Transformada de fourier y convolucion

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Jesús Ramón Vera Quintero 25.918.069
República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del poder popular para la educación
Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño”
Ingeniería en Sistemas

TRANSFORMADA DE FOURIER:
DEFINICIÓN
Ж Es una transformación matemática empleada para transformar señales entre el dominio del
tiempo (o espacial) y el dominio de la frecuencia, que tiene muchas aplicaciones en la física y la
ingeniería. Es reversible, siendo capaz de transformaciones de cualquiera de los dominios al
otro. El propio término se refiere tanto a la operación de transformación como a la función que
produce.
Ж En el caso de una función periódica en el tiempo (por ejemplo, un sonido musical continuo
pero no necesariamente sinusoidal), la transformada de Fourier se puede simplificar para el
cálculo de un conjunto discreto de amplitudes complejas, llamado coeficientes de las series de
Fourier. Ellos representan el espectro de frecuencia de la señal del dominio-tiempo original.

FOURIER: BIOGRAFÍA
Ж Matemático francés, que descubrió las series matemáticas y el teorema integral que llevan su nombre,
nacido el 21 de marzo de 1768 en Auxerre (Francia). Hijo de un sastre, a los ocho años quedó huérfano.
Ingresa en la Escuela Militar de su ciudad natal, pero al no ser de origen noble no puede llegar a artillero;
posteriormente continúa su formación en una abadía benedictina, pero la abandona antes de profesar
como religioso. Durante la Revolución francesa, logra escapar de la muerte, e ingresa en la École Normale
de París, en la que llegó a ser profesor de enseñanza superior.

TRANSFORMADA DE FOURIER
Ж En matemática, la transformada de Fourier es una aplicación que hace corresponder a una función ƒ con
valores reales o complejos y definida en la recta, otra función g definida de la manera siguiente:
Ж Donde f es L 1 , o sea f tiene que ser una función integrable en el sentido de la integral de Lebesgue. El
factor que acompaña la integral en definición facilita el enunciado de algunos de los teoremas referentes a
la transformada de Fourier. Aunque esta forma de normalizar la transformada de Fourier es la más
comúnmente adoptada, no es universal.

TRANSFORMADA DE FOURIER
Ж La transformada de Fourier tiene una multitud de aplicaciones en muchas áreas de la ciencia e
ingeniería: la física, la teoría de los números, la combinatoria, el procesamiento de señales, la teoría de la
probabilidad, la estadística, la óptica, la propagación de ondas y otras áreas. En procesamiento de señales
la transformada de Fourier suele considerarse como la descomposición de una señal en componentes de
frecuencias diferentes, es decir, g corresponde al espectro de frecuencias de la señal f.
Ж La rama de la matemática que estudia la transformada de Fourier y sus generalizaciones es
denominada análisis armónico.

DEFINICIÓN FORMAL
Ж Sea f una función Lebesgue integrable:
Ж La transformada de Fourier de f es la función:
Ж Esta integral tiene sentido, pues el integrando es una función integrable. Una estimativa simple
demuestra que la transformada de Fourier F(ƒ) es una función acotada. Además por medio del teorema de
convergencia dominada puede demostrarse que F(ƒ) es continua.
Ж La transformada de Fourier inversa de una función integrable f está definida por:

OPERACIONES BÁSICAS
Ж La transformada de Fourier es una aplicación lineal:
Ж Valen las siguientes propiedades para una función absolutamente integrable f
Ж Cambio de escala:
Ж Traslación:
Ж Traslación en la variable transformada:
Ж Transformada de la derivada: Si ƒ y su derivada son integrables:
Ж Derivada de la transformada: Si ƒ y t ? ƒ(t) son integrables, la transformada de
Fourier F(t) es diferenciable:

TRANSFORMADAS BÁSICAS
Ж En algunas ocasiones se define la transformada con un factor multiplicativo diferente de siendo frecuente
en ingeniería el uso de un factor unidad en la transformada directa y un factor de en la transformada
inversa. A continuación se lista una tabla de funciones y sus transformadas de Fourier con un factor unidad. Si
uno desea utilizar otro factor, sólo debe multiplicar la segunda columna por ese factor.

TRANSFORMADA DE FOURIER: INVERSA
Ж La idea del teorema de inversión es que dado una función ƒ, la transformada de Fourier inversa aplicada a la
transformada de Fourier de ƒ resulta en la función original, en símbolos.
Ж Sin embargo, el resultado formulado de esta forma no es válido, porque el dominio de la
transformada de Fourier como lo hemos definido en el primer párrafo de este artículo no es invariante, o sea
que la transformada de Fourier de una función integrable no es necesariamente integrable.
Ж Para formular el teorema de inversión necesitamos encontrar espacios de funciones que sean invariantes bajo
la transformada de Fourier. De hecho, hay numerosas posibilidades, la más natural del punto de vista técnico
siendo el espacio de Schwartz de funciones ? rápidamente decrecientes. Sin embargo aquí tomamos un camino
más directo para formular un enunciado:
Ж Teorema. El espacio de funciones complejas ƒ definidas en la recta tales que ƒ y la transformada de Fourier de
ƒ sean integrables, es invariante tanto por la transformada de Fourier que por la transformada de Fourier
inversa. Además para una función ƒ en este espacio, vale el teorema de inversión (1).
Ж Otra posibilidad para formular un teorema de inversión se fundamenta en el hecho de que la transformada de
Fourier tiene muchas extensiones naturales.

APLICACIÓN EN INGENIERÍA
Ж La transformada de Fourier se utiliza para pasar al «dominio de la frecuencia» una señal para así obtener
información que no es evidente en el dominio del tiempo. Se demuestra matemáticamente que una señal
periódica se puede descomponer en una suma de senos y cosenos formando una base ortogonal, de esta forma,
señales como la voz o las ondas se pueden descomponer en un sumitario de señales trigonométricas. El conjunto
de constantes que multiplican a cada frecuencia forman el espectro de frecuencias. De esta forma se pueden llegar
a diversos experimentos muy interesantes:
Ж 1- La voz humana recorre el espectro de los 300Hz a los 3400Hz. 2- Si conocemos la densidad espectral de un
sistema y la entrada podemos conocer la densidad espectral de la salida. Esto es muy útil para el diseño de filtros
de radio-transistores.

TRANSFORMADA RÁPIDA DE FOURIER
Ж FFT es la abreviatura usual (del inglés Fast Fourier Transform) de un eficiente algoritmo que permite calcular la
transformada de Fourier discreta(DFT) y su inversa. La FFT es de gran importancia en una amplia variedad de
aplicaciones, desde el tratamiento digital de señales y filtrado digital en general a la resolución de ecuaciones
diferenciales parciales o los algoritmos de multiplicación rápida de grandes enteros.

APLICACIONES
Ж MP3
Ж Reducción de ruido en señales, como el ruido blanco
Ж Análisis en frecuencia de cualquier señal discreta.
Ж Tratamiento de imagen (JPEG)) y audio
Ж Análisis de materiales y estadística
Ж Síntesis, mediante la transformada inversa IFFT

TRANSFORMADA DE FOURIER: EJEMPLO
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DEFINICION DE CONVOLUCION
La convolución de ƒ y g se denota ƒ *g . Se define como la integral del producto de ambas funciones después de
que una sea invertida y desplazada una distancia τ.
Para las funciones discretas se puede usar una forma discreta de la convolución. Esto es:

USO DE LA CONVOLUCION
La convolución y las operaciones relacionadas se encuentran en muchas aplicaciones de ingeniería y matemáticas.
• En estadística, como ya dijimos, un promedio móvil ponderado es una convolución
• En teoría de la probabilidad, la distribución de probabilidad de la suma de dos variables aleatorias
independientes es la convolución de cada una de sus distribuciones de probabilidad.
• En óptica, muchos tipos de "manchas" se describen con convoluciones. Una sombra (ejemplo: la sombra en la
mesa cuando tenemos la mano entre ésta y la fuente de luz) es la convolución de la forma de la fuente de luz que
crea la sombra y del objeto cuya sombra se está proyectando. Una fotografía desenfocada es la convolución de la
imagen correcta con el círculo borroso formado por el diafragma del iris.
• En acústica, un eco es la convolución del sonido original con una función que represente los objetos variados
que lo reflejan.

• En ingeniería eléctrica y otras disciplinas, la salida de un sistema lineal (estacionario o bien tiempo-invariante o
espacio-invariante) es la convolución de la entrada con la respuesta del sistema a un impulso (ver animaciones)
• En física, allí donde haya un sistema lineal con un "principio de superposición", aparece una operación de
convolución.

TIPOS DE CONVOLUCION
Convolucion Discreta
La convolución discreta se determina por un intervalo de muestreo t = 1 :
Convolución Circular

PROPIEDADES DE LA CONVOLUCION
Conmutatividad
Nota: esta propiedad se puede perder si no se pide que
"demos la vuelta" a una función.
Asociatividad
Distributividad

Asociatividad con multiplicación escalar
Para todo número complejo o real a.
Regla de derivación
Donde Df denota la derivada de f o, en el caso discreto, el
operador diferencia
Teorema de convolución
Donde F denota la Transformada de Fourier de ƒ. Este teorema
también se cumple con la Transformada de Laplace.

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