Derivada de la transformada

Tema 8
Transformada de Laplace
8.1 Introducción. Transformadas Integrales
Puede decirse que los métodos clásicos para la resolución de problemas de valores en la
frontera en la F´ısica Matemática se derivan del trabajo precursor de Fourier. Una nueva
técnica, la de las transformadas integrales, cuyo origen se encuentra en los trabajos de
Heaviside (electrotécnico inglés de fines del siglo pasado), ha sido desarrollada durante
los últimos años, y tiene ciertas ventajas sobre el método clásico.
Heaviside (aproximadamente 1.890) se interesó originalmente en la resolución de E.D.O.
con coeficientes constantes que aparecen en la teor´ıa de circuitos eléctricos. Más tarde, él
mismo extendió su método a las E.D.P. que aparecen en electromagnetismo y conducción
de calor. Fue tal el poder de su método, que resolvió muchos problemas hasta entonces
irresolubles y obtuvo soluciones a problemas ya resueltos en una forma más adaptable al
Cálculo Numérico. Posteriores investigaciones efectuadas por Bronwich, Carson y Van
der Pool, fundamentaron el cálculo de Heaviside sobre una base más sólida.
En un trabajo reciente, efectuado por Doetsch y otros, sobre la transformación de
Laplace, se unifica la teor´ıa desarrollada por Heaviside, Bronwich y Carson. General-
mente, el empleo de una transformada integral reducirá una E.D.P. en n variables
independientes a una con n − 1 variables, reduciendo por lo tanto, la dificultad del pro-
blema en estudio. En algunos casos, operaciones sucesivas de este tipo pueden reducir el
problema a la resolución de una E.D.O. cuya teor´ıa ha sido ampliamente desarrollada. De
hecho, operaciones sucesivas pod´ıan reducir el problema a la resolución de una ecuación
algebraica, pero sólo algunas veces merece la pena hacerlo.
Aún cuando la transformada de Laplace es de empleo más común y es particular
(conveniente para problemas regidos por E.D.O. y para problemas sobre la conducción de
calor), otras transformaciones integrales pueden ser de gran utilidad en la resolución de
problemas de valores en la frontera en la F´ısica Matemática. En la resolución de este tipo
de problemas se han empleado con éxito diferentes transformaciones integrales y no existe
razón alguna para que el método no pueda extenderse mediante el uso de otros núcleos.
1

2 TEMA 8. TRANSFORMADA DE LAPLACE
En este tema no se hará un estudio teórico riguroso de la transformada de Laplace,
sino su utilización práctica en la resolución de E.D.O. con condiciones iniciales dadas.
8.1.1 Transformadas Integrales
Definición 8.1 Gran número de importantes funciones del Análisis Matemático pueden
expresarse como integrales de la forma
g(y) =
∞
−∞
K(x, y) · f(x) · dx
Una función g definida por una ecuación de este tipo (en la que la variable y puede
ser real o compleja) se llama Transformada Integral de f .
La función K se denomina Núcleo de la Transformada.
Como se ha indicado anteriormente, las transformadas integrales se utilizan amplia-
mente en las matemáticas puras y aplicadas y son especialmente útiles en la resolución
de ciertos problemas de contorno y de ciertos tipos de ecuaciones integrables. Algunas de
las transformadas más convenientemente usadas son:
• Transformada exponencial de Fourier: ∞
−∞ e−ixy
f(x)dx
• Transformada coseno de Fourier: ∞
0 cos(xy)f(x)dx
• Transformada seno de Fourier: ∞
0 sen(xy)f(x)dx
• Transformada de Laplace: ∞
0 e−xy
f(x)dx
• Transformada de Mellin: ∞
0 xy−1
f(x)dx
Como e−ixy
= cos(xy) − i sen(xy) , las transformadas seno y coseno son meros casos
particulares de la transformada exponecial de Fourier en las que la función f se anula
en el eje real negativo.
Asimismo, la transformada de Laplace está relacionada con la transformada de Fourier:
si consideramos un valor complejo de y, y = u + iv, u, v ∈ IR podemos escribir
∞
0
e−xy
f(x)dx =
∞
0
e−ixv
· e−xu
f(x)dx =
∞
0
e−ixv
φu(x)dx
donde φu(x) = e−xu
f(x) . Luego la transformada de Laplace puede considerarse como
un caso particular de la transformada exponencial de Fourier.
Nota Una ecuación del tipo g(y) = ∞
−∞ K(x, y) · f(x) · dx puede escribirse en la
forma g = T(f) ó g = Tf donde T representa el ”operador” que convierte f en g .
Ya que la integración está involucrada en esa ecuación, el operador T se designa con el
nombre de Operador Integral.
Es evidente que T es lineal, es decir T(af1 + bf2) = aT(f1) + bT(f2), a, b ∈ IR
De esta forma, el operador definido por la transformada de Fourier se representa por
F y el definido por la transformada de Laplace por L.

8.2. TRANSFORMADA DE LAPLACE 3
8.2 Transformada de Laplace
Definición 8.2 Sea f(t) una función definida en [0, +∞) . Se define la transformada
de Laplace de f(t) a la función F(s) o L{f(t)} definida por la integral
F(s) =
∞
0
e−st
f(t)dt
para aquellos valores de s ∈ IR ( o lC) para los que esté definida la integral.
Nótese que la integral que aparece es una integral impropia, que está definida por
∞
0
e−st
f(t)dt = lim
A→∞
A
0
e−st
f(t)dt
siempre que el l´ımite exista.
Antes de discutir sobre la existencia o no de la transformada de Laplace, resulta
conveniente definir ciertos términos.
Definición 8.3 Se dice que una función f(t) es continua por segmentos o seccional-
mente continua en un intervalo cerrado [a,b] si f(t) es continua en todo punto de [a,b],
excepto en un número finito de puntos en los que f(t) tiene una discontinuidad de salto.
Se dice que f(t) es seccionalmente continua en [0, ∞) si lo es en cada intervalo de la
forma [0,N] con N > 0.
Definición 8.4 Se dice que una función f(t) es de orden exponencial α si existen cons-
tantes positivas T y M tales que | f(t) |≤ Meαt
∀t ≥ T.
8.2.1 Condiciones suficientes para la existencia de la transfor-
mada de Laplace
La forma más conveniente para probar la convergencia o divergencia de una integral
impropia es por medio del siguiente teorema de comparación, que es análogo a un teorema
similar para series infinitas.
Teorema 8.1 (Criterio de comparación para integrales impropias)
Si f es seccionalmente continua para t ≥ a, si | f(t) |≤ g(t) cuando t > M, para
alguna constante M > 0 y si ∞
M g(t)dt converge, entonces ∞
a f(t)dt también converge.
Por otra parte, si f(t) ≥ g(t) ≥ 0 para t ≥ M y si ∞
M g(t)dt diverge, entonces ∞
a f(t)dt
también diverge.
De acuerdo con este teorema, la función f deberá satisfacer ciertas condiciones para
que su transformada de Laplace F exista.

Teorema 8.2 Si f(t) es continua por segmentos en [0, ∞) y de orden exponencial α,
entonces L{f}(s) existe ∀s > α.
Teorema 8.3 Supongamos que f(t) no está acotada cuando t → 0. Además: f(t) es
continua por segmentos en cualquier intervalo N1 ≤ t ≤ N con N1 > 0, limt→0 tn
f(t) = 0
para cualquier n con 0 < n < 1 y f(t) es una función de orden exponencial α.
Entonces, existe L{f(t)} ∀s > α.
Nota:
Estas condiciones son suficientes, no necesarias.
8.3 Propiedades de la transformada de Laplace
Siempre que no se diga lo contrario, supondremos en esta sección que f es seccionalmente
continua y de orden exponencial.
I. Linealidad
Teorema 8.4 Si c1, c2 ∈ IR y f1(t), f2(t) son funciones cuyas transformadas respectivas
son F1(s), F2(s), entonces
L(c1f1(t) + c2f2(t)) = c1L(f1) + c2L(f2) = c1F1(s) + c2F2(s)
II. Traslación
Teorema 8.5 Si L{f(t)} = F(s), entonces L{eat
f(t)} = F(s − a).
Teorema 8.6 Si L{f(t)} = F(s) y g(t) =
f(t − a) t > a
0 t < a
entonces L{g(t)} =
e−as
F(s).
III. Cambio de Escala
Teorema 8.7 Si L{f(t)} = F(s) =⇒ L{f(at)} =
1
a
F(
s
a
)
IV. Transformada de la derivada
Teorema 8.8 Supongamos que f y f’ son seccionalmente continuas en [0, ∞) y de orden
exponencial. Entonces existe L{f (t)} y
L{f (t)} = sL{f(t)} − f(0)

8.4. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE 5
Teorema 8.9 Si en el teorema anterior f(t) no es continua en x = 0, pero en lim
t→0+
f(t) =
f(0+
) entonces
L{f (t)} = sF(s) − f(0+
)
Teorema 8.10 Si en las condiciones anteriores (teorema 11.8), f(t) no es continua en
t=a, entonces
L{f (t)} = sF(s) − f(0) − e−as
[f(a+
) − f(a−
)]
Teorema 8.11 Si f, f’ y f” son seccionalmente continuas en [0, ∞) y de orden exponen-
cial, entonces existe L{f (t)} y
L{f (t)} = s2
L{f(t)} − sf(0) − f (0)
Corolario 8.12 Si f, f , . . . , fn−1
son continuas y f(n)
es seccionalmente continua en
[0, ∞) y de orden exponencial, entonces existe L{f(n)
(t)} y se veriﬁca
L{f(n)
(t)} = sn
L{f(t)} − sn−1
f(0) − sn−2
f (0) − . . . − sf(n−2)
(0) − f(n−1)
(0)
V. Transformada de Laplace de una integral
Teorema 8.13 Si L{f(t)} = F(s) =⇒ L{ t
0 f(u)du} = F(s)
s
VI. Derivada de la transformada
Teorema 8.14 Supongamos que f(t) es continua por segmentos en [0, ∞) y de orden
exponencial α. Entonces ∀s > α
F (s) = L{−tf(t)}(s)
Corolario 8.15 Supongamos que f(t) es continua por segmentos y de orden exponencial
α. Entonces ∀s > α
(−1)n dn
F
dsn
= L{tn
f(t)}(s)
8.4 Transformada inversa de Laplace
Ahora nos planteamos el problema de encontrar una funci´on f(t) dado que conocemos su
transformada de Laplace F(s).

Definición 8.5 La transformada inversa de Laplace de F(s) es aquella función única f(t)
que es continua en [0, ∞) y satisface
L{f(t)}(s) = F(s) (∗)
La función se denota L−1
{F}(t).
Si todas las funciones que satisfagan (*) son discontinuas en [0, ∞), se elige a L−1
{F}
como una función continua por segmentos que satisfaga(*).
Aclaremos la definición.
Dos funciones distintas f(t) y g(t) pueden tener la misma transformada de Laplace
Ejemplo:
f(t) =
0 si t = kπ
1 si t = kπ
L{f} = 0
g(t) =
0 si t = kπ
2
1 si t = kπ
2
L{g} = 0 g = f
Luego L−1
{0} , para estar bien definida, tendr´ıa que tener un valor, es decir, una única
función solución. Dicha solución ser´ıa h(t) = 0 ∀t, la única función continua que verifica
que L{h} = 0.
8.5 Propiedades de la transformada inversa de Laplace
I. Linealidad
Teorema 8.16 Sean c1, c2 constantes arbitrarias y f1(t), f2(t) tales que L{f1(t)} = F1(s), L{f2(t)} =
F2(s) entonces
L−1
{c1F1(s) + c2F2(s)} = c1f1(t) + c2f2(t)
II. Teoremas de Traslación
(a) Si L−1
{F(s)} = f(t) =⇒ L−1
{F(s − a)} = eat
f(t)
(b) Si L−1
{F(s)} = f(t) =⇒ L−1
{e−as
F(s)} =
f(t − a) t > a
0 t ≤ a
III. Cambio de escala
Teorema 8.17 Si L−1
{F(s)} = f(t) =⇒ L{F(ks)} = 1
k
f( t
k
)
IV. Transformada inversa de Laplace de una derivada
{F(s)} = f(t) =⇒ L−1
{F(n)
(s)} = L−1
{
dn
dsn
F(s)} = (−1)n
tn
f(t)
V. Transformada inversa de Laplace de una integral
{F(s)} = f(t) =⇒ L−1
{ s
0 F(u)du} = −
f(t)
t

8.5. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE 7
8.5.1 Transformadas inversas de Laplace de ciertas funciones
racionales algebraicas
En la práctica, al aplicar transformada de Laplace, dado que sea posible, nos conduce a
tener que aplicar transformadas inversas a funciones racionales algebraicas de la forma
F(s) =
p(s)
q(s)
con grado(q(s)) >grado(p(s)).
Para calcular L−1
{F(s)}, descomponemos
p(s)
q(s)
en fracciones simples. Los tipos de
fracciones que pueden presentarse en la descomposición son:
• (a) Raices reales simples:
A
s − a
• (b) Raices reales múltiples:
A
(s − a)m , m ∈ N, m > 1
• (c) Raices complejas simples:
Ms + N
(s − a)2
+ b2
• (d) Raices complejas múltiples:
Ms + N
((s − a)2
+ b2)
m m ∈ N, m > 1
Calculemos la transformada de cada una de ellas.
(a)
A
s − a
L−1
{
A
s − a
} = AL−1
{
1
s − a
} = Aeat
(b)
A
(s − a)n
Sabemos que L{tn
} =
n!
sn+1
, n ∈ N. Por la propiedad de traslación
L{eat
f(t)} = F(s − a) =⇒ L{eat
tn
} =
n!
(s − a)n+1 =⇒ L{eat
tm−1
} =
(m − 1)!
(s − a)m =⇒
L−1
{
A
(s − a)m } =
A
(m − 1)!
eat
tm−1
(c)
Ms + N
(s − a)2
+ b2
Ms + N
(s − a)2
+ b2
=
Ms
(s − a)2
+ b2
+
N
(s − a)2
+ b2
=
M(s − a)
(s − a)2
+ b2
+
aM + N
(s − a)2
+ b2

Recordemos que L{cos bt} =
s
s2 + b2
y L{eat
cos bt} =
s − a
(s − a)2
+ b2
Análogamente L{eat
sen bt} =
b
(s − a)2
+ b2
Luego:
L−1
{
Ms + N
(s − a)2
+ b2
} = ML−1
{
s − a
(s − a)2
+ b2
} +
aM + N
b
L−1
{
b
(s − a)2
+ b2
}
= Meat
cos bt +
aM + N
b
eat
sen bt
(d)
Ms + N
((s − a)2 + b2)m
Sólo vamos a considerar los tipos que aparecen con mucha frecuencia, que son:
d.1)
s
(s2 + a2)2
d.2)
s2
(s2 + a2)2
d.3)
1
(s2 + a2)2
Estos tres casos lo dejaremos para más adelante cuando veamos en qué consiste la
Convolución.
8.6 Resolución de problemas de valor inicial
Vamos a aplicar la transformada de Laplace para resolver problemas de valor incial sin
tener que calcular previamente la integral general de sistema o ecuación diferencial.
8.6.1 Método de la transformada de Laplace
Para resolver un problema de valor inicial:
• Tomar transformadas de Laplace en ambos miembros de la ecuación.
• Aplicar las propiedades de la transformada de Laplace y las condiciones iniciales
para obtener una ecuación de la transformada de Laplace de la solución, y despejar
la transformada en esta ecuación.
• Calcular la transformada inversa de Laplace de la solución.
Ejemplo:
Resolver el problema de valor inicial
ay + by + cy = f y(0) = y0 y (0) = y0

8.7. TRANSFORMADA DE LAPLACE Y FUNCIONES ESPECIALES 9
Sean Y (s) y F(s) las transformadas de laplace de y(t) y f(t) respectivamente.
L{ay + by + cy} = L{f} = F(s)
aL{y } + bL{y } + cL{y} = F(s)
as2
Y (s) − asy0 − ay0 + bsY (s) − by0 + cY (s) = F(s)
Despejando Y (s):
Y (s) =
(as + b)y0
as2 + bs + c
+
ay0
as2 + bs + c
+
F(s)
as2 + bs + c
y aplicar ahora la transformada inversa.
El método se puede aplicar también a sistemas.
Ejemplo:
Resolver el problema de valor inicial
˙x = Ax + f(t) x(0) = ¯x0
Sea X(s) =




x1(s)
...
xn(s)



 = L{x(t)} =




L{x1(t)}
...
L{xn(t)}




F(s) =




F1(s)
...
Fn(s)



 = L{f(t)} =




L{f1(t)}
...
L{fn(t)}




Tomando transformadas
L{ ˙x} = L{Ax + f} =⇒ sX(s) − X(0) = AX(s) − F(s) =⇒ (sI − A)X(s) = X(0) −
F(s) =⇒ X(s) = (sI − A)−1
(X(0) − F(s))
8.7 Transformada de Laplace y funciones especiales
En la práctica, ocurre frecuentemente, aparecen ecuaciones diferenciales con término no
homogéneo con discontinuidades de salto. Estas discontinuidades aparecen de forma nat-
ural en circuitos eléctricos (apagar/encender el interruptor, etc). Para tratar este tipo de
comportamientos, Heaviside introdujo la siguiente función escalón:
Definición 8.6 La función escalón unitario u(t)(ó función de Heaviside) se define me-
diante
u(t) =
0 si t < 0
1 si t > 0
Desplazando el argumento, se puede trasladar el salto a una posición diferente
u(t − a) =
0 si t < a
1 si t > a

Muchas funciones discontinuas se pueden expresar en términos de funciones escalón
unitario
Teorema 8.20
L{u(t − a)} =
e−as
s
a > 0
Propiedad de desplazamiento
Teorema 8.21 Supongamos que para s > α ≥ 0, existe la transformada de Laplace de
f(t) , F(s). Si ”a” es una constante positiva, entonces
L{f(t − a)u(t − a)}(s) = e−as
F(s)
y si f(t) es continua en [0, ∞), entonces L−1
{e−as
F(s)}(t) = f(t − a)u(t − a)
En la práctica, aparece más el tener que calcular transformadas de funciones del tipo
g(t)u(t − a). Dichas transformadas vienen dadas por la expresión
L{g(t)u(t − a)} = e−as
L{g(t + a)}(s)
Función Gamma
La función gamma Γ(t) se define mediante
Γ(t) =
∞
0
e−u
ut−1
du t > 0
que converge ∀t > 0.
La función gamma goza de la propiedad Γ(t + 1) = tΓ(t) (basta integrar por partes
en la expresión anterior)
Es pues, una generalización del factorial de un número. Si n ∈ IN, Γ(n) = (n − 1)!
La función gamma aparece al hallar la transformada de Laplace de la potencial tn
,
pues
L{tn
} = ∞
0 e−st
tn
dt = (st = u) = 1
sn+1
∞
0 e−u
un
du
L{tn−1
} = 1
sn
∞
0 e−u
un−1
du
La integral ∞
0 e−u
un−1
du es una integral euleriana de segunda especie.
Integrales del tipo ∞
0
f(x)
x
dx
Mediante transformadas de Laplace se pueden resolver integrales del tipo ∞
0
f(t)
t
dt
Supuesto que exista la transformada de Laplace de f(x), L{f(t)} = ∞
0 e−st
f(t)dt =
F(s)

8.8. LA FUNCI ÓN DELTA DE DIRAC 11
Integrando en el intervalo [0, ∞) se tiene
∞
0 ( ∞
0 e−st
f(t)dt)ds = ∞
0 F(s)ds =⇒ ∞
0 ( ∞
0 e−st
ds)f(t)dt) = ∞
0 F(s)ds
Como ∞
0 e−st
ds = 1
t
se tiene que ∞
0
f(t)
t
dt = ∞
0 F(s)ds que tiene sentido siempre que
existan ambas integrales impropias.
8.8 La función Delta de Dirac
En muchas aplicaciones f´ısicas y biológicas aparece a menudo el problema de valor inicial
ay + by + cy = f(t) y(0) = y0 y (0) = y0
donde f(t) no se conoce expl´ıcitamente( aparece cuando se trabaja con fenómenos de
naturaleza impulsiva). La única información que poseemos de f es que es nula excepto en
un intervalo muy pequeño de tiempo [t0, t1] y que su integral sobre dicho intervalo es no
nula.
Si el intervalo I0 es pequeño, al ser la integral no nula, ha de ser f(t) muy grande.
Estas funciones se conocen con el nombre de funciones impulso.
Definición 8.7 La función Delta de Dirac δ(t) se caracteriza por las dos propiedades
siguientes:
1) δ(t) =
0 si t = 0
1 si t = 0
2) ∞
−∞ f(t)δ(t)dt = f(0) para cualquier f(t)continua en algún abierto que contenga al
cero.
Análogamente a la función de Heaviside se puede hacer una traslación
1) δ(t − a) =
0 si t = a
1 si t = a
2) ∞
−∞ f(t)δ(t − a)dt = f(a)
Nuestro objetivo es resolver ay + by + cy = f(t) por el método de la transformada
de Laplace.
Para ello hay que conocer L{δ(t − t0)}:
L{δ(t − t0)} = ∞
0 e−st
δ(t − t0)dt = e−st0
t0 ≥ 0

8.9 La integral de convolución
Ya ve´ıamos anteriormente, que al resolver problemas de valor inicial, pod´ıamos encon-
trarnos el tener que hallar transformadas inversas de funciones de la forma
s
(s2 + a2)2 ;
1
(s2 + a2)2 ;
1
s2 + a2
G(s) , etc.
Ejemplo:
Y (s) =
1
s2 + 1
G(s) con L−1
{
1
s2 + 1
} = sen t , L−1
{G(s)} = g(t)
Nos preguntamos, ¿qué relación existe entre L{Y (s)}, sen t y g(t)? Esta relación nos
la a resolver la siguiente
Definición 8.8 Sean f(t) y g(t) continuas por segmentos en [0, ∞). El producto de con-
volución de f(t) y g(t) denotado por f ∗ g se define mediante
(f ∗ g)(t) =
t
0
f(t − τ)g(τ)dτ
8.9.1 Propiedades de la convolución
Teorema 8.22 Sean f(t), g(t) y h(t) seccionalmente continuas en [0, ∞). Entonces
f ∗ g=g ∗ f
f ∗ (g + h)=f ∗ g + f ∗ h
(f ∗ g) ∗ h=f ∗ (g ∗ h)
f ∗ 0=0
Nota: El operador convolución difiere del operador producto en que f ∗ 1 = f y
f ∗f = f2
. De hecho, la convolución de una función con ella misma puede no ser positiva.
Teorema 8.23 (Teorema de convolución)
Supongamos que f(t) y g(t) son continuas por segmentos en [0, ∞) y de orden expo-
nencial α. Sean F(s) y G(s) las transformadas de Laplace de f(t) y g(t) respectivamente.
Entonces
L{f ∗ g} = F(s)G(s)
o, de forma equivalente,
L−1
{F(s)G(s)}(t) = (f ∗ g)(t)

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