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Funciones cuadráticas de una variable
Las gráficas de estas funciones corresponden a parábolas verticales (eje de simetría paralelo al eje de
las ordenadas), con la particularidad de que cuando a>0, el vértice de la parábola se encuentra en la
parte inferior de la misma, siendo un mínimo (es decir, la parábola se abre "hacia arriba"), y cuando
a<0 el vértice se encuentra en la parte superior, siendo un máximo (es decir, la parábola se abre "hacia
abajo").
El estudio de las funciones cuadráticas tiene numerosas aplicaciones en campos muy diversos, como
por ejemplo la caída libre o el tiro parabólico.
La función derivada de una función cuadrática es una función lineal y su integral indefinida es una
familia de funciones cúbicas.
El único caso restante es que el discriminante sea negativo, Delta < 0 .
En tal caso, las raíces no son reales, sino que son dos números complejos conjugados:
Representación analítica[editar]
Hay tres formas de escribir una función cuadrática, aplicables según el uso que se le quiera dar a la
función, un estudio analítico de la función o de la ecuación cuadrática, una interpretación o
construcción geométrica de la parábola, etc.
Forma desarrollada o polinómica
La forma desarrollada de una función cuadrática (o forma estándar) corresponde a la del polinomio
de segundo grado, escrito convencionalmente como:
Forma factorizada
Toda función cuadrática se puede escribir en forma factorizada en función de sus raíces como:](https://image.slidesharecdn.com/informe-apellido-160622122037/85/Informe-apellido-5-320.jpg)
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f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) ,
siendo a el coeficiente principal de la función, y x_1 y x_2 las raíces de f(x). En el caso de que el
discriminante Δ sea igual a 0 entonces x_1 = x_2 por lo que la factorización adquiere la forma:
f(x) = a(x - x_1)^2 ,
En este caso a x_1 se la denomina raíz doble, ya que su orden de multiplicidad es 2. Si el
discriminante es negativo, las soluciones son complejas, no cabe la factorización.3
Forma canónica
Toda función cuadrática puede ser expresada mediante el cuadrado de un binomio de la siguiente
manera:
f(x) = a (x - h)^2 + k ,
siendo a el coeficiente principal y el par ordenado (h, k) las coordenadas del vértice de la parábola.
Representación gráfica[editar]
Intersección con el eje y
Función cuadrática 03.svg
La función corta el eje y en el punto y = f(0), es decir, la parábola corta el eje y cuando x vale cero (0):
y = f(0) = a cdot 0^2 + b cdot 0 + c ,
lo que resulta:
y = f(0) = c ,](https://image.slidesharecdn.com/informe-apellido-160622122037/85/Informe-apellido-6-320.jpg)
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la función corta el eje y en el punto (0, c), siendo c el término independiente de la función.
A este punto de la función también se lo conoce con Ordenada al Origen, ya que se da en los
términos.
Intersección con el eje x
La función corta al eje x cuando y vale 0, dada la función
y = ax^2 + bx + c ,
es decir:
y = 0
quad longmapsto quad
ax^2 + bx + c = 0 ,
las distintas soluciones de esta ecuación de segundo grado, son los casos de corte con el eje x, que se
obtienen, como es sabido, por la expresión:
x = frac{-b pm sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a} .
Si la función no corta al eje x, las raíces de la función cuadrática son dobles, es decir, Delta = 0 .
Gráficamente la curva de la función (parábola) es tangente al eje de las abscisas. Puede ocurrir que no
tenga intersecciones con el eje x, un ejemplo de esto y=x^2+2
Extremo[editar]
En principio, en matemáticas se nombra como extremo tanto al máximo como al mínimo, por ejemplo
en el conjunto S = {1,5,9, 13, 17} el mínimo es 1 y el máximo 17, y los extremos son 1 y 17. Para calcular
el extremo de un trinomio cuadrático, se puede usar un teorema, abordable en álgebra elemental,
apoyándose en el comportamiento de una suma de un cuadrado de una variable con un número real
cualquiera.4](https://image.slidesharecdn.com/informe-apellido-160622122037/85/Informe-apellido-7-320.jpg)
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Determinar la ecuación conocidos tres puntos[editar]
Función cuadrática 03.svg
Partiendo de la forma de la ecuación:
con lo que tenemos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, donde las incógnitas son: a, b y
c, este sistema tendrá solución si el determinante de los coeficientes de las incógnitas es distinto de
cero.](https://image.slidesharecdn.com/informe-apellido-160622122037/85/Informe-apellido-8-320.jpg)
Informe apellido
- 1. 2016 Función lineal y función cuadrática Definiciones y representaciones graficas FFHA Informe Académico
- 2. Función lineal y función cuadrática Daniela Gonzalez Página 1 Función Lineal Definición n geometría y el álgebra elemental, una función lineal es una función polinómica de primer grado; es decir, una función cuya representación en el plano cartesiano es una línea recta. Esta función se puede escribir como: f(x) = mx + b Donde m y b son constantes reales y x es una variable real. La constante m es la pendiente de la recta, y b es el punto de corte de la recta con el eje y. Si se modifica m entonces se modifica la inclinación de la recta, y si se modifica b, entonces la línea se desplazará hacia arriba o hacia abajo. Representación Grafica Pendiente m es la pendiente de la recta. Características de la pendiente La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas. Si m > 0 la función es creciente y el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo. Si m < 0 la función es decreciente y el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es obtuso. Si m = 0 la función es contante. E
- 3. Función lineal y función cuadrática Daniela Gonzalez Página 2 Ordenada al origen: La ordenada al origen "b" es el valor donde la recta corta al eje “y”. https://sites.google.com/site/funcionlineal1/representacion-rafica Ejemplos: y = 3x – 2 ► m = 3 y b = - 2 1ro, ubicamos en el eje “y” la ordenada al origen b = - 2 2do Nos corremos una unidad a la derecha 3ro, subimos 3 unidades porque la pendiente es positiva (+) 4to, unimos los dos puntos, el de la ordenada al origen y el punto al que nos llevo la pendiente y = - 2x + 4 ► m = - 2 y b = 4 1ro, ubicamos en el eje “y” la ordenada al origen b = 4 2do Nos corremos una unidad a la derecha 3ro, como la pendiente es (-) bajamos 2 unidades 4to, unimos los dos puntos, el de la ordenada al origen y el punto al que nos llevó la pendiente.
- 4. Función lineal y función cuadrática Daniela Gonzalez Página 3 Función Cuadrática En matemáticas, una función cuadrática de una variable es una función polinómica definida por: 𝒚 = 𝒂𝒙 𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 𝒄𝒐𝒏 𝒂 ≠ 𝟎 Raices Las raíces (o ceros) de una función cuadrática, como en toda función, son los valores de x, para los cuales 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 . Son denotadas habitualmente como: 𝑥1 ; 𝑥2 dependiendo del valor del discriminante Δ definido como ∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 Dos soluciones reales y diferentes si el discriminante es positivo, ∆>0 x_1 = frac{-b + sqrt{Delta}}{2a} x_2 = frac{-b - sqrt {Delta}}{2a} Corta la parábola al eje X en dos puntos diferentes. Una solución real(o solución doble) si el discriminante es cero, Delta = 0 : x_1 = x_2 = -frac{b}{2a} La parábola es tangente al eje X. La parábola no corta al eje X. El único caso restante es que el discriminante sea negativo, Delta < 0 . En tal caso, las raíces no son reales, sino que son dos números complejos conjugados: x_1 = frac{-b}{2a} + i frac{sqrt {-Delta}}{2a} x_2 = frac{-b}{2a} - i frac{sqrt {-Delta}}{2a} También se da el caso que se le llame Trinomio cuadrático . Tammina función cuadrática a funciones definidas por polinomios cuadráticos de más de una variable, como por ejemplo: f(x,y) = Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+FEn este caso el conjunto de puntos que resultan al igualar el polinomio a cero representan lugares geométricos que siempre es posible reducir a una de las formas: Que corresponden a tres tipos de secciones cónicas (elipse, hipérbola y parábola).
- 5. Función lineal y función cuadrática Daniela Gonzalez Página 4 Funciones cuadráticas de una variable Las gráficas de estas funciones corresponden a parábolas verticales (eje de simetría paralelo al eje de las ordenadas), con la particularidad de que cuando a>0, el vértice de la parábola se encuentra en la parte inferior de la misma, siendo un mínimo (es decir, la parábola se abre "hacia arriba"), y cuando a<0 el vértice se encuentra en la parte superior, siendo un máximo (es decir, la parábola se abre "hacia abajo"). El estudio de las funciones cuadráticas tiene numerosas aplicaciones en campos muy diversos, como por ejemplo la caída libre o el tiro parabólico. La función derivada de una función cuadrática es una función lineal y su integral indefinida es una familia de funciones cúbicas. El único caso restante es que el discriminante sea negativo, Delta < 0 . En tal caso, las raíces no son reales, sino que son dos números complejos conjugados: Representación analítica[editar] Hay tres formas de escribir una función cuadrática, aplicables según el uso que se le quiera dar a la función, un estudio analítico de la función o de la ecuación cuadrática, una interpretación o construcción geométrica de la parábola, etc. Forma desarrollada o polinómica La forma desarrollada de una función cuadrática (o forma estándar) corresponde a la del polinomio de segundo grado, escrito convencionalmente como: Forma factorizada Toda función cuadrática se puede escribir en forma factorizada en función de sus raíces como:
- 6. Función lineal y función cuadrática Daniela Gonzalez Página 5 f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) , siendo a el coeficiente principal de la función, y x_1 y x_2 las raíces de f(x). En el caso de que el discriminante Δ sea igual a 0 entonces x_1 = x_2 por lo que la factorización adquiere la forma: f(x) = a(x - x_1)^2 , En este caso a x_1 se la denomina raíz doble, ya que su orden de multiplicidad es 2. Si el discriminante es negativo, las soluciones son complejas, no cabe la factorización.3 Forma canónica Toda función cuadrática puede ser expresada mediante el cuadrado de un binomio de la siguiente manera: f(x) = a (x - h)^2 + k , siendo a el coeficiente principal y el par ordenado (h, k) las coordenadas del vértice de la parábola. Representación gráfica[editar] Intersección con el eje y Función cuadrática 03.svg La función corta el eje y en el punto y = f(0), es decir, la parábola corta el eje y cuando x vale cero (0): y = f(0) = a cdot 0^2 + b cdot 0 + c , lo que resulta: y = f(0) = c ,
- 7. Función lineal y función cuadrática Daniela Gonzalez Página 6 la función corta el eje y en el punto (0, c), siendo c el término independiente de la función. A este punto de la función también se lo conoce con Ordenada al Origen, ya que se da en los términos. Intersección con el eje x La función corta al eje x cuando y vale 0, dada la función y = ax^2 + bx + c , es decir: y = 0 quad longmapsto quad ax^2 + bx + c = 0 , las distintas soluciones de esta ecuación de segundo grado, son los casos de corte con el eje x, que se obtienen, como es sabido, por la expresión: x = frac{-b pm sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a} . Si la función no corta al eje x, las raíces de la función cuadrática son dobles, es decir, Delta = 0 . Gráficamente la curva de la función (parábola) es tangente al eje de las abscisas. Puede ocurrir que no tenga intersecciones con el eje x, un ejemplo de esto y=x^2+2 Extremo[editar] En principio, en matemáticas se nombra como extremo tanto al máximo como al mínimo, por ejemplo en el conjunto S = {1,5,9, 13, 17} el mínimo es 1 y el máximo 17, y los extremos son 1 y 17. Para calcular el extremo de un trinomio cuadrático, se puede usar un teorema, abordable en álgebra elemental, apoyándose en el comportamiento de una suma de un cuadrado de una variable con un número real cualquiera.4
- 8. Función lineal y función cuadrática Daniela Gonzalez Página 7 Determinar la ecuación conocidos tres puntos[editar] Función cuadrática 03.svg Partiendo de la forma de la ecuación: con lo que tenemos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, donde las incógnitas son: a, b y c, este sistema tendrá solución si el determinante de los coeficientes de las incógnitas es distinto de cero.