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UNIVERSIDAD ENRIQUE GUZMAN Y VALLE
ESCUELA DE POSTGRADO DE EDUCACIÒN MATEMATICA
Curso :
Estadística
Tema :
Medidas de Tendencia Central y no Central
Integrantes:
-Vargas Aguirre, Nelly.
-Gómez Lazarte, Mercedes.
-Vera Hernández , Pamela .
-Porras Zenteno, Elder.
-Tello Mena Terry, Marco
- Morales Apaza ,Alfonso
Ciclo : II
2010

MEDIDAS DE TENDENCIA NO
CENTRAL

En estadística descriptiva, las
medidas de posición no central
permiten conocer otros puntos
característicos de la distribución
que no son los valores centrales.

Entre las medidas de posición no central más
importantes
 Los cuantiles que son aquellos valores de la variable, que
ordenados de menor a mayor, dividen a la distribución en
partes, de tal manera que cada una de ellas contiene el
mismo número de frecuencias. Los tipos más
importantes de cuantiles son:
 Los Cuartiles, que dividen a la distribución en cuatro partes;
 Los Quintiles, que dividen a la distribución en cinco partes;
 Los Deciles, que dividen a la distribución en diez partes;
 Los Percentiles, que dividen a la distribución en cien partes.

Percentiles
Los percentiles son ciertos números que
dividen la sucesión de datos ordenados en
cien partes porcentualmente iguales. Estos
son los 99 valores que dividen en cien partes
iguales el conjunto de datos ordenados. Los
percentiles (P1, P2,... P99), leídos primer
percentil,..., percentil 99.

Datos Agrupados
Cuando los datos están agrupados en una
tabla de frecuencias, se calculan
mediante la fórmula:

Donde:
 k= 1,2,3,... 99.
 Lk = Límite real inferior de la clase que lo
contiene
 n = Número de datos
 Fk = Frecuencia acumulada de la clase anterior a
la medida solicitada.
 fk = Frecuencia de la clase de la medida
solicitada.
 c = Longitud del intervalo.

Datos no agrupados
Si se tienen una serie de valores X1, X2,
X3 ... Xn, se localiza mediante las
siguientes fórmulas:
 Para los percentiles, cuando n es par:
 Cuando n es impar:
Siendo A, el número del percentil.

CUARTILES
LOS CUARTILES SON LOS TRES VALORES QUE
DIVIDEN AL CONJUNTO DE DATOS ORDENADOS
EN CUATRO PARTES PORCENTUALMENTE
IGUALES. HAY TRES CUARTILES DENOTADOS
USUALMENTE Q1, Q2, Q3.

Cuartiles
 Primer cuartil : Q1 = P25
 Segundo cuartil : Q2 = P50
 Tercer cuartil : Q3 = P75

Datos agrupados
Para datos agrupados los cuartiles se calculan
mediante la fórmula.

Donde:
 Lk = Límite real inferior de la clase del
cuartil k
 Fk = Frecuencia acumulada de la clase que
antecede a la clase del cuartil k.
 fk = Frecuencia de la clase del cuartil k
 c = Longitud del intervalo de la clase del
cuartil k

Para Datos No Agrupados
Si se tienen una serie de valores X1, X2, X3 ... Xn,
se localiza mediante las siguientes fórmulas:
 El primer cuartil: Cuando n es par:
Cuando n es impar:
 Para el tercer cuartil: Cuando n es par:
Cuando n es impar:

Deciles
Los deciles son ciertos números que dividen la
sucesión de datos ordenados en diez partes
porcentualmente iguales. Son los nueve valores
que dividen al conjunto de datos ordenados en
diez partes iguales, son también un caso particular
de los percentiles. Los deciles se denotan D1,
D2,..., D9, que se leen primer decil, segundo decil,
etc.

Datos Agrupados:
Para datos agrupados los deciles se calculan
mediante la fórmula.

Donde:
 k= 1,2,3,... 9
 Lk = Límite real inferior de la clase del
decil k
 Fk = Frecuencia acumulada de la clase que
antecede a la clase del decil k.
 fk = Frecuencia de la clase del decil k
 c = Longitud del intervalo de la clase del
decil k

Fórmulas Datos No Agrupados
Si se tienen una serie de valores X1, X2, X3 ... Xn, se
localiza mediante las siguientes fórmulas:
 Cuando n es par:
 Cuando n es impar:
Siendo A el número del decil.

Determinación del primer cuartil, el séptimo decil y el 30
percentil, de la siguiente tabla:
Salarios No. De fa
(I. De Clases) Empleados (f1)
200-299 85 85
300-299 90 175
400-499 120 295
500-599 70 365
600-699 62 427
700-800 36 463

 Q1 = 300 + (463/4 - 85) * 100 /90
 Q1 = 300 + ( 115.5 – 85) * 100 / 90
 Q1 = 334
El 25% de los empleados ganan como máximo S/. 334, esto
equivale a afirmar que el 75% de los empleados de los que
restan ganan mas de S/. 334
 D7 = 500 + (7 * 463 /10 – 295 ) * 100 / 70
 D7 = 500 + ( 324.1 – 295 ) *100 / 70
 D7 = 541.57
El 70% de los empelados ganan como máximo S/. 541.57, esto
equivale a afirmar que el 30% de los empleados que restan
ganan mas de S/. 541.57

Medidas de Tendencia Central
 Son los valores alrededor de los cuales se agrupan
los datos.
 Dentro de estas medidas tenemos:
 Moda
 Mediana
 Media
 Aritmética
 Armónica
 Geométrica
 Cuadrática

Moda
 Es el valor que ocurre con mayor frecuencia
 No es afectada por valores extremos.
 Es utilizada para datos medidos en
cualquier escala.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Moda = 9
0 1 2 3 4 5 6
Sin Moda

 Es la Medida de tendencia central que se aplica a cualquier
variable cuantitativa o cualitativa, se define como el valor de
mayor frecuencia.
 Para hallar la moda de una variable continua se tiene:
Primero, en el cuadro de distribución de frecuencias se obtienen
los límites reales y la frecuencia absoluta.
Segundo, se elige categoría modal como la clase con
mayor frecuencia.

Marc
a 1
Marc
a 2
Marc
a 1
Marc
a 1
Marc
a 1
Marc
a 3
Marc
a 1
Marc
a 3
Marc
a 1
Marc
a 2
Marc
a 1
Marc
a 1
Marc
a 2
Marc
a 1
Marc
a 3
Marc
a 3
Marc
a 2
Marc
a 1
Marc
a 1
Marc
a 1
Marc
a 1
Marc
a 3
Marc
a 1
Marc
a 2
Marc
a 3
Marc
a 1
Marc
a 3
Marc
a 3
Marc
a 2
Marc
a 3
Los siguientes datos provienen del resultado de
entrevistar a 30 personas sobre la marca de gaseosa
que más consume a la semana:
SOLUCIÓN:

SOLUCIÓN:
PASO 1: Determinar las frecuencias de cada valor de
la variable.
La marca 1 se repite 15 veces
PASO 2: la moda representa el valor que más se
repite. En este caso es la marca 1.

Ejemplo: moda para datos agrupados
Calcular la moda a partir de la siguiente tabla de frecuencia:
N
i
Lm Ls f Mc
1 [ 4 6 ) 2 5
2 [ 6 8 ) 4 7
3 [ 8 10 ) 4 9
4 [ 10 12 ) 5 11
5 [ 12 14 ] 5 13
Total 20
SOLUCIÓN
Las marcas de clase que más frecuencias tienen son 11 y 13, por tanto
decimos que es un caso donde aparecen dos modas (bimodal).

Mediana
 La mediana es el segundo cuartil.
 Se puede calcular para datos medidos en escala
ordinal, de intervalo o de razón.
 No es afectada por valores extremos.
 Es la medida de centralidad más adecuada en caso de
distribuciones asimétricas.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Mediana = 5 Mediana = 5

Mediana(Me)
 Es aquel valor que tiene al 50% de los datos
por debajo de sí y al 50% restante por
encima. Se calcula:
 Si son datos simples y además el tamaño de
la observación “n” es impar, se deben
ordenar los datos de forma ascendente y se
toma como valor de mediana la observación
que se encuentra en el medio.
.

 Si son datos simples y además el
tamaño de la observación es par, se
debe ordenar de forma ascendente, se
halla la semisuma de los datos
centrales.

Meses Niños
9 1
10 4
11 9
12 16
13 11
14 8
15 1
Un pediatra obtuvo la siguiente tabla sobre los meses de edad de 50
niños de su consulta en el momento de andar por primera vez

1. Dibujar el polígono de frecuencias.

Calcular la moda, la mediana, la media y la varianza.:
xi fi Ni xi · fi x²i · fi
9 1 1 9 81
10 4 5 40 400
11 9 14 99 1089
12 16 30 192 2304
13 11 41 143 1859
14 8 49 112 1568
15 1 50 15 225
50 610 7526

Moda
Mo = 12
Mediana
12
Media aritmética
Varianza

fi F i
[6 0 ,
6 3 )
5 5
[6 3 ,
6 6 )
1 8 2 3
[6 6 ,
6 9 )
4 2 6 5
[6 9 ,
7 2 )
2 7 9 2
[7 2 ,
7 5 )
8 1 0 0
1 0 0
Ejemplo:
Calcular la mediana de una distribución estadística que viene dada por la siguiente
tabla:
100/2 = 50
Clase de la mediana: [66, 69)

Media Aritmética
 Es la medida de tendencia central más conocida y
utilizada, denominada simplemente media.
 Es afectada por valores extremos.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14
Media = 5 Media = 6

Media Aritmética
 La media aritmética es el valor que se obtiene
al dividir la suma total entre el número de
datos.
 Para n valores x1, x2,..., xn, la media es:
1 1 2
n
i
i n
X
X X X
X
n n
   
 


Media Aritmética
Datos no agrupados Datos agrupados
Variable Discreta Variable Continua
n
x
n
i
i
x


 1
n
x
f
x
k
i
i
i


 1
n
m
f
x
k
i
i
i


 1

Los pesos de seis amigos son: 84, 91, 72, 68, 87 y 78 kg. Hallar el peso
medio.
n
x
n
i
i
x


 1

Calcule la media
aritmética de la distribución de frecuencias del numero de hijos por familia
del siguiente cuadro.
n
x
f
x
k
i
i
i


 1
Utilizamos:

Calcule la media aritmética de la distribución de frecuencias del número de cursos que
llevan los alumnos de UNE.
Número
de
cursos
Frec.
absoluta
Frec.
relativa
Frec. abs.
acumulada
Frec. rel.
acumulada
2 10 0.05 10 0.05
3 40 0.20 50 0.25
4 60 0.30 110 0.55
5 70 0.35 180 0.90
6 20 0.10 200 1.00
cursos
x 25
.
4
10
.
0
6
...
20
.
0
3
05
.
0
2 







Media

Calcule la media
aritmética de la distribución de frecuencias de salarios del
siguiente cuadro.
Utilizamos:
n
m
f
x
k
i
i
i


 1

Ejemplo
Tiempo
(en min)
Marca
de
clase
Frec.
absolut
a
Frec.
relativa
Frec. abs.
acumulad
a
Frec. rela.
acumulad
a
[30 , 50] 40 35 0.07 35 0.07
]50 , 70] 60 205 0.41 240 0.48
]70 , 90] 80 160 0.32 400 0.80
]90,110] 100 80 0.16 480 0.96
]110,130] 120 20 0.04 500 1.00
min
80
.
73
04
.
0
120
16
.
0
100
32
.
0
80
41
.
0
60
07
.
0
40 










x
Media

Desviaciones a la media
 Dados n datos: x1, x2,…, xn
 Las desviaciones a la media son:
 Entonces .
,...,
2
,
1
,
)
( n
i
x
x
d i
i 


0
1



n
i
i
d

Ejemplo
 Notas de 4 alumnos. xi: 6, 11, 15, 16

 di: -6, -1, 3, 4.
12
4
48


x

Media aritmética ponderada
 Dados n datos: x1, x2,…, xn con pesos w1, w2,…, wn, la
media aritmética ponderada de los datos es:
 Si todos los pesos son iguales, entonces












 n
i
i
n
i
i
i
i
n
n
n
p
w
x
w
x
w
w
w
w
x
w
x
w
x
w
1
3
2
1
2
2
1
1
...
...
x
xp 

Ejemplo:
Curso Nota Créditos
A 12 5
B 15 3
C 11 4
D 16 3
133
.
13
3
4
3
5
)
16
(
3
)
11
(
4
)
15
(
3
)
12
(
5








p
x
Concluimos, si un alumno en el semestre anterior ha obtenido 12 en el
curso A de 5 créditos, 15 en el curso B de 3 créditos,11 en el curso C de 4
créditos y 16 en el curso D de 3 créditos, entonces , su promedio de notas
(ponderado por los créditos ) es 13.133.

Media armónica
 Dados n datos: x1, x2,…, xn, la media armónica de los datos
es:
 La media armónica se aplica para promediar datos cuyas
unidades de medición son cocientes de unidades de
medición son cocientes de unidades de medición de dos
variables por ejemplo; datos expresados en Km/hora.


 n
i i
x
n
MA
1
1

Ejemplo
 Un auto va de A a B con una velocidad constante de
20 Km/h y regresa con una velocidad constante de 40
Km/h.
 Encontrar la velocidad media del auto.
h
Km
e
e
e
e
t
t
e
e
t
e
V
T
T
p /
66
.
26
40
1
20
1
2
40
20
2
1
2
1











Media Geométrica
 La media geométrica (MG) de un conjunto de n datos: x1,
x2,…, xn se define como la raíz n-ésima del producto de
los n valores. Asi,
 La media geométrica se aplica para promediar:
razones(a/b), índices (a/b en %), proporciones
(a/(a+b)), tasas de cambio (a-b)/b, que varían con el
tiempo.
 Ejemplo: El INEI usa la media geométrica para
calcular la inflación promedio mensual
n n
x
x
x
x
MG )
)...(
)(
)(
( 3
2
1


Propiedad de las medias
 Si todos los datos son positivos, entonces la media
armónica es siempre menor que la media geométrica.
Esta a su vez es menor que la media aritmética. Esta es;
__
X
MG
MA 

: Supóngase que las utilidades obtenidas por una compañía constructora en
cuatro proyectos fueron de 3, 2, 4 y 6%, respectivamente. ¿ Cuál es la media geométrica de
las ganancias?.
En este ejemplo la media geométrica es determinada por
y así la media geométrica de las utilidades es el 3.46%.

Relación entre media, mediana
y moda
Media = Mediana =Moda
Media < Mediana < Moda Moda < Mediana < Media
Asimétrica a la derecha
Asimétrica a la izquierda Simétrica
En una distribución unimodal se observa:

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