Funcione Polinomiales

Funciones De Polinomios
Precálculo
Alfredo Rivera Torres
Contenido
Introducción A Las Funciones Polinomiales Ejercicios de Práctica
División Sintética Ejercicios de Práctica
Aplicaciones De La División Sintética Ejercicios de Práctica
Técnicas Para Hallar Los Ceros Ejercicios de Práctica
Regla De Signos De Descartes Ejercicios de Práctica
Cotas De Los Ceros Reales Ejercicios de Práctica
Ceros Racionales De Polinomios Ejercicios de Práctica
Polinomios Con Ceros Complejos Ejercicios de Práctica
Gráficas De Funciones De Polinomios Ejercicios de Práctica
Fracciones Parciales Ejercicios de Práctica
Ejercicios de Repaso Clave del Repaso























Introducción A Las Funciones
Polinomiales

reales.
números
son
r
...,
b,
a,
es
coeficient
los
y
negativos,
no
enteros
son
...
1,
-
n
n,
exponentes
los
donde
r,
...
bx
ax
f(x)
es
modelo
Su
es".
Polinomial
Funciones
"
llamado
amplio
más
grupo
un
de
dentro
especiales
casos
dos
son
s
cuadrática
las
y
lineales
funciones
Las
1
-
n
n




2
x
-
x
3
2
-
x
2
1
p(x)
5)
6
-
x
x
t(x)
4)
1
-
4x
3x
-
h(x)
3)
3
-
2x
g(x)
2)
5
f(x)
1)
:
es
polinomial
funciones
son
siguientes
Las
:
Ejemplo
3
5
3
2







 Polinomial constante
Polinomial lineal
Polinomial cuadrática
Polinomial cúbica
Polinomial de grado 5
La variable independiente de las funciones polinomiales no
puede estar en un denominador ni en un radicando.

Propiedades de las funciones polinomiales:
1) El dominio de todas ellas son los números reales. Sus
gráficas son continuas siempre.
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
-2 -1 0 1 2
-2
-1
0
1
-2 -1 0 1 2
2
3
x
2
1
-
x
2
1
f(x) 
1
-
x
6
1
-
x
6
1
g(x) 2
4


2) Si f(a) y f(b) son dos valores distintos de “y” de una función
polinomial, correspondientes a los valores de x = a y x = b,
entonces podemos obtener todos los valores de “y” entre f(a) y
f(b) con valores de “x” entre a y b. O sea, si f(-2) = 2 y
f(-1) = -3, entonces existe por lo menos un valor de “x” entre
-2 y -1, tal que con él obtenemos un valor de “y” entre 2 y -3.
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
-2 -1 0 1 2 3 4
f(-2)
f(-1)
Por lo
menos
un
número
ahí…
produce
un valor
de “y”
aquí.

Esa propiedad de todas las funciones continuas, como la
polinomial, conocida como el Teorema Del Valor Intermedio,
ayuda a localizar ceros de la función. Suponga que f es
continua, f(1) = 1 y f(2) = -3. Entonces la función “f” debe
tener un cero entre x = 1 y x = 2, ya que cero es un valor
intermedio entre f(1) = 1 y f(2) = -3.
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
0 1 2 3
Como f(1)
es positivo
y f(2) es
negativo,
tiene que
haber por
lo menos
un número
“c” entre 1
y 2 tal que
f(c) = 0.

Ejemplo: Utiliza el teorema del valor intermedio para
demostrar que f(x) = 2x³ - x² + 6x – 3 tiene un cero entre 0 y 1.
f(0) = -3
f(1) = 2(1)³ - (1)² + 6(1) – 3 = 4
Como f(0) es negativo y f(1) es positivo, tiene que haber un
valor de “x” entre 0 y 1 que sea un cero de “f”. Vea en la
siguiente gráfica que f( ½ ) = 0.
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
-1 -0.5 0 0.5 1
f(x) = 2x³ - x² + 6x – 3

El teorema del valor intermedio tiene otra consecuencia que
nos ayuda al momento de trazar la gráfica de una función
polinomial: entre cada pareja de ceros consecutivos, la gráfica
queda totalmente al mismo lado del eje de x. Es decir, si 5 y 6
son dos ceros consecutivos de una función polinomial, entonces
su gráfica queda totalmente sobre el eje de “x” en ese
intervalo, o totalmente debajo del eje de “x” en ese intervalo.
-2
-1
0
1
2
3
-1 0 1 2 3 4 5 6
0 y 2 son ceros
sucesivos. Ahí
la gráfica queda
debajo del eje.
2 y 4 son ceros
sucesivos. Ahí
la gráfica queda
sobre el eje.
Entre 4
y 5
queda
debajo.

Ejemplo: Determina la posición de la gráfica de
f(x) = (x + 2)(x – 1)²(x – 4)³ entre sus ceros, con relación al eje
de x.
Como f(x) aparece factorizada, sus ceros son:
0 = (x + 2)(x – 1)²(x – 4)³
x + 2 = 0, x – 1 = 0, x – 4 = 0  Los ceros son: -2, 1 y 4.
-2 1 4
X
¿Queda encima o
debajo en ese
intervalo?
¿Queda encima o
debajo en ese
intervalo?
¿Queda encima o
debajo en ese
intervalo?
¿Queda encima o
debajo en ese
intervalo?
Para saber si la gráfica queda encima o debajo del eje de x en
cada intervalo, escogemos un número de cada intervalo y
calculamos los valores correspondientes de “y”.

La sustitución de
cualquier número de ese
intervalo en f(x) da un
resultado positivo. La
gráfica está encima del
eje de x en ese intervalo.
-2 1 4
X
Escogemos un
número de
ese intervalo para
sustituirlo en
f(x) = (x+2)(x-1)²(x-4)³
f(5) = (5+2)(5-1)²(5-4)³
= 112
Como el resultado es
positivo para f(5), lo
es también para
cualquier otro valor
de x en ese intervalo.
La gráfica queda
encima del eje de x
ahí.
Escogemos un
número de
ese intervalo para
sustituirlo en
f(x) = (x+2)(x-1)²(x-4)³
f(2) = (2+2)(2-1)²(2-4)³
= -32
Como el resultado es
negativo, también lo
es para los demás
valores de “x” en ese
intervalo. La gráfica
queda debajo del eje
de x ahí.
Escogemos un número
de
ese intervalo para
sustituirlo en
f(x) = (x+2)(x-1)²(x-4)³
f(0) = (0+2)(0-1)²(0-4)³
= -128
Queda debajo del eje
de x ahí.

Vea la gráfica de f(x) = (x + 2)(x – 1)²(x – 4)³
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Ver análisis de signos y comparar
con posición de la gráfica con respecto al eje de x.

Ejemplo: Traza una gráfica aproximada para
f(x) = x³ - 2x² - x + 2.
Comenzamos factorizando el polinomio x³ - 2x² - x + 2 para
hallar sus ceros.
f(x) = x³ - 2x² - x + 2
= x²(x – 2) – (x – 2)
= (x – 2)(x² - 1)
f(x) = (x – 2)(x – 1)(x + 1)
Los ceros son:
0 = (x – 2)(x – 1)(x + 1)
x = 2, x = 1, x = -1
X
-1 1 2
Sustituimos un valor de
prueba de cada intervalo en
f(x) para obtener el signo de
f(x) en ellos. Así sabemos
dónde la gráfica queda
encima o debajo del eje x.
- + - +
-2
-1
0
1
2
3
-2 -1 0 1 2 3
f(x) = x³ - 2x² - x + 2

-2
-1
0
1
2
3
-2 -1 0 1 2 3
f(x) = x³ - 2x² - x + 2
Máximo local
Mínimo local
Para hallar los valores indicados como máximo y mínimo local
se requieren técnicas de Cálculo. En nuestro curso de
Precálculo lo más que podemos hacer es aproximarlos.
Máximos y mínimos locales:

Ejemplo: Traza la gráfica de g(x) = (x – 2)(x + 1)²(x – 1).
Los ceros de g(x) son 2, -1 y 1. La posición de la gráfica con
respecto al eje de x la analizamos en el siguiente diagrama.
X
-1 1 2
+ + - +
Los intervalos marcados
con “+” es donde la gráfica
está sobre el eje de x.
-2
-1
0
1
2
3
-2 -1 0 1 2 3
Observa la forma de la gráfica en
x = -1, cero que se obtuvo del
factor cuadrático (x + 1)². En
dicho cero la gráfica tiene forma
de parábola.
Los ceros 1 y 2, que
provienen de factores
lineales, son atravesados por
líneas casi rectas.

.
4x
-
x
h(x)
para
aproximada
gráfica
una
Traza
:
Ejemplo 3
5

Factorizamos para hallar los ceros: h(x) = x³(x² - 4)
h(x) = x³(x – 2)(x + 2)
Mostramos a continuación los ceros y los intervalos donde la
gráfica está por encima y debajo del eje de x.
X
-2 0 2
- + - +
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
-3 -2 -1 0 1 2 3
3
5
4x
-
x
h(x) 
Observa la forma que tiene
la gráfica alrededor del
cero que proviene del
factor con exponente 3 (x³).
Su gráfica ahí es similar a
la de una función cúbica.

Ejemplo: Halla la ecuación para la gráfica de la función f(x).
-3
-2
-1
0
1
2
3
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3
f(x) De la forma en que la
gráfica atraviesa al eje de x
en x = -3, en x = -1 y en x =
2, asumimos que los factores
deben ser (x + 3), (x + 1)³ y
(x – 2)².
Por lo tanto, la ecuación debe ser f(x) = a(x + 3)(x + 1)³(x – 2)².
Como el punto (0, 1) pertenece a la gráfica, entonces:
1 = a(0 + 3)(0 + 1)³(0 – 2)², de donde obtenemos que a = 1/12.
    2
3
2
-
x
1
x
3
x
12
1
f(x) 


¿Por qué escribimos ese factor “a”? Oprimir para ilustración

.
3x
-
x
x
f(x)
para
aproximada
gráfica
una
dibuja
y
ceros
los
Halla
:
Ejemplo
2
3
4


Comenzamos factorizando: f(x) = x²(x² + x – 3).
Como no podemos factorizar (x² + x – 3), utilizamos la fórmula
cuadrática para hallar sus ceros.
2.3
-
x
y
1.3
x
2(1)
4(1)(-3)
-
1
1
-
2a
4ac
-
b
b
-
x
3.
-
c
y
1
b
1,
a
3,
-
x
x
Para
2
2
2










-2.3 0 1.3
+ - - +
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
-3 -2 -1 0 1 2
2
3
4
3x
-
x
x
f(x) 


4)
(x
1)
-
2(x
f(x)
15)
3x
4x
x
f(x)
14)
x
-
4x
f(x)
13)
1)
(x
2)
-
5(x
f(x)
12)
1)
(x
1)
-
2)(x
(x
f(x)
11)
x.
de
eje
al
respecto
con
gráfica
la
de
posición
y
ión
factorizac
s,
intercepto
simetría,
la
utiliza
posible
sea
que
Siempre
función.
cada
de
gráfica
la
Dibuja
IV.
5)
-
3)(x
-
(x
1)
x(x
f(x)
10)
2x
x
-
x
-
f(x)
9)
9x
-
x
f(x)
8)
0.
f(x)
donde
y
0
f(x)
donde
f
de
dominio
del
intervalos
los
Halla
III.
1
-
b
y
-
a
;
1
x
x
x
x
f(x)
7)
b
y
a
;
2
-
3x
2x
f(x)
6)
2
-
b
y
3
-
a
;
3
-
5x
2x
f(x)
5)
dados.
b
y
a
de
valores
los
entre
cero
un
tiene
f(x)
que
Demuestra
II.
4x
-
3x
2x
f(x)
4)
16
3x
-
2x
x
f(x)
3)
12
4x
-
3x
-
x
f(x)
2)
1)
1)(2x
-
2x(x
f(x)
1)
función.
cada
de
ceros
los
Halla
I.
es
Polinomial
Funciones
las
a
ón
Introducci
:
Práctica
de
Ejercicios
2
2
2
2
3
4
5
3
2
2
3
2
3
2
2
3
3
2
1
2
3
5
4
3
2
1
4
2
3
2
3
4
2
3
2
3










































 Para ver Partes V, VI y VII

V. Determina cuál es la función cúbica cuya gráfica es dada en cada ejercicio.
16) 17)
-6
-4
-2
0
2
4
-4 -2 0 2 4 6
-1
0
1
2
3
4
5
-3 -2 -1 0 1 2 3
x
2
x
1
25)
5
x
2
-
x
24)
1
-
3x
2
23)
3
-
22)
x
-
21)
polinomio.
un
es
algebraica
expresión
cada
si
Determina
VII.
4.
-
3x
-
ax
x
P(x)
en
a"
"
de
valor
el
consigue
10,
-
P(2)
Si
20)
f.
de
ceros
dos
otros
consigue
16K,
16x
-
2x
-
x
f(x)
de
cero
un
es
2
Si
19)
4).
(-1,
por
pase
5K
-
x
Kx
-
3x
f(x)
de
gráfica
la
que
tal
K,
de
valor
el
Halla
18)
Resuelve.
VI.
2
2
x
2
2
1
2
3
2
3
2
3










 Para ver Clave

Como ya sabemos, el primer paso
para dibujar la gráfica de una
función polinomial, es conseguir
todos sus ceros. Podemos determinar
entonces la posición de su gráfica
encima o debajo del eje de x en los
intervalos correspondientes.

Las funciones polinomiales a las que
le hemos dibujado su gráfica estaban
expresadas en factores, o el polinomio
dado se podía factorizar mediante los
métodos básicos que conocemos hasta
ahora.

¿Cómo podemos hallar los ceros de
un polinomio si no lo podemos
factorizar por esos métodos?
En la próxima lección contestaremos
esa pregunta, porque en ésta, vamos a
aprender una destreza, que
eventualmente, nos será de gran
ayuda para hallar los factores y los
ceros de esos polinomios.

3
20
-
4
23
5 dividendo
divisor
residuo Observa que 4(5) + 3 = 23. O sea, en toda
división:
(cociente)(divisor) + residuo = dividendo.
0
30
-
6
30
5 Si el residuo es cero, entonces el cociente y el divisor
son factores del dividendo.
Si f(x) es un polinomio cuyo grado es mayor o igual al de otro
polinomio g(x), entonces podemos dividir f(x) entre g(x) de la
misma manera como dividimos 23 ó 30 entre 5.
Repaso de división larga:

multiplicar
El resultado de la división de un polinomio f(x) entre otro
polinomio g(x), es un cociente q(x) con residuo r(x), como en el
siguiente ejemplo.
x
4
-
7x
3x
-
x
1
2x
-
x 2
3
2


Deseamos eliminar x³ del dividendo
- (x³ - 2x² + x)
- x² + 6x - 4
- 1
-(-x² + 2x - 1)
4x - 3
x³ - 3x² + 7x – 4 = dividendo = f(x)
x² - 2x + 1 = divisor = g(x)
x – 1 = cociente = q(x)
4x – 3 = residuo = r(x)
multiplicar
 g(x)
 r(x)
 f(x)
Cuando el grado de r(x)
Sea menor que el de g(x)
terminamos la división.
 q(x)

- (x³ - 2x² + x)
- 1
-(-x² + 2x - 1)
4x - 3
- x² + 6x - 4
x
4
-
7x
3x
-
x
1
2x
-
x 2
3
2

 dividendo [f(x)]
divisor [g(x)]
cociente [q(x)]
residuo (r(x))
Compruebe que (cociente)(divisor) + residuo = dividendo
[q(x)][g(x)] + r(x) = f(x)
(x – 1)(x² - 2x + 1) + 4x – 3 =
= x³ - 2x² + x - x² + 2x – 1 + 4x – 3
= x³ - 3x² + 7x – 4 = f(x) = dividendo

En la siguiente división, donde el residuo es cero, podemos
comprobar que el cociente y el divisor son factores del
dividendo.
 
 
0
3)
(x
-
3
x
9x
-
3x
-
-
8x
-
3x
-
3x
x
-
1
3x
-
x
3
8x
-
0x
x
3
x
3
x
3
8x
-
x
2
2
2
3
2
2
3
3










Compruebe que
(cociente)(divisor) + residuo = dividendo
[q(x)][g(x)] + r(x) = f(x)
(x² - 3x + 1)(x + 3) + 0 =
= x³ + 3x² - 3x² - 9x + x + 3 =
= x³ - 8x + 3 = f(x) = dividendo
O sea, (x² - 3x + 1)(x + 3) = x³ - 8x + 3

Para el resto de la unidad nos interesa
dividir polinomios f(x) entre divisores
lineales g(x) de la forma particular x – c,
donde “c” es un número real. Ante la
necesidad de hacer muchas divisiones de
este tipo, emplearemos una manera más
sencilla y compacta de hacerlas. Le
llamaremos división sintética.

:
sintética
división
mediante
c
-
x
r
...
bx
ax
dividir
para
Pasos
1
-
n
n



1) Escribe los coeficientes
a, b, …, r de f(x) y el número
“c” como en el siguiente
esquema:
c a b … r
El número “c” que escribimos en el
esquema es el opuesto del que aparece
en el divisor x – c. Es decir, si el
divisor es x – 5, entonces c = 5; si es
x + 3, c = -3. Además, hay que escribir
los coeficientes de f(x) en orden. Si
falta alguna potencia de x, escribimos
cero en el lugar de su coeficiente.
r(x)
Ejemplo: Escribe la siguiente
división mediante el esquema
de la división sintética:
3
x
3
8x
-
x3


-3 1 0 -8 3

ión)
(continuac
:
sintética
división
mediante
c
-
x
r
...
bx
ax
dividir
para
Pasos
1
-
n
n



:
así
horizontal
línea
la
de
debajo
te
directamen
r,
...
bx
ax
de
e
coeficient
el
,
a"
"
Escribe
2)
1
-
n
n



c a b … r
a
3
x
3
8x
-
x3


-3 1 0 -8 3
1
r.
...
bx
ax
de
b"
"
e
coeficient
segundo
del
debajo
resultado
el
escribe
y
c"
"
por
a"
"
número
ese
Multiplica
3)
1
-
n
n



c a b … r
a
ac
-3 1 0 -8 3
1
-3

b1…k1 R1
ión)
(continuac
:
sintética
división
mediante
c
-
x
r
...
bx
ax
dividir
para
Pasos
1
-
n
n



4) Sume esos dos números,
(b + ac), y escribe el resultado
(b1) directamente debajo de la
línea. c a b … r
a
+ ac
b1
-3 1 0 -8 3
1
+ -3
-3
5) Continúe ese proceso hasta que
halle el último número R1 de la
última fila del esquema.
c a b ……. r
a
+ ac …….
-3 1 0 -8 3
1
+ -3
-3
9
1
-3
0
-3 1 0 -8 3
1
+ -3
-3
9
1
-3
0

b1…k1 R1
c a b ……. r
a
+ ac ……..
Los números a, b1, …, k1 son los coeficientes del cociente q(x).
El grado de q(x) es uno menos que el de f(x). El número R1 es
el residuo r(x).
.
R
c)[q(x)]
-
(x
r
...
bx
ax
que
decir
Quiere 1
1
-
n
n








3
x
3
8x
-
x3 -3 1 0 -8 3
1
+ -3
-3
9
1
-3
0
Coeficientes
de q(x)
R
E
S
I
D
U
O
= x² - 3x + 1

Ejemplo: Halla el cociente y el residuo de:
2
-
x
5
-
x
3x
-
2x 2
3

División larga División sintética
2
2
3
2x
5
-
x
3x
-
2x
2
-
x 
- (2x³ - 4x²)
x² + x
+ x
-(x² - 2x)
3x - 5
+ 3
-(3x – 6)
1
Cociente: 2x² + x + 3
Residuo: 1
2  2 -3 1 -5
2
4
1
2
3
6
1
Cociente: 2x² + x + 3
Residuo: 1

1
x
g(x)
,
x
-
x
f(x)
10)
1
-
3x
x
g(x)
1,
3x
-
2x
-
3x
x
f(x)
9)
f(x).
de
factor
es
g(x)
si
Determina
III.
2
-
x
g(x)
4,
-
x
f(x)
8)
x
g(x)
,
x
x
2x
f(x)
7)
3
x
g(x)
3,
x
-
3x
-
x
f(x)
6)
1
x
g(x)
1,
6x
-
2x
3x
f(x)
5)
1
x
g(x)
8,
-
x
x
2
-
x
3x
-
2x
f(x)
4)
2
x
g(x)
4,
5x
2x
-
x
f(x)
3)
sintética.
división
usando
g(x)
entre
f(x)
dividir
al
r(x)
residuo
el
y
q(x)
cociente
el
Halla
II.
1
x
-
x
g(x)
5,
5x
5x
f(x)
2)
7
5x
-
x
g(x)
9,
3x
-
4x
-
x
f(x)
1)
f(x).
r(x)
q(x).g(x)
calculando
Verifica
g(x).
entre
f(x)
dividir
al
r(x)
residuo
el
y
q(x)
cociente
el
Halla
I.
Sintética.
División
:
Práctica
de
Ejercicios
5
8
2
2
3
4
6
2
1
4
3
3
4
4
5
2
4
2
3
4
5
2
3
2
2
4
2
2
3














































 Para ver Clave

Aplicaciones De La División Sintética

g(-1).
y
f(2)
halla
1,
4x
-
2x
-
x
g(x)
y
5
-
x
3x
-
2x
f(x)
Si 2
4
2
3




f(2) = 2(2)³ - 3(2)² + 2 – 5 = 1,
g(-1) = (-1)⁴ - 2(-1)² - 4(-1) + 1 = 4
1
4x
-
2x
-
x
1
x
5
-
x
3x
-
2x
2
-
x
:
divisiones
siguientes
las
de
residuos
los
con
anteriores
polinomios
los
en
g(-1)
de
y
f(2)
de
resultados
los
Compara
2
4
2
3



2  2 -3 1 -5
2
4
1
2
3
6
1
-1  1 0 -2 -4 1
1
-1
-1
1
-1
1
-3
3
4
Residuo = f(2)
Residuo = g(-1)

f(c).
es
c
-
x
f(x)
división
la
de
residuo
el
que
decir
Quiere
k.
f(c)
es
resultado
El
k.
c)
-
q(c)(c
f(c)
entonces
c,
x
cuando
f(x)
función
la
evaluamos
Si
k.
c)
-
q(x)(x
f(x)
tanto,
lo
Por
real.
número
un
es
que
k"
"
residuo
un
y
q(x)
cociente
un
obtenemos
c,
-
x
entre
uno
a
igual
o
mayor
grado
de
f(x)
polinomio
un
dividir
al
que
Sabemos






f(c).
es
c
-
x
f(x)
de
residuo
el
sea,
O
.
c
-
x
f(x)
división
la
de
residuo
al
igual
es
f(x)
polinomio
un
en
c"
"
número
un
de
n
sustitució
La
:
residuo
del
Teorema

Ejemplo: Las siguientes son las divisiones sintéticas de 2x³ - 3x²
+ x – 5 entre x – 2 y entre x + 2. De acuerdo al teorema del
residuo, halla f(2) y f(-2).
2  2 -3 1 -5
2
4
1
2
3
6
1
-2  2 -3 1 -5
2
-4
-7
14
15
-30
-35
División sintética de
2x³ - 3x² + x – 5 entre x – 2.
División sintética de
2x³ - 3x² + x – 5 entre x + 2.
.
2
-
x
f(x)
de
residuo
el
es
f(2)
residuo,
del
teorema
al
acuerdo
De
f(2) = 1. .
2
x
f(x)
de
residuo
el
es
f(-2)
residuo,
del
teorema
al
acuerdo
De

f(-2) = -35.

Ejemplo: Si f(x) = x³ - 5x² + 2x – 1, halla f(3) usando el teorema
del residuo. Verifica sustituyendo en la función.
Hallar f(3) mediante el teorema del residuo es igual que hallar
el residuo de la división de f(x) entre x – 3.
3  1 -5 2 -1
1
+ 3
-2
-6
-4
-12
-13 = f(3)
Vea que, efectivamente, f(3) = 3³ - 5(3)²
+ 2(3) – 1 = 27 – 45 + 6 – 1 = -13.
Ejemplo: Según las siguientes divisiones sintéticas, ¿cuál es un
cero de f(x) = x³ + 2x² + x + 2?
1  1 2 1 2 -1  1 2 1 2 -2 1 2 1 2
1 3 4 -1 -1 0 -2 0 -2
1 3 4 6 = f(1) 1 1 0 2 = f(-1) 1 0 1 0 = f(-2)
Como f(-2) = 0, entonces –2 es un cero de f(x).

Si dividimos un polinomio f(x) entre x – c, obtenemos un
cociente q(x) y un residuo k = f(c) . En el caso particular donde
k = f(c) = 0, tenemos entonces que f(x) = q(x)(x – c) + 0, o sea,
f(x) = q(x)(x – c). Quiere decir, que si el residuo f(c) es cero,
q(x) y (x – c) son factores de f(x).
Teorema del factor:
Un polinomio f(x) tiene un factor (x – c) si y
solamente si f(c) = 0.
8.
-
2x
-
x
f(x)
de
factor
un
es
2
x
si
Determina
:
Ejemplo 2
4


-2  1 0 -2 0 -8
-2 4 -4 8
1 -2 2 -4 0 = f(-2)
1x³ - 2x² + 2x - 4
Según el teorema del factor, como
f(-2) = 0, entonces (x + 2) es un
factor de f(x). El cociente x³ - 2x² +
2x – 4 también es factor.
Quiere decir que si conoces los
factores sabes los ceros, y si
conoces los ceros sabes los
factores.

Ejemplo: Halla un polinomio f(x) cuyos ceros sean 1, -1 y –2.
Como 1, -1, y –2 son ceros, (x –1), (x + 1) y (x + 2) son factores
de f(x). Existe una infinidad de polinomios de la forma
a(x – 1)(x + 1)(x + 2) cuyos ceros son 1, -1 y –2. Uno de ellos,
si a = 1, es f(x) = (x – 1)(x + 1)(x + 2).
Ejemplo: Halla el polinomio g(x) cuyos ceros sean 1, 2 y –3, tal
que g(0) = 4.
De todos los polinomios a(x – 1)(x - 2)(x + 3) cuyos ceros son
1, 2 y –3, el que buscamos es aquel en que g(0) = 4.
Si g(x) = a(x – 1)(x - 2)(x + 3), y g(0) = 4, entonces:
g(0) = 4 = a(0 – 1)(0 – 2)(0 + 3)
4 = a(-1)(-2)(3)
4 = 6a
3
2
6
4
a 

3).
2)(x
-
1)(x
-
(x
3
2
g(x)
es
piden
nos
que
polinomio
El



Resumen de las aplicaciones de la división sintética:
Aplicación División sintética Ejemplos
1) Evaluar una función o un
polinomio para un valor
particular de x, digamos x = c
(o sea, hallar f(c)).
2) Determinar si x = c es un
cero de f(x).
3) Hallar el cociente q(x) y el
residuo “k” de la división de
f(x) entre (x – c).
4) Determinar si (x – c) es un
factor de un polinomio f(x)
dado.
c  coeficientes de f(x)
________________
coef de q(x) | residuo
= f(c)
Escribimos el valor
dado de “c”.
(el mismo signo)
f(x) = x³ - 2x + 1.
Halla f(2).
2  1 0 -2 1
2 4 4
1 2 2 | 5 = f(2)
Como f(2) = 5, 2 no
es un cero de f(x).
c  coeficientes de f(x)
________________
coef de q(x) | residuo
Escribimos el opuesto
del número “- c” en
x – c. El grado de q(x)
es 1 menos que el de
f(x).
.
1
2x
-
x
1
-
x
de
residuo
y
Cociente
3

1  1 0 -2 1
1 1 -1
1 1 -1 | 0 = f(1)
cociente: x² + x – 1
Como el residuo = 0,
x – 1 es un factor.

2
-
x
g(x)
6,
5x
2x
3x
x
f(x)
10)
3
x
g(x)
12,
2x
x
x
f(x)
9)
sintética.
división
la
Utiliza
factor.
del
teorema
al
acuerdo
de
f(x)
de
factor
un
es
g(x)
que
Prueba
III.
.
-
c
1,
6x
3x
9x
27x
f(x)
8)
2.
-
c
4,
10x
-
2x
8x
3x
f(x)
7)
sintética.
división
la
y
residuo
del
teorema
al
acuerdo
de
f(x)
de
cero
un
es
c"
"
que
Prueba
II.
.
2
1
c
8,
3x
-
x
f(x)
6)
.
c
7,
3x
-
8x
f(x)
5)
0.2
-
c
.034,
-
.04x
0.3x
f(x)
4)
2.
-
c
x,
4x
x
-
f(x)
3)
3.
-
c
8,
-
4x
6x
-
x
f(x)
2)
2.
c
4,
-
5x
x
-
3x
f(x)
1)
f(c).
hallar
para
sintética
división
la
y
residuo
del
teorema
el
Utiliza
I.
Sintética.
División
la
de
ones
Aplicaci
:
Práctica
de
Ejecicios
2
3
4
2
3
3
1
2
3
4
2
3
4
2
3
2
1
2
5
3
2
3
2
4
2
3











































 Para ver Partes IV, V, VI y VII

0
4x
-
x
25)
0
3x
4x
x
24)
0
4
-
4x
-
x
x
23)
0
x
-
x
22)
.
ecuaciones
siguientes
las
de
raíces
las
Consigue
VII.
4x
-
x
21)
3x
4x
x
20)
4
-
4x
-
x
x
19)
x
-
x
18)
.
polinomios
siguientes
los
de
ceros
los
todos
Consigue
VI.
4x
-
x
f(x)
17)
3x
4x
x
f(x)
16)
4
-
4x
-
x
x
f(x)
15)
x
-
x
f(x)
14)
ejercicio.
cada
en
dadas
funciones
las
de
ceros
los
Halla
V.
1.
x
-
x
entre
divisible
sea
5
-
9x
kx
7x
3x
-
x
que
para
k"
"
Consigue
13)
d".
"
halla
5,
)x
d
-
(1
dx
-
2x
de
factor
un
es
d
-
x
Si
12)
1.
-
x
entre
dividido
es
5
-
6x
-
2x
8x
polinomio
el
si
residuo,
el
Halla
11)
Resuelve.
IV.
2
4
2
3
4
2
3
2
2
4
2
3
4
2
3
2
2
4
2
3
4
2
3
2
2
2
3
4
5
2
2
3
20
243
1000
























-2
-1
0
1
-1 0 1 2
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
-3 -2 -1 0 1 2 3
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
-1 0 1 2 3 4
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
-3 -2 -1 0 1 2 3
 Para ver Clave

Técnicas Para Hallar Los Ceros De Un Polinomio

Las siguientes propiedades
aplicadas en conjunto, y con la
ayuda de la división sintética, nos
ayudarán a hallar los ceros de
polinomios cuyo grado sea mayor
que dos.

1) Todo polinomio de grado “n” tiene
exactamente “n” ceros, no necesariamente
diferentes. Es decir, un polinomio de grado 2
tiene dos ceros, uno de grado 3 tiene
exactamente 3 ceros, etc. Éstos ceros pueden
ser diferentes, o algunos de ellos se pueden
repetir. Aunque un cero se repita “m” veces,
los vamos a contar como si fueran “m” ceros
diferentes. Decimos que un cero que se repite
“m” veces es un cero múltiple.

2) Si un polinomio de grado “n” tiene “n” ceros,
entonces tiene “n” factores. Si c1, c2, c3, …, cn
son los “n” ceros de f(x), entonces (x – c1),
(x – c2), (x – c1), …, (x – cn) son los “n”
factores de f(x).
Toda función f(x) = a(x - c1)(x - c2) . . . (x- cn),
donde “a” es un número real (a  0), contiene
los ceros c1, c2, c3, … cn.

Polinomio Ceros Factores
x³ + 2x² - 5x - 6 -1, 2, 3 (x + 1)(x – 2)(x – 3)
2x
-
2x
4x
4x
-
2x
-
2x 2
3
4
5
6

 2x(x + 1)²(x – 1)³
0, -1, -1, 1, 1, 1
(-1 y 1 son ceros
múltiples)
Ejemplo: Halla los ceros, su multiplicidad y traza una gráfica
aproximada para la siguiente función:
3)
-
(x
2)
(x
1)
-
(x
5
1
f(x) 2
3


Ceros: 1, 1, 1, -2, -2, 3. El 1 es de multiplicidad 3, el –2 de
multiplicidad 2. El 3 es otro cero.
Posición de la gráfica, entre los ceros, con respecto al eje de x:
X
-2 1 3
+ + - + Solamente queda debajo
del eje de x entre 1 y 3.

-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
3)
-
(x
2)
(x
1)
-
(x
5
1
f(x) 2
3


Vea que la gráfica tiene forma de parábola en el cero
doble, forma cúbica en el cero triple, y forma casi
recta en el cero simple. Está debajo del eje de x
solamente entre 1 y 3.

Ejemplo: Halla el polinomio f(x) de grado 5 tal que 1 sea un
cero doble y –1 es un cero triple, y además f(-2) = 3.
Si 1 es un cero doble, (x – 1)² es un factor; si –1 es un cero
triple, (x + 1)³ también es un factor de f(x). Por lo tanto,
f(x) = a(x – 1)²(x + 1)³. Como sabemos que f(-2) = 3, podemos
hallar el valor de “a” que necesitamos para completar f(x).
f(x) = a(x – 1)²(x + 1)³
3 = a(-2 – 1)²(-2 + 1)³
3 = a(-3)²(-1)³
3 = -9a
3
1
-
9
3
-
a 
 3
2
1)
(x
1)
(x
3
1
-
f(x)
es
piden
nos
que
función
La




2  1 -6 11 -2 -12 8
2 -8 6 8 -8
1 -4 3 4 -4 | 0
triple.
cero
un
es
2
si
8,
12x
-
2x
-
11x
6x
-
x
f(x)
de
factores
los
todos
Halla
:
Ejemplo
2
3
4
5



Si f(x) es de grado 5, entonces tiene 5 ceros y por lo tanto 5
factores. Como 2 es un cero triple, conocemos de 3 factores:
(x - 2), (x – 2) y (x – 2). Los dos factores que nos faltan los
vamos a conseguir con la ayuda de la división sintética.
Como 2 es un cero, (x – 2) es un factor.
Pero 2 es un cero triple, así que (x – 2)
también es factor de q(x).
 q(x) 
2  1 -4 3 4 -4
2 -4 -2 4
1 -2 -1 2 | 0
El 2 vuelve a ser factor. Dividimos
nuevamente a q(x) entre (x – 2).
q(x) 
2  1 -2 -1 2
2 0 -2
1 0 -1 | 0
Ese cociente, x² - 1, también es factor de
f(x). Como x² - 1 = (x – 1)(x + 1), hemos
hallado los 5 factores de f(x): 2, 2, 2, -1, 1.

p(x).
para
aproximada
gráfica
una
Dibuja
lineales.
factores
de
producto
un
como
p(x)
a
escribe
,
32
-
22x
9x
x
p(x)
de
doble
cero
un
es
4
Si
8)
h(x).
para
aproximada
gráfica
una
Dibuja
doble.
cero
un
es
3
-
si
lineales,
factores
de
producto
un
como
18
-
3x
-
13x
7x
x
h(x)
a
Expresa
7)
g(x).
para
aproximada
gráfica
una
Dibuja
8.
g(2)
y
triple,
cero
un
sea
cero
dobles,
ceros
sean
1
y
1
-
que
tal
7
grado
de
g(x)
polinomio
un
Halla
6)
f(x).
para
aproximada
gráfica
una
Dibuja
2.
dad
multiplici
de
ceros
sean
1
y
2
-
que
tal
1,
a
igual
principal
coeficinte
con
4
grado
de
f(x)
polinomio
un
Halla
5)
grafica.
y
Resuelve
II.
1)
-
(9x
3)
2x
-
(x
f(x)
4)
x
6x
-
9x
f(x)
3)
16
8x
-
x
f(x)
2)
1)
-
2)(x
(3x
x
f(x)
1)
uno.
cada
de
dad
multiplici
la
y
f(x)
de
ceros
los
Halla
I.
Polinomios
de
Ceros
los
Hallar
para
Técnicas
:
Práctica
de
Ejercicios
2
3
4
2
3
4
4
2
2
2
3
4
5
2
4
3
2















 Para ver Clave

Si un polinomio f(x) contiene sus términos ordenados según los
exponentes de su variable, hay una variación en signo en f(x)
siempre que dos términos consecutivos tengan signos
diferentes. Por ejemplo, el polinomio 2x³ - 5x² - 3x + 2 tiene dos
variaciones de signos: del primer término positivo (2x³) al
segundo, que es negativo (-5x²); y del tercer término negativo
(-3x) al cuarto, que es positivo (2).
2x³ - 5x² - 3x + 2
Hay cambio de
positivo a negativo
No hay cambio
(negativo a negativo)
Hay cambio de
negativo a positivo
Para f(-x) = 2(-x)³ - 5(-x)² - 3(-x) + 2, o sea, f(-x) = -2x³ - 5x² + 3x
+ 2 hay una sola variación en signos: del segundo término, que
es negativo, al tercero, que es positivo.
Las variaciones en signos de f(x) y de f(-x) nos ayudarán a
determinar la cantidad de ceros positivos o negativos que pueda
tener un polinomio.

f(x) variaciones f(-x) variaciones
3
5x
-
2x
3x 2
3
4

 dos
3
5x
2x
3x
3
5(-x)
-
2(-x)
3(-x)
f(-x)
2
3
4
2
3
4







3
5x
2x
3x 2
3
4


 dos
3
5x
2x
3x 3
4


 una
3
5x
2x
3x
3
5(-x)
2(-x)
3(-x)
f(-x)
3
4
3
4








3
5x
2x
3x 3
4


 tres
Regla de signos de Descartes
Si f(x) es un polinomio con coeficientes reales y término
constante no igual a cero:
 La cantidad de ceros positivos de f(x) es igual a la cantidad
de variaciones de signos en f(x), o dos menos que esa cantidad,
o dos menos que la cantidad anterior, etc…
 La cantidad de ceros negativos de f(x) es igual a la cantidad
de variaciones de los signos de f(-x), o dos menos que esa
cantidad, o dos menos que la cantidad anterior, etc…

f(x), variaciones de signos,
posible cantidad de ceros
positivos
f(-x), variaciones de signos,
posible cantidad de ceros
negativos
3
5x
2x
3x 3
4



• Variaciones en signos: _____
• Posible cantidad de
ceros positivos: ______
Una.
Uno.
3
5x
2x
3x
f(-x) 3
4




ceros negativos: ____________
Tres.
Tres o uno.
1
3x
5x
2x
3x 2
3
4




ceros positivos: _________________
Cuatro.
Cuatro, dos o ninguno.
1
3x
5x
2x
3x
f(-x) 2
3
4





• Variaciones en signos: _________
ceros negativos: ___________
ninguna
ninguno
3.
-
5x
-
2x
3x
a
aplicar
podemos
la
se
3),
-
5x
-
2x
x(3x
común,
factor
como
x"
"
la
sacamos
si
Pero
constante.
término
tiene
no
porque
Descartes
de
regla
la
aplicar
podemos
le
no
3x
5x
2x
3x
como
polinomio
un
A
:
Nota
2
3
2
3
2
3
4





.
diferentes
tres
los
o
dos
iguales,
positivos
ceros
3
contener
puede
entonces
signos,
de
s
variacione
tres
digamos
contiene,
f(x)
Si
múltiples.
ceros
contener
puede
polinomio
un
que
Recuerda

Ejercicios de Práctica: Regla de Signos de Descartes.
I. Completa la siguiente tabla.
# Polinomio f(x) f(-x) Cantidad de
ceros positivos
Cantidad de
ceros negativos
1
2
3
4
9
5x
8x
-
x 3
4


1
x
-
x
x
x
x 2
3
4
5




8
x
5x
3x 3
6



4
3x
2x
-
x 5
3
4


 Para ver Clave

Cotas De Los Ceros Reales De Un Polinomio

Si un polinomio contiene dos o más ceros
reales distintos, es obvio que uno de ellos sea
mayor que el otro. Si un número real “a” es
menor que el cero más pequeño de un
polinomio f(x), ese número “a” es una cota
inferior de los ceros de f(x). Por ejemplo, si los
únicos ceros reales de f(x) son –2, 1 y 3,
entonces todos los números menores que –2,
que es el cero menor, son cotas inferiores de los
ceros de f(x).

Una cota superior de los ceros reales de un
polinomio es cualquier número “b” mayor que
el cero real más grande del polinomio. Para el
polinomio cuyos únicos ceros reales sean
–2, 1 y 3, cualquier número mayor que 3 es
una cota superior de ese polinomio. En otras
palabras, todos los ceros reales de un
polinomio están entre sus cotas inferiores y
superiores. Si “a” es una cota inferior y “b” es
una cota superior de los ceros de f(x), entonces
todos los ceros reales de f(x) están dentro del
intervalo [a, b] de su dominio.

Teorema de cotas para los ceros reales de un polinomio
Sea f(x) un polinomio con coeficientes reales y coeficiente
principal que sea positivo, dividido en forma sintética entre
x – c:
 si c > 0 y todos los números de la tercera fila de la división
sintética (la fila que contiene los coeficientes de q(x) y al
residuo) son positivos o alguno de ellos cero, entonces “c” es
una cota superior de los ceros de f(x).
 si c < 0 y los números de la tercera fila de la división
sintética son positivos alternando con negativos, entonces “c”
es una cota inferior de los ceros de f(x). Si algún número de
esa tercera fila de la división sintética es cero, puedes
asignarle, a tu conveniencia, el signo de positivo o negativo.
Nota: Aunque las cotas superior e inferior pueden ser cualquier número
real entre los cuales estén todos los ceros reales del polinomio, nos interesa,
particularmente, las cotas más cercanas a esos ceros. De esa manera
reducimos el intervalo donde podemos hallar todos esos ceros.

Ejemplo: Halla las cotas enteras más cercanas a los ceros
reales de f(x) = 2x³ + 5x² - 8x – 7.
¿Cuál de las siguientes divisiones contiene solamente números
positivos en la tercera fila?
1  2 5 -8 -7 2  2 5 -8 -7
2 7 -1 4 18 20
2 7 -1 | -8 2 9 10 | 13
Como todos los
números de esa fila
son positivos, el 2 es
una cota superior.
¿Cuál de las siguientes divisiones contiene, alternadamente,
números positivos y negativos en la tercera fila?
-1  2 5 -8 -7 -2  2 5 -8 -7 -3  2 5 -8 -7 -4  2 5 -8 -7
-2 -3 11 -4 -2 20 -6 3 15 -8 12 -16
2 3 -11 | 4 2 1 -10 | 13 2 -1 -5 | 8 2 -3 4 | -23
Vea que –4 es una cota inferior de los ceros de f(x). Todos los
ceros reales de f(x) están en el intervalo (-4, 2).

176.
68x
-
18x
9x
5x
-
x
-
de
ceros
los
a
cercanas
más
cotas
las
Halla
positivo.
es
principal
e
coeficient
el
si
aplica
polinomio
un
de
cotas
las
hallar
para
técnica
La
4)
11
13x
-
2x
11x
-
2x
f(x)
3)
13
-
5x
-
x
f(x)
2)
1
2x
-
4x
-
7x
f(x)
1)
f(x).
de
ceros
los
a
cercana
más
inferior
la
y
superior
cota
la
Halla
I.
.
Polinomios
de
Ceros
los
de
Cotas
:
Práctica
de
Ejercicios
2
3
4
5
2
3
4
2
4
2
3









 Para ver Clave

Ceros Racionales De Polinomios

f(x).
de
a"
"
principal
e
coeficient
del
factor
un
es
q
p
de
q"
"
r
denominado
el
y
f(x)
de
r"
"
constante
término
del
factor
un
es
q
p
de
p"
"
numerador
el
Entonces,
simple.
más
forma
la
en
expresado
f(x)
de
racional
cero
un
q
p
sea
y
enteros
es
coeficient
con
polinomio
un
r
....
bx
ax
f(x)
Sea
polinomios
de
racionales
ceros
los
sobre
Teorema
1
-
n
n




El teorema asegura que si un polinomio f(x) con coeficientes
enteros tiene un cero racional p/q, podemos obtener los valores
de “p” y de “q” de los factores del término constante y de los
factores del coeficiente principal de f(x) respectivamente.

polinomio.
ese
para
cumple
se
teorema
el
si
Veamos
6.
11x
-
17x
-
30x
de
ceros
son
2
1
y
5
3
-
,
3
2
que
decir
Quiere
6.
11x
-
17x
-
30x
da
2
1
-
x
5
3
x
3
2
-
x
30
de
ción
multiplica
La
2
3
2
3





















6
11x
-
17x
-
30x 2
3

Factores (q)
del 30:
 1,  30,  2, 
15,  3,  10, 
5,  6
Factores (p)
del 6:
1,  6,  2,  3
Vea de dónde obtenemos el
numerador y el
denominador de cada cero:
:
3
2
cero
El :
5
3
-
cero
El :
2
1
cero
El

 Halla todos los factores “p”, positivos y negativos,
del término constante “r” de f(x).
 Halla todos los factores “q”, positivos y negativos,
del coeficiente principal “a” de f(x).
 Escribe todas las posibles combinaciones p/q de los
factores hallados en los pasos anteriores.
 Determina cuáles de esos valores p/q son ceros de
f(x), utilizando para ellos la división sintética.
:
r
...
bx
ax
f(x)
polinomio
del
q
p
racionales
ceros
posibles
los
hallar
para
Pasos
1
-
n
n





2,
1
2



Ejemplo: Halla los posibles ceros racionales p/q de
f(x) = 2x³ + x² - 8x – 4.
Factores de –4: p = 1, 4, 2
Factores de 2: q = 1, 2
:
q
p
de
Valores
1,
1
1


 4,
1
4


 ,
2
1
 2,
2
4


 1
2
2



2
1
2,
4,
1, 



2  2 1 -8 -4 -2  2 1 -8 -4 -½  2 1 -8 -4
4 10 4 -4 6 4 -1 0 4
2 5 2 | 0 2 -3 2 | 0 2 0 -8 | 0
Vea que los ceros racionales de f(x), 2, -2 y ½ , están entre los
valores encontrados de p/q.

Nota: No necesariamente todos los ceros
de un polinomio son racionales. De hecho,
pronto veremos que hay polinomios que
no tienen esta clase de ceros. El teorema
nos permite hallar los ceros que sean
racionales, si el polinomio los tiene.

Si el término constante “r” y el coeficiente
principal “a” de f(x) contienen muchos
factores, puede haber una gran cantidad de
posibles ceros p/q a considerar. La gran
cantidad de divisiones sintéticas que como
consecuencia habría que llevar a cabo para
hallar esos ceros hace el proceso lento y
tedioso. Con el propósito de reducir los
posibles candidatos a ceros p/q, hacemos las
siguientes recomendaciones:

 Verifica que los términos del polinomio están ordenados,
que los coeficientes sean enteros, que el polinomio tenga
término constante y que su coeficiente principal sea
positivo.
 Determina la posible cantidad de ceros positivos y negativos
que puede tener el polinomio según la regla de signos de
Descartes.
 Halla la menor cota superior y la mayor cota inferior de
todos los ceros reales del polinomio.
 Determina todos sus posibles ceros racionales p/q.
 Descarta todos los valores de p/q que no cumplan con los
requisitos anteriores.
 Utiliza la división sintética para los valores p/q que
quedaron. Cada vez que halles un cero, sustituye otro
candidato p/q en q(x). Sigue ese proceso hasta que q(x) sea
de grado 2, ya que a éste le puedes hallar sus ceros fácilmente.

6.
8x
11x
4x
4x
f(x)
de
ceros
los
Halla
:
Ejemplo 2
3
4





• Cambios de signos de f(x):
• Cambios de signos de f(-x):
Dos. Quiere decir que f(x) puede
tener dos ceros positivos o ninguno.
6
8x
11x
4x
4x
6
8(-x)
11(-x)
4(-x)
4(-x)
f(-x)
2
3
4
2
3
4










Como f(-x) contiene dos
cambios en signos, f(x)
puede tener 2 ceros
negativos o ninguno.
• Cotas superior e inferior:
1  4 4 -11 -8 6 2  4 4 -11 -8 6
4 8 -3 -11 8 24 26 36
8 -3 -11 | -5 4 12 13 18 | 42
-1 4 4 -11 -8 6 -2 4 4 -11 -8 6 -3 4 4 -11 -8 6
-4 0 11 –3 -8 8 6 4 -12 24 –39 141
4 0 -11 3 | 3 4 -4 -3 -2 | 10 4 -8 13 -47 | 147
Todos positivos.
Cota superior = 2
Cota inferior = -3
• Posibles ceros p/q:
(próxima página) Todos los ceros p/q están en (-3, 2).

• Posibles ceros p/q: 6.
8x
11x
4x
4x
f(x) 2
3
4





Factores de 6: p = 1, 6, 2, 3
Factores de 4: q = 1, 4, 2
:
q
p
de
Valores
2
3
,
4
3
3,
1,
2
2
,
2
1
4
2
2
1
2
3,
2
6
,
2
3
4
6
6,
,
2
1
,
4
1
1,






















repetido repetido
repetido repetido
Según las cotas, son candidatos los del intervalo (-3, 2). Los
candidatos son entonces 1,  ¼ ,  ½ , -2,  ¾ ,  3/2.
descartado
descartado
descartado
el +2
½  4 4 -11 -8 6 -3/2 4 6 -8 -12
2 3 -4 -6 -6 0 12
4 6 -8 -12 | 0 4 0 -8 | 0
Los ceros de f(x) son ½ ,
-3/2 y los ceros de
4x² - 8. Éstos los hallamos
en la siguiente página.
Todos los ceros p/q
están en (-3, 2).

Los ceros de f(x) son ½ , -3/2 y los ceros de
4x² - 8.
4x² - 8 = 0
4x² = 8
4
8
4
4x2

2
x2

2
x2

2
x 
2
x 

.
2
-
y
2
,
2
3
-
,
2
1
:
son
6
8x
11x
4x
4x
f(x)
de
ceros
cuatro
Los
2
3
4





-10
-5
0
5
10
15
20
-2 -1 0 1 2
6.
8x
11x
4x
4x
f(x) 2
3
4





2
3
 2
 2
2
1

Una caja fuerte rectangular tiene dimensiones
de 1 por 2 por 3 pies. Si cada dimensión se
aumenta en la misma cantidad, ¿qué cantidad
hay que aumentar a cada dimensión para que el
nuevo volumen sea 10 veces el original?
1 pie
2 pies
3 pies
Volumen de la caja original= (largo)(ancho)(alto)
= (1)(2)(3) = 6 pies cúbicos
El volumen de la nueva caja es 60 pies cúbicos, ya
que es 10 veces el volumen original.
Si “x” es lo que vamos a aumentar a cada
dimensión de la vieja caja, entonces las
dimensiones de la nueva caja son (x + 1), (x + 2)
y (x + 3).
x + 1
x + 2
x + 3
Volumen de la nueva caja = (largo)(ancho)(alto)
60 = (x + 1)(x + 2)(x + 3)
60 = (x + 1)(x + 2)(x + 3)
[(x + 1)(x + 2)](x + 3) = 60
(x² + 2x + x + 2)(x + 3) = 60
(x² + 3x + 2)(x + 3) = 60
x³ + 3x² + 2x + 3x² + 9x + 6 = 60
x³ + 6x² + 11x – 54 = 0

0
27
8
1
54
16
2
54
-
11
6
1
2
Utilizamos división sintética
para hallar los ceros de ese
polinomio.
Hay que aumentar 2 pies a cada
lado para que el volumen sea 10
veces mayor que el original.

12
8x
x
x
f(x)
8)
4x
11x
5x
2x
f(x)
7)
40
66x
33x
10x
f(x)
6)
polinomio.
cada
de
racionales
ceros
los
todos
Halla
II.
1.
x
x
x
f(x)
de
racionales
ceros
posibles
los
Halla
enteros.
es
coeficient
con
polinomios
a
aplica
racionales
ceros
de
prueba
La
5)
.
4x
11x
5x
2x
f(x)
de
racionales
ceros
posibles
los
Halla
cero.
sea
no
constante
término
cuyo
polinomios
a
aplica
racionales
ceros
de
prueba
La
4)
22
-
30x
10x
-
2x
f(x)
3)
20
-
x
8x
3x
f(x)
2)
40
-
66x
33x
-
10x
f(x)
1)
evalúes)
los
(No
polinomio.
cada
para
racionales
ceros
posibles
los
todos
Halla
I.
Polinomios
de
Racionales
Ceros
:
Práctica
de
Ejercicios
2
3
2
3
3
4
3
2
2
12
1
3
12
1
2
3
4
5
2
3
2
3
3
4



























 Para ver Parte III y IV

III. Contesta de acuerdo a la gráfica de y = 4 - x².
9) Expresa el área del rectángulo
ABCD en términos de x.
10) Si x = 1, la base del rectángulo
mide 2 y su altura es 3. Halla la
base de otro rectángulo inscrito en
la parábola con la misma área que
el anterior.
IV. Se va a hacer una caja rectangular sin tapa usando un pedazo de cartón de 8
por 5 pulgadas, quitando cuadrados del mismo tamaño “x”
en las esquinas y doblando los lados hacia arriba. El
volumen de la caja va a ser 14 pulgadas cúbicas.
11) Halla el dominio de “x”.
12) ¿Cuánto hay que cortar en cada esquina?
-1
0
1
2
3
4
5
-3 -2 -1 0 1 2 3
y = 4 - x²
(x, y)
A
B
C
D
 Para ver Clave
x
x
x
x
x
x
x
x
 8 pulgadas

5

Volumen
= 14 pulg³

Polinomios Con Ceros Complejos

Sabemos que un polinomio de grado
“n” tiene “n” ceros. Los polinomios
seleccionados en las lecciones
anteriores tenían sus “n” ceros reales.
Sin embargo, muchos polinomios
pueden tener ceros imaginarios.

Ejemplo: Halla los ceros de f(x) = x³ - 3x² + 7x – 5.
Cambios de signos de f(x):
Cambios de signos de f(-x):
Tres. Por lo tanto f(x) puede
tener 3 ceros positivos o uno.
f(-x) = (-x)³ - 3(-x)² + 7(-x) – 5
= -x³ - 3x² - 7x - 5
f(x) no tiene ceros negativos.
Entre los posibles ceros racionales p/q, el 1 es un cero.
1 1 -3 7 -5
1 -2 5
1 -2 5 | 0
Como q(x) = x² - 2x + 5 es un factor de
f(x), podemos hallar sus dos ceros
mediante la fórmula cuadrática.
q(x)
2i
1
2
4i
2
2
16
2
x
2
4(1)(5)
4
2
2a
4ac
b
b
x
5
c
2,
b
1,
a
5,
2x
x
q(x)
Para
2
2





















Los ceros de f(x) son 1,
1 + 2i, 1 – 2i.
conjugados

No fue una casualidad que f(x) = x³ -3x² + 7x – 5 tenga dos ceros
imaginarios conjugados.
Todo polinomio con coeficientes reales que tenga un cero
imaginario u = a + bi, tiene también otro cero ū = a – bi, que
es el conjugado de u.
ceros.
demás
los
halla
18,
9x
7x
x
x
f(x)
de
cero
un
es
3i
Si
:
Ejemplo 2
3
4





3i  1 -1 7 -9 -18 -3i  1 (-1 + 3i) (-2 – 3i) -6i
3i (-9 – 3i) (9 – 6i) 18 -3i 3i 6i
1 (-1 + 3i) (-2 – 3i) -6i | 0 1 -1 -2 | 0
3i es un cero, así como –3i también lo es.
q(x)
q(x)
En las pasadas divisiones, (x – 3i), (x + 3i) y (x² - x – 2) son
factores. Podemos hallar los de (x² - x – 2) factorizando.
x² - x – 2 = 0
(x – 2)(x + 1) = 0
x = 2, x = -1
Los ceros de f(x) son: 3i, -3i, 2 y –1.

Ejemplo: Halla un polinomio f(x) de grado 4 con coeficientes
reales que tenga a 3 + i y –2i como dos de sus ceros.
Ese polinomio de grado 4 tiene 4 ceros: 3 + i, -2i y sus
conjugados 3 – i y 2i. Por lo tanto, sus factores son:
[x – (3 – i)][x – (3 + i)](x – 2i)(x + 2i).
f(x) = a(x – 3 + i)(x – 3 – i)(x – 2i)(x + 2i). Como nos piden un
polinomio cualquiera que tenga esos ceros, vamos a seleccionar
aquel en que “a” sea, digamos, 1. Luego multiplicamos los
factores para expresar a f(x) en forma expandida.
10)
6x
(x
1)
(
9
6x
x
i
3i
ix
3i
9
3x
ix
3x
x
i)
3
i)(x
3
(x
2
2
2
2






















4
x
1)
4(
x
4i
2ix
2ix
x
2i)
2i)(x
(x
2
2
2
2












40
24x
14x
6x
x
4)
10)(x
6x
(x
f(x) 2
3
4
2
2










Desde luego, los ceros imaginarios no aparecen en el eje de x,
ya que éste contiene “solamente” números reales.
0
10
20
30
40
50
60
-1 0 1 2 3 4
40
24x
14x
6x
x
f(x) 2
3
4





X

real.
cero
un
menos
lo
por
tiene
f(x)
entonces
impar,
es
n"
"
y
reales
números
son
r
...,
b,
a,
donde
polinomio,
un
es
r
...
bx
ax
f(x)
Si
9)
ceros.
sus
de
otro
es
i
-
entonces
ceros,
sus
de
uno
como
i"
"
a
tiene
2
2ix
ix
-
x
f(x)
polinomio
el
Si
8)
i.
y
1
-
1,
son
ceros
cuyos
reales
es
coeficient
con
cúbico
polinomio
un
Existe
7)
.
Falso
o
Cierto
Contesta
II.
0.
27
45x
18x
8x
de
soluciones
las
todas
Halla
6)
0.
f(-i)
y
0
f(1)
2,
f(0)
que
tal
3,
grado
de
reales
es
coeficient
con
f(x)
polinomio
un
Halla
5)
doble.
cero
un
como
i
1
a
tiene
que
reales
es
coeficient
con
4
grado
de
polinomio
un
Halla
4)
ceros.
demás
los
halla
2,
2x
-
3x
2x
-
x
f(x)
de
cero
un
es
i
1
Si
3)
ceros.
sus
de
uno
es
i
2
si
8,
2x
-
2x
3x
-
x
f(x)
de
ceros
demás
los
Consigue
2)
ceros.
sus
de
uno
es
5
si
5,
-
4x
-
4x
-
x
f(x)
de
ceros
demás
los
Consigue
1)
:
Resuelve
I.
Complejos
Ceros
con
Polinomios
:
Práctica
de
Ejercicios
1
-
n
n
2
3
2
3
2
3
4
2
3
4
5
2
3























 Para ver Parte III

5
5
5
5
Soluciones
de
Total
s
Imaginaria
Soluciones
12)
Negativas
Soluciones
11)
Positivas
Soluciones
10)
4
#
Caso
3
#
Caso
2
#
Caso
1
#
Caso
Soluciones
de
Tipos
f(x).
de
soluciones
de
nes
combinacio
posibles
las
sobre
tabla
siguiente
la
Completa
f(-x).
para
dos
y
f(x)
para
signos
de
s
variacione
3
tiene
5
-
6x
3x
7x
-
2x
f(x)
polinomio
el
Descartes,
de
signos
de
regla
la
a
acuerdo
De
III.
2
4
5



 Para ver Clave

Gráficas De Funciones
De Polinomios

Ya sabemos que es necesario hallar los
ceros de un polinomio para localizar las
intersecciones de su gráfica con el eje de
x. También podemos determinar los
intervalos de su dominio donde ésta
queda por encima o debajo de ese eje.
Ahora vamos a presentar otras
características de las gráficas de
polinomios.

-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
-2 -1 0 1 2 3 4
Puntos de retorno: es un punto de la gráfica de una
función continua donde ésta cambia su tipo de
crecimiento (de creciente a decreciente o viceversa).
Punto
de
retorno
Punto
de
retorno

Vea la gráfica de f(x) = (x + 2)(x – 1)²(x – 4)³
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
• Si el polinomio es de grado “n”, puede tener
hasta un máximo de “n” intersecciones con el eje
“x”.
• La gráfica de todo polinomio de grado par tiene
la misma tendencia para f(x) cuando
x   y cuando x  - . (En este caso, f(x)   )
• La gráfica de un polinomio de grado “n” puede
tener un máximo de n – 1 puntos de retorno.
128
-
288x
168x
-
26x
-
45x
12x
-
x
f(x) 2
3
4
5
6



f(x) tiene 3 puntos de retorno.
f(x) tiene 3 intersecciones con el eje de x.

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
• Si el polinomio es de grado “n”, puede tener hasta
un máximo de “n” intersecciones con el eje “x”.
• La gráfica de todo
polinomio de grado par
tiene la misma tendencia
para f(x) cuando x  
y cuando x  - . (En
este caso, f(x)  -  )
• La gráfica de un polinomio de grado “n” puede tener un
máximo de n – 1 puntos de retorno.
2
x
12x
7x
x
-
f(x)
de
gráfica
la
Vea 2
4
6





f(x) tiene 5 puntos de retorno, el máximo posible.

-2
-1
0
1
2
3
-2 -1 0 1 2 3
Vea la gráfica de f(x) = x³ - 2x² - x + 2.
• Si el polinomio es de grado “n”, puede tener hasta un
máximo de “n” intersecciones con el eje “x”.
polinomio de grado impar
se dirige en direcciones
opuestas cuando x   y
cuando x  - . (En este
caso, cuando x  ,
f(x)   y cuando
x  - , f(x)  - ).
• La gráfica de un polinomio de grado “n” puede tener un máximo
de n – 1 puntos de retorno.
f(x) tiene 2 puntos de retorno, el máximo posible.

-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
-3 -2 -1 0 1 2 3
• Si el polinomio es de grado “n”, puede tener hasta un
máximo de “n” intersecciones con el eje “x”.
polinomio de grado impar
se dirige en direcciones
opuestas cuando x   y
cuando x  - . (En este
caso, cuando x  ,
f(x)  -  y cuando
x  - , f(x)  ).
• La gráfica de un polinomio de grado “n” puede tener un máximo
de n – 1 puntos de retorno.
.
4x
x
-
f(x)
de
gráfica
la
Vea 3
5


f(x) tiene 2 puntos de retorno.

Ejercicios de Práctica: Gráficas de Funciones Polinomiales
I. Si cada gráfica es de una función polinomial, ¿cuál es su grado mínimo?
1) 2) 3) 4) 5)
II. Parea cada función con su gráfica dejándote llevar por su simetría.
a) b) c)
1
2x
-
x
f(x)
8)
2x
-
x
f(x)
7)
1
2x
-
x
f(x)
6)
3
4
3
2
4





 Para ver Parte III, IV y V

4
2x
-
x
y
2
3x
-
x
y
4
3x
-
x
y
2x
-
x
y
ejercicio.
cada
en
pide
se
que
la
dibuja
función,
cada
de
gráfica
la
Dada
III.
2
4
4
1
3
2
3
2
4







-2
0
2
4
6
8
-2 -1 0 1 2
-2
0
2
4
6
-2 -1 0 1 2 3
-2
0
2
4
6
-2 -1 0 1 2
-2
0
2
4
6
-3 -2 -1 0 1 2 3
2
4
2
4
4
1
3
2
3
2x
-
x
y
12)
4
2x
-
x
y
11)
2
3x
-
x
y
10)
4
3x
-
x
y
9) 






IV. Halla los puntos de intersección de las gráficas de cada pareja de funciones
dadas.
V. Halla una función polinomial de grado mínimo que corresponda a cada
gráfica.
15) 16)
4
3x
-
x
g(x)
4,
2x
-
x
f(x)
14)
8
4x
2x
-
x
g(x)
4,
3x
-
x
f(x)
13)
2
3
2
4
4
1
2
3
2
3









-2
0
2
4
6
-3 -2 -1 0 1 2 3
-3
-2
-1
0
1
-2 -1 0 1 2 3
 Para ver Parte VI y VII

3
x
-
3x
x
f(x)
20)
1)
(x
1)
-
(x
x
f(x)
19)
función.
cada
para
gráfica
la
Dibuja
VII.
3
8x
-
8x
14x
5x
6x
-
f(x)
18)
4
12x
-
x
24x
23x
-
6x
f(x)
17)
gráfica.
su
a
acuerdo
de
función
cada
de
a
factorizad
forma
la
Halla
VI.
2
3
2
3
2
3
4
5
2
3
4
5














-3
0
3
6
9
-1 0 1 2 3
-2
0
2
4
6
-2 -1 0 1 2
 Para ver Clave

Polinomios
cuadráticos
irreducibles
Un polinomio cuadrático f(x) con coeficientes reales
está expresado en forma irreducible si f(x) = 0
contiene solamente ceros imaginarios.
Polinomio
cuadrático
Discriminante
b² - 4ac
# de ceros
imaginarios
x² + 4 0² - 4(1)(4)
= -16
dos
x² - 2x + 3 (-2)² - 4(1)(3)
= -8
dos
3x² + x + 2 1² - 4(3)(2)
= -23
dos

Todo polinomio f(x) con coeficientes reales se puede
expresar como el producto de factores lineales o
factores cuadráticos irreducibles.
Polinomio Factores Tipos de
factores
2x² - 5x – 3 (x – 3)(2x + 1) lineales
2x³ - 6x² + x - 3 (x – 3)(2x² + 1) Lineal y
cuadrático
(x² – x + 3)(2x² + 1) cuadrático
cuadrático
3
x
7x
2x
2x 2
3
4





3
-
x
2
2
x
1


h(x).
de
es
irreducibl
factores
los
sean
res
denominado
cuyos
fracciones
otras
de
resta
o
suma
la
como
f(x)
a
expresar
en
consiste
h(x)
g(x)
f(x)
racional
expresión
una
de
parciales
fracciones
las
Hallar

f(x) tiene que ser propia y
expresada en su forma simple.
Fracciones Resultado Fracciones
parciales
6
-
x
-
x
1
3x
2

3
-
x
2
,
2
x
1

1
x
2
x
-
1
-
x
2
2


1
-
x
x
-
x
4
x
x
2
3
2



1
x
2
x
-
,
1
-
x
2
2


1
x
x
1
-
1
x
x
2
2


 1
x
2x
x
x
1
x
x
2
3
4
3






1
x
x
1
,
1
x
x
2
2



(x – 1) y (x² + 1) son los factores de x³- x² + x - 1
x² + 1 y x² + x + 1 son los factores de 1
x
2x
x
x 2
3
4





Como en la primera columna de la pasada tabla
fueron dadas las fracciones cuya suma o resta daban
como resultado las fracciones de la segunda columna,
fue fácil determinar que aquellas eran las fracciones
parciales correspondientes a las fracciones de la
segunda columna.
De aquí en adelante nuestro propósito es hallar las
fracciones parciales de una fracción dada. Dicha
fracción va a tener un polinomio en el numerador
cuyo grado es menor que el polinomio en el
denominador. Esos polinomios no tendrán factores
comunes, es decir, la fracción dada no se simplifica.

Si dos polinomios P(x) y Q(x) son iguales, entonces los
coeficientes de P(x) son iguales a los de Q(x). Esa
afirmación nos va a ayudar en el proceso de hallar las
fracciones parciales de una fracción propia dada.
También será de mucha ayuda la capacidad que
tengas para resolver sistemas de ecuaciones lineales.
Ejemplo: Halla los valores de “A”, “B” y “C” en los
siguientes polinomios.
1) 3x² + x – 2 = Ax² + Bx + C
2) 2x² - 1 = (A + B)x² + Cx + B
3) x² + 3x = (A – B)x² + (A + B)x + C
1) A = 3, B = 1, C = -2
2) C = 0, B = -1. Entonces
A = 3. A – B = 1
+ A + B = 3
2A = 4  A = 2
3) A = 2, B = 1, C = 0

Recuerda que las fracciones parciales tienen en sus
denominadores a los factores irreducibles del
denominador de la fracción dada. Por lo tanto, si el
denominador de esa fracción no está factorizado,
nuestra primera gestión es factorizarlo completamente.
.
determinar
s
necesitamo
que
valores
los
son
...
B,
A,
donde
...,
d
cx
B
b
ax
A
son
parciales
fracciones
sus
entonces
,
d)(...)
b)(cx
(ax
g(x)
como
lineales
factores
contiene
dada
fracción
la
de
r
denominado
el
Si







.
4
-
x
2
5x
de
parciales
fracciones
las
Halla
:
Ejemplo 2

2)
2)(x
-
(x
2
5x
4
-
x
2
5x
2




2
x
B
2
-
x
A
2)
2)(x
-
(x
2
5x





Fracciones parciales
Solamente necesitamos los valores de “A” y “B”.
Podemos empezar multiplicando ambos lados de la
igualdad por el denominador común (x – 2)(x + 2).
2)
2)(x
-
(x
2
x
B
2
-
x
A
2)
2)(x
-
(x
2
5x
2)
2)(x
-
(x 




















5x + 2 = A(x + 2) + B(x – 2)
5x + 2 = Ax + 2A + Bx – 2B
5x + 2 = Ax + Bx + 2A – 2B
5x + 2 = x(A + B) + 2(A – B)
Por lo tanto, A + B = 5 y A – B = 1.

Como A + B = 5 y A – B = 1, podemos hallar “A” y “B”
resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones.
A + B = 5
+A – B = 1
2A = 6
A = 3
Comprueba que si A = 3, entonces B = 2.
2
x
2
2
-
x
3
2)
2)(x
-
(x
2
5x





Puedes verificar que la suma de esas fracciones parciales
tiene como resultado la fracción original.
     
.
determinar
s
necesitamo
que
valores
los
son
P
...,
B,
A,
donde
,
b
ax
P
...
b
ax
C
b
ax
B
b
ax
A
son
parciales
fracciones
sus
entonces
,
b)
(ax
g(x)
como
lineales
factores
contiene
dada
fracción
la
de
r
denominado
el
Si
n
3
2
n









A B
↓ ↓

.
4x
4x
x
4
-
11x
13x
5x
de
parciales
fracciones
las
Halla
:
Ejemplo 3
4
5
2
3
4




2
3
2
3
4
3
4
5
2
3
4
2)
(x
x
4
-
11x
13x
5x
4x
4x
x
4
-
11x
13x
5x








2
3
2
2
3
2
3
4
2)
(x
E
2
x
D
x
C
x
B
x
A
2)
(x
x
4
-
11x
13x
5x










2
3
2
2
3
2
3
4
2)
(x
E
2
x
D
x
C
x
B
x
A
2)
(x
x
4
-
11x
13x
5x










x³(x + 2)² x³(x + 2)²
      
3
3
2
2
2
2
2
3
4
x
E
2)
(x
x
D
2)
C(x
2)
B(x)(x
2
x
x
A
4
-
11x
13x
5x











Hay que expandir las potencias y hacer las multiplicaciones
indicadas para reagrupar como aparece a continuación.

      4C
4C)(x)
(4B
x
C)
4B
(4A
x
E)
2D
B
(4A
x
D)
(A
4
-
11x
13x
5x
2
3
4
2
3
4














4C = -4  C = -1 4B + 4C = 0
4B – 4 = 0
B = 1
+ 0x
4A + 4B + C = 11
4A + 4 – 1 = 11
A = 2
A + D = 5
2 + D = 5
D = 3
4A + B + 2D + E = 13
8 + 1 + 6 + E = 13
E = -2
2
3
2
2
3
2
3
4
2)
(x
2
-
2
x
3
x
1
-
x
1
x
2
2)
(x
x
4
-
11x
13x
5x










A B C D E
↓ ↓ ↓ ↓ ↓

 
 
.
determinar
s
necesitamo
que
valores
los
son
Q
P,
...,
B,
A,
donde
,
c
bx
ax
Q
Px
...
c
bx
ax
D
Cx
c
bx
ax
B
Ax
son
parciales
fracciones
sus
entonces
,
c)
bx
(ax
g(x)
como
es
irreducibl
s
cuadrático
factores
contiene
dada
fracción
la
de
r
denominado
el
Si
n
2
2
2
2
n
2














.
x
2x
x
4
-
x
9x
-
7x
5x
-
3x
de
parciales
fracciones
las
Halla
:
Ejemplo 2
4
6
2
3
4
5




 2
2
2
2
3
4
5
2
4
6
2
3
4
5
1
x
x
4
-
x
9x
-
7x
5x
-
3x
x
2x
x
4
-
x
9x
-
7x
5x
-
3x








Factor cuadrático irreducible

   2
2
2
2
2
2
2
2
3
4
5
1
x
F
Ex
1
x
D
Cx
x
B
x
A
1
x
x
4
-
x
9x
-
7x
5x
-
3x











    


















2
2
2
2
2
2
2
2
3
4
5
1
x
F
Ex
1
x
D
Cx
x
B
x
A
1
x
x
4
-
x
9x
-
7x
5x
-
3x
 2
2
2
1
x
x   2
2
2
1
x
x 
)
(
)
( 2
2
2
2
2
2
2
2
3
4
5
x
F)
(Ex
]
1
x
D)[x
(Cx
1)
B(x
]
1)
A[x(x
4
-
x
9x
-
7x
5x
-
3x











Hay que expandir las potencias y hacer las multiplicaciones
indicadas para reagrupar como aparece a continuación.
   
    B
Ax
x
F
D
2B
x
E
C
2A
x
D
B
x
C
A
4
-
x
9x
-
7x
5x
-
3x
2
3
4
5
2
3
4
5















   
    B
Ax
x
F
D
2B
x
E
C
2A
x
D
B
x
C
A
4
-
x
9x
-
7x
5x
-
3x
2
3
4
5
2
3
4
5














A + C = 3
B + D = -5
2A + C + E = 7
2B + D + F = -9
A = 1
B = -4
C = 2
D = -1
2(-4) + -1 + F = -9
   2
2
2
2
2
2
2
2
3
4
5
1
x
0
3x
1
x
1
-
2x
x
4
-
x
1
1
x
x
4
-
x
9x
-
7x
5x
-
3x











   2
2
2
2
2
2
2
2
3
4
5
1
x
3x
1
x
1
-
2x
x
4
x
1
1
x
x
4
-
x
9x
-
7x
5x
-
3x









E = 3
F = 0

x
cos
-
x
cos
1
8)
2
x
3sen
x
sen
x
sen
7)
4
4x
x
5
7x
2x
6)
9x
6x
-
x
18
12x
x
5)
.
fracciones
siguientes
las
de
parciales
fracciones
las
Halla
II.
1)
x
(x
D
Cx
1
x
x
B
Ax
1)
x
(x
1
4x
2x
4)
3
x
C
Bx
2
-
x
A
3)
2)(x
-
(x
x
3x
3)
1)
(x
C
1
x
B
x
A
1)
x(x
1
7x
3x
2)
1
-
3x
B
3
-
2x
A
1)
-
3)(3x
-
(2x
1
-
17x
1)
dadas.
fracciones
las
de
parciales
fracciones
las
completan
que
D
y
C
B,
A,
de
valores
los
Halla
I.
Parciales
Fracciones
:
Práctica
de
Ejercicios
2
3
2
2
4
3
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2





































 Para ver Clave

Ejercicios de repaso: Funciones Polinomiales
I. Escoge la mejor contestación.
1) Los ceros de f(x) = 2(x – 3)(x + 4) son: a) -2, 3, -4 b) 2, -3, 4
c) -3, 4 d) 3, -4
2) Los ceros de g(x) = x³ + 3x² + 2x son: a) 0, 1, 2 b) 0, -1, -2
c) 0, -1, 2 d) 0, 1, -2
3) Si una función polinomial h(x) tiene solamente 3 ceros, y sabemos que
h(-2) = 0, h(5) = 0, h(2) = 5 y h(4) = -2, ¿cuál de los siguientes puede ser un cero
de h(x)? a) 0 b) 1 c) 2 d) 3
4) Si f(x) = ½ (x – 3)(x + 2)², ¿en cuál de los siguientes intervalos la gráfica de
f(x) está por encima del eje de x? a) (3, ) b) (-2, 3) c) (-, 3) d) (-, -2), (3, )
g(x)
6) La ecuación para P(x) es:
P(x) a) P(x) = -(x + 1)(x – 1)²(x – 2)³
b) P(x) = -(x + 1)²(x – 1)³(x – 2)
c) P(x) = -(x + 1)³(x – 1)(x – 2)²
d) P(x) = (x + 1)³(x – 1)(x – 2)²
-2
-1
0
1
2
-2 0 2 4 6 ciertas
son
todas
d)
0
g(-1)
c)
g(x)
de
factor
es
2
-
x
b)
cero
es
5
-
x
g(x)
de
residuo
El
a)
:
que
cierto
es
g(x),
de
gráfica
la
Según
5)

-4
-2
0
2
4
6
-2 -1 0 1 2 3  Para ver
continuación de Parte I

7) ¿Cuál de las siguientes no se puede calcular mediante la división sintética?
pueden
se
todas
d)
5
x
4
x
-
2x
x
c)
5
x
4
x
-
2x
x
b)
5
x
4
x
-
2x
x
a) 2
2
3
2
3
2
3









0
1
2
3
1
-
2
-
3
-
1
3
5
3
1
1
3
-
6
3
2
-
4
2
3
7
-
4
3
3
2

ciertos
son
todos
d)
f(x)
de
factor
es
1
2x
3x
c)
f(x)
de
factor
es
1
x
b)
0
f(-1)
a)
:
que
cierto
es
1,
x
entre
1
3x
5x
3x
f(x)
de
sintética
división
la
Según
9)
3
7x
-
4x
3x
1
3)
-
6x
)(3x
-
(x
d)
f(x)
de
cero
un
es
c)
factor
otro
es
3
-
6x
3x
b)
f(x)
de
factor
es
-
x
a)
:
que
cierto
es
,
-
x
entre
3
7x
-
4x
3x
f(x)
de
sintética
división
la
Según
8)
2
2
3
2
3
2
3
2
3
2
2
3
2
3
2
2
3


















8
7x
-
4x
d)
2
x
4x
c)
6
-
7x
7x
-
4x
b)
2
x
x
4x
a)
Q(x)
entonces
1)Q(x),
-
(x
2
-
x
3x
-
4x
Si
10)
2
2
2
3
2
3
3
4










 Para ver Partes II y III

6
d)
2
x
4
3x
-
x
14)
2
c)
1
x
4
3x
-
x
13)
0
b)
2
-
x
4
3x
-
x
12)
16
-
a)
1
-
x
4
3x
-
x
11)
:
residuo
su
con
división
cada
Parea
II.
2
3
3
2
3
3






III. Escoge la mejor contestación.
15) Si p(x) = 2x³ - 3x² + 4x + 3, ¿cuál de los siguientes no es uno de sus posibles
ceros racionales? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4
16) ¿Cuál de las siguientes alternativas es cierta para un polinomio f(x) con
coeficientes reales? a) Si f(x) es de grado 4, entonces tiene al menos un
cero real. b) Si 3i es uno de sus ceros, entonces (x + 3i) es un factor de
f(x). c) Si 1, 2 y 3i son ceros de f(x), entonces f(x) es de grado 3.
d) Todas son ciertas.
17) Los ceros de x³ - 2x² - 2x + 3 pueden ser: a) dos positivos y uno negativo
b) uno negativo y dos imaginarios c) dos imaginarios y uno positivo
d) los tres imaginarios  Para ver continuación de Parte III

:
ser
puede
0,
a
si
n,
mx
cx
bx
ax
f(x)
de
gráfica
La
21)
ceros
cuatro
d)
ceros
tres
c)
ceros
dos
b)
cero
un
a)
:
tiene
3x
3x
polinomio
El
20)
función.
de
tipo
del
depende
d)
vez
una
de
más
c)
vez
sola
una
b)
vez
ninguna
a)
2.
-
r(6)
y
3
r(2)
si
intervalo,
ese
en
x
de
eje
al
interseca
gráfica
su
veces
Cuántas
6].
[2,
intervalo
el
en
creciente
y
continua
es
r(x)
función
Una
19)
2
y
2
-
d)
2
y
1
-
c)
1
y
2
-
b)
1
y
1
-
a)
:
son
4
-
4x
7x
x
2x
de
reales
ceros
los
a
cercanas
más
cotas
Las
18)
2
3
4
2
4
2
3
4












a) b) c) d)
4.
dad
multiplici
de
real
cero
un
tiene
9)
6x
(x
f(x)
polinomio
El
25)
puntos.
4
en
x
de
eje
al
interseca
2
5x
x
f(x)
de
gráfica
La
24)
cero.
otro
el
es
i
-
2
entonces
15,
7x
-
i)x
(1
f(x)
de
cero
un
es
i)
(2
Si
23)
b).
(a,
intervalo
el
en
cero
un
menos
al
tiene
f(x)
de
gráfica
la
entonces
0,
f(a).f(b)
que
tal
continua
función
una
es
f(x)
Si
22)
Falso.
o
Cierto
Contesta
IV.
2
2
2
4
2











 Para ver
Parte V

4.
-
x
bx
-
ax
f(x)
de
ceros
son
1
-
y
1
si
b"
"
y
a"
"
Halla
30)
E.
y
D
C,
B,
A,
halla
Q(t),
P(t)
y
E,
E)t
-
(D
Ct
2B)t
-
(A
B)t
(A
Q(t)
,
t
-
t
3
P(t)
Si
29)
.
1
x
1
x
3x
-
5x
de
residuo
el
Halla
28)
8.
es
2
x
4a
2x
x
de
residuo
el
si
a"
"
de
valor
el
Halla
27)
6.
-
5x
2x
x
g(x)
de
los
con
2
-
5x
x
-
2x
f(x)
de
gráfica
la
de
ón
intersecci
de
puntos
los
Halla
26)
Resuelve.
V.
3
4
2
3
4
4
2
45
87
2
2
3
2
3






















 Para ver
Parte VI

 
 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
x
E
Dx
1
x
C
Bx
x
A
g)
1)
(x
x
3
2x
37)
1)
(x
C
1
x
B
x
A
f)
1)
x(x
3
2x
36)
1
x
B
x
A
e)
1)
(x
x
3
2x
35)
1
x
C
Bx
x
A
d)
1)
x(x
3
2x
34)
1
x
F
Ex
1
x
D
Cx
x
B
x
A
c)
1)
x(x
3
2x
33)
1
x
C
x
B
x
A
b)
1)
(x
x
3
2x
32)
1
x
D
Cx
x
B
x
A
a)
1)
x(x
3
2x
31)
e.
correspond
le
que
parciales
fracciones
las
con
fracción
cada
Parea
VI.











































 Para ver Clave

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