Limite de una funcion
- 2. Limite de una FunciónDefinición formal. Algebra de los limites. Propiedades. Unicidad del limite. Indeterminaciones . Regla de L´Hôpital. Reflexión de la Materia. Bibliografía.
- 3. El límite de una función f(x), cuando x tiende a c es L si y sólo si para todo 𝜺 > 𝟎 existe un 𝜹 = 𝜹(𝜺) > 𝟎 tal que para todo número real x en el dominio de la función si 𝟎 < 𝒙 − 𝒂 < 𝜹 entonces 𝒇 𝒙 − 𝑳 < 𝜺 . Visualización de los parámetros utilizados en la definición de limite. Si la función 𝒇 tiene límite 𝑳 en 𝒄 podemos decir de manera informal que la función 𝒇 tiende hacia el límite 𝑳 cerca de 𝒄 si se puede hacer que 𝒇(𝒙) esté tan cerca como queramos de 𝑳 haciendo que 𝒙 esté suficientemente cerca de 𝒄 siendo 𝒙 distinto de 𝒄.
- 4. 1) Las dos condiciones siguientes son equivalentes: (a) lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝐿 (b) lim 𝑥→𝑎 (𝑓 𝑥 − 𝐿) = 0 2) Sean 𝑓, 𝑔 y ℎ tres funciones tales que: 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) ≤ ℎ(𝑥) para todos los puntos de un intervalo que contiene al punto 𝑎, exceptuando el punto 𝑎. Si lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = lim 𝑥→𝑎 ℎ(𝑥) = 𝐿, entonces lim 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) = 𝐿 3) Sean las funciones 𝑓 y 𝑔 que satisfacen 𝑓(𝑥) < 𝑔(𝑥) para todo punto de un intervalo, para los cuales, además lim 𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 = 𝐿1 y lim 𝑥→𝑎 𝑔 𝑥 = 𝐿2 entonces, 𝐿1 ≤ 𝐿2. 4) Si lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝐿, entonces lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝐿
- 5. 1) Si lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝐿1 y lim 𝑥→𝑎 𝑔 𝑥 = 𝐿2, entonces: lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥) = lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) ± lim 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) = 𝐿1 ± 𝐿2 2) Si lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝐿1 y lim 𝑥→𝑎 𝑔 𝑥 = 𝐿2, entonces: lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔 𝑥 = lim 𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 ∙ lim 𝑥→𝑎 𝑔 𝑥 = 𝐿1 ∙ 𝐿2 3) Si lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝐿 y 𝐿 ≠ 0, entonces: lim 𝑥→𝑎 1 𝑓(𝑥) = 1 lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 1 𝐿 4) Si lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝐿1 Y lim 𝑥→𝑎 𝑔 𝑥 = 𝐿2, con 𝐿2 ≠ 0, entonces: lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) = lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) lim 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) = 𝐿1 𝐿2 5) Sean 𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑥 = 𝑔 𝑡 = 𝑎, entonces: lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥)=lim 𝑡→𝑡0 𝑓(𝑔(𝑡))
- 6. TEOREMA: Si el limite de una función existe para "𝑥" tendiendo a "𝑎", entonces es único. Demostración: Sea lim 𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 = 𝐿1 y lim 𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 = 𝐿2 Probemos que 𝐿1 = 𝐿2 Supongamos que 𝐿1 ≠ 𝐿2 , luego podemos suponer que 𝐿1 < 𝐿2. Sea 𝜀 = 𝐿2−𝐿1 2 > 0, luego será: 𝐿1 − 𝜀, 𝐿1 + 𝜀 ∩ 𝐿2 − 𝜀, 𝐿2 + 𝜀 = ∅ Como lim 𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 = 𝐿1 , existe 𝛿1 > 0 , tal que: si 0 < 𝑥 − 𝑎 < 𝛿1 entonces 𝑓 𝑥 − 𝐿1 < 𝜀. (1) Como lim 𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 = 𝐿2 , existe 𝛿2 > 0 , tal que: si 0 < 𝑥 − 𝑎 < 𝛿2 entonces 𝑓 𝑥 − 𝐿2 < 𝜀. (2) Sea 𝛿 = 𝑚𝑖𝑛. 𝛿1, 𝛿2 Luego, si: 0 < 𝑥 − 𝑎 < 𝛿 entonces 𝑓(𝑥) verifica (1) y (2) Por lo tanto: Sea 𝑥 tal que 0 < 𝑥 − 𝑎 < 𝛿 luego 𝑓(𝑥) ∈ 𝐿1 − 𝜀, 𝐿1 + 𝜀 y 𝑓(𝑥) ∈ ( 𝐿2 − 𝜀, 𝐿2 +
- 7. Hay varios tipos de indeterminaciones, entre ellas las siguientes (considere ∞ como el límite que tiende a infinito y 0 al límite cuando tiende a 0; y no al número 0): Operación Indeterminación Sustracción ∞ − ∞ Multiplicación ∞ ∙ 0 División ∞ ∞ ; 0 0 Elevación a potencia 1∞ ,∞0 ,00
- 8. Para 0 0 y 𝑥 → 𝑥0 Teorema:Sean 𝑓 y 𝑔 dos funciones con derivadas 𝑓´ y 𝑔´ en todo punto 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 , tales que 𝑙𝑖𝑚 𝑥→𝑥0 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑥0 = 0 y 𝑙𝑖𝑚 𝑥→𝑥0 𝑔 𝑥 = 𝑔 𝑥0 = 0, con 𝑥0 ∈ 𝑎, 𝑏 . Si 𝑔´ 𝑥 ≠ 0 para todo 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 y si existe 𝑙𝑖𝑚 𝑥→𝑥0 𝑓´(𝑥) 𝑔´(𝑥) = 𝐿, entonces 𝑙𝑖𝑚 𝑥→𝑥0 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) existe y vale: 𝑙𝑖𝑚 𝑥→𝑥0 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) = 𝐿 Para 0 0 y 𝑥 → +∞ Teorema:Sean 𝑓 y 𝑔 dos funciones con derivadas 𝑓´ y 𝑔´ en todo punto 𝑥 > 𝑘 > 0, tales que 𝑙𝑖𝑚 𝑥→+∞ 𝑓 𝑥 = 0 y 𝑙𝑖𝑚 𝑥→+∞ 𝑔 𝑥 = 0. Si 𝑔´(𝑥) ≠ 0para todo 𝑥 > 𝑘 𝑙𝑖𝑚 𝑥→+∞ 𝑓´(𝑥) 𝑔´(𝑥) = 𝐿, entonces 𝑙𝑖𝑚 𝑥→+∞ 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) existe y vale: 𝑙𝑖𝑚 𝑥→+∞ 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) = 𝐿 Para ∞ ∞ y 𝑥 → 𝑎 Teorema: Sean 𝑓 y 𝑔 dos funciones con derivadas 𝑓´ y 𝑔´ en cada uno de los puntos de un intervalo 𝐼, tales que 𝑙𝑖𝑚 𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 = +∞ y 𝑙𝑖𝑚 𝑥→𝑎 𝑔 𝑥 = +∞, con 𝑎 ∈ 𝐼. Si 𝑓´ y 𝑔´no se anulan ni se hacen infinitas en 𝑥 ∈ 𝐼 y si existe 𝑙𝑖𝑚 𝑥→𝑎 𝑓´(𝑥) 𝑔´(𝑥) = 𝐿, entonces 𝑙𝑖𝑚 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) existe y vale: 𝑙𝑖𝑚 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) = 𝐿
- 9. La materia me pareció muy buena, ya que aprendí muchas cosas que no sabia de distintos programas que creía saber manejar. Además cosas muy necesarias para el entorno tecnológico en el cual vivimos. A mi me gusto mucho la parte de Word ya que es el programa que mas es usado en mi vida y me sorprendió todo lo que no sabia, y lo útil que hubiera sido saberlo antes.
- 10. • WIKEPEDIA. • APUNTES DE ANALISIS I (Profesorado de matemática- FFHA- Universidad Nacional de San Juan)