Función lineal y función cuadrática
- 1. Calculo diferencial Monica Marcela Sanchez Tavera Código: 1105673240 Docente: Magda Briggitte Villamil Fundación Universitaria el libertador Administración de Empresas a Distancia Bogotá D.C.
- 2. Función Es una relación entre un conjunto dado X (el dominio) y otro conjunto de elementos Y (el codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito). Función lineal Una función lineal es una función cuyo dominio son todos los números reales, cuyo codominio también todos los números reales, y cuya expresión analítica es un polinomio de primer grado. La función lineal se define por la ecuación f(x) = mx + b ó y = mx + b llamada ecuación canónica, en donde m es la pendiente de la recta y b es el intercepto con el eje Y. Por ejemplo, son funciones lineales f(x) = 3x + 2 g(x) = - x + 7 h(x) = 4 (en esta m = 0 por lo que 0x no se pone en la ecuación). Esta es la gráfica de la función lineal y = 3x + 2
- 3. Vemos que m = 3 y b = 2 (de la forma y = mx + b) Este número m se llama pendiente de la recta y es la relación entre la altura y la base, aquí vemos que por cada unidad recorrida en x la recta sube 3 unidades en y por lo que la pendiente es m = 3. & b es el intercepto de la recta con el eje Y (donde la recta se cruza con el eje Y) Ejemplo de las funciones lineales f(x) = 3x+2 Si x es 3, entonces f (3) = 3*3+2 = 11 Si x es 4, entonces f (4) = 3*4+2 = 14 Si x es 5, entonces f (5) = 3*5+2 = 17 Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, f(x), se incrementa en 3 unidades. Si el valor de la pendiente es positivo la función es Creciente. Preste atención en que los valores de x y de f(x) NO SON PROPORCIONALES. Lo que son proporcionales son los incrementos. g(x) = -3x+7 Si x= 0, entonces g (0) = -3*(0) +7 = 0+7 = 7 Si x= 1, entonces g (1) = -3*(1) +7 = -3+7 = 4 Si x= 2, entonces g (2) = -3*(2) +7 = -6+7 = 1 Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, g(x), disminuye en 3 unidades. Si el valor de la pendiente es negativo la función es Decreciente. h(x) = 4 Si x= 0 , entonces h(0) = 4 Si x= 98 entonces h(98) = 4 Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, h(x), NO aumenta. Es la función constante. Su gráfica es una recta paralela al eje X. Esta es la representación grafica de los tres tipos de funciones descritas.
- 4. Ejemplo y=-3x+4 Vamos a hacerlo con dos valores de x para que sepas de donde salen los valores. Para x = - 1, y = -3(-1)+ 4 = 7 quedando la pareja (-1 , 7) Para x = 2, y = -3(2) + 4 = -2 quedando la pareja (2 , -2) X y = - 3x + 4 -1 7 0 4 1 1 2 -2 3 -5 Función Cuadrática Una función cuadrática es aquella que puede escribirse como una ecuación de la forma F (x) = ax2 + bx + c Donde a, b y c (llamados términos) son números reales cualesquiera y a es distinto de cero (puede ser mayor o menor que cero, pero no igual que cero). El valor de b y de c sí puede ser cero.
- 5. En la ecuación cuadrática cada uno de sus términos tiene un nombre. Así, ax2 es el término cuadrático bx es el término lineal c es el término independiente Orientación o concavidad Una primera característica es la orientación o concavidad de la parábola. Hablamos de parábola cóncava si sus ramas o brazos se orientan hacia arriba y hablamos de parábola convexa si sus ramas o brazos se orientan hacia abajo. Esta distinta orientación está definida por el valor (el signo) que tenga el término cuadrático (la ax2): Si a > 0 (positivo) la parábola es cóncava o con puntas hacia arriba, como en f(x) = 2x2 − 3x − 5 Si a < 0 (negativo) la parábola es convexa o con puntas hacia abajo, como en f(x) = −3x2 + 2x + 3
- 6. Además, cuanto mayor sea |a| (el valor absoluto de a), más cerrada es la parábola. Puntos de corte en el eje de las abscisas (Raíces o soluciones) (eje de las X) Otra característica o elemento fundamental para graficar una función cuadrática la da el valor o los valores que adquiera x, los cuales deben calcularse. Ahora, para calcular las raíces (soluciones) de cualquier función cuadrática calculamos f (x) = 0. Esto significa que las raíces (soluciones) de una función cuadrática son aquellos valores de x para los cuales la expresión vale 0; es decir, los valores de x tales que y = 0; que es lo mismo que f(x) = 0.
- 7. Ejemplo f(x)= x²-9x + 18 1. Halla los intercepto en Y (iguala la x=0) f(0)= 0²-9(0) + 18 (0, 18) Intercepto en y 2. Halla los interceptos en x: (igualar la función a cero) f(x) = 0 x²-9x + 18 = 0 Factorizas: (x-3)(x-6) = 0 X=3 ; x=6 (3, 0) y (6, 0) Hallar el vértice Recuerda completar el cuadrado: F(x) = x²-9x + 18 (x²-9x) + 18 (x²-9x + 20.25 – 20.25) + 18 (x – 4.5)²+ 18 – 20.25 (x – 4.5)²– 2.25 Así que el vértice es el punto: (4.5, -2.25) Gráfica Cuando tenemos los interceptos y el vértice, ya se puede trazar la gráfica