![REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA
SI PUDIÉSEMOS REPRESENTAR EN UNA GRÁFICA "TODOS" LOS PUNTOS [X,F(X)] DE
UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA , OBTENDRÍAMOS SIEMPRE UNA CURVA LLAMADA PARÁBOLA.
COMO CONTRAPARTIDA, DIREMOS QUE UNA PARÁBOLA ES LA REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE
UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA .
DICHA PARÁBOLA TENDRÁ ALGUNAS CARACTERÍSTICAS O ELEMENTOS BIEN DEFINIDOS
DEPENDIENDO DE LOS VALORES DE LA ECUACIÓN QUE LA GENERAN.
ESTAS CARACTERÍSTICAS O ELEMENTOS SON:
ORIENTACIÓN O CONCAVIDAD (RAMAS O BRAZOS)
PUNTOS DE CORTE CON EL EJE DE ABSCISAS (RAÍCES)
PUNTO DE CORTE CON EL EJE DE ORDENADAS
EJE DE SIMETRÍA
VÉRTICE
ORIENTACIÓN O CONCAVIDAD
UNA PRIMERA CARACTERÍSTICA ES LA ORIENTACIÓN O CONCAVIDAD DE LA PARÁBOLA.
HABLAMOS DE PARÁBOLA CÓNCAVA SI SUS RAMAS O BRAZOS SE ORIENTAN HACIA ARRIBA Y
HABLAMOS DE PARÁBOLA CONVEXA SI SUS RAMAS O BRAZOS SE ORIENTAN HACIA ABAJO.](https://image.slidesharecdn.com/funciones-180301214900/85/Funciones-3-320.jpg)
Funciones
- 1. Universidad de Oriente Núcleo de Monagas Maturín – Edo Monagas Sección 67 – Matemática I FUNCIONES Profesora: Bachilleres: Milagros Coraspe. Suniaga DanielaC.I:27977288 Brito Paola C.I: 29974444
- 2. FUNCIÓN CUADRÁTICA. Una función cuadrática es aquella que puede escribirse como una ecuación de la forma: f(x) = ax 2 + bx + c donde a , b y c (llamados términos ) son números reales cualesquiera y a es distinto de cero (puede ser mayor o menor que cero, pero no igual que cero). El valor de b y de c sí puede ser cero . En la ecuación cuadrática cada uno de sus términos tiene un nombre. Así, ax 2 es el término cuadrático bx es el término lineal c es el término independiente Cuando estudiamos la ecuación de segundo grado o cuadrática vimos que si la ecuación tiene todos los términos se dice que es una ecuación completa , si a la ecuación le falta el término lineal o el independiente se dice que la ecuación es incompleta .
- 3. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA SI PUDIÉSEMOS REPRESENTAR EN UNA GRÁFICA "TODOS" LOS PUNTOS [X,F(X)] DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA , OBTENDRÍAMOS SIEMPRE UNA CURVA LLAMADA PARÁBOLA. COMO CONTRAPARTIDA, DIREMOS QUE UNA PARÁBOLA ES LA REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA . DICHA PARÁBOLA TENDRÁ ALGUNAS CARACTERÍSTICAS O ELEMENTOS BIEN DEFINIDOS DEPENDIENDO DE LOS VALORES DE LA ECUACIÓN QUE LA GENERAN. ESTAS CARACTERÍSTICAS O ELEMENTOS SON: ORIENTACIÓN O CONCAVIDAD (RAMAS O BRAZOS) PUNTOS DE CORTE CON EL EJE DE ABSCISAS (RAÍCES) PUNTO DE CORTE CON EL EJE DE ORDENADAS EJE DE SIMETRÍA VÉRTICE ORIENTACIÓN O CONCAVIDAD UNA PRIMERA CARACTERÍSTICA ES LA ORIENTACIÓN O CONCAVIDAD DE LA PARÁBOLA. HABLAMOS DE PARÁBOLA CÓNCAVA SI SUS RAMAS O BRAZOS SE ORIENTAN HACIA ARRIBA Y HABLAMOS DE PARÁBOLA CONVEXA SI SUS RAMAS O BRAZOS SE ORIENTAN HACIA ABAJO.
- 4. ESTA DISTINTA ORIENTACIÓN ESTÁ DEFINIDA POR EL VALOR (EL SIGNO) QUE TENGA EL TÉRMINO CUADRÁTICO (LA AX 2 ) : SI A > 0 (POSITIVO) LA PARÁBOLA ES CÓNCAVA O CON PUNTAS HACIA ARRIBA, COMO EN F(X) = 2X 2 − 3X − 5 SI A < 0 (NEGATIVO) LA PARÁBOLA ES CONVEXA O CON PUNTAS HACIA ABAJO, COMO EN F(X) = −3X 2 + 2X + 3 ADEMÁS, CUANTO MAYOR SEA |A| (EL VALOR ABSOLUTO DE A), MÁS CERRADA ES LA PARÁBOLA
- 5. PUNTOS DE CORTE EN EL EJE DE LAS ABSCISAS (RAÍCES O SOLUCIONES) (EJE DE LAS X) OTRA CARACTERÍSTICA O ELEMENTO FUNDAMENTAL PARA GRAFICAR UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA LA DA EL VALOR O LOS VALORES QUE ADQUIERA X , LOS CUALES DEBEN CALCULARSE. AHORA, PARA CALCULAR LAS RAÍCES (SOLUCIONES) DE CUALQUIER FUNCIÓN CUADRÁTICA CALCULAMOS F (X) = 0 . ESTO SIGNIFICA QUE LAS RAÍCES (SOLUCIONES) DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA SON AQUELLOS VALORES DE X PARA LOS CUALES LA EXPRESIÓN VALE 0; ES DECIR, LOS VALORES DE X TALES QUE Y = 0 ; QUE ES LO MISMO QUE F(X) = 0 . ENTONCES HACEMOS AX² + BX +C = 0 COMO LA ECUACIÓN AX² + BX +C = 0 POSEE UN TÉRMINO DE SEGUNDO GRADO, OTRO DE PRIMER GRADO Y UN TÉRMINO CONSTANTE, NO PODEMOS APLICAR LAS PROPIEDADES DE LAS ECUACIONES, ENTONCES, PARA RESOLVERLA USAMOS LA FÓRMULA:
- 6. PUNTO DE CORTE EN EL EJE DE LAS ORDENADAS (EJE DE LAS Y) EN EL EJE DE ORDENADAS (Y) LA PRIMERA COORDENADA ES CERO , POR LO QUE EL PUNTO DE CORTE EN EL EJE DE LAS ORDENADAS LO MARCA EL VALOR DE C (0, C) . VEAMOS: REPRESENTAR LA FUNCIÓN F(X) = X² − 4X + 3 EL EJE DE LAS ORDENADAS (Y) ESTÁ CORTADO EN +3 REPRESENTAR LA FUNCIÓN F(X) = X² − 4X − 3 EL EJE DE LAS ORDENADAS (Y) ESTÁ CORTADO EN −3 OBSERVAR QUE LA PARÁBOLA SIEMPRE CORTARÁ AL EJE DE LAS ORDENADAS (Y), PERO COMO YA VIMOS MÁS ARRIBA AL EJE DE ABSCISAS (X) PUEDE QUE NO LO CORTE, LO CORTE EN DOS PUNTOS O SOLAMENTE EN UNO.
- 7. Ejercicios: a) y = (x − 1)² + 1 V = (1, 1) x = 1 b) y = 3(x − 1)² + 1 V = (1, 1) x = 1 c) y = 2(x + 1)² − 3 V = (−1, −3) x = −1
- 8. y = −3(x − 2)² − 5 V = (2, −5) x = 2 y = x² − 7x −18 V = (7/2, −121/4) x = 7/2 y = 3x² + 12x − 5 V = (−2 , −17 ) x = −2
- 9. FUNCIÓN LINEAL Una función lineal es una función cuyo dominio son todos los números reales, cuyo condominio también todos los números reales, y cuya expresión analítica es un polinomio de primer grado. La función lineal se define por la ecuación f(x) = mx + b ó y = mx + b llamada ecuación canónica, en donde m es la pendiente de la recta y b es el intercepto con el eje Y. Por ejemplo, son funciones lineales f(x) = 3x + 2 g(x) = - x + 7 h(x) = 4 (en esta m = 0 por lo que 0x no se pone en la ecuación).
- 10. Esta es la gráfica de la función lineal y = 3x + 2 Vemos que m = 3 y b = 2 (de la forma y = mx + b) Este número m se llama pendiente de la recta y es la relación entre la altura y la base, aquí vemos que por cada unidad recorrida en x la recta sube 3 unidades en y por lo que la pendiente es m = 3. & b es el intercepto de la recta con el eje Y (donde la recta se cruza con el eje Y) Volvamos al ejemplo de las funciones lineales f(x) = 3x+2 Si x es 3, entonces f (3) = 3*3+2 = 11 Si x es 4, entonces f (4) = 3*4+2 = 14 Si x es 5, entonces f (5) = 3*5+2 = 17
- 11. •Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, f(x), se incrementa en 3 unidades. Si el valor de la pendiente es positivo la función es Creciente. Preste atención en que los valores de x y de f(x) NO SON PROPORCIONALES. Lo que son proporcionales son los incrementos. g(x) = -3x+7 Si x= 0, entonces g (0) = -3*(0) +7 = 0+7 = 7 Si x= 1, entonces g (1) = -3*(1) +7 = -3+7 = 4 Si x= 2, entonces g (2) = -3*(2) +7 = -6+7 = 1 •Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, g(x), disminuye en 3 unidades. Si el valor de la pendiente es negativo la función es Decreciente. h(x) = 4 Si x= 0 , entonces h(0) = 4 Si x= 98 entonces h(98) = 4 •Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, h(x), NO aumenta. Es la función constante. Su gráfica es una recta paralela al eje X
- 12. Esta es la representación grafica de los tres tipos de funciones descritas
- 13. Z EJEMPLO 1 Representa gráficamente las siguientes funciones lineales y = 2x y y = - 3x + 4 Sugerencia: Primero elabora una tabla de valores, luego ubica los pares de puntos de la tabla en el plano cartesiano y finalmente únelos con una línea recta. Los valores de x son asignados arbitrariamente o a tu gusto "te aconsejo usar valores pequeños para facilitar las operaciones" luego en la ecuación remplazamos la x por cada valor de la tabla. 1. y = 2x Vamos a hacerlo con dos valores de x para que sepas de donde salen los valores. Para x = - 2, y = 2(-2) = -4 quedando la pareja (-2 , -4) Para x = 1, y = 2(1) = 2 quedando la pareja (1 , 2)x Y= 2x -2 -4 -1 -2 0 0 1 2 2 4
- 14. 2. y = - 3x + 4 Vamos a hacerlo con dos valores de x para que sepas de donde salen los valores. Para x = - 1, y = -3(-1)+ 4 = 7 quedando la pareja (-1 , 7) Para x = 2, y = -3(2) + 4 = -2 quedando la pareja (2 , -2) X y=-3x+4 -1 7 0 4 1 1 2 -2 3 -5
- 15. Ejemplo 2
- 16. Ejercicios. 1. f (x) = 5x + 13 m = la pendiente es 5 b = 13 y 40 30 20 10 -4 -2 2 4
- 17. 2. f (x) = 24x m = la pendiente es 24 la recta no cruza el eje de las y y 0,6 0,4 0,2 x -0,02 -0,01 0.01 0,02 -0,6 -0,4 -0,2
- 18. 3. f (x) = 3x + 2x +7 primero simplificamos: f (x) = 5x +7 m = la pendiente es 5 b = 7 y 20 15 10 5 x -2 -1 1 2 -5