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Transformada Discreta de Fourier

En matemáticas, la transformada discreta de Fourier o DFT (del inglés, discrete
Fourier transform) es un tipo de transformada discreta utilizada en el análisis de
Fourier. Transforma una función matemática en otra, obteniendo una representación
en el dominio de la frecuencia, siendo la función original una función en el dominio del
tiempo. Pero la DFT requiere que la función de entrada sea una secuencia discreta y de
duración finita. Dichas secuencias se suelen generar a partir del muestreo de una
función continua, como puede ser la voz humana. Al contrario que la transformada de
Fourier en tiempo discreto(DTFT), esta transformación únicamente evalúa suficientes
componentes frecuenciales para reconstruir el segmento finito que se analiza. Utilizar
la DFT implica que el segmento que se analiza es un único período de una señal
periódica que se extiende de forma infinita; si esto no se cumple, se debe utilizar
una ventana para reducir los espurios del espectro. Por la misma razón, la DFT inversa
(IDFT) no puede reproducir el dominio del tiempo completo, a no ser que la entrada
sea periódica indefinidamente. Por estas razones, se dice que la DFT es una
transformada de Fourier para análisis de señales de tiempo discreto y dominio finito.
Las funciones sinusoidales base que surgen de la descomposición tienen las mismas
propiedades.
La entrada de la DFT es una secuencia finita de números reales o complejos, de modo
que es ideal para procesar información almacenada en soportes digitales. En particular,
la DFT se utiliza comúnmente en procesado digital de señales y otros campos
relacionados dedicados a analizar las frecuencias que contiene una señal muestreada,
también para resolver ecuaciones diferenciales parciales, y para llevar a cabo
operaciones como convoluciones o multiplicaciones de enteros largos. Un factor muy
importante para este tipo de aplicaciones es que la DFT puede ser calculada de forma
eficiente en la práctica utilizando el algoritmo de la transformada rápida de Fourier o
FFT (Fast Fourier Transform).
Los algoritmos FFT se utilizan tan habitualmente para calcular DFTs que el término
"FFT" muchas veces se utiliza en lugar de "DFT" en lenguaje coloquial. Formalmente,
hay una diferencia clara: "DFT" hace alusión a una transformación o función
matemática, independientemente de cómo se calcule, mientras que "FFT" se refiere a
una familia específica de algoritmos para calcular DFTs.
Definición

La secuencia de N números complejos x0, ..., xN−1 se transforma en la secuencia
de N números complejos X0, ..., XN−1 mediante la DFT con la fórmula:

donde i es la unidad imaginaria y es la N-ésima raíz de la unidad. (Esta expresión
se puede escribir también en términos de una matriz DFT; cuando se escala de forma
apropiada se convierte en una matriz unitaria y Xk puede entonces ser interpretado
como los coeficientes de x en una base ortonormal.)

La transformada se denota a veces por el símbolo , igual que en
o o .
La transformada inversa de Fourier discreta (IDFT) viene dada por

Una descripción simple de estas ecuaciones es que los números complejos
representan la amplitud y fase de diferentes componentes sinusoidales de la señal de
entrada . La DFT calcula a partir de , mientras que la IDFT muestra cómo

calcular como la suma de componentes sinusoidales con
una frecuencia de ciclos por muestra. Escribiendo las ecuaciones de este modo,
estamos haciendo un uso extensivo de la fórmula de Euler para expresar sinusoides en
términos de exponentes complejas, lo cual es mucho más sencillo de manipular. Del
mismo modo, escribiendo en forma polar, obtenemos una sinudoide de
amplitud y fase a partir del módulo y argumento complejos de ,
respectivamente:

donde atan2 es la forma bi-argumental de la función arcotangente. Nótese que el factor
de normalización que multiplica a la DFT y la IDFT (que son 1 y 1/N) y los signos de los
exponentes se colocan meramente por convenio, y varían dependiendo de la aplicación.
El único requisito para este convenio es que la DFT y la IDFT tengan exponentes de
signo opuesto y que el producto de sus factores de normalización sea 1/N. Una
normalización de para ambas DFT y IDFT hace las transformadas unitarias, lo
cual tiene ciertas ventajas teóricas, pero suele ser más práctico a la hora de efectuar
operaciones numéricas con el ordenador efectuar el escalado de una sola vez (y un
escalado unitario suele ser conveniente en otras ocasiones).
(El convenio del signo negativo en el exponente suele ser adecuado porque significa
que es la amplitud de una "frecuencia positiva" . De forma equivalente, la
DFT se suele considerar como un filtro adaptado: cuando se busca una frecuencia de
+1, se correla la señal de entrada con una frecuencia de −1.)
En adelante, los términos "secuencia" y "vector" serán considerados equivalentes.
Propiedades

Completitud
La transformada discreta de Fourier es una transformación lineal e invertible.

donde C denota el cuerpo de los números complejos. En otras palabras, para
cada N > 0, cualquier vector complejo N-dimensional tiene una DFT y una IDFT que
consisten también en vectores complejos N-dimensionales.
Ortogonalidad

Los vectores forman una base ortogonal sobre el cuerpo de los vectores
complejos N-dimensionales:

donde es la delta de Kronecker. Esta condición de ortogonalidad puede ser
utilizada para obtener la fórmula de la IDFT a partir de la definición de la DFT, y es
equivalente a la propiedad de unicidad.
Los teoremas de Plancherel y Parseval
Si Xk y Yk son las DFTs de xn y yn respectivamente, entonces el teorema de
Plancherel establece que:

donde el asterisco denota conjugación compleja. El teorema de Parseval es un caso
especial del teorema de Plancherel, y dice que:

Estos teoremas son también equivalentes a la condición de unicidad.
Periodicidad
Si la expresión que define la DFT se evalúa para todos los enteros k en lugar de
únicamente para , la secuencia infinita resultante es una
extensión periódica de la DFT, de período N.
Esta periodicidad puede demostrarse directamente a partir de la definición:

De forma similar, se puede demostrar que la fórmula de la IDFT lleva a una extensión
periódica.
Teorema del desplazamiento

Multiplicando por una fase lineal para cualquier entero m equivale a
un desplazamiento circular de la salida : se reemplaza por , donde el
subíndice se repite periódicamente (período N). De forma similar, un desplazamiento
circular de la entrada equivale a multiplicar la salida por una fase lineal.
Matemáticamente, si representa el vector x entonces:

si entonces

y

Teorema de la convolución circular y teorema de la correlación cruzada
El teorema de la convolución para las transformada de Fourier continua y discreta
indica que una convolución de dos secuencias infinitas se puede obtener como la
transformada inversa del producto de las transformadas de cada una de ellas. Con
secuencias y transformadas de longitud N, la convolución circularse define:

El número entre paréntesis es 0 para todos los valores de m excepto aquellos de la
forma , donde p es un entero cualquiera. En estas posiciones vale 1.
Puede ser por tanto reemplazado por una suma infinita de deltas de Kronecker. Nótese
que se pueden extender los límites de m hasta infinito, siendo las
secuencias x e y definidas nulas fuera de [0,N-1]:

que es la convolución de la secuencia con la secuencia que está extendida
periódicamente y definida:

También se puede demostrar que:

que es la correlación cruzada de y

Una evaluación directa de la convolución requiere operaciones para una
secuencia de entrada de longitud N. El método indirecto, usando transformadas, puede

sacar provecho de la transformada rápida de Fourier (FFT), que necesita tan
sólo operaciones, de modo que se consigue una eficiencia mucho
mayor. Además, las convoluciones pueden ser utilizadas para calcular de forma
eficiente DFTs mediante el algoritmo FFT de Rader y el algoritmo FFT de Bluestein.
Se han creado otros métodos que usan la convolución circular como parte de un
proceso eficiente que obtiene convoluciones normales (no circulares) con una
secuencia o potencialmente mucho más larga que N. Ambos métodos se conocen
como overlap-save y overlap-add.

Dualidad del teorema de la convolución
Es posible demostrar que:

que es la convolución circular de y .
Polinomio de interpolación trigonométrica
El polinomio interpolador trigonométrico

para N par,

para N impar,
donde los coeficientes Xk vienen dados por la DFT de xn anterior, satisface la propiedad
de interpolación para .

Para N par, véase que la Frecuencia de Nyquist se maneja de
forma especial.
Esta interpolación no es única: el aliasing implica que se podría sumar N a cualquier
frecuencia compleja sinusoidal (por ejemplo, cambiando por ) sin que
se altere la propiedad de interpolación, pero dando valores diferentes entre puntos.
De todos modos, esto tiene dos propiedades interesantes. En primer lugar, consiste en
sinusoides cuyas frecuencias tienen las magnitudes más pequeñas posibles: la
interpolación es limitada en banda. Y en segundo lugar, si son números reales,
entonces es también real.
En contraste, el polinomio de interpolación trigonométrica más obvio es el que cuyo
rango de frecuencias va de 0 a N-1 (en lugar de to como se ha visto
previamente), similar a la fórmula de la DFT inversa. Esta interpolación no minimiza la
pendiente, y en general no toma valores reales para un real; su uso es un error
común.

La DFT unitaria
Otra forma de interpretar la DFT es dándose cuenta que en puede expresarse como
una matriz de Vandermonde:

donde

es una raíz de la unidad. La transformada inversa viene entonces dada por la inversa de
la matriz anterior:

Con constantes de normalización unitarias , la DFT se convierte en una
transformación unitaria, definida por una matriz unitaria:

Dicho donde det() es el determinante determinante es el producto de los valores
propios, que siempre son o . En un espacio vectorial real, una transformación
unitaria puede verse simplemente como una rotación rígida del sistema de
coordenadas, y todas las propiedades de esta rotación rígida pueden hallarse en la DFT
unitaria. La ortogonalidad de la DFT se convierte ahora en ortonormalidad.

Si se define como la DFT unitaria del vector entonces

La transformada de Fourier Discreta en el tiempo (y también la transformada continua)
pueden ser evaluadas cuando tenemos una expresión analítica para la señal. Suponga
que tengamos una señal, como es la señal del habla usada en el capitulo anterior, para
ella no existe una formula. Entonces ¿cómo podría usted calcular su espectro? Por
ejemplo, ¿cómo calculamos el espectrograma para el ejemplo de la señal de habla ?
La transformada de Fourier discreta ( DFT) nos permite calcula el espectro de
información discreta en el tiempo. Estando en tiempo discreto podemos calcular
exactamente el espectro, para señales análogas no existe manera similar para calcular

su espectro similar. Para el espectro de señales análogas se tienen que construir equipo
especial, que consiste en casi todos los casos de convertidores A / D y computaciones
discretas. Análisis de el espectro discreta en el tiempo son más flexibles que los análisis
de las señales continuas.

La fórmula del DTFT es una suma que conceptualmente es fácil de calcular excepto por
unos problemas.

Duración de la señal. La suma se extiende sobre la duración de la señal, la
cual tiene que ser finita para calcular el espectro de la señal. Es extremadamente
difícil guardar una señal infinita, así que asumimos que la señal se extiende
sobre [0,N-1]
Frecuencia continúa. Igual de importante que el problema de la duración de
la señal es el hecho que la frecuencia variable es continua: tal vez solo se tenga
que extender un periodo, como [-12,12] o [0,1], pero la formula DTFT
requiere evaluar el espectro de todas las frecuencias dentro del periodo.
Calculemos el espectro de unas cuantas frecuencias; las más obvias son las que
tienen una espacio similar

Así que definimos la transformada discreta de Fourier ( DFT) como

Aquí, S(k) representa .
Podemos calcular el espectro en todas las frecuencias con espacio similar que
queremos. Note que usted puede pensar de esta motivación computacional
como muestrear el espectro; se verá más sobre esta interpretación después. El
problema ahora es el saber cuántas frecuencias son suficientes para capturarlo como el
espectro cambia con la frecuencia. Una manera de responder esta pregunta es
determinando la formula de la transformada inversa discreta de Fourier:
dado S(k),k={0,...,K-1} ¿cómo encontramos s(n),n={0,...,N-1}?

La formula estará en la siguiente manera . Substituyendo la
formula DFT en este prototipo para la transformada inversa da:

Note que la relación de ortogonalidad que usamos tiene un carácter diferente ahora.

(K=K si (m={n,m±K,n±2K,...} y O de otra manera)

Nosotros obtenemos valores de no cero cada vez que los dos índices difieren por
múltiple de K. Podemos expresar estos resultados como . Así,
nuestra formula se convierte

Los números n y m existen en el rango {0,...,N-1}. Para obtener una transformada
inversa, necesitamos sumar un solo muestreo unitario para m,n en este rango. Si no lo
hiciéramos, s(n) igualaría a la suma de valores, y no tendríamos una transformada
valida: una vez que regresemos al dominio de frecuencia, no podríamos obtener una
¡ambiguosidad! claramente, el termino l=0 siempre provee un muestreo unitario (nos
haremos cargo del factor de K pronto). Si evaluamos el espectro en menos frecuencias
que lo que dura la señal, el termino correspondiente a m=n+K aparecerá para algunos
valores de m,n{0,...,N-1}. Esta situación significa que nuestra transformada
prototipo iguala s(n)+s(n+K) para cualquier valor de n. La única manera de eliminar
este problema es el requerir K≥N: tenemos que tener más muestreos de frecuencia
que lo que dura la señal. De esta manera, podemos regresar del dominio de frecuencia
al cual entramos por la DFT.

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