la tiene una restricción del seno
al intervalo [- π/2. π/2] , ya que xxfIRf sen)(*/
2
,
2
:* =→



−
ππ
es inyectiva.
Si consideramos como codominio al intervalo [ ]−1 1, , la función:
[ ] xxff sen)(*/1,1
2
,
2
:* =−→



−
ππ
es biyectiva y por lo tanto tiene inversa llamada arco seno
[ ] arcsenxxff =



−→− −−
)(*/
2
,
2
1,1:* 11 ππ

Funciones
64
2) [ ] [ ] xxff arccos)(/,01,1: =→− π
3) xxfIRf arctg)(/
2
,
2
: =





−→
ππ
y x= cos y x= arccos
y x= tg y x= arctg

Funciones
65
FUNCIÓN COMPUESTA
Dadas dos funciones g A B: → y f M N: → donde B M⊆ se llama composición de g con
f a la función f g A No : → definida por ( )( ) ( ( ))f g x f g xo = .
Obsérvese que para que la función compuesta f go exista es necesario que la imagen de g
esté incluida en el dominio de f, o sea, Ig Df⊆ . Si esta condición no se cumple debemos
considerar una restricción de g como se ilustra en la figura siguiente:
El asterisco indica que se ha compuesto una restricción de g con f.
Resolvemos a continuación algunos ejemplos.
Ejemplo 40: Hallar la composición de las siguientes funciones realizando en los casos que sea
necesario restricciones para que la compuesta sea función.
a) f x
x
x
( ) =
+ 2
g x x( ) =

Funciones
66
Comenzamos determinando dominio e imagen de cada función.
• Para que f go sea una función debe cumplirse que Ig Df⊆ . Como
[ ) { }0 2,+∞ ⊂ − −IR , no es necesario hacer restricciones a g.
( )( ) ( )f g x f g x f x
x
x
o = = =
+
( ( ))
2
Observemos que [ )D f g( ) ,o = +∞0 (coincide con el dominio de g) y [ )I f g( ) ,o = 0 1 .
Por lo tanto,
[ ) [ )
2
))((/1,0,0:
+
=→+∞
x
x
xgfgf oo
• Para hallar g fo debe cumplirse que If Dg⊆ . Vemos que esto no se cumple, ya que
{ } [ )IR − ⊄ +∞1 0, . Por lo tanto, debemos considerar una restricción de f.
Llamando f* a dicha restricción.
[ ) ( ) ( ) [ )If If Dg Df* , , * , ,= ∩ = ∪ +∞ ⇒ = − ∞ − ∪ +∞0 1 1 2 0
Observemos que D g f Df( *) *o = (no coincide con el dominio de f ya que hemos
considerado una restricción de f) y [ ) ( )+∞∪= ,11,0*)( fgI o .
Por lo tanto,
( *)( ) ( *( ))g f x g f x g
x
x
x
x
o = =
+





 =
+2 2
Concluimos que
( ) [ ) [ ) ( )
2
)*)((/,11,0,02,:*
+
=+∞∪→+∞∪−∞−
x
x
xfgfg oo
{ }
{ }
Df IR
If IR
= −
= −
2
1
[ )
[ )
Dg
Ig
= +∞
= +∞
0
0
,
,

Funciones
67
b) f x x( ) ln( )= − 3 g x x( ) = +2
3
• Vamos a hallar f go . Como Ig Df⊄ , debemos considerar una restricción de g tal que:
( ) { }Ig Ig Df Dg IR* , *= ∩ = +∞ ⇒ = −3 0
Observemos que D f g Dg( *) *o = y I f g IR( *)o = .
Por lo tanto,
( )( *)( ) ( *( )) ln( ) lnf g x f g x f x x xo = = + = + − =2 2 2
3 3 3
Concluimos que:
{ } 2
ln)*)((/0:* xxgfIRIRgf =→− oo
• Vamos a hallar g fo . Como If Dg⊆ , no es necesario considerar una restricción de f.
Por lo tanto, ( )D g f Df( ) ,o = = +∞3 y [ )I g f Ig( ) ,o = = +∞3 .
Luego: ( )( )( ) ( ( )) ln( ) ln ( )g f x g f x g x xo = = − = − +3 3 32
.
Concluimos que:
( ) [ ) 3)3(ln))((/,3,3: 2
+−=+∞→+∞ xxfgfg oo
*Resolver los problemas 24 y 25 de la guía de trabajos prácticos.
( )Df
If IR
= +∞
=
3,
[ )
Dg IR
Ig
=
= +∞3,

Funciones
68
APLICACIONES ECONÓMICAS
FUNCIONES ECONÓMICAS
Funciones de Demanda: Si bien la cantidad demandada de un producto depende de varias
variables como precio del bien, precio de los bienes sustitutos y complementarios, el ingreso
de los consumidores, los gustos, las costumbres, etc., para simplificar el análisis consideramos
como variable fundamental al precio del producto resultando una función )( pDx = , donde x
representa la cantidad que los consumidores están dispuestos a adquirir para distintos niveles
o valores del precio p.
Para los llamados bienes típicos la cantidad demandada disminuye al aumentar el precio, es
decir, las funciones de demanda son decrecientes.
La gráfica de una función de demanda constituye la curva de demanda. Cabe aclarar que sólo
tiene sentido económico la sección o tramo de la curva que queda en el primer cuadrante, ya
que las cantidades de un producto y sus precios toman valores nulos o positivos. Las
funciones de demanda están en algunos casos representadas por ecuaciones lineales, en otros
casos dichas funciones no son lineales.
Observación: La
convención de los
economistas es
representar p en el eje de
las ordenadas y x en el de
abscisas.
Funciones de Oferta: Haciendo la misma hipótesis simplificativa que para el análisis de la
demanda, una función de oferta es )( pOfx = , estableciendo las cantidades x del bien
considerado que los productores ofrecen para cada valor del precio.
Comúnmente al aumentar el precio, aumenta la cantidad ofrecida y si el precio disminuye se
reduce la oferta.
También hacemos aquí las consideraciones sobre la no negatividad de las variables x y p. Las
curvas de oferta se representan en el primer cuadrante.

Funciones
69
Observación: Si las funciones de demanda u oferta están expresadas en función del precio p,
habrá que hallar la función inversa.
Punto de Equilibrio de Mercado: Se produce equilibrio de mercado cuando la cantidad
demandada de un producto es igual a la cantidad ofrecida del mismo.
El precio y la cantidad de equilibrio corresponden a las coordenadas del punto de intersección
de las curvas de la oferta y la demanda.
Para determinar analíticamente el punto de equilibrio debe resolverse el sistema de ecuaciones
que representan las funciones de oferta y de demanda.
Resolvemos a continuación algunos ejemplos ilustrativos
Ejemplo 41: ¿Cuáles de las siguientes ecuaciones representan curvas de demanda, oferta o
ninguna de ellas?
i) 01243 =−+ px
ii) 03 =−x
iii) 0232 =++ xp
iv) 03 =− px

Funciones
70
En todos los casos se trata de ecuaciones lineales. Para determinar si representan funciones de
oferta o demanda determinamos la pendiente. El caso más común es que la pendiente de una
recta de demanda sea negativa y la de una oferta positiva aunque pueden darse los casos
siguientes:
• la pendiente de la recta de demanda es cero: precio constante cualquiera sea la cantidad
demandada.
• la pendiente de la gráfica de demanda no está definida: cantidad demandada constante
cualquiera sea el precio.
• la pendiente de la recta de oferta es cero: precio constante, cualquiera sea la cantidad
ofrecida.
• la pendiente de la gráfica de oferta no está definida: la cantidad ofrecida es constante e
independiente del precio.
i) 4 3 12
3
4
3
3
4
0p x p x m= − + ⇒ = − + ⇒ = − < ⇒ demanda
ii) x x− = ⇒ =3 0 3. Como la pendiente es no definida, entonces oferta o demanda.
iii) p x= − −
3
2
1. Luego, no representa a ninguna, pues ningún punto de la recta pertenece
al primer cuadrante.
iv) p x m= ⇒ = > ⇒
1
3
1
3
0 oferta.

Funciones
71
*Pase a resolver el problema 26 de las aplicaciones económicas.
Ejemplo 42: Cuando el precio de un producto es $ 6 se venden 30 unidades; cuando el precio
sea $ 8, sólo se venderán 10 unidades.
Hallar la ecuación que corresponde a la función de demanda suponiéndola lineal. Graficar la
curva de demanda.
x p
x p
0 0
1 1
30 6
10 8
= =
= =
Conocemos dos puntos de la recta de demanda. Aplicando la ecuación de la recta que pasa por
dos puntos obtenemos:
p p
p p
x x
x x p x p x− =
−
−
− ⇒ − =
−
−
− ⇒ = − +0
1 0
1 0
0 6
8 6
10 30
30 01 9( ) ( ) .
Ejemplo 43: La ecuación de la oferta de un artículo es lineal y se sabe que cuando el precio es
$ 60 hay disponibles en el mercado 900 unidades y que la oferta disminuirá 270 unidades si el
precio disminuyera $ 15.
i) Hallar la ecuación de la oferta.
ii) ¿Cuál es el menor precio al que los productores ofrecerían este artículo?
iii) Graficar la curva
Veamos cómo resolver este problema:
i) p x x p0 060 900 270 15= = ⇒ = − ∧ = −∆ ∆
Podemos calcular la pendiente de la recta de oferta.
18
1
270
15
=
−
−
=
∆
∆
=
x
p
m
Aplicando la ecuación de la recta de pendiente m que pasa por un punto ),( 00 px :
p p m x x p x p x− = − ⇒ − = − ⇒ = +0 0 60
1
18
900
1
18
10( ) ( )
ii) Se nos pide hallar el precio por debajo del cual no habría oferta
x p p= ⇒ = + ⇒ =0
1
18
0 10 10
iii)
*Proponemos la resolución de los problemas 27, 28, 29 y 30.

Funciones
72
Ejemplo 44: Dado el siguiente sistema.
p x x
p x
= + +
= −



2 0 2 001
7 5 0 25
2
. .
. .
i) ¿Cuál ecuación representa una curva de demanda y cuál una de oferta?
ii) Determinar analítica y gráficamente el punto de equilibrio de mercado.
Vamos a resolver este problema:
i) p x m= − + ⇒ = − <0 25 7 5 0 25 0. . . (ecuación de una recta con pendiente negativa)
⇒ demanda.
p x x= + +001 0 2 22
. . (es la ecuación de una parábola de eje de simetría paralelo al eje p)
⇒ oferta.
ii) Para representar la parábola determinemos el vértice y los ceros.
⇒
−±−
=
−±−
=
02,0
04,02,0
02,0
01,0.2.4)2,0(2,0 2
2,1x no tiene ceros
10
)01,0.(2
2,0
2
−=
−
=
−
=
a
b
xV
Para hallar el punto de equilibrio igualamos la oferta y la demanda.
001 0 2 2 0 25 75 001 0 45 55 02 2
. . . . . . .x x x x x+ + = − + ⇒ + − = ⇒
x x x1 2
2
1 2
0 45 0 45 4 0 0155
0 02
0 45 0 65
0 02
10 55,
. ( . ) . .
.
. .
.
=
− ± +
=
− ±
⇒ = ∧ = −
Observemos que este último valor carece de sentido económico. Luego,
p P E= − + = ⇒ =0 2510 7 5 5 10 5. . . . ( , )
*Se puede ahora resolver el problema 31 de las aplicaciones económicas.

Funciones
73
Función de Costo: Una función lineal de costo está dada por:
baxxC +=)( con 0>a y 0>b , donde x es la cantidad producida y )(xC es el costo
total de producir x unidades de un bien.
Si no se fabrica el producto ( 0=x ) hay un costo bC =)0( llamado costo fijo.
Las funciones de costo pueden estar dadas en muchos casos por ecuaciones no lineales.
Llamamos costo medio, promedio o costo por unidad a la función: C x
C x
x
( )
( )
=
Función de Ingreso: Se llama ingreso total I al producto del número x de unidades
demandadas por el precio unitario p.
I x x p( ) =
Para cualquier función de demanda )(xfp = es
I x x f x( ) ( )=
El ingreso medio o ingreso por unidad I x
I x
x
( )
( )
=
Función de Beneficio o Utilidad: Se la define como la diferencia entre la función de ingreso
y la función de costo total.
B x I x C x( ) ( ) ( )= −
El beneficio medio B x
B x
x
( )
( )
=
Veamos algunos ejemplos de aplicación.
Ejemplo 45: Una empresa tiene una función de costo total representada por la ecuación
C x x x x( ) = − −2 3 123 2
¿Cuál es la ecuación de costo promedio?
C x
C x
x
x x x
x
x x( )
( )
= =
− −
= − −
2 3 12
2 3 12
3 2
2
Ejemplo 46: Hallar la ecuación de la función de ingreso si la demanda está dada por
p x= − +3 24 .
I x x p x x x x( ) ( )= = − + = − +3 24 3 242
*Proponemos resolver los problemas 32, 33, 34 y 35 de las aplicaciones económicas.

Funciones
74
INTERÉS COMPUESTO
Una suma de dinero C0 (capital) colocada a la tasa de interés i (interés ganado por cada peso
en un intervalo definido de tiempo llamado período) capitalizada k veces por período, se
transforma al cabo de n períodos en una suma Cn llamada monto (capital + interés).
La expresión que permite calcular el monto es:
C C
i
k
n
k n
= +





0 1
Veamos algunos ejemplos
Ejemplo 47: Una persona tiene $5000 para depositar al 10% anual. Calcular el monto al cabo
de 3 años, si los intereses se capitalizan:
i) Una sola vez por año.
ii) Cada 90 días.
Luego:
i) k C C in
n
= ⇒ = +1 10 ( ) . Como la tasa es del 10%, entonces i = =
10
100
010. . Por lo
tanto, Cn = + =5000 1 010 66553
( . ) .
ii) k = =
360
90
4 ya que la tasa de 10% anual se paga 4 veces por año.
C C
i
k
n
k n
= +





 = +





 = + =0
4 3
12
1 5000 1
010
4
5000 1 0 025 6724 45
.
( . ) ,
Ejemplo 48: ¿Cuánto debemos depositar ahora para contar con $ 12000 dentro de 2 años si
nos pagan el 6% anual de interés capitalizable por mes?
Que la capitalización sea por mes significa que la tasa del 6% anual se capitaliza 12 veces por
año. En efecto:
k =
30
360
= 12. Como la tasa es del 6 %, entonces i = =
6
100
0 06. .
Debemos calcular C0
C C
i
k
n
k n
0
12 2
24
1 12000 1
0 06
12
12000 1 0005 10646 25= +





 = +





 = + =
− −
−.
( . ) .
*Ya se pueden resolver los problemas 36 y 37 de las aplicaciones económicas.

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