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- 1. Prof. Romina P. Ramos y Claudia Mazzini 1 Trabajo Práctico, Derivada. 1) Calcula, mediante la definición, la derivada de las funciones en los puntos que se indican. Hallar la ecuación de la recta tangente en dicho punto. Graficar. 1f(x) = 3x2 en x = 2. 2f(x) = x2 + x en x = 1. 3f(x) = x2 − 2x + 3 en x = −1, x = 3 y x = 1. 4 f(x) = ( x-3)2+1 en x = -1. 5 f(x)=x3+x-4 en x = 1. 6 f(x) = 1 1 x en x = 2. 7 f(x)= 4 x en x = 1. 8 en x = 2. 9 f(x)= 3 1 x en x= 3 10 f(x) = x x 3 1 en x=2 Algunas soluciones 2) Calcular la derivada de la función f(x) = x 2 + 4x − 5 en x = 1.
- 2. Prof. Romina P. Ramos y Claudia Mazzini 2 3) Calcular derivada de f(x) = x2 − x + 1 en x = −1, x = o y x = 1. 4) Calcular derivada de en x = −5. RTA -26 5) Calcular derivada de en x = 1. 6) Calcular derivada de en x = 2.
- 3. Prof. Romina P. Ramos y Claudia Mazzini 3 7 )Calcular derivada de en x = 3. 8) Calcular derivada de en x = 2. Rta :-1 2) En cada gráfico determinar los puntos donde la función no es derivable. Explicar por qué. Determinar los intervalos donde f´(x) > 0
- 4. Prof. Romina P. Ramos y Claudia Mazzini 4 3) Derivada de una función potencial: Forma simple Ejercicio nº 1) Sol: Ejercicio nº 2) Sol: Ejercicio nº 3) Sol: Ejercicio nº 4) Sol: Ejercicio nº 5) Sol: Ejercicio nº 6) Sol: Ejercicio nº 7) Sol: Ejercicio nº 8) Sol: POTENCIAS Sigue recordando: y Ejercicio nº 9) Sol:
- 5. Prof. Romina P. Ramos y Claudia Mazzini 5 Ejercicio nº 10) Sol: Ejercicio nº 11) Sol: Ejercicio nº 12) Sol: Ejercicio nº 13) Sol: Ejercicio nº 14) Sol: Ejercicio nº 15) Sol: Ejercicio nº 16) Sol: Ejercicio nº 17) Sol: Ejercicio nº 18) Sol: Ejercicio nº 19) Sol: Ejercicio nº 20) Sol: Ejercicio nº 21) Sol: Regla nº 2 LA DERIVADA DE UNA SUMA DE FUNCIONES es igual a suma de las derivadas de las funciones Ejercicio nº 22) Solución: Ejercicio nº 23) Sol: Ejercicio nº 24) Sol:
- 6. Prof. Romina P. Ramos y Claudia Mazzini 6 Ejercicio nº 25) Sol: Ejercicio nº 26) Sol: Ejercicio nº 27) Sol: Ejercicio nº 28) Sol: Ejercicio nº 29) Sol: Regla nº 3 LA DERIVADA DE UN PRODUCTO DE FUNCIONES es igual a la derivada de la primera función por la segunda función menos la primera función por la derivada de la segunda función Ejercicio nº 30) Solución: Ejercicio nº 31) Solución: Ejercicio nº 32) Solución: Ejercicio nº 33) Solución:
- 7. Prof. Romina P. Ramos y Claudia Mazzini 7 Regla nº 4 LA DERIVADA DE UN COCIENTE DE FUNCIONES es igual a la derivada de la función del numerador por la función del denominador menos la función del numerador por la derivada de la función del denominador, dividido todo ello por el denominador al cuadrado Ejercicio nº 34) Solución: Ejercicio nº 35) Solución: Ejercicio nº 36) Solución: Ejercicio nº 37) Solución: Ejercicio nº 38)
- 8. Prof. Romina P. Ramos y Claudia Mazzini 8 Solución: Derivada de una función logarítmica: Forma simple Ejercicio nº 39) Sol: Ejercicio nº 40) Sol: 4) Derivar usando la tabla. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 f(x)= 4x + e3x +1 + 5/x -9 11 12
- 9. Prof. Romina P. Ramos y Claudia Mazzini 9 13 14 15 16 17 18 f(x)= (3x+2). E5 x -3 19 20 21 22 f(x)= 7x +3x - 5 23 24 25 26 27 28 f(x)= 3x. sen3 (3x+5) 29 30 31 32 33
- 10. Prof. Romina P. Ramos y Claudia Mazzini 10 5) Crecimiento y Extremos relativos de una función Calculamos los puntos críticos: son los puntos del dominio que verifican que la derivada primera sea cero o no este definida (no exista). En esos puntos puede haber extremos relativos (máximos o mínimos). Armamos los intervalos donde la función crece o decrece: tenemos en cuenta el Dominio y los puntos críticos hallados. Una función tiene un máximo o mínimo relativo en un punto critico si presenta un cambio en el crecimiento de la misma. Si crece (sube) y después decrece (baja) en ese valor hay un máximo relativo. Si decrece (baja) y después crece (sube), en ese valor hay un mínimo relativo. Recordemos que los extremos son puntos de la función por lo tanto la ordenada del punto (valor de y) se calcula en la función. Otro procedimiento para el cálculo de extremos También los extremos se pueden estudiar analizando el signo de la derivada segunda en cada punto crítico. Si la derivada segunda es positiva, en ese punto hay un mínimo relativo y si es negativa, en ese punto hay un máximo relativo. Una función alcanza un máximo relativo en x1 si y sólo si, f ‘(x1) = 0 (es decir la recta tangente a la curva en x1 es paralela al eje x) y f ‘’(x1) < 0 Una función alcanza un mínimo relativo en x1 si y sólo si, f ‘(x1) = 0 (es decir la recta tangente a la curva en x1 es paralela al eje x) y f ‘’(x1) > 0 Observando el gráfico, podemos ver que la curva tiene un máximo relativo en x = c y un mínimo relativo en x = r
- 11. Prof. Romina P. Ramos y Claudia Mazzini 11 Ejemplo: Hallar los extremos relativos de f(x) = x3 – 3/2 x2 – 6x + 4 Sabemos que si f ‘(x1) = 0 , entonces en x1 habrá un máximo o un mínimo relativo. Como no conocemos x1, debemos hallarlo/los. Para ello, calculamos f ‘(x) y analizamos para qué valores de ‘x’ será igual a cero (resolvemos una ecuación): f ‘(x) = 3.x2 – 3x – 6 3.x2 – 3x – 6 = 0 Utilizando la fórmula resolvente hallamos: x1 = 2 , x2 = -1 Por lo tanto en esos puntos habrá un máximo o un mínimo relativo, pues en ellos la pendiente de la recta tangente a f(x) es cero, es decir, es paralela al eje x. Para determinar que tipo de extremo es cada uno, debemos calcular f ‘’(x1) y f ‘’(x2) y analizar su signo: f ‘’(x) = 6x – 3 (recordemos que f ‘’ se obtiene al derivar f ‘) Sustituimos … f ‘’(x1) = f ‘’(2) = 6.2 – 3 = 9 > 0 por lo tanto en x1 = 2 hay un mínimo relativo f ‘’(x2) = f ‘’(-1) = 6.(-1) – 3 = -9 < 0 por lo tanto en x2 = -1 hay un máximo relativo EJERCITACION 5) Determina intervalos de crecimiento y decrecimiento de las siguientes funciones y analizar si existen sus extremos relativos a) 1 6 3 1 ) ( 2 3 x x x x f b) 6 2 ) ( 3 2 4 x x x x f c) 2 2 ) ( 2 x x x f
- 12. Prof. Romina P. Ramos y Claudia Mazzini 12 d) x x x x f 2 3 ) ( e) 8 ) ( 3 x x f f) 3 ) ( 2 x x x f 6) Encontrar los máximos y mínimos relativos de cada una de las siguientes funciones. a) 2 3 4 2 1 3 2 4 1 ) ( x x x x f b) x x x x f 3 3 1 ) ( 2 3 c) x x x x f 6 4 2 ) ( 2 4 d) 1 2 ) ( 2 4 x x x f ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Respuestas : 5… a) Crece en (-∞ , 2 ) y en ( 3 ,+∞ ) ; decrece en ( 2 , 3 ) Máximo relativo en : ( 2 ; 3 10 ) ; mínimo relativo en : ( 3 ; 17 ) b) crece en ( - 2 3 , 0 ) y en ( 0 ,+∞ ) ; decrece en ( - ∞ , - 2 3 ) Mínimo relativo en ( - 2 3 , f ( - 2 3 ) ) c) crece en (-∞ , 0 ) y ( 0 ,2 ) ; decrece en ( 2 , 4 ) y ( 4 , ∞ ) Mínimo en ( 0 ; 0 ) y minimo en ( 4 , 16 ) d) Crece en (-∞ , -1 ) y en (1/ 3 ,+∞ ) ; decrece en ( -1 ,1/ 3 ) Máximo relativo en : ( -1; 1 ) y mínimo relativo en : ( 1/3 ; - 5/27 ) e) crece en (-∞ , 0 ) y en ( 0 ,+∞ ) ; no tiene extremos f) crece en (-∞ , 0 ) y en ( 6 ,+∞ ); decrece en ( 0 , 3 ) y ( 3 , 6 ) Máximo relativo en : ( 0; 0 ) y mínimo relativo en : ( 6; 12 ) 6…a) Mínimo en ( 0 ; 0 ) b) Mínimo en ( 1 ; -5/3 ) y Maximo en ( -3 ; 9 ) c) Mínimo en ( -1 ; 8 ) y en ( 1 ; - 8 ) . Maximo en ( 0 ; -6 ) d) Mínimo en ( -1 ; 0 ) y en ( 1 ; 0 ) . Maximo en ( 0 ; 1 )