Funciones
- 1. FUNCIONES Empezaremos el tema de funciones recordando la representación de los puntos en unos ejes cartesianos.
- 2. Ejercicios: 1. Representa los siguientes puntos: A=( -2, 5 ) B=( 4, 3´5 ) C=( 0, 6 ) D = ( 3, 0 ) E=( -3, -2´5 ) F=( 2, -4 ) G=(4, -2 ) 2. a) Representa cuatro puntos donde su abscisa sea igual a su ordenada. b) Une los puntos anteriores por una recta. c) ¿Te parece razonable designar la recta anterior con la expresión y=x? Realiza los ejercicios anteriores con ayuda de Geogebra, captura la pantalla, pegala en un procesador de textos y subela a tu curso.
- 3. Empecemos el tema con un ejemplo: La siguiente gráfica describe la evolución de la temperatura de un paciente a lo largo del tiempo: Una función es una relación entre dos variables a las que, en general, llamaremos x e y. x es la variable independiente (en el ejemplo, el tiempo). y es la variable dependiente ( en el ejemplo, la temperatura).
- 4. Sobre unos ejes cartesianos representamos las dos variables: La x sobre el eje horizontal (eje de abscisas). La y sobre el eje vertical (eje de ordenadas). Cada punto de la gráfica tiene dos coordenadas, la abscisa x y la ordenada y. El tramo de valores de x para los cuales hay valores de y se llama dominio de definición de la función. Los ejes deben estar graduados en dos escalas, de modo que se puedan cuantificar los valores de las dos variables.
- 5. Volviendo a nuestro ejemplo: En cada eje hay una escala: En el eje horizontal, un cuadrado significa 1 día. En el eje vertical, un cuadrado significa 1 ºC. Esta gráfica se extiende en el tramo 0 – 15. Sólo tenemos información de la temperatura en ese intervalo de tiempo. El intervalo 0 – 15 se llama dominio de definición de la función.
- 6. VARIACIÓN DE UNA FUNCIÓN: Para estudiar la variación de una función tenemos que mirar su gráfica de izquierda a derecha, es decir, tenemos que ver como varía y cuando x aumenta. Una función es creciente cuando al aumentar la variable independiente, x, aumenta la variable dependiente, y. Una función es decreciente cuando al aumentar la variable independiente, x, disminuye la variable dependiente, y. También podemos decir que un tramo de una función es creciente o decreciente. Volviendo a nuestro ejemplo: ¿Podrías indicar en que intervalos la función es creciente o decreciente?
- 7. MÁXIMOS Y MÍNIMOS Una función tiene un máximo en un punto cuando su ordenada es mayor que la ordenada de los puntos que lo rodean. A la izquierda del máximo, la función es creciente, y a su derecha es decreciente. Una función tiene un mínimo en un punto cuando su ordenada es menor que la de los puntos que lo rodean. A la izquierda del mínimo, la función es decreciente, y a su derecha es creciente. En nuestro ejemplo se puede ver fácilmente un punto mínimo: (5, 38)
- 8. EXPRESIÓN ANALÍTICA DE UNA FUNCIÓN: La expresión analítica de una función es una ecuación que relaciona algebraicamente las dos variables que intervienen. Ejemplo: Margarita pasea alejándose de su pueblo a una velocidad de 2 km/h. En ese momento se encuentra a 4 km del pueblo. ¿Dónde se encontrará dentro de una hora? ¿Dónde se encontraba hace una hora? Representa la distancia al pueblo en función del tiempo transcurrido a partir de ahora. Calcula la expresión analítica de la función llamando x al tiempo e y a la distancia al pueblo.
- 9. EJERCICIOS: 1. Di cuáles de las siguientes gráficas corresponden a funciones y cuáles no son funciones, justificando las respuestas: 2. Hay muchas formas de crecer y de decrecer. Observa las siguientes funciones. ¿Cuáles son crecientes? ¿Cuáles son decrecientes?
- 10. 3. Utilizando Geogebra representa la función dada por los puntos de la tabla siguiente: Comprueba que su ecuación es: 4. Calcular algunos puntos de la función que tienen esta ecuación: y=2x-4 y representarla: 5. La gráfica describe la velocidad de un bólido de carreras en cada lugar de este circuito: Di en que tramos la velocidad es creciente y en cuales es decreciente. ¿A qué crees que se deben los aumentos y disminuciones de velocidad?
- 11. FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD: y = mx La función de proporcionalidad tiene por ecuación: y = mx. Se representa mediante una recta que pasa por (0, 0) . La constante de proporcionalidad, m (que puede ser positiva o negativa), se llama pendiente de la recta y tiene que ver con su inclinación. La pendiente (coeficiente de x) es la variación que experimenta y cuando x aumenta una unidad. Para determinarla, dividimos la variación de y por la variación de x entre dos de sus puntos. Calcula la pendiente de cada una de las siguientes Rectas:
- 12. EJERCICIOS: 1. Asocia a cada una de las gráficas la ecuación que le corresponda:
- 13. 2. Escribe la ecuación de las siguientes rectas:
- 14. LA FUNCIÓN: y = mx + n La ecuación y = mx + n se representa por una recta con las siguientes características: Su pendiente es m ( la pendiente es el coeficiente de x). Representa la variación de y por cada unidad de x. Su ordenada en el origen es n. Es decir, si x = 0, entonces y = n. Por lo tanto, corta al eje Y en el punto (0, n) . Cuando la pendiente es m = 0, la recta y = n es paralela al eje X. Se llama FUNCIÓN CONSTANTE, porque y siempre vale lo mismo (n) aún que varíe x. Todas las funciones que se representan mediante rectas, se llaman FUNCIONES LINEALES.
- 15. EJERCICIOS: 1. Utilizando el Geogebra, representa las siguientes funciones:
- 16. 2. Escribe las ecuaciones de las siguientes funciones: 3. Representa las siguientes funciones:
Notas del editor
- #4: Las funciones sirven para describir fenómenos físicos, económicos, biológicos, sociológicos o, simplemente, para expresar relaciones matemáticas.
- #6: Para visualizar el comportamiento de una función, recurrimos a su representación gráfica.
- #7: Conviene indicar también los intervalos donde la función es constante.