Dicm

´
Libro de Distribucion Gratuita

D N C
Exponente

Diccionario 25 = 32
Base Potencia
25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32
5 factores
A M B

12

9
Ilustrado
10
11
90

Caliﬁcaci´ n
o
8

80
1

2

70

de
7

6

3

4
2007 2008 2009 2010 2011

Matem´ ticas
a Lenguaje Ciencias
5

Conceptos
´
Funcion
Cateto opuesto

a Dominio Contradominio
us
en
pot X f Y
Hi x f (x)

α Valores que le Valores que nos
Cateto adyacente ´
damos a la funcion ´
devuelve la funcion

Matemáticos
A B
y

y = f (x)
A∩B

por
x
a b

Efraín Soto Apolinar
B
y

P( x, y)
y λ
LR

x x
V F O F V

y = sin x
B

(Version para Bachillerato)
´
Libro de distribucion gratuita
´

TÉRMINOS DE USO
Derechos Reservados © 2011.
Todos los derechos reservados a favor de Efraín Soto Apolinar.

Soto Apolinar, Efraín.
Diccionario ilustrado de conceptos matemáticos.
Tercera edición.
México. 2011.

Apreciado lector, usted puede sentirse libre de utilizar la información que se encuentra en este
material, bajo las siguientes condiciones:

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el aprendizaje de las matemáticas.

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(causal, incidental o cualquier otro), ocasionado debido al uso o interpretación de las
definiciones que se incluyen en este diccionario.

Versión Electrónica de distribución gratuita.
Estrictamente prohibido el uso comercial de este material.

iii

Prefacio

En México la enseñanza de las matemáticas está tomando cada vez mayor importancia por
parte de autoridades educativas, profesores y padres de familia.
El uso de las matemáticas por parte de todos los ciudadanos está muy ligado a la forma como se
aprendieron en primaria y secundaria, de manera que un niño que entendió bien los conceptos
básicos, asegura un aprendizaje más efectivo en cursos futuros.
Sin embargo, muchas de las fuentes de información actuales no se escribieron pensando en
los estudiantes, sino en la ciencia, es decir, se escribieron los conceptos de manera que los
entienden los matemáticos solamente. Esto es contraproducente en el aprendizaje efectivo de
los estudiantes.
Al ver este nicho de oportunidad, hemos decidido escribir este pequeño diccionario para que
nuestros estudiantes del nivel básico tengan al alcance de su madurez intelectual los conceptos
básicos de las matemáticas y así apoyar la educación pública de calidad en nuestro país.
Este diccionario ilustrado de conceptos matemáticos de distribución gratuita incluye más de
mil deﬁniciones y más de trescientas ilustraciones para que el lector pueda crear una idea más
clara del concepto para entenderlo de una manera más sencilla y amena.
Esperamos que este sea, no solamente tu primer diccionario ilustrado de matemáticas, sino
una fuente de inspiración para entender de verdad las ciencias exactas.

Este Diccionario Ilustrado de Conceptos Matemáticos está en continua mejora. Usted puede
descargar la última versión de este material desde el siguiente sitio de Internet:

http://www.aprendematematicas.org.mx/

Versión aumentada
para Bachillerato

Efraín Soto Apolinar
y revisores del diccionario
Monterrey, N.L., México.
Abril de 2 011.

www.aprendematematicas.org.mx
Estrictamente prohibido el uso comercial de este material

iv

ita
atu
gr
ión
uc
rib
ist
ed
d
ro
Lib


ÍNDICE v

Índice

Términos de uso ii

Prefacio iii

a 1

b 11

c 15

d 33

e 51

f 63

g 71

h 75

i 79

j 87

l 89

m 95

n 105

o 113

p 117

r 133

s 143

t 153


vi

u 163

ita
v 165

Lista de símbolos 168

atu
Referencias 171

Agradecimientos a revisores 172

gr
Créditos 173

ión
uc
rib
ist
d ed
ro
Lib


aprendematematicas.org.mx
A
Efrain Soto Apolinar

Abierto, conjunto Conjunto cuyo comple- empírica, es decir, que se basan en
mento es cerrado. En otras palabras, un observaciones, experimentaciones, etc.,
conjunto es abierto cuando sus valores que dan soporte de su veracidad.
límite (en frontera) no son elementos del
conjunto mismo. A priori Declaraciones o afirmaciones
Vea la definición de «Abierto, intervalo». que se dan sin evidencia que apoye
su veracidad, pero que pueden
Abierto, intervalo Intervalo que no incluye demostrarse a partir de razonamientos
sus valores extremos. Si los extremos del lógicos.
intervalo abierto son a y b , entonces, se
denota por: (a ,b ). Ábaco Calculadora que se utiliza para contar.
Geométricamente, el intervalo incluye a El ábaco tiene dispuestas barras de
todos los puntos de la recta numérica fichas que se utilizan para formar
entre a y b , pero excluyendo a estos dos números con ellas. A cada ficha de
valores. diferentes barras se le asignan unidades,
La siguiente figura muestra el intervalo decenas, centenas, etc., y de esta manera
abierto (a ,b ): se pueden usar para realizar cálculos
fácilmente.
x
O a b

Aceleración (1.) Vector cuya magnitud indica
cuánto cambia la velocidad por cada
unidad de tiempo y su dirección indica
la dirección del movimiento. .
.
.
(2.) En Cálculo, la aceleración se define Centenas
como la segunda derivada de la posición Decenas
respecto del tiempo, que equivale a la Unidades
primera derivada de la rapidez (veloci-
dad) respecto del tiempo. Ábaco
A posteriori Declaraciones o afirmaciones
que tienen su base en evidencia El ábaco fue inventado en China.

2 Abscisa–Altura

Abscisa Para indicar un punto del plano se Por ejemplo, 2 x 2 + 5 y , es una expresión
A requieren de dos coordenadas: P(x , y ).
La primera coordenada (x ) se conoce
algebraica.

como abscisa. La segunda coordenada Algoritmo Procedimiento definido para la
(y ) se conoce como ordenada. solución de un problema, paso a paso,
en un número finito de pasos.
Absoluto, valor El valor absoluto de un
número x , denotado por |x | se define Algoritmo de Euclides Algoritmo para
como su valor numérico si considerar su calcular el máximo común divisor de
signo. dos números MCD(m , n) donde m > n,
Por ejemplo, el valor absoluto de −18 es: que se puede resumir como sigue:
| − 18| = 18, y el valor absoluto de 3 es:
|3| = 3.
1. Dividir m entre n. Sea r el residuo.
Geométricamente, el valor absoluto
representa la distancia del origen de la 2. Si r = 0, entonces MCD(m , n ) = n.
recta numérica al punto que le corres- (Fin)
ponde el número:
3. Si r 0, entonces MCD(m , n) =
MCD(n, r ).
| − 3| |2|
4. Remplazar (m , n) por (n, r ) e ir al
x
−3 −2 −1 0 1 2 3 paso 1.

Por ejemplo, para calcular el
Acre Unidad de superficie igual a 4 047 m2 . MCD(27, 12), tenemos:
Adición Sinónimo de suma.
27 = 12 × 2 + 3
Aleatorio Decimos que un evento o un 12 = 3 × 4 + 0
proceso es aleatorio si no es posi-
ble predecir el siguiente resultado o el Entonces, MCD(27, 12) = 3.
siguiente paso del proceso.
Por ejemplo, una caminata aleatoria Algoritmo de la división Dados los números
consiste en caminar a la misma veloci- enteros a ,b , con b 0, existen números
dad en un plano, cambiando la dirección enteros únicos q, r , con 0 ≤ r < b , tales
cada vez que se desee. que: a = bq + r .
Por ejemplo, considerando a = 17, b = 3,
Alfabeto griego Vea la definición «Griego,
se tiene:
alfabeto».
17 = (3)(5) + 2
Álgebra Es la rama de las matemáticas que
estudia las propiedades de los números En este caso, q = 5, y r = 2.
reales a través de su abstracción en
forma de polinomios y funciones. Altura En un triángulo, la altura es igual a la
distancia medida perpendicularmente
Algebraica, expresión Representación desde la base del triángulo hasta el
matemática de una cantidad utilizando vértice opuesto. La altura se denota con
literales y operaciones entre las mismas. la literal h.


Amortización– Ángulo 3

Análisis matemático Rama de las matemáti-
cas que se encarga del estudio de las fun-
ciones, los límites y sus propiedades.
A
h
Análisis numérico Conjunto de reglas y
métodos para la resolución de ecuacio-
nes y problemas a través de métodos
iterativos. Estos métodos generalmente
En un triángulo las tres alturas se
se realizan a través de la programación
intersectan en un punto que se llama
de computadoras.
«ortocentro».
Vea la definición de «Iteración».
En un trapecio o en un paralelogramo, la
altura es el segmento de recta perpendi- Analítica, geometría Es el estudio de la
cular a la base que va desde la base a su geometría utilizando un sistema de
otro lado paralelo. ejes coordenados para aplicar principios
algebraicos en la solución de proble-
mas.
h
Ángulo Figura plana formada por dos
segmentos de recta que se cortan en
un punto. El punto donde se cortan
Amortización En negocios, la amortización
se llama vértice. Los segmentos son
se refiere al pago de una deuda por
los lados del ángulo. La medida de un
medio de pagos iguales distribuidos en
ángulo indica la abertura entre sus lados.
varios periodos (a plazos). El importe
del abono A periódico calculado a par-
tir del monto M y la tasa de interés com-
puesto r , es:
do
r (1 + r )n La
A =M ·
(1 + r )n − 1
α
Vértice
donde el valor de r ha sido dividido entre Lado
cien antes de hacer la sustitución.

Amplitud En una onda sinusoidal, la En la figura, α representa la medida del
amplitud es la distancia que hay desde ángulo.
el eje de la onda hasta cualquiera de sus Un ángulo también se puede denotar
cimas. usando tres letras, como se indica en la
siguiente figura:
y
1 C
A

x

-1
y = sin x α
B A


4 Ángulo agudo–Ángulos conjugados

El ángulo α también se puede denotar En la siguiente figura el ángulo central α
A como ∠A BC , donde el punto B es el
vértice del ángulo.
mide 60◦ :

Normalmente el ángulo en el plano es
positivo cuando se mide en el sentido
contrario al giro de las manecillas del
reloj y negativo cuando se mide en el
mismo sentido de giro de las maneci-
llas. α

Ángulo agudo Ángulo cuya medida es
menor a la de un ángulo recto. En
la definición de «Ángulo», el ángulo
mostrado (ambas figuras) es agudo.

Ángulos adyacentes Dos ángulos son El ángulo central se define de manera
adyacentes cuando tienen el mismo equivalente para el círculo.
vértice y comparten un lado común ubi-
cado entre ellos. Ángulos complementarios Dos ángulos son
En la siguiente figura los dos ángulos son complementarios si la suma de sus
adyacentes: medidas es igual a la medida de un
ángulo recto. En otras palabras, si la
suma de dos ángulos es igual a 90◦ ,
entonces los ángulos son complementa-
rios.

β α

Los ángulos α y β tienen un mismo
punto por vértice y tienen un lado en
común, por eso son adyacentes. β
α
Ángulos alternos Cuando un par de rectas
paralelas son cortadas por una secante,
se forman 8 ángulos. Si dos ángulos se En la figura anterior, los ángulos α y β
encuentran en diferente lado respecto son complementarios.
de la secante y no comparten el vértice,
entonces los ángulos son alternos. Ángulos congruentes Dos ángulos son
En la figura mostrada en la definición de congruentes si tienen la misma medida.
«Ángulos correspondientes», los pares
de ángulos (α, ζ) y (δ, ε) son alternos. Ángulos conjugados Dos ángulos son conju-
gados si la suma de sus medidas es igual
Ángulo central En una circunferencia, el a la medida de un ángulo perigonal. En
ángulo central es aquel que tiene su vér- otras palabras, dos ángulos son conjuga-
tice en el centro de la circunferencia y dos si la suma de sus medidas es igual a
cuyos lados son dos radios. 360◦ .


Ángulos consecutivos– Ángulo entrante 5

Ángulos consecutivos En un polígono, dos Z
α
ángulos son consecutivos si tienen un
lado común.
A
En el siguiente pentágono, los ángulos A
y B son consecutivos.
®
Ángulo de elevación Ángulo formado por la
B horizontal y la línea que une a un obser-
vador con un objeto situado por encima
A del nivel de observación.
En la siguiente figura, el ángulo α corres-
ponde al de elevación de la persona que
observa el balón desde el punto donde la
mano apunta.

Ángulos correspondientes Cuando un par de
rectas paralelas son cortadas por una o
secante, se forman 8 ángulos. Si dos
ángulos no adyacentes se encuentran
del mismo lado respecto de la secante, α
Z
siendo uno interno y el otro externo,
entonces los ángulos son correspon- Ángulo de rotación Ángulo que se rota una
dientes. figura o que cambia en su orientación
En la figura se muestran los pares de respecto de un eje fijo.
ángulos correspondientes: (α, ε), (β , ζ), En la siguiente figura se muestra un
(γ, η) y (δ, θ ). plano que se ha rotado 30◦ , es decir, el
ángulo de rotación en este caso es de 30◦ .
1 2
y
y
α β 1
γ δ x

◦
ε ζ 2 θ =3
0
η θ x

Ángulo entrante Ángulo que mide más que
un ángulo llano, pero menos que un
ángulo perigonal. En otras palabras, el
Ángulo de depresión Ángulo formado por la
ángulo entrante mide más de 180◦ , pero
horizontal y la línea que une a un obser-
menos que 360◦ .
vador con un objeto situado por debajo
En la figura, el ángulo α es entrante:
del nivel de observación.
En la siguiente figura, el ángulo α corres-
α
ponde al de depresión de la persona
que observa la bicicleta desde el punto
donde la mano apunta.


6 Ángulo externo– Ángulo obtuso

Ángulo externo En un polígono, un ángulo
A externo es el que se forma por uno de
sus lados y la prolongación de un lado
adyacente. α
En la siguiente figura se muestra un
ángulo α externo del pentágono
mostrado:

Ángulo inscrito

D
Ángulos internos (1.) Cuando un par de
α
E C rectas paralelas son cortadas por una
secante, se forman 8 ángulos. Los cuatro
ángulos que quedan entre las rectas
paralelas son los ángulos internos.
A B En la figura mostrada en la definición de
«Ángulos correspondientes», los cuatro
ángulos: γ, δ, ε y ζ son internos.
(2.) En un polígono, un ángulo interno
Ángulos externos Cuando un par de rectas es el ángulo que se forma por dos lados
paralelas son cortadas por una secante, consecutivos del polígono.
se forman 8 ángulos. Los cuatro ángu-
los que quedan fuera de entre las rectas
paralelas son los ángulos externos.
En la siguiente figura los cuatro ángulos
marcados (α, β , γ, δ) son externos.
i

La medida del ángulo interno de un polí-
AB CD F
gono regular se denota por la literal i .
α β Vea la definición de «Polígono regular».
C D
Ángulo llano Ángulo que mide exactamente
lo mismo que dos rectos. En otras pala-
bras, un ángulo llano mide 180◦ .
A γ B
δ
α
E
En la figura anterior, el ángulo α es llano.
Como puedes ver, los lados del ángulo
llano están sobre la misma recta.
Ángulo inscrito Ángulo que tiene su vértice
sobre una circunferencia y cuyos lados Ángulo obtuso Ángulo que mide más que
son dos cuerdas de la misma. un ángulo recto, pero menos que un


Ángulos opuestos por el vértice–Antiderivada 7

ángulo llano. En otras palabras, un
ángulo obtuso mide más de 90◦ , pero
menos que 180◦ .
A

α

α
En la figura anterior, el ángulo α es un
ángulo recto.
En la figura anterior, el ángulo α es
obtuso. Ángulos suplementarios Dos ángulos son
suplementarios si la suma de sus medi-
Ángulos opuestos por el vértice Dos ángulos das es igual a la medida de un ángulo
son opuestos por el vértice si la prolon- llano. En otras palabras, si la suma de
gación de los lados de uno son los lados dos ángulos es igual a 180◦ , entonces los
del otro. ángulos son suplementarios.
En la siguiente figura, los ángulos α y β
son opuestos por el vértice:

β β α
α

En la figura anterior, los ángulos α y β
son suplementarios.
Ángulos opuestos por el vértice
Antecedente En una razón, el primer
Los ángulos opuestos por el vértice término se llama antecedente, el
tienen la misma medida. segundo se llama consecuente.
Por ejemplo, en la razón 5 : 7, el número
Ángulo perigonal Ángulo que mide lo mismo 5 es el antecedente y el 7 es el conse-
que cuatro ángulos rectos. cuente.
En otras palabras, el ángulo perigonal
mide 360◦ . Antiderivada Una función F (x ) es una anti-
derivada de f (x ), si la derivada de F (x )
α es igual a f (x ). Matemáticamente:

f (x ) dx = F (x ) ⇒ F (x ) = f (x )
En la figura anterior, el ángulo α es
perigonal.
Observe que la antiderivada de f (x ) se
Ángulo recto Ángulo que se forma cuando denota por: F (x ) = f (x ).
dos rectas se cortan formando cuatro Si y = F (x ) es una antiderivada de la fun-
ángulos iguales. En otras palabras, el ción y = f (x ), también lo es y = F (x )+C ,
ángulo recto mide 90◦ . donde C es una constante cualquiera.


8 Antilogaritmo–Arista

Antilogaritmo Si a x = y , entonces, decimos B
A que y es el antilogaritmo del número x

Arc
en la base a .
Por ejemplo, dado que 23 = 8, se tiene

o
A
que 8 es el antilogaritmo de 3 en la base
2.
Observa que las funciones logaritmo y
antilogaritmo son funciones inversas.

Año Un año es el tiempo que tarda la tierra El arco cuyos extremos son los puntos A
dar una vuelta alrededor del sol en su y B se denota por: AB
movimiento de traslación y es aproxi-
Arcocoseno La función arcocoseno del
madamente igual a 365 días.
ángulo x , denotada por arccos x , es la
El año se divide en 12 meses.
función inversa de la función coseno.
Año bisiesto Cada cuatro años, un año tiene Arcoseno La función arcoseno del ángulo x ,
366 días. Este día extra se agrega al mes denotada por arcsin x , es la función in-
de febrero, por lo que en un año bisiesto versa de la función seno.
febrero tiene 29 días.
El año 2012 es un año bisiesto. Arcotangente La función arcotangente del
ángulo x , denotada por arctan x , es la
Apotema En un polígono regular, el apotema función inversa de la función tangente.
es el segmento que va desde el centro del
Área Superficie que cubre un cuerpo o figura
polígono al punto medio de uno de sus
geométrica. Sus unidades se miden
lados.
en unidades cuadradas como centíme-
tros cuadrados (cm2 ), metros cuadrados
(m2 ), hectáreas (ha), etc.

Área superficial Medida del tamaño de una
superficie.
Apotema

Argumento El argumento de una función
es el valor que le damos a la variable
independiente para evaluarla.
Por ejemplo, si el argumento de la fun-
Aproximar Dar un valor cercano a otro. Por ción coseno es π, entonces escribimos:
ejemplo, podemos aproximar el valor cos(π).
del número π = 3.141592654 · · · como
Arista Línea recta donde se intersectan dos
3.1416
caras de un cuerpo geométrico.
El símbolo matemático que denota
aproximación es: ≈.
En el caso del ejemplo dado antes,
tenemos π ≈ 3.1416.
Arista
Arco Segmento de circunferencia delimi-
tado por dos de sus puntos.


Aritmética–Asociativa 9

Aritmética Es la rama de las matemáticas que Vea las definiciones «Permutación» y
se dedica al estudio de los números y
sus propiedades bajo las operaciones de
«Combinación».
A
Arroba Unidad de peso que equivale a 11.4
suma, resta, multiplicación y división.
kg, o bien a 25 libras.
Aritmética, sucesión Lista de números que Asimétrico Una figura geométrica es
tienen la propiedad que cualesquiera asimétrica cuando no presenta algún
dos consecutivos tienen una diferencia tipo de simetría.
constante. La siguiente figura es asimétrica:
El primer término de la lista se denota
por a 1 y la diferencia constante por d .
Podemos calcular el n−ésimo término
a n de la sucesión usando la fórmula:

a n = a 1 + d (n − 1)

Y la suma S n de los primeros n términos Figura asimétrica
con:
n (a 1 + a n )
Sn = Asíntota 1. Se dice que una curva tiene
2 una asíntota si se acerca mucho a una
A la sucesión aritmética también se le recta, pero sin llegar a tocarla. La recta
conoce como «progresión aritmética». representa la asíntota de la curva.

Arquímedes de Siracusa (287 AC – 212 AC) y
Matemático de la antigua Grecia.
Realizó importantes contribuciones en
2 1
geometría y mecánica. En particular, en- y= +1
contró la base de lo que actualmente se x
conoce como el Cálculo Infinitesimal, 1
Asíntota
inventado de manera independiente
x
en el siglo XVIII por Isaac Newton y 0 1 2 3 4 5
Gottfried Wilhelm Leibniz.
2. En una hipérbola, las asíntotas son
Arreglo Dado un conjunto con n elementos,
las rectas que pasan por el centro de la
el número de arreglos es igual al número
hipérbola y que son diagonales del rec-
de formas de elegir k objetos, en donde
tángulo con lados de longitud igual al eje
se considera importante el orden de los
transverso y al eje conjugado.
objetos.
Ver definición de «Ecuación de la Hipér-
Por ejemplo, suponga que desea crear
bola».
banderas de tres colores usando 10
diferentes colores. Evidentemente, el Asociativa La propiedad asociativa para la
orden de los colores importa. El número suma es la siguiente:
de banderas diferentes que podemos (a + b ) + c = a + (b + c )
crear es igual al número de arreglos de
3 colores de entre los diez disponibles. y para la multiplicación:
Arreglo es sinónimo de combinación. (a · b ) · c = a · (b · c )


10 Áurea, proporción– Azar

En la deﬁnición de «Propiedades de los Las dimensiones de los rectángulos
A números» puede encontrar las demás
propiedades de los números reales.
A BC D y M BC N están en proporción
áurea.

Áurea, proporción Número irracional
denotado por la letra griega φ, e igual Axioma Una verdad tan evidente que no
a: requiere demostrarse.
1+ 5
φ= Por ejemplo, «la suma de dos números
2
reales es otro número real», es un
Este número aparece en la naturaleza
axioma.
frecuentemente.
Los griegos lo utilizaron para que sus
obras tuvieran un mejor aspecto es-
Axioma de existencia Axioma que supone la
tético.
existencia de un objeto o varios objetos
Se dice que un rectángulo está en pro-
matemáticos.
porción aurea cuando al multiplicar la
longitud de un lado por φ obtenemos
como resultado la longitud del otro lado. Axiomático, sistema Una forma secuencial y

D N C sistemática de organizar una teoría de
las ciencias exactas.

Azar Decimos que un experimento o evento
A M B tiene azar cuando no es posible predecir
su resultado. Por ejemplo, el hecho de
Si dividimos: A B entre BC obtene- que el día en que el equipo de fútbol
mos el mismo resultado que dividir BC soccer de la escuela tendrá su próximo
entre B M : juego lloverá, no se puede predecir, así
que es un evento que tiene azar. Al lan-
AB BC 1+ 5 zar una moneda el resultado también
φ= = =
BC BM 2 tiene azar, pues puede ser sol o águila.


B

Baricentro El baricentro de un triángulo es 20 en 20. Nosotros usamos la base 10,
el punto donde se intersectan sus tres por eso decimos que usamos una base
medianas. decimal.

2 375 = 2 × 103 + 3 × 102 + 7 × 10 + 5

El número 10 es la base de nuestro
sistema de numeración.
Baricentro
2. La base de un logaritmo es el número
que se utiliza para su cálculo.
Por ejemplo, en log5 125 = 3, la base es 5.
Podemos cambiar la base de un
logaritmo utilizando la siguiente
El baricentro es el centro de gravedad fórmula:
del triángulo. logb M
loga M =
logb a
Base (Álgebra) La base es el número que
se multiplicará el número de veces
Por ejemplo, para calcular, log5 10
indicado por el exponente.
puedes usar la fórmula anterior y
escribir en la calculadora cientíﬁca:
Exponente log 10 ÷ log 5 con lo que obtendrás:
1.430676558.
En este caso: M = 10, b = 10 y a = 5.
Base 25 = 32 Potencia (Geometría) 1. La base de un polígono
25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32
es el lado sobre el cual éste descansa.
5 factores

(Aritmética) 1. La base de un sistema
de numeración es el número que se uti-
liza para formar los números. Los mayas
usaban la base 20, es decir, contaban de Base

12 Bayes, teorema de–Binario

2. La base de un triángulo es uno de sus El billón se escribe con un 1 seguido de
lados a partir del cual se puede medir la 12 ceros.
altura.
Bimodal Cuando el diagrama de frecuencias
B de una población presenta dos clases
con la misma frecuencia, decimos que es
bimodal, es decir, los dos valores son los
h
más frecuentes, y por tanto, ambos son
la moda de la población. De ahí el pre-
fijo «Bi».
Base
f
3. La base de un poliedro es la cara desde
la cual se medirá la altura del mismo.

Bayes, teorema de Sean A y B dos even-
tos cualesquiera con probabilidad de
ocurrencia diferente de cero. Entonces,
P(A|B ) · P(B ) x
P(B |A) = A B C D E F
P(A)
En palabras, la probabilidad de que
En el histograma mostrado, las clases C
ocurra el evento B dado que ya ocurrió
y E tienen la misma frecuencia, y ambas
el evento A es igual al producto de la
son la más alta. Por esto, esta distribu-
probabilidad de que ocurra el evento A
ción es bimodal.
dado que ya ocurrió B por la probabili-
dad de ocurrencia del evento B , dividido Binaria, operación Operación definida con
entre la probabilidad de ocurrencia del dos números o expresiones algebraicas.
evento A. Por ejemplo, la suma es una operación
Bi- Prefijo que se utiliza para indicar el doble binaria, porque se requiere de dos
de algo. números para hacer la suma.
Por ejemplo, bicolor, indica un lápiz de Binario Se refiere a un sistema que utiliza dos
dos colores. dígitos, el 1 y el 0. El sistema binario
Bicentenario Unidad de tiempo equivalente también se conoce como el sistema de
a doscientos años. numeración en base 2.
Este sistema se utiliza en el diseño de
Bidimensional Decimos que una figura o un componentes electrónicos, como por
objeto es bidimensional cuando es de ejemplo, de circuitos electrónicos con
dos dimensiones. Esto es, cuando una fines computacionales.
figura se encuentra en el plano, decimos El número 8 (ocho) en sistema binario
que es bidimensional. es: 1002 ,y el 100 (cien) en este sistema se
escribe como: 11001002 .
Billón Un billón es igual a un millón de millo-
El subíndice 2 indica que el número está
nes, es decir,
escrito en el sistema de numeración de
1 000 000 × 1 000 000 = 1 000 000 000 000 base 2.


Binomio–Buen ordenamiento, principio del 13

Binomio Polinomio que tiene dos términos los lados del ángulo.
(no semejantes). Por ejemplo, 2 x 2 + x , En un triángulo, sus tres bisectrices se
a x 2y + b x y 2, y 7 x 3 − a 4. cortan en un punto que se llama incen-

Binomio de Newton Producto notable que
tro. B
sirve para calcular cualquier potencia de
un binomio de forma directa, cuya fór- Incentro
mula es:

(x +y )n = x n +nx n −1 y +· · ·+nx y n −1 +y n

El binomio de Newton también se
conoce como «teorema del binomio».
Los coeficientes del polinomio de ele-
Como el incentro equidista de los tres
var el binomio a la potencia n pueden
lados del triángulo, es el centro de la
calcularse usando el triángulo de Pascal
circunferencia que es tangente a los tres
o usando la fórmula de combinaciones:
lados del triángulo.
n
n
(x + y ) =
n
x n−k y k Brújula Instrumento utilizado para determi-
k
k =0
nar el norte geográfico. Utiliza una aguja
Vea la definición de «combinación». imantada que se alinea con el campo
magnético terrestre.
Bisectriz Recta que divide a un ángulo en dos La siguiente figura muestra una brújula:
ángulos de la misma medida. En otras
palabras, la bisectriz es el eje de simetría
de un ángulo. N

E
A O

S

iz
ctr
Bise Buen ordenamiento, principio del El princi-
pio del buen ordenamiento dice que un
subconjunto de un conjunto ordenado
B α α contiene un elemento que es el menor
C de todos.
Por ejemplo, el conjunto {0, 2, 4, 6, 8}
La bisectriz tiene la propiedad que tiene un elemento que es el menor de
cualquiera de sus puntos equidista de todos, (0).


14

ita
B

atu
gr
ión
uc
rib
ist
ed
d
ro
Lib


C

Símbolo que representa el conjunto de los Por ejemplo, cuando simpliﬁcamos la
números complejos. fracción:

Cabrí Geometré Software para realizar 12 (3)(4) 4
= =
¡
construcciones geométricas y resolver
21 (3)(7) 7
¡
problemas de geometría plana.

Cadena Unidad de longitud utilizada en la decimos que hemos cancelado el 3,
antigüedad equivalente a 22 yardas, o porque hemos aplicado la segunda
bien a 20.1168 metros. propiedad enlistada antes.

Calculadora Dispositivo o aparato que se usa
Canónico Estándar o usual. Se utiliza
para realizar cálculos.
generalmente para indicar que vamos
Calcular Obtener o encontrar el resultado de a tomar el caso convencional.
una operación. Por ejemplo, al decir que usamos
un sistema de coordenadas canónico,
Cálculo Rama de las matemáticas que se entendemos que usamos un sistema de
encarga del estudio de las cantidades coordenadas donde los ejes son mutua-
que varían continuamente y las rela- mente perpendiculares y ambos tienen
ciones entre ellas. la misma unidad de medida.
En el Cálculo se estudian los conceptos
de límite, continuidad, derivada e inte-
Capacidad En matemáticas la palabra
gral y sus aplicaciones.
«capacidad» nos indica el valor del volu-
El Cálculo también se denomina
men que ocupa un sólido.
«Cálculo inﬁnitesimal».
Por ejemplo, un cubo con una capacidad
Cancelación Decimos que hemos cancelado de un litro, indica que el cubo ocupa un
un número o una expresión algebraica volumen de un litro.
cuando aplicamos una de las siguientes
propiedades de los números reales: Cara En un poliedro, una cara es cada uno de
a + (−a ) = 0 los polígonos que lo delimitan.
1 En el cubo cada uno de los cuadrados
a· = 1 que lo delimita es una cara del poliedro.
a

16 Característica–Centro

× es el conjunto formado por todos
los pares ordenados (a ,b ) donde a ∈ y

Cara
b∈ .
Por ejemplo, sean = {0, 1, 2} y =
{4, 5, 6}. Entonces,
C × = {(0, 4), (0, 5), (0, 6), (1, 4),
Característica La parte entera de un (1, 5), (1, 6), (2, 4), (2, 5),
logaritmo, es decir, la parte que está a
(2, 6)}
la izquierda del punto decimal.
Por ejemplo, sabiendo que ln(π) ≈
1.1447, su característica es 1.
Centésimo (1.) Un centésimo es equivalente
Cardinalidad La cardinalidad de un a una de las partes de un entero que ha
conjunto, denotado por el símbolo ν , es sido dividido en cien partes del mismo
el número de elementos que éste con- tamaño.
tiene. (2.) En un número con decimales, el
Por ejemplo, la cardinalidad del dígito de los centésimos es el dígito que
conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} es 10.
se encuentra en la segunda posición a la
derecha del punto decimal.
Por ejemplo, en el número 3.1416, el
Cartesiano, plano Sistema de coordenadas
dígito «4» corresponde a los centésimos.
en el cual los ejes son mutuamente
perpendiculares y ambos utilizan la Centi- Prefijo que denota centésima parte.
misma unidad de medida. Por ejemplo, centímetro indica la cen-
La siguiente figura muestra un plano tésima parte de un metro.
cartesiano:
Central, ángulo En una circunferencia, el án-
gulo central es aquel que tiene su vértice
y en el centro de la circunferencia y cuyos
lados son dos radios.
3 En la siguiente figura el ángulo central α
mide 60◦ :
2

1

x
−3 −2 −1 0 1 2 3
α
−1

−2

−3

Cartesiano, producto El producto cartesiano Centro El centro de una figura es el punto de
de los conjuntos y denotado por simetría de la misma.


Centro de gravedad–Cifra significativa 17

a cualesquiera dos de sus elementos el
resultado es otro elemento del conjunto
C C .
Por ejemplo, el conjunto de los números
pares es cerrado bajo la suma, porque
En las figuras mostradas, C es el centro. cuando sumamos dos números pares, el
resultado es otro número par.
C
Centro de gravedad Punto en donde se Por el contrario, los números impares
puede considerar concentrada la masa no son cerrados bajo la suma, porque
de un objeto físico para su estudio. cuando sumamos dos números impares
El centro de masa se usa cuando la dis- no obtenemos un número impar, sino
tribución espacial de la masa del objeto par.
no es importante para la discusión.
Científica, notación Forma abreviada de
Centroide El centro de gravedad de un polí- escribir números muy grandes o muy
gono plano. pequeños. Para esto, se escribe el primer
El centroide del triángulo es el punto dígito del número, el punto decimal y
donde se intersectan las tres medianas después los siguientes dígitos del
del mismo: número (si se desea mayor pre-
cisión) y finalmente el número 10
elevado a la potencia n, donde
n es el número de cifras se
corrió el punto decimal a la izquierda.
Baricentro Por ejemplo, el número 120 000 escrito
en notación científica es:

120 000 = 1.2 × 105

Observa que el punto decimal se cor-
El centroide de un triángulo también se rió cinco cifras a la izquierda, por eso
conoce como el baricentro. escribimos exponente 5 al número 10.
Cuando el punto decimal se corre hacia
Cerrado, intervalo Intervalo que sí incluye
la derecha, el exponente debe tener
sus valores extremos. Si los extremos del
signo negativo.
intervalo cerrado son los puntos a y b ,
Por ejemplo, el número 0.00035 escrito
se denota por [a ,b ].
en notación científica es:
Geométricamente, el intervalo cerrado
[a ,b ] se indica como muestra la 0.00035 = 3.5 × 10−4
siguiente figura:
Ahora el punto decimal se ha recorrido
x 4 lugares a la derecha, por eso el
O a b
exponente tiene signo negativo.

Cerradura Un conjunto presenta la Cifra significativa Cuando redondeamos un
propiedad de cerradura bajo una opera- número, el número de dígitos que
ción cuando al realizar esa operación consideramos corresponde al número


18 Cilindro–Circunferencia

cia
ren
de cifras significativas del redondeo. fe

n
Por ejemplo, si a π = 3.141592654 · · · ,

Circu
lo consideramos como 3.1416, estamos
Círculo
usando 4 cifras significativas.

C Cilindro Cuerpo geométrico con bases
paralelas circulares y paredes perpendi-
culares a sus bases. Podemos calcular el área del círculo
usando la fórmula:
r
Área = π r 2

donde r es el radio de la circunferencia.
h Podemos decir que el círculo es el
conjunto de puntos que están a una
menor distancia r de un punto fijo C ,
llamado centro. La distancia r se llama
Cilindro radio del círculo.

Circuncentro Es el punto donde se intersec-
Área = 2 πr 2 + 2 πr h tan las tres mediatrices de un triángulo.
Volumen = πr 2 h

Cilindro elíptico Cilindro cuyas bases son
elipses.

Cima En una curva sinusoidal, la cima es
cada uno de los puntos más altos en su
trayectoria.
Por el contrario, la sima (con s) corres- Circuncentro
ponde a cada uno de los puntos más
bajos de su trayectoria. Circuncírculo El circuncírculo de un polí-
gono es la circunferencia que pasa por
Cima Sima cada uno de sus vértices.
En la definición de «Circuncentro», la
circunferencia mostrada es el circuncír-
culo del octágono de la figura.

Circunferencia La circunferencia es el
conjunto de puntos del plano que están
a la misma distancia de un punto fijo C
que es el centro de la circunferencia.
Círculo Área que queda delimitada por una La distancia del centro de la circunferen-
circunferencia. Es decir, la circunferencia a cualquiera de sus puntos se llama
cia es el perímetro del círculo. radio (r )


Circunscrito, polígono–Combinación 19

cia
ren
fe Coeficiente Es un número que multiplica

n
Circu
a una literal. Es decir, es el factor
r numérico de un término.
C Por ejemplo, en 2 x , el número 2 es el
coeficiente.

Cofunción Para cada una de las funciones C
trigonométricas básicas, seno, secante
En la figura anterior, el punto C es el
y tangente, se define una cofunción:
centro de la circunferencia y r es su
radio. Función Cofunción
La ecuación de la circunferencia que Seno (sin x ) Coseno (cos x )
tiene su centro en el punto C (h, k ) y Secante (sec x ) Cosecante (csc x )
radio r es: Tangente (tan x ) Cotangente (cot x )

(x − h)2 + (y − k )2 = r 2 Colineal Se dice que varios puntos son
colineales cuando están sobre una
A la circunferencia no le podemos medir misma recta.
el área, pues es un segmento de línea
curva, pero sí podemos calcular su lon-
gitud o perímetro (C ):
S
R
C = 2πr Q
P

En la figura anterior, los puntos P, Q, R y
Circunscrito, polígono Se dice que un polí- S son colineales, pues todos están sobre
gono es circunscrito cuando todos la misma recta .
sus lados son tangentes a una misma
Columna En una matriz, una columna es una
circunferencia.
línea vertical de sus elementos.
En la siguiente matriz A, la primera
columna está formada por los elementos
a, d y g :
 
a b c
A = d e f 
 
g h i

Combinación Una combinación C (n, r ) es
una selección de r (uno o más) objetos
Hexágono circunscrito
de un conjunto de n objetos, indepen-
dientemente del orden.
Cociente Resultado de la división de dos C (n, r ) se lee: «una combinación de n
números. elementos, tomando r a la vez», y se
Por ejemplo, al dividir 10 ÷ 5 = 2, el calcula con la fórmula:
cociente es el número 2, el dividendo es P(n, r ) n!
el número 10 y el divisor es el número 5. C (n, r ) = =
r! r ! (n − r )!

20 Compás–Completar el cuadrado

donde P(n, r ) son las permutaciones de El plano complejo también se conoce
n tomando r a la vez y n! es el factorial como el «Plano de Gauss».
del número n.
Vea la definición de «Permutación». Complementarios, ángulos Dos ángulos son
complementarios si la suma de sus
Compás Instrumento utilizado en geometría medidas es igual a la medida de un án-
C para dibujar circunferencias y para com- gulo recto. En otras palabras, si la suma
parar longitudes de segmentos. de dos ángulos es igual a 90◦ , entonces
La siguiente figura muestra un compás: los ángulos son complementarios.

β
α

En la figura, los ángulos α y β son
complementarios.
Complejo, número Número que tiene una Complemento de un conjunto El comple-
parte real y una parte imaginaria: mento del conjunto , denotado por ,
o bien por c , respecto del conjunto uni-
z =a +i b verso está definido por: − .
En palabras, el complemento del
En el número complejo z , a es la parte
conjunto es el conjunto formado por
real y b su parte imaginaria.
los elementos que están en el universo
Por ejemplo, si z = 3 − 2 i , 3 es la parte
que no están en .
real de z y −2 su parte imaginaria.
Algunas ecuaciones tienen por raíces Completar el cuadrado Proceso de factoriza-
números complejos. ción para expresar un trinomio
cuadrado no perfecto como la suma de
Complejo, plano Plano que asigna el eje un binomio al cuadrado más un término
horizontal a los números reales y el eje constante.
vertical a los números imaginarios de Para completar el cuadrado de un tri-
manera que podamos representar gráfi- nomio cuadrado se calcula la mitad del
camente los números complejos. coeficiente del término lineal y se suma
y resta el cuadrado de ese número.
I Por ejemplo, para completar el cuadrado
de: x 2 + 6 x + 10, sacamos la mitad de
6, (que es 3) y sumamos y restamos su
z = 3 + 2i cuadrado (que es 9):

x 2 + 6 x + 10 = x 2 + 6 x + 10+9 − 9
= (x 2 + 6 x + 9) + 10 − 9
R = (x + 3)2 + 1


Componente–Concéntrico 21

Computadora, programa de Conjunto de
instrucciones que indican a una
Componente Las componentes de un vector computadora el procedimiento para re-
v = (v 1 , v 2 , · · · , v n ), son cada uno de los solver un problema.
números v 1 , v 2 , · · · , v n . La primera com-
ponente es v 1 , la segunda componente
es v 2 , y así sucesivamente.
Cóncavo Un polígono es cóncavo si al menos C
uno de sus ángulos internos es entrante.
Composición Dadas las funciones: y = f (x ) El siguiente polígono es cóncavo:
y y = g (x ), la composición de f en g ,
denotado por f ◦ g , significa sustituir
g (x ) en la función y = f (x ):

f ◦ g = f g (x )

Por ejemplo, si definimos: f (x ) = x 2 , y
g (x ) = 2 x − 3, entonces,

f ◦g = f g (x ) Si es posible dibujar un segmento de
= (2 x − 3) 2 recta con extremos dentro del polígono,
= 4 x 2 − 12 x + 9 pero parte del segmento fuera de la
figura, entonces el polígono es cóncavo.
Una curva es cóncava cuando su cur-
vatura está dirigida hacia el punto desde
Compuesto, número Un número natural que donde se observa. En la siguiente figura
tiene más de dos divisores. se muestra una curva cóncava:
Por ejemplo, el número 9 es compuesto,
porque sus divisores son: 1, 3, y 9.
El número 5 no es un número com-
puesto, pues solamente tiene dos divi-
sores.
El único número natural par que no es Convexo Cóncavo
compuesto es el número 2.
Importante: No solamente los números
pares son compuestos.

Computadora Máquina electrónica capaz de
aceptar y procesar información, aplicar Concéntrico Se dice que dos o más objetos
procesos a ésta y devolver resultados. geométricos son concéntricos cuando el
La computadora está conformada por centro de cada uno de ellos es el mismo
dispositivos de entrada (teclado, ratón, punto para todos.
escáner, etc.), de procesamiento, cál- Por ejemplo, en la siguiente figura, el
culo aritmético y control, de almace- hexágono y la circunferencia son con-
namiento (disco duro, etc.) y de salida céntricos, pues ambos tienen por centro
(monitor, impresora, etc.) al punto C :


22 Conclusión–Cónica

4. Dos polígonos son congruentes si es
posible superponer uno sobre otro.
(Teoría de números) Dados los números
enteros a ,b, k , decimos que el número
C a es congruente con k módulo b , y se
C denota por: a ≡ k mod b , si es posible
escribir:
a =b m +k

donde m ∈ .
Conclusión Es el resultado de una impli-
En otras palabras, si el número a −
cación lógica.
k es divisible por b , entonces a es
Por ejemplo, considerando las premisas:
congruente con k módulo b .
«Todos los hombres son mortales», y
Por ejemplo, 14 ≡ 4 mod 5, porque:
«Luis es hombre», la conclusión es: «Luis
es mortal», pues es el resultado de la
14 = 5 × 2 + 4
implicación lógica de las premisas ini-
ciales. Es decir, 14 − 4 es divisible por 5.
Condición necesaria En la implicación:
Cónica Figura geométrica que se encuentran
p → q , q es la condición necesaria.
a partir de la intersección de un cono
Por ejemplo, una condición necesaria
con un plano.
para que un cuadrilátero sea cuadrado
A las cónicas también se les llama
es que todos sus ángulos midan lo
«secciones cónicas».
mismo. Sin embargo, esta condición no
Las cónicas son las siguientes:
es suficiente.
Circunferencia
Condición suficiente Condición que
requiere cumplir un objeto matemático
para satisfacer una implicación en am-
bos sentidos.
O Eje
p ↔q

Por ejemplo, una condición suficiente
para que un cuadrilátero sea cuadrado Elipse
es que sea regular: si es cuadrado es un
cuadrilátero regular, y si es regular, el
cuadrilátero es un cuadrado.

Congruencia (Geometría) 1. Dos segmen-
tos de recta son congruentes si tienen la O Eje
misma medida.
2. Dos ángulos son congruentes si
tienen la misma medida.
3. Dos triángulos son congruentes si las
medidas de sus lados son iguales. Parábola

Cónica de Fermat–Conjunto abierto 23

I
b z =a +i b
O Eje
R
a

Hipérbola −b z =a −i b
C
Conjugados, ángulos Dos ángulos son con-
jugados si la suma de sus medidas es
igual a la medida de un ángulo perig-
O Eje
onal. En otras palabras, si la suma de
dos ángulos es igual a 360◦ , entonces los
ángulos son conjugados.
La línea recta y el punto son casos Conjugado, eje En una hipérbola, el eje
particulares de cónicas. conjugado es un segmento de recta
perpendicular al eje transverso que pasa
Cónica de Fermat La gráfica de una función por el punto medio de éste.
del tipo y = x n es una cónica de Fermat.
Conjunción Aseveración formada por dos
Cuando n 0, la curva se llama parábola
premisas unidas por la palabra «y».
de Fermat y cuando n 0 la curva se
Por ejemplo, «el número 2 es par y es
llama hipérbola de Fermat.
primo» es una conjunción.
El símbolo matemático utilizado para la
Conjetura Afirmación de un resultado, sin disyunción es ∧.
ofrecer suficiente evidencia que la Vea la definición de «Disyunción».
demuestre o la refute.
Una conjetura se crea a partir de Conjunto Una colección de objetos bien
observaciones. definida. Por bien definida se entiende
Por ejemplo, «hay un número infinito de que siempre es posible decidir si un
números primos gemelos», es una con- objeto está o no en el conjunto.
jetura que aún no se demuestra ni se Por ejemplo, el conjunto de los números
refuta. (Vea la definición de «números enteros mayores a cero, pero menores a
primos gemelos»). 10, denotado por , es el siguiente:
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Conjugado El conjugado del número
Cuando no se puede determinar si un
complejo z = a + i b es el número
elemento está o no en el conjunto,
complejo que se obtiene al cambiar de
decimos que el conjunto no está bien
signo su parte imaginaria, y se denota
definido.
por z :
z =a −i b Conjunto abierto Conjunto cuyo comple-
mento es cerrado.
Geométricamente el conjugado de z Un ejemplo de un conjunto abierto es un
representa la reflexión de z respecto del intervalo abierto.
eje real (horizontal): Vea la definición de «Abierto, intervalo».


24 Conjunto cerrado–Consecutivos, ángulos

Conjunto cerrado Conjunto que contiene Los números irracionales no son
todos sus puntos frontera. conmensurables con los números
En geometría plana, un punto e que racionales.
pertenece al conjunto , (e ∈ ) es
un punto frontera si al dibujar una Conmutativa La propiedad conmutativa
para la suma es la siguiente:
C circunferencia de radio r con centro en
e , siempre algunos puntos dentro de la a +b =b +a
circunferencia no están en el conjunto
, no importa cuan pequeño sea r . y para la multiplicación:
En la siguiente figura, el punto p es un
punto frontera del conjunto : a ·b = b ·a

En la definición de «Propiedades de los
números» puede encontrar las demás
propiedades de los números reales.
p
Cono Figura geométrica que se obtiene al
hacer girar una recta respecto de un
punto fijo y alrededor de otra recta fija
que pasa por el punto fijo. La recta que
Conjunto ordenado (Álgebra) Un conjunto
gira se llama generatriz, el punto fifo es
es ordenado si sus elementos satisfa-
el vértice del cono y la recta fija es el eje
cen la tricotomía.
del cono.
Vea la definición de «tricotomía».
(Teoría de conjuntos) Un conjunto de
z
valores que tienen un orden preestable- tri
ra
cido. ne
Ge Eje
Por ejemplo, las coordenadas de un
punto en tres dimensiones deben darse O
en el orden (x , y , z ).

Conjunto unitario Conjunto que tiene
Consecuente El consecuente de la razón a : b
exactamente un elemento. En otras
es b .
palabras, el conjunto unitario es aquel
Por ejemplo, en la razón 5 : 7, el número
conjunto cuya cardinalidad vale 1.
5 es el antecedente y el 7 es el conse-
Conjunto vacío Conjunto que contiene cero cuente.
elementos. Se denota con el símbolo ∅.
Consecutivo El consecutivo del número
Conmensurable Decimos que los números natural n es n + 1.
a ,b diferentes de cero, son conmensu- Por ejemplo, el consecutivo del número
rables si existe un número racional p 0 9 es 10.
tal que a = pb . Consecutivos, ángulos En un polígono, dos
Por ejemplo, los números 7 5 y 3 5 ángulos son consecutivos si tienen un
son conmensurables, porque: lado común.
7 En el siguiente pentágono, los ángulos A
7 5= ·3 5 y B son consecutivos.
3

Consecutivos, vértices–Contradicción 25

B toma todos los valores entre f (a ) y f (b )
y se puede dibujar en ese intervalo sin
despegar la punta del lápiz del papel
A
sobre el cual se le dibuja.
En la siguiente figura, la función y = f (x )
es continua en el intervalo [a ,b ]:
C
Consecutivos, vértices En un polígono, dos y
vértices son consecutivos si son ex-
tremos de un mismo lado. f (b )
En la figura mostrada en el concepto y = f (x )
«Consecutivos, ángulos», los vértices A y
B son consecutivos. f (a )

Consistente Un conjunto de axiomas es con- x
a b
sistente cuando no es posible demostrar
una proposición y su negativo.
Más formalmente, se dice que una fun-
Constante Una expresión matemática que no ción y = f (x ) es continua en el punto
cambia de valor. Por ejemplo, el número x = a si el límite de la función cuando x
π ≈ 3.14159265 es constante. tiende a a es igual al valor de la función
evaluada en x = a . Esto es,
Constante de proporcionalidad Una
constante de proporcionalidad k es el si lim f (x ) = f (a ),
x →a
número que hace que se cumpla una entonces la función f es continua en x =
relación de igualdad entre dos cantida- a.
des que varían de manera proporcional.
Por ejemplo, si un balón cuesta $35.00 Continuo Una variable es continua en un
pesos, x es la cantidad de balones que intervalo cuando puede tomar cualquier
queremos comprar y M es el importe valor real dentro de ese intervalo.
que debemos pagar, entonces, Cuando la variable no puede tomar
todos los posibles valores dentro del
M = 35 x intervalo, sino que toma valores en
forma de saltos, decimos que la variable
La constante de proporcionalidad en es discreta.
este caso es k = 35.
Este ejemplo muestra una proporciona- Contorno Línea o curva cerrada que delimita
lidad directa, aunque también puede ser una figura.
inversa. El perímetro de una figura geométrica
plana representa la medida de su con-
Construcción Método para construir una torno.
figura utilizando solamente regla y com- Vea la definición de «Perímetro».
pás.
Contradicción Sentencia que resulta falsa.
Continuidad Se dice que una función f es Por ejemplo: 2 + 3 = 1, es una contradic-
continua en un intervalo dado [a ,b ] si ción.


26 Contradicción, demostración por–Coordenada

Contradicción, demostración por Demostra- Es decir, un polígono es convexo si todos
ción en la cual se supone falsa la premisa sus ángulos internos miden menos de
inicial y se llega a una contradicción 180◦ .
o a una premisa falsa, concluyendo, Más formalmente, se dice que una figura
entonces, que la suposición es falsa, ha- geométrica es convexa si todo segmento
C ciendo la premisa inicial verdadera.
La demostración por contradicción tam-
con extremos dentro de la figura, todo (el
segmento) está dentro de la figura.
bién se llama «demostración por reduc- Cuando un polígono no es convexo se
ción al absurdo». dice que es cóncavo.
El siguiente polígono es cóncavo:
Contradominio El contradominio de una
función es el conjunto formado por
todos los valores que la función puede
tomar.
Vea la definición de «Función».

Contraejemplo Argumento que sirve para
descartar una hipótesis. Una curva es convexa cuando su cur-
Por ejemplo, si suponemos que todos vatura está dirigida hacia afuera del
los números impartes son primos, el punto desde donde se observa. En la
número 21 es un contraejemplo, pues el siguiente figura se muestra una curva
21 por tener 4 divisores (1, 3, 7 y 21), y convexa:
por tanto, no es primo.

Converger Acercarse cada vez más a un valor.
Por ejemplo, si damos valores a x cada
vez más grandes y los sustituimos en Convexo Cóncavo
1/x , la sucesión de valores que vamos
obteniendo se acercan cada vez más a
cero; decimos entonces que la sucesión
es convergente y que converge a cero.
Coordenada Una coordenada es el número al
1 1 1 1 1 cual al cual le corresponde un punto de
, , , , , · · · converge a 0 una recta numérica.
1 2 3 4 5
En otras palabras, las coordenadas son
números que indican la ubicación de un
Convexo Un polígono es convexo cuando punto en el plano: P(x , y ).
todos sus ángulos internos miden y
menos que un ángulo llano (ninguno de
3
sus ángulos internos es entrante).
El siguiente polígono es convexo: P(3, 2)
2

1

x
1 2 3 4


Coordenadas rectangulares–Coseno 27

En la figura, la primera coordenada del P(r, θ ), usando:
punto P es: x = 3 y la segunda: y = 2.
A cada punto del plano le corresponde r = x2 +y 2
un par de coordenadas y a cada par de y
θ = arctan
coordenadas le corresponde un punto x
del plano.
C
Coordenadas rectangulares Las coordena- Coplanar Cuando varios objetos están
das rectangulares se refieren a un sobre el mismo plano, se dice que
sistema de ejes coordenados mutua- son coplanares. Por ejemplo, en la
mente perpendiculares que comparten siguiente figura los puntos P, Q, R y S
la misma unidad de medida en todos sus son coplanares porque todos están en el
ejes. mismo plano:
En la figura mostrada en la definición de
«Coordenada» se encuentra un sistema
de coordenadas rectangulares con dos
ejes.
R
Coordenadas polares Las coordenadas
polares del punto P del plano se definen S Q P
a partir de la distancia al origen y el án-
gulo que forma la recta que pasa por el
origen y el punto P con el eje horizontal:
Corolario Proposición que es una
consecuencia inmediata de otra, y cuya
demostración requiere poco o ningún
razonamiento.
P(r, θ )
r Coseno La función coseno se define para
cualquier ángulo α. Dado un ángulo
con un lado horizontal y vértice en el
θ origen, su coseno, denotado por cos α
se define como la coordenada sobre el
eje x del punto de intersección del otro
Las coordenadas polares de un punto lado (no horizontal) del ángulo con la
P(r, θ ) pueden transformarse en circunferencia de radio 1.
coordenadas rectangulares P(x , y ), a
través de las siguientes fórmulas:
y

x = r · cos θ
y = r · sin θ
sin α

A su vez, las coordenadas rectangulares
de un punto P(x , y ) del plano pueden α
x
cos α 1
transformarse en coordenadas polares


1

28 Coseno hiperbólico–Creciente

En un triángulo rectángulo, el coseno de Cosecante La función cosecante se define
un ángulo α positivo menor a 90◦ puede como el recíproco de la función seno. Es
calcularse con el cociente: decir,
1
cateto adyacente csc α =
cos α = sin α
hipotenusa En el triángulo rectángulo mostrado en
C la definición de «Coseno» la función
cosecante se puede escribir como:

Cateto opuesto
usa hipotenusa
ot
en csc α =
p cateto opuesto
Hi
Observa que se supone que la medida
α del cateto opuesto es diferente de cero.
Cateto adyacente Cotangente La función cotangente se
define como el recíproco de la función
La gráfica de la función coseno es la tangente. Es decir,
siguiente: 1
cot α =
tan α
y Usando el triángulo rectángulo
1 mostrado en la definición de «Coseno»
podemos describir la función cotan-
x
gente como:
-1 y = cos x cateto adyacente
cot α =
cateto opuesto
Observa que se supone que la medida
Coseno hiperbólico La función coseno
del cateto opuesto es diferente de cero.
hiperbólico del número x se denota por:
cosh x y está definida por: Creciente Decimos que una función f es
creciente en un intervalo [a ,b ] si para
e x + e −x
cosh x = cualesquiera valores u , v que estén en
2
ese intervalo y que cumplan con: u ≤ v ,
se cumple: f (u ) ≤ f (v ).
Por ejemplo, la función y = x 2 es
Cosenos, ley de Para todo triángulo que se
creciente en el intervalo [0, 1]:
encuentra en el plano, se cumple:
f (x )
C 2 = A 2 + B 2 − 2A B cos α y = x2
2
donde A, B y C son las longitudes de
los lados del triángulo, y α es el ángulo
formado por los lados A y B .
La ley de senos es una generalización 1
e
nt
ie

del famoso teorema de Pitágoras, pues
ec

cuando α = 90◦ , tenemos el caso
Cr

particular: C 2 = A 2 + B 2 , que corres- x
ponde al teorema de Pitágoras. 0 0.5 1 1.5


Crecimiento exponencial–Cuadrado 29

Al ver la gráfica de una función, sabe- entre 2 si la última cifra del número
mos que es creciente si al moverte a la es par.
derecha la gráfica de la función va hacia entre 3 si la suma de sus cifras es un
arriba. múltiplo de 3.
Crecimiento exponencial Proceso que se entre 4 si el número formado por
modela con una ecuación del tipo: sus últimas dos cifras es un múlti- C
plo de 4.
y = Me rt entre 5 si termina en 5 ó en 0.
donde M y r son constantes positivas, e entre 6 si es divisible por 2 y por 3.
es el número de Euler y t representa el entre 8 si el número formado por
tiempo. sus tres últimas cifras es un múlti-
Dentro de ciertos límites, el crecimiento plo de 8.
de una población presenta crecimiento entre 9 si la suma de sus cifras es un
exponencial. múltiplo de 9.
Criba de Eratóstenes Procedimiento por el entre 10 si termina en cero.
cual se puede encontrar la lista de Vea la definición de «Divisibilidad».
todos los números primos menores a un
número natural dado n. Crítico, punto En una curva, el punto crítico
El procedimiento consiste en ir elimi- es el punto donde una recta tangente a
nando los múltiplos de 2, 3, etc., excepto la curva es horizontal.
el primer múltiplo (2, 3, etc.), hasta En la siguiente figura, el punto P
obtener una lista de números que no se indicado es un punto crítico de la fun-
han eliminado y por tanto son primos, al ción y = f (x )
no tener más de dos divisores.
La siguiente figura muestra la criba de y
1 P
Eratóstenes para encontrar los números
primos menores a 25:
x

1
¡ 2 3 4
¡ 5 -1 y = f (x )
6
¡ 7 8
¡ 9
¡ 10

Cuadrado (Aritmética) El cuadrado de un
11 13
12
14 15

número es el resultado de multiplicarlo
17 19
16 18
20
por sí mismo.
Por ejemplo, el cuadrado de 3 es 9,
23
21 22
24 25

porque 3 × 3 = 9.
Criba de Eratóstenes Importante: elevar al cuadrado no
significa multiplicar por dos, sino por
Criterios de divisibilidad Regla que nos sí mismo.
ayuda a determinar si un número se di- (Geometría) Polígono regular de cuatro
vide entre otro sin hacer la división di- lados. El cuadrado es un rectángulo que
rectamente. tiene la propiedad de que sus 4 lados
Un número se divide, miden lo mismo.


30 Cuadrado latino–Cuadrilátero

1 8 13 12

14 11 2 7

Cuadrado
4 5 16 9
C
15 10 3 6
El cuadrado es un rectángulo y un
rombo a la vez.
La suma de cada renglón, cada columna
Cuadrado latino Arreglo rectangular de n × y cada diagonal en este cuadrado
n símbolos de manera que en cada mágico es 34.
renglón y en cada columna aparezca Además observa que:
cada símbolo exactamente una vez.
El siguiente arreglo rectangular es un 8 + 13 + 10 + 3 = 34
cuadrado latino: 4 + 14 + 9 + 7 = 34
11 + 2 + 5 + 16 = 34
α β γ 1 + 12 + 15 + 6 = 34
δ

γ δ α β
Cuadrante En un sistema de coordenadas
β γ δ α rectangulares, el plano queda dividido
en 4 regiones. Cada una de esas regiones
α β γ δ es un cuadrante.

y

Cuadrado mágico Arreglo rectangular de
Cuadrante II Cuadrante I
números naturales de manera que en
todas sus columnas y todos sus ren-
x
glones sumen lo mismo.
Un cuadrado mágico de 3 × 3 es:
Cuadrante III Cuadrante IV

6 1 8 Cuadrático De grado dos o elevado al
cuadrado.
7 5 3 Por ejemplo, una ecuación cuadrática es
una ecuación de grado dos:
2 9 4
ax2 +bx + c = 0

donde a 0.
La suma de cada renglón, cada columna
y las diagonales es 15. Cuadrilátero Polígono de cuatro lados.
Un cuadrado mágico de 4 × 4 es el La siguiente ﬁgura geométrica es un
siguiente: cuadrilátero porque tiene 4 lados.


Cuartil–Curva 31

Cubo
C
Cubo unitario Cubo con aristas de medida
igual a la unidad.
Cuartil Valores que dividen a las mediciones
realizadas en cuatro partes iguales. Cúbico Unidad de volumen que se denota
Para hacer el cálculo de los cuartiles se escribiendo el número 3 como su-
requiere que los datos estén ordenados períndice de la unidad considerada.
de manera creciente. Por ejemplo, un litro equivale a un
El primer cuartil es el valor que es mayor decímetro cúbico, que se denota como 1
al 25% y menor al 75% de todos los dm3 . Es decir, una caja de un decímetro
valores; el segundo cuartil es mayor al de arista, contiene un volumen de un
50% de la población y menor al otro litro.
50% de todos los datos; el tercer cuartil
es mayor al 75% de todos los valores y Cuerda Segmento de recta que tiene
menor al 25% estrato más alto de todos sus puntos extremos sobre la misma
los datos y el cuarto cuartil es el mayor circunferencia.
de todos los valores.
Cu
Cuarto Cuando dividimos un entero en erd
a
cuatro partes iguales, cada una de ellas
es un cuarto, o bien, una cuarta parte del
entero.

1 1 1 1
4 4 4 4
Cuerpo geométrico Objetos (reales o ideales)
que ocupan un volumen y que tienen
tres dimensiones: alto, largo y ancho.
También lea la definición de «Sólido».
Cubo (Aritmética) El cubo de un número
es el resultado de multiplicarlo por sí Curva Una línea trazada en un plano o
mismo tres veces. en el espacio. En álgebra y análisis
Por ejemplo, el cubo de 2 es 8, porque matemático también se llama curva
2 × 2 × 2 = 8. a una ecuación refiriéndose a que
(Geometría) Sólido geométrico regular cualquier punto sobre su gráfica satis-
cuyas 6 caras son cuadrados. face a la ecuación.


32 Curvas, familia de–Curvatura

En matemáticas, frecuentemente uti- ción de una curva en un punto.
lizamos la palabra curva para referirnos Una línea recta tiene curvatura cero,
a una función. pues nunca cambia su dirección.
Una circunferencia tiene curvatura
Curvas, familia de Conjunto de curvas que constante, pues cambia de dirección
C tienen un mismo patrón de construc-
ción o que se obtienen al variar un
una misma cantidad siempre que avan-
zamos la misma distancia.
parámetro de su ecuación. Una circunferencia con un radio pe-
queño tiene mayor curvatura que una
Curvatura Una medida del cambio de direc- circunferencia con radio más grande.


D

Dato (Álgebra) En un problema, un dato es Decaimiento exponencial Proceso que se
información que se extrae del texto del modela con una ecuación del tipo:
problema que se utilizará en su solución.
(Estadística) Información que se extrae y = M e −r t
de una población o una muestra a partir
de los cuales se calcularán o estimarán donde M y r son constantes positivas, e
parámetros que la describen. es el número de Euler y t representa el
tiempo.
Por ejemplo, la radiactividad presenta
Deca- Preﬁjo que indica «diez veces» usado decaimiento exponencial.
en los múltiplos de las unidades del
Sistema Internacional de Medidas. Por Deci- Preﬁjo que indica «la décima parte»
ejemplo, un decámetro es equivalente a usado en los submúltiplos de las
diez metros. unidades del Sistema Internacional de
Medidas. Por ejemplo, decímetro indica
Década Unidad de tiempo que equivale a la décima parte de un metro. Decilitro
diez años. indica la décima parte de un litro.

Decágono Polígono de diez lados y diez án-
Decil Valores que dividen a las mediciones
gulos. El decágono regular tiene todos
realizadas en diez partes iguales.
sus lados y ángulos iguales.
Para hacer el cálculo de los deciles se
requiere que los datos estén ordenados
de manera creciente.
El d decil es el valor que tiene 10 × p %
de todos los valores por debajo de él y el
(100 − 10 × p )% por encima.
Por ejemplo, el tercer decil es mayor al
30% de todos los valores y es menor al
70% de todos los valores.

Decágono Decibel Unidad de medida de la intensidad
del sonido. Se abrevia como dB.

34 Decimal–Décimoprimero

Un sonido de un decibel tiene la inten- Los prefijos de los submúltiplos y sus
sidad mínima que el oído humano sano significados son:
puede percibir.

Decimal Se refiere a un sistema basado en el Prefijo Símbolo Submúltiplo
número diez. deci d 10−1
centi c 10−2
Decimal, fracción Una fracción es decimal
D cuando en su denominador hay una
mili
micro
m
µ
10−3
10−6
potencia de 10.
nano n 10−9
Por ejemplo, 0.25 puede expresarse
pico p 10−12
como:
25 25 femto f 10−15
0.25 = = 2
100 10 atto a 10−18
Por otra parte, el número 3.06 puede
escribirse como: Los prefijos de los múltiplos y submúlti-
6 6 plos de utilizan con cualquiera de las
3.06 = 3 + 0.06 = 3 + =3+ 2
100 10 unidades de las magnitudes físicas.
Por ejemplo, kilogramo es equivalente a
mil gramos y un nanómetro equivale a
Decimal, punto Signo matemático que sirve una mil millonésima parte de un metro.
para separar la parte entera de un
número de su parte decimal. Décimo (1.) Un décimo es equivalente a
Por ejemplo, en el número: 3.1416, la una de las partes de un entero que ha
parte entera es: 3, y la parte decimal es: sido dividido en diez partes del mismo
0.1416. tamaño.
En algunos países se acostumbra
escribir una coma decimal en lugar del
punto.
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Decimal, sistema métrico El sistema métrico
10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
decimal es el que utiliza los prefijos para
indicar múltiplos y submúltiplos de las
unidades.
Los prefijos de los múltiplos usados en
este sistema y sus significados son: (2.) En un número con decimales, el
dígito de los decimos es el dígito que se
Prefijo Símbolo Múltiplo encuentra en la segunda posición a la
derecha del punto decimal.
exa E 1018 Por ejemplo, en el número 1.73205, el
peta P 1015 dígito «7» corresponde a los décimos.
tera T 1012
giga G 109 Décimoprimero Número ordinal correspon-
mega M 106 diente al lugar número once.
kilo k 103 Por ejemplo, en un maratón, el corredor
hecto h 102
que llega en el lugar número once, tiene
deca da 10 el décimoprimer lugar.


Décimosegundo–Demostración por contradicción 35

Frecuentemente en el lenguaje colo- Observa que f (0.5) f (1.0), y también
quial se dice (incorrectamente) se cumple que: 0.5 ≤ 1.0.
«onceavo» refiriéndose al número ordi-
nal «décimoprimero». Deducción Proceso de derivar una con-
Onceavo es una fracción, no un número clusión a partir de las propiedades de los
ordinal. objetos matemáticos con los que se tra-
Undecimo es sinónimo de decimo- baja o de un principio general.
primero.
Vea la definición de «Número ordinal».
Deficiente, número Número que tiene la D
propiedad que sus divisores propios
suman menos que él.
Décimosegundo Número ordinal correspon-
Por ejemplo, el número 32 es deficiente,
diente al lugar número doce.
porque sus divisores propios suman 31:
Por ejemplo, en un maratón, el corredor
que llega en el lugar número doce, tiene 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31 32
el décimosegundo lugar.
Frecuentemente en el lenguaje colo-
quial se dice (incorrectamente)
«doceavo» refiriéndose al número ordi- Definición Sentencia que enlista las
nal «décimosegundo». propiedades de un objeto matemático.
Doceavo es una fracción, no un número Descripción de las características que
ordinal. identifican de manera exacta a un objeto
Vea la definición de «Número ordinal». matemático en cuanto a su naturaleza o
significado.
Declinación Diferencia entre el norte geográ-
Demostración Justificación de una afir-
fico y el norte magnético.
mación, premisa o sentencia de una
manera estructurada, lógica e irrefuta-
Decreciente Decimos que una función f es
ble a partir de otras sentencias verdade-
decreciente en un intervalo [a ,b ] si para
ras.
cualesquiera valores u , v que estén en
El proceso de demostración en
ese intervalo y que cumplan con: u ≤ v ,
matemáticas es muy importante, pues
se cumple: f (u ) ≥ f (v ).
cada nuevo teorema debe demostrarse
Por ejemplo, la función y = 2 − x 2 es
en base a los axiomas conocidos y a
decreciente en el intervalo (0, 2):
otros teoremas ya demostrados.

f (x ) Demostración indirecta Demostración a
través de probar que lo contrario guia
2 a una contradicción. También se conoce
como «reducción al absurdo».
De
cre

Demostración por contradicción Demostra-
ci

1
en

ción en la cual se supone falsa la premisa
te

inicial y se llega a una contradicción
o a una premisa falsa, concluyendo,
x entonces, que la suposición es falsa, ha-
0 0.5 1 ciendo la premisa inicial verdadera.


36 Denominador–Derivada

La demostración por contradicción tam- variable independiente.
bién se llama «demostración por reduc- Si la ecuación que relaciona a las varia-
ción al absurdo». bles {x , y } no es una función decimos
que tenemos una función implícita de y
Denominador En una fracción, el denomina- en x .
dor indica en cuántas partes se dividirá
un entero y el numerador indica cuántas
de esas partes vamos a tomar.
D Dependiente, variable Una variable es
numerador
Fracción = dependiente si su valor depende del
denominador
valor de otra u otras variables.
En una fracción el numerador se escribe Por ejemplo, en la función: y = x 2 , la
arriba y el denominador abajo. variable dependiente es y , pues su valor
depende del valor que tome la variable
Denominador común Sinónimo de Mínimo
x.
común denominador.
Vea la definición de «Mínimo común
denominador».

Densidad (Análisis) Decimos que un Dependientes, eventos Dos eventos son de-
conjunto de números es denso, si para pendientes cuando el resultado de uno
cada par de números dentro de ese es afectado por el resultado del otro.
conjunto existe otro número del mismo
conjunto entre ellos.
Por ejemplo, los números racionales
Derivación Proceso por el cual se calcula la
son densos, porque no importa qué tan
derivada de una función.
cerca se encuentren dos números, siem-
El proceso más común consiste en
pre podemos encontrar uno entre ellos
aplicar directamente una regla o fór-
(en particular, el promedio de los dos
mula de derivación aplicable a la fun-
cumple con eso). Los números reales
ción que se desea derivar.
también son densos.
Las reglas de derivación se deducen a
(Física) El resultado de dividir la masa
partir de la regla de los cuatro pasos.
de un objeto entre su volumen.
Vea la definición «Regla de los cuatro pa-
Por ejemplo, un litro (1 dm3 ) de mercu-
sos».
rio tiene una masa de 13.7 kilogramos,
entonces su densidad δ es:
13.7 kg
δ= = 13.7 kg/L Derivada En Cálculo, la derivada es la mejor
1L
aproximación lineal a una función en un
punto.
Dependencia funcional Se dice que la varia- Por ejemplo, para la gráfica de la función
ble y depende funcionalmente de la y = x 2 , en el punto P(1, 1) que está sobre
variable x si es posible escribir la esta curva, la mejor aproximación lineal
relación que existe entre ellas en forma es la recta: y = 2 x − 1. La siguiente grá-
de ecuación. En ese caso, y es la varia- fica muestra la función y su derivada en
ble dependiente (depende de x ) y x es la el punto P(1, 1):


Derivable, función–Desigual 37

y
3 12

−1
2x
2 9

y=

11
y = x2
1 10

8
x
1 2 D

1

2
7

6

3
4
La derivada de una función evaluada en
un punto siempre es la pendiente de la
recta tangente a la gráfica de la función 5
en ese punto.
Formalmente, la derivada se define
como el siguiente límite: Descomposición en factores (Aritmética)
Cuando un número natural se expresa
f (x + ∆x ) − f (x )
f (x ) = lim como el producto de números primos
∆x →0 ∆x
se dice que se ha descompuesto en sus
La derivada se interpreta como una factores primos.
razón de cambio instantánea con Por ejemplo, la descomposición en
respecto a la variable independiente, es factores primos del número 30 es:
decir, la derivada nos dice cómo crece la
30 = 2 × 3 × 5
función en un punto.
Observa que cada uno de los números
Derivable, función Una función y = f (x ) es que aparecen a la derecha de la igualdad
derivable en un punto x 0 de su dominio son primos.
si la derivada de la función y (x 0 ) = f (x 0 ) (Álgebra) Cuando una expresión
está definida en ese punto. algebraica se expresa en forma de la
Decimos que una función es derivable multiplicación de otras, se dice que se
en un intervalo (a ,b ) si es derivable en ha descompuesto en factores.
cada punto de ese intervalo. Por ejemplo:
Desarrollo (Álgebra) Un desarrollo se refiere x 2 − y 2 = (x + y )(x − y )
a la realización de las operaciones que
Descuento Reducción que se hace a una
están indicadas en una expresión
cantidad o a un precio o valor de algo.
algebraica.
Generalmente, el descuento se deter-
Por ejemplo, el desarrollo de (a + b )3 , es:
mina en base a un porcentaje fijo deter-
(a + b )3 = a 3 + 3 a 2b + 3 a b 2 + b 3 minado.

Desigual Condición que indica que dos
(Geometría) El desarrollo de un sólido
cantidades no son iguales. Para deno-
geométrico se refiere a un dibujo que
tar que dos cantidades son desiguales
nos permite construir el sólido.
usamos en símbolo . Por ejemplo,
La siguiente figura corresponde al
desarrollo de un dodecaedro: 10 + 2 100


38 Desigualdad–Desviación media

En matemáticas frecuentemente Desigualdad doble Expresión matemática
usamos las palabras «distinto» y que incluye dos desigualdades.
«diferente» como sinónimos de Por ejemplo, la siguiente es una
desigual. desigualdad doble:

Desigualdad Una desigualdad es una 0 ≤ x 10
relación matemática que compara el
D valor de dos números o expresiones
algebraicas (del tipo mayor o menor). Desplazamiento Magnitud vectorial que
Por ejemplo, 2 5 es una desigualdad. corresponde a una distancia indicando
Algunas veces es conveniente indicar una dirección.
que un número debe ser mayor o igual,
o bien que es menor o igual. Despejar En matemáticas el despeje se
Las desigualdades usan la siguiente refiere al proceso de aislar una variable
notación: de una expresión matemática utilizando
operaciones algebraicas de manera que
la expresión final sea equivalente a la
Desigualdad Significado
inicial.
mayor que Por ejemplo, al despejar y de la
menor que ecuación: 2 x + 3 y = 12, obtenemos:
≥ mayor o igual que
12 − 2 x 2
≤ menor o igual que y= =4− x
3 3

Decimos que a es mayor que b , si la
diferencia a −b es positiva. Si la diferen- Desviación (Estadística) La desviación δ de
cia es negativa, entonces decimos que a una medición x i se define como la
es menor que b . Evidentemente, si la diferencia de la media x de la muestra al
diferencia es cero, entonces, a = b . valor medido:

Desigualdad del triángulo En un triángulo δ = xi − x
que se encuentra en un plano, la suma
La desviación absoluta es igual al valor
de las longitudes de dos de sus lados
absoluto de la desviación.
siempre más grande que la longitud de
Algunos autores llaman «discrepancia» a
su tercer lado.
la desviación.
En la siguiente figura, la suma de las lon-
gitudes de los lados A y B es mayor que Desviación media La desviación media
la longitud del lado C : de una muestra, o desviación media
muestral, es el promedio de las desvia-
|A| + |B | |C | ciones absolutas de todos los datos de la
muestra.
Por ejemplo, considerando al conjunto
A
de datos: {2, 3, 6, 9}, la media de la
B

muestra es x = 20/4 = 5. Las desvia-
ciones de cada dato se muestran en la
C siguiente tabla:


Desviación estándar–Diagonal 39

Medición Desviación se puede resolver a través del método de
xi δ determinantes como sigue:

2 −3
m b
3 −2
n d d m −bn
6 1 x = =
9 4 a b ad −bc
c d
y la desviación media es el promedio de a m D
sus valores absolutos. En este caso, la c n an −cm
desviación media es 2.5, porque la suma y = =
a b ad −bc
de todas las desviaciones absolutas es 10 c d
y a este valor lo dividimos entre 4.
Este estadístico mide en promedio siempre que a d − b c 0. Si ocurre que
cuánto se aleja cada dato de la media a d − b c = 0, entonces el sistema de
aritmética. ecuaciones, bien no tiene solución, bien
Desviación estándar La desviación estándar tiene un número infinito de soluciones.
o desviación típica, denotada por s , para Los determinantes también se definen
una muestra de n datos {x 1 , x 2 , · · · , x n }, para matrices cuadradas de mayor
está definida por: orden (4 × 4, 5 × 5, etc.)

(x i − x )2 Determinístico Un evento es determinístico
s= cuando es predecible. Generalmente
n
utilizamos una fórmula matemática
donde x es la media de la muestra. para conocer su comportamiento.
Por ejemplo, para conocer si una viga so-
Determinante El determinante de 2 × 2 se
portará un peso, existen fórmulas para
define como:
poder elaborar el cálculo correspon-
a b diente.
= ad −bc
c d
Día Intervalo de tiempo que equivale a 24 ho-
Y el determinante de 3 × 3 se define por:
ras.
a b c
∆ = d e f Diada Un par ordenado de valores. En el
g h i plano, las coordenadas de cada punto
= aei +cdh +b f g son una diada.
Por ejemplo, (3, 4) es una diada.
−c e g − a f h − b d i

Un sistema de ecuaciones lineales Diagonal La diagonal de un polígono es el
se puede resolver utilizando determi- segmento de recta que tiene sus ex-
nantes. tremos en dos vértices no consecutivos
Por ejemplo, el sistema de ecuaciones: del polígono. Si el segmento de recta
tiene sus extremos en dos vértices con-
a x +b y = m secutivos del polígono, entonces se trata
c x +d y = n de uno de sus lados.


40 Diagonal principal–Diagrama de barras

Por ejemplo, el siguiente diagrama
explica la relación entre una función, su
dominio y su contradominio:

Diag
o
nal
Función

Dominio Contradominio

o f
D Lad x f (x )

Valores que le
El número de diagonales D que pode- damos a la función
Valores que nos
devuelve la función
mos trazar a un polígono regular de n
lados puede calcularse con la siguiente
fórmula: Generalmente, los diagramas no se
n (n − 3) dibujan a escala.
D=
2
Diagrama de árbol Gráfica en la que se
muestra la relación entre varios compo-
Diagonal principal En una matríz cuadrada, nentes.
la diagonal principal es la que empieza El siguiente es un diagrama de árbol:
en la esquina superior izquierda y ter-
mina en la esquina inferior derecha. Raíz
Por ejemplo, en la matriz:
Padre Madre
 
a b c Hijo Hija
 d e f 
 
g h i
Diagrama de barras Forma de graficar datos
La diagonal principal es la que incluye que facilita la comparación entre distin-
las entradas: a , e , i . tos grupos de datos.
La siguiente gráfica es un diagrama de
Diagonal secundaria En una matríz barras vertical:
cuadrada, la diagonal secundaria es la
que empieza en la esquina superior
derecha y termina en la esquina inferior
izquierda. 90
Calificación

Por ejemplo, en la matriz:
  80
a b c
 d e f 
 
70
g h i

La diagonal secundaria es la que incluye 2007 2008 2009 2010 2011
las entradas: c , e , g . Matemáticas Lenguaje Historia

Diagrama En matemáticas un diagrama es
una representación gráfica de la relación El diagrama de barras muestra
entre varios objetos matemáticos. cuantitativamente a través de


Diagrama de dispersión–Diámetro 41

barras horizontales o verticales de dibuja en forma de pastel.
mismo grosor con alturas propor- El siguiente gráfico corresponde a un
cionales a las cantidades que se diagrama de sectores:
están representando.

Diagrama de dispersión Diagrama que
muestra datos de dos variables en el
plano para identificar tendencias en los
mismos.
D
La siguiente gráfica es un diagrama de
dispersión:

0.5 Diagrama de Venn Diagrama que se utiliza
para denotar conjuntos y las operacio-
0 nes entre ellos.
El siguiente diagrama de Venn muestra
−0.5 la intersección de los conjuntos y :

−4 −2 0 2 4

Diagrama de líneas Diagrama que se uti-
liza para describir gráficamente el ∩
comportamiento de una cantidad
para distintos valores de una variable
independiente, como por ejemplo, el
tiempo.
Este tipo de diagramas es el que se utiliza
Diamante Cuadrilátero que tiene dos ángu-
muy frecuentemente en los pronósticos:
los obtusos y dos ángulos agudos.
1
El siguiente polígono es un diamante:

0.8

0.6

0.4
Diamante
0.2

Diámetro El diámetro de una circunferencia
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
es la cuerda más larga que se le puede
dibujar. En otras palabras, el diámetro
Diagrama de sectores El diagrama de es el segmento de recta que tiene sus
sectores sirve para comparar datos en extremos sobre la circunferencia y pasa
base a un total. Generalmente se le por su centro C .


42 Diferencia–Dígito

la misma y no al revés.

ro
Por ejemplo, si definimos a 1 = 5 y d = 3,

et
ám
los términos de la sucesión aritmética

Di
son: a 1 = 5, a 2 = 8, a 3 = 11, a 4 = 14, etc.
C
Diferencia de vectores Sean u = (u x , u y ) y
v = (v x , v y ) dos vectores en el plano. Su
D diferencia es:
La longitud del diámetro de una
w = u − v = (u x − v x , u y − v y )
circunferencia es igual al doble de su
radio.
Geométricamente, la diferencia de los
Diferencia La diferencia entre los números a vectores es el vector que tiene su punto
y b es el número b − a . inicial en el punto terminal de v y su
En otras palabras, la diferencia de dos punto terminal en el punto terminal de
números es el resultado de restarlos. u:

minuendo y
9 876 v
− 5 324 sustraendo
4 552 diferencia
w =u −v

Diferencia de conjuntos La diferencia de los u
conjuntos y , denotada por − , es
x
el conjunto de todos los elementos que
están en , pero que no están en .
El siguiente diagrama de Venn muestra Del diagrama anterior es fácil observar
esta definición: que v + w = u . Es decir, w = u − v .

Diferenciable Una función es diferenciable
en un punto o en un intervalo si es posi-
ble calcular su derivada en ese punto o
en cada uno de los puntos del intervalo
∩
− considerado.

Diferencial Vea las definiciones «dx » y «dy ».

Dígito Uno de los diez símbolos que uti-
lizamos para escribir números en el
Diferencia de una progresión aritmética sistema de numeración en base 10:
Dados dos términos consecutivos
cualesquiera de una progresión arit- 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9
mética, a i , a i +1 , la diferencia de la pro-
gresión es: d = a i +1 − a i . El término «digital» se refiere al sistema
En realidad, se define la diferencia de la de numeración en base 2. No se refiere a
progresión para calcular los términos de los dígitos.


Dilatación–Directa, variación 43

Dilatación Transformación del plano que Dinámica Rama de la física que se encarga
consiste en un cambio de la posición de de estudiar el movimiento de los cuer-
todos los puntos del plano, respecto de pos bajo la acción de fuerzas.
uno o varios ejes, tomando un valor k
como escala. La distancia de cada punto Dirección La dirección de un vector se define
P del plano se multiplica por el valor k como el ángulo que éste forma con el eje
y se ubica con la recta paralela al eje horizontal.
considerado y que pase por el punto P.
Cuando k 1, los puntos estarán más
El siguiente diagrama muestra la direc-
ción θ del vector v :
D
alejados del eje, cuando k 1 estarán
más cerca. y
v
Dimensión (Álgebra) La dimensión de una
matríz de m renglones y n columnas es
m × n.
(Geometría) La dimensión de un es-
pacio se define como el número de
coordenadas que hay que indicar para θ x
determinar de manera única cada uno
de sus puntos.
Dirección, vector Vector de longitud unitaria
El plano tiene dimensión dos, porque se
que sirve para definir una dirección es-
requieren de dos coordenadas para de-
pecífica.
terminar de manera única uno de sus
puntos.
Directa, proporción Proporción en la cual al
En matemáticas se pueden definir es-
aumentar una cantidad la otra también
pacios de 3, 4, 5, etc., dimensiones
aumenta.
sin problema conceptual, aunque no es
Por ejemplo, cuando aumenta el
posible representarlos geométricamente
número de refrescos que vamos a com-
a partir de 4 dimensiones.
prar, aumenta también el importe que
El estudio de los espacios de más de tres
debemos pagar, por eso decimos que el
dimensiones se elabora con el uso de
importe es directamente proporcional al
vectores en el álgebra lineal.
número de refrescos.
La siguiente figura muestra un espacio
de tres dimensiones:
Directa, variación Las dos variables x , y
z presentan variación directa si están en
proporción directa. En este caso, se
denomina la constante de variación di-
recta k al número que satisface y = k x
para cualesquiera dos valores x , y de la
y variación.
Por ejemplo, considerando el ejemplo
x dado en la definición de «Proporción di-
recta», si el precio de cada refresco es
Dina Unidad de fuerza equivalente a 10 −5 de $7.00 pesos, entonces k = 7, porque
newtons. esta es la constante que satisface y = k x ,

44 Directriz–Disjunto

para cualesquiera x , y , donde y es el im- La función no es continua porque no se
porte a pagar y x es el número de refres- le puede dibujar sin despegar la punta
cos que se compraron. del lápiz del papel sobre el cual se le
dibuja.
Directriz En una cónica, la directriz es una
línea recta fija que junto con uno o dos Discrepancia Sinónimo de «Desviación».
puntos fijos llamados focos sirven para Vea a la definición de «Desviación».
medir proporciones de distancias para
D determinar los puntos de la cónica de Discreto Se dice que una variable toma
acuerdo con su definición. valores discretos cuando solamente
Las cónicas son: puede tomar valores de manera entera
o en forma de saltos.
Circunferencia Lo contrario de discreto es continuo.
Parábola
Discriminante En la fórmula general para
Elipse resolver ecuaciones de segundo grado,
Hipérbola a x 2 + b x + c = 0:

Vea la definición de «Cónica». −b ± b2 − 4ac
x=
2a
Dirigido, segmento Segmento con una direc-
ción definida, donde uno de sus puntos el discriminante D se define como el
extremos se define como el punto inicial argumento del radical:
y el otro extremo como su punto final.
−→ D = b2 − 4ac
Por ejemplo, el segmento dirigido A B , se
muestra en la siguiente figura:
El signo del discriminante nos indica el
tipo de raíces que tendrá la ecuación
x
O A B cuadrática:

Discontinuidad Se dice que una función es Discriminante Raíces
discontinua en un punto de su dominio positivo reales diferentes
cuando no es continua en él. cero reales repetidas
Por ejemplo, la siguiente figura muestra negativo complejas
una función que presenta una discon-
tínuidad en el intervalo [a ,b ]:
Discusión En matemáticas una discusión
y se refiere al proceso de análisis con
fin de investigar un concepto u objeto
matemático a través del razonamiento
y la argumentación aplicando las
y = f (x ) propiedades conocidas del objeto en es-
tudio.

Disjunto Dos conjuntos son disjuntos si su
x intersección es igual al conjunto vacío.
a b En otras palabras, si dos conjuntos no


Dispersión–Distribución de frecuencias 45

tienen elementos comunes, entonces Para calcular la distancia entre dos rec-
son conjuntos disjuntos. tas paralelas puedes encontrar un punto
La ﬁgura muestra dos conjuntos disjun- sobre cualquiera de las dos y calcular la
tos: distancia de este punto a la otra recta.

Distinto Dos cantidades son distintas
cuando no son iguales. En otras pala-
bras, distinto es sinónimo de desigual.
Por ejemplo, 3 y 4 son cantidades dis- D
tintas. Matemáticamente esto lo expre-
samos: 3 4.
∩ =∅
Distribución La forma como los valores
Dispersión Número que indica el grado de de una variable aleatoria aparecen en
separación (carencia de agrupación) de los datos medidos en una muestra o
los datos medidos en torno de la media población.
de la muestra o población. La distribución indica qué valores tienen
mayor probabilidad de aparecer y cuáles
Distancia Número que sirve de medida de aparecen con menor frecuencia.
separación entre dos objetos geométri-
Distribución binomial Distribución que
cos.
presentan los eventos que tienen dos
La distancia D entre dos puntos P(x p , y p )
posibles resultados mutuamente ex-
y Q(x q , yq ) del plano cartesiano se puede
cluyentes.
calcular con la fórmula:
Por ejemplo, el lanzamiento de una
D(P,Q) = (x q − x p )2 + (yq − y p )2 moneda diez veces presenta distribu-
ción de probabilidad binomial, porque
La distancia (euclideana) satisface las o cae águila o cae sol.
siguientes propiedades: Para el cálculo de la distribución bino-
mial se utiliza el binomio de Newton o el
D(P,Q) ≥ 0, es decir, la distancia
triángulo de Pascal.
entre dos puntos es un número no
negativo. Distribución de frecuencias Tabla o
D(P, P) = 0, es decir, la distancia de diagrama que muestra gráﬁcamente las
un punto a sí mismo es cero. frecuencias de los valores de una varia-
ble aleatoria.
D(P,Q) ≤ D(P, R) + D(R,Q), es decir,
en un triángulo, la suma de las lon-
gitudes de dos lados siempre es al 4
menos tan grande como el tercero.
3.5
Distancia de un punto a una recta La distan-
cia D del punto P(x p , y p ) a la recta:
A x + B y + C = 0 se puede calcular con 3
la fórmula:
|A x p + B y p + C | 2.5
D=
0 1 2 3 4
A2 + B 2

46 Distribución normal–Dividir

Distribución normal Distribución de El eje horizontal es una asíntota de
probabilidad continua que presentan la curva.
muchos fenómenos donde cada dato El área total bajo la curva es 1.
pueden interpretarse como el promedio
de varias mediciones. Distributiva (propiedad) Propiedad de los
Por ejemplo, cuando medimos una números reales que involucra a la suma
distancia, cometemos un error de medi- como a la multiplicación de la siguiente

D ción que tiene distribución normal. manera:
El error de la medición es simétrico a · (b + c ) = a b + a c
respecto del valor verdadero de la
Geométricamente, la propiedad dis-
distancia. En este ejemplo, cada
tributiva se interpreta como el cálculo
medición puede considerarse como el
del área de un rectángulo:
promedio de varias mediciones sepa-
radas. b +c
La distribución normal se utiliza
frecuentemente como una aproxi-
mación a la distribución binomial.
a ab ac
La distribución normal se define con la
media poblacional µ y su varianza σ2 .
Si la media de la distribución es cero y
su varianza 1, la distribución se conoce b c
como distribución normal estándar.
Esta distribución es muy importante en Disyunción Aseveración formada por dos
probabilidad y estadística. premisas unidas por la palabra «o».
La función de densidad de la distribu- Por ejemplo, «dado que es mayor a la
ción normal es: unidad, este número es primo o es com-
1 −(x − µ)2 puesto» es una disyunción.
f (x ) = exp El símbolo matemático utilizado para la
σ 2π 2 σ2
disyunción es ∨.
con σ 0, y su gráfica es: Vea la definición de «Conjunción».

Dividendo En una división, el dividendo es
el número que se está dividiendo. Por
x ejemplo, al dividir 10 ÷ 5 = 2, el divi-
µ
dendo es el número 10, el divisor es el
número 5 y el cociente es el número 2.
La gráfica tiene las siguientes
El dividendo puede ser cualquier
propiedades:
número diferente de cero.
Tiene un máximo en x = µ (la
Dividir Operación que consiste en calcular el
media).
número de veces que una cantidad con-
La curva es simétrica respecto de la tiene (cabe en) otra.
media. Por ejemplo, cuando dividimos 36 entre
La media, la mediana y la moda 4, obtenemos 9. Esto nos indica que el
coinciden en el máximo de la fun- número 4 cabe 9 veces en el 36.
ción. No es posible dividir entre cero.


Divisibilidad–División de monomios 47

Divisibilidad Decimos que el número entero el divisor que debe ser distinto de cero.
b divide al número entero a , y lo En primaria y secundaria acostum-
escribimos como: b |a , si existe un bramos acomodar las partes de la
número entero k tal que: a = b · k . división como se muestra en el siguiente
En otras palabras, si a es un múltiplo de diagrama:
b , entonces decimos que el número b es
divisible por a . Cociente

Divisibilidad, criterios de Regla que nos
Divisor Dividendo
..
D
ayuda a determinar si un número se .
divide entre otro sin hacer la división Residuo
directamente.
Un número se divide, .
Los puntos . . indican que posiblemente
entre 2 si la última cifra del número existan algunos números en el procedi-
es par. (0, 2, 4, 6, 8) miento. El último número que se es-
cribe, siendo menor que el divisor, es el
entre 3 si la suma de sus cifras es un
residuo de la división.
múltiplo de 3.
entre 4 si el número formado por División de fracciones El resultado de dividir
sus últimas dos cifras es un múlti- a /b entre c /d es:
plo de 4.
entre 5 si termina en 5 ó en 0. a c a ·d
÷ =
entre 6 si es divisible por 2 y por 3. b d b ·c
entre 8 si el número formado por supuesto que: b · c 0.
sus tres últimas cifras es un múlti- Por ejemplo:
plo de 8.
entre 9 si la suma de sus cifras es un 3 7 3 × 8 24
÷ = =
múltiplo de 9. 5 8 5 × 7 35
entre 10 si termina en cero.
División Operación matemática que consiste
en repartir una cantidad ﬁja en otra División de monomios La división de
dada. monomios se deﬁne siempre que el
La división se denota con el símbolo ÷ o divisor sea distinto de cero. La división
con /. entre monomios se realiza aplicando las
Por ejemplo, para indicar la división de leyes de los exponentes. En particular,
los números a y b , escribimos: a ÷ b , o la ley: x m ÷ x n = x m −n , que en palabras
bien, a /b . dice que al dividir dos bases iguales sus
La división de dos números también se exponentes se restan.
acostumbra escribir como una fracción: Por ejemplo,
a
r= x7
b = x 7−4 = x 3
x4
donde r es el resultado de la división y
se llama cociente, a es el dividendo, b es


48 División de polinomios–Doceavo

División de polinomios La división de Divisor Dados los números enteros a ,b, c
polinomios se realiza utilizando el que cumplen a = b · c , decimos que los
mismo procedimiento que la división números b y c son divisores del número
entre números. a.
En la siguiente división: Por ejemplo, el 2 y el 5 son divisores del
número 10, porque 10 = 2 × 5.
C m −n +k (x )
D m (x ) Pn (n)
D rk (x )
Divisor propio Un divisor d de un número k
es un divisor propio si d k .
C m −n (x ) es el cociente, que resulta ser un Por ejemplo, los divisores de 10 son: 1, 2,
polinomio de grado m − n + k , D m (x ) 5 y 10. Sus divisores propios son: 1, 2 y 5,
es el divisor, un polinomio de grado m , porque cada uno de ellos es menor a 10.
Pn (x ) es el dividendo, un polinomio de
grado n y rk (x ) es el residuo de la di- Doble El doble de un número es el resultado
visión, un polinomio de grado k ≤ 2. de multiplicarlo por 2. Por ejemplo, el
doble de 5 es 10, porque 5 × 2 = 10.
División de un ángulo Dado un ángulo,
dividirlo en n partes significa dibujar
Doble, raíz En un polinomio, cuando éste se
o construir esa cantidad de ángulos
puede factorizar con un factor elevado
exactamente iguales entre sus lados.
al cuadrado, el polinomio presenta una
Por ejemplo, al dividir el ángulo α = 60◦
raíz doble.
en 5 partes iguales, obtenemos:
En otras palabras, una raíz r de
un polinomio es doble si después
de dividirlo entre (x − r ) dos veces
consecutivas, el residuo es cero.

Doceavo Un doceavo es equivalente a una
de las partes de un entero que ha
División de un segmento Dado un segmento sido dividido en doce partes del mismo
con extremos en los puntos A y B , di- tamaño.
vidir el segmento en n partes iguales
significa encontrar n − 1 puntos igual-
mente espaciados entre sus extremos.
Por ejemplo, al dividir el segmento A B
en 5 partes iguales obtenemos:
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12

«doceavo» refiriéndose al número ordi-
nal «décimosegundo».
A B Por ejemplo, en un maratón, quien llegó


Docena–dy 49

en el lugar número doce, tiene el déci- Un elemento del dominio generalmente
mosegundo lugar, no el doceavo. Do- se denota con la literal x . Así, x ∈ D f se
ceavo es una fracción, no un número lee: «x está en el dominio de la función
ordinal. f ».
Por ejemplo, el dominio de la función
Docena Un grupo de doce cosas. y = x 2 es el conjunto de los números
Por ejemplo una docena de rosas es un reales, porque podemos calcular el
conjunto de doce rosas. cuadrado de cualquier número real.
Por otra parte, el dominio de la fun-
D
Dodecaedro Sólido regular que tiene 12
caras. Cada una de sus caras es un pen- ción y = x es el conjunto de todos
tágono regular: los números reales no negativos, pues
solo podemos calcular la raíz cuadrada
de números no negativos.

Duplicar Calcular el doble de un número o
cantidad.
Por ejemplo, al duplicar 10 obtenemos
20.

Duplicación del cubo Uno de los tres proble-
mas de la antigüedad. El problema con-
Dodecágono Polígono que tiene 12 lados. sistía en construir un cubo con el doble
de volumen de un cubo dado, utilizando
solamente regla y compás.

dx En cálculo, dx se llama la «diferencial
de x », y puede representar cualquier
número real.
Generalmente, cuando el incremento en
x (∆x ) tiende a cero, lo llamamos dx .

dy En cálculo, si y = f (x ), dy se llama la
Dodecágono «diferencial de y », y se deﬁne como el
producto de la derivada de la función
Dominio El dominio D de una función f (x ) y la diferencial de x :
es el conjunto formado por todos los
dy
valores que la función puede aceptar dy = · dx = f (x ) · dx
para devolver un único valor por cada dx
uno de ellos.


50

ita
atu
D

gr
ión
uc
rib
ist
ed
d
ro
Lib


E

e Número irracional que sirve de base para Ecuación cuadrática Una ecuación es
los logaritmos naturales. Su valor es cuadrática si tiene la forma:
aproximadamente e = 2.718281828459.
El número e es una de las constantes a x2 +b x +c = 0
más importantes en matemáticas.
La letra e de esta constante viene del donde a 0.
apellido del matemático que contribuyó
a la comprensión de esta constante: Ecuación de la circunferencia La circunferen-
«Euler». cia es el conjunto de puntos del plano
que están a la misma distancia de un
Ecuación Es una igualdad entre dos expre- punto ﬁjo C que es el centro de la
siones algebraicas. circunferencia.
Por ejemplo, La distancia del centro de la circunferen-
cia a cualquiera de sus puntos se llama
xn +y n = zn radio (r ).
La ecuación de la circunferencia que
es una ecuación. tiene su centro en el punto C (h, k ) y
radio r es:
Ecuación algebraica Es una ecuación que se
expresa en base a operaciones algebrai-
(x − h)2 + (y − k )2 = r 2
cas (suma, resta, división, multipli-
cación) de polinomios.
Por ejemplo, la ecuación: y

1 (x − 1)(x + 3) P(x , y )
− =1
x +2 x +5 r

es algebraica.
k C (h, k )
Ecuación binomial Una ecuación de la
forma:
xn −a = 0
x
y su solución es: x = n
a. O h

52 Ecuación de la elipse–Ecuación de la hipérbola

Ecuación de la elipse La elipse es el conjunto La ecuación de la hipérbola horizontal
de puntos del plano que satisfacen que con centro en el punto C (h, k ), longitud
la suma de sus distancias a dos puntos del eje transverso 2 a y longitud del eje
ﬁjos del plano llamados focos es una conjugado 2b , es:
constante 2 a mayor que la distancia
entre los focos. (x − h)2 (y − k )2
− =1
La ecuación de la elipse horizontal con a2 b2
centro en el punto C (h, k ), longitud del
La ecuación de la hipérbola vertical con
eje mayor 2 a y longitud del eje menor
E 2b , es:
eje transverso 2 a y longitud del eje
(x − h)2 (y − k )2 conjugado 2b , es:
+ =1
a2 b2
(x − h)2 (y − k )2
− + =1
y a2 b2

y
a C (h, k )
k
b

x
h Eje transverso
x
F (0, −c ) F (0, c )

Eje conjugado
La ecuación de la elipse vertical con

y
x

=
b
a

−
=

b
eje mayor 2 a y longitud del eje menor

a
y

x
2b , es:
(x − h)2 (y − k )2
+ =1
b2 a2
La distancia del foco al centro de la La distancia del centro de la hipérbola a
elipse es c y la relación que hay entre a ,b cualquiera de los focos es c , y la relación
y c es: entre a ,b y c es:
a2 = b2 + c2
c2 = a2 +b2

Ecuación de la hipérbola La hipérbola es Las diagonales que pasan por el centro
el conjunto de puntos del plano que de la hipérbola se llaman «asíntotas de
satisfacen que la diferencia de sus dis- la hipérbola» y sus ecuaciones son:
tancias a dos puntos ﬁjos del plano
b b
llamados focos es una constante 2 a y= x y =− x
menor que la distancia entre los focos a a
(2 c ).


Ecuación de la parábola–Ecuación de la recta 53

Ecuación de la parábola La parábola es el y
conjunto de puntos del plano que
satisfacen que su distancia a un punto
ﬁjo del plano llamado foco es igual a la
de una recta ﬁja sobre el plano llamada x
directriz, que no pasa por el foco. y 2 = +4 |ρ|x
La ecuación de la parábola vertical con
vértice en el punto V (h, k ) y distancia
del vértice a su foco ρ, es:

y
E
(x − h)2 = 4 ρ (y − k )

La parábola horizontal con vértice en el
punto V (h, k ) y distancia del vértice a su
x
foco ρ, es: y 2 = −4 |ρ|x

(y − k )2 = 4 ρ (x − h)

La parábola vertical puede abrir hacia
arriba o hacia abajo, y la horizontal Ecuación de la recta La ecuación general de
hacia la derecha o hacia la izquierda, de la recta es:
acuerdo al signo del parámetro ρ.
A x + B y +C = 0

y La ecuación de la recta en su forma
pendiente-ordenada al origen es:

y = m x +b

La ecuación de la recta en su forma
punto-pendiente es:

x y − y 1 = m (x − x 1 )
x 2 = +4 |ρ|y
simétrica es:
y x y
x 2 = −4 |ρ|y + =1
x a b
normal es:
A x + B y +C
=0
A2 + B 2


54 Ecuación equivalente–Eje

Ecuación equivalente Dos ecuaciones son Ecuación radical Ecuación en la que apare-
equivalentes si tienen exactamente las cen radicales.
mismas soluciones. Por ejemplo,
Por ejemplo, las ecuaciones:
x +1= x −4+1
2x + 1 = 9 y 2x = 8
La solución de esta ecuación es: x = 8.
tienen solución única: x = 4, y por tanto
son equivalentes. Ecuación redundante En un sistema de
E Ecuación exponencial Una ecuación ecuaciones, una ecuación redundante es
una ecuación que si no se considera en
exponencial tiene la forma:
el sistema, se obtienen las mismas solu-
r a =c
kx
ciones.
Por ejemplo, en el sistema de ecuacio-
nes:
Ecuación fraccionaria Es una ecuación que
x +y = 10
tiene contiene fracciones algebraicas.
Por ejemplo, la ecuación: 2x + 3 y = 20
3x + 4y = 30
3 2
+ =7
2x + 1 3x + 1 la ecuación 3 x + 4 y = 30 es redun-
es fraccionaria. dante, pues si resolvemos el sistema de
ecuaciones lineales sin ella, obtenemos
Ecuación lineal Es una ecuación en la cual las mismas soluciones.
las incógnitas tienen exponente uno.
Por ejemplo, la ecuación: Eje Línea recta que sirve de referencia para
construir un sistema coordenado.
7 x + 1 = 50 Generalmente los ejes se dibujan
perpendiculares. El eje horizontal usual-
es lineal, pues la única incógnita que
mente se etiqueta con la literal x y el ver-
aparece (x ) tiene exponente igual a 1.
tical con la literal y .
Ecuación literal Ecuación en la cual los
coeficientes constantes son escritos y
como literales porque se desconoce su 3
valor.
Por ejemplo, en la ecuación a x 2 + b x + 2
Eje y

c = 0, los coeficientes a ,b, c son literales,
porque no se conoce su valor. 1
Eje x
Ecuación logarítmica Ecuación en la que x
aparecen logaritmos de la incógnita. 1 2 3 4
Por ejemplo, la ecuación:

ln(x + 1) − 5 = 0 En algunas figuras, se define uno o
varios ejes para utilizarlos como referen-
es logarítmica. cia. Por ejemplo, en las cónicas.


Eje conjugado–Eliminar 55

Eje conjugado En una hipérbola, el eje Para la multiplicación, el elemento neu-
conjugado es un segmento de recta tro es el uno, porque a · 1 = a , para todo
perpendicular al eje transverso que pasa a∈ .
por el punto medio de éste.
Elemento opuesto El opuesto del número a
Vea la definición de «Ecuación de la
es el número −a .
hipérbola».
El adjetivo «opuesto» viene del hecho de
Eje de simetría La recta que divide a una que en la recta numérica, los números
figura geométrica en dos partes iguales a y −a están a la misma distancia del
origen, solo que en lados opuestos.
que se pueden superponer una sobre la
otra doblando la figura sobre esta recta. Elemento simétrico El elemento simétrico
E
Por ejemplo, el cuadrado tiene cuatro del número a es el número −a .
ejes de simetría. La siguiente figura En otras palabras, elemento simétrico es
muestra uno de ellos: sinónimo de elemento opuesto.

Elevación La distancia desde el suelo hasta la
posición de un objeto.
ría
et

Elevación, ángulo de Ángulo que se forma
m
si
de

considerando la horizontal, el punto
e
Ej

desde donde se observa (vértice del án-
gulo de elevación) y la posición del
objeto observado.
En la siguiente figura, el ángulo α
Elemento Se refiere a un objeto particular de mostrado, corresponde al de elevación
un conjunto. del objeto v:
Cuando x es un elemento del conjunto
, esto se indica con la notación: x ∈ ,
y se lee: «x es un elemento del conjunto
v
».
Si x no es un elemento del conjunto ,
entonces escribimos: x .
α
Elemento identidad El elemento identidad
en el álgebra es el número 1. En este caso, el punto desde donde se
observa al avión es el vértice del ángulo
Elemento inverso Para la suma, el elemento mostrado.
inverso de a es −a , porque a + (−a ) = 0,
para todo a ∈ . Eliminar En el proceso de simplificación de
Para la multiplicación, el elemento in- una expresión algebraica, decimos que
verso de a 0 es 1/a , porque a · (1/a ) = hemos eliminado un término o factor
1, para todo a 0, a ∈ . cuando hemos aplicado alguna de las
siguientes propiedades de los números:
Elemento neutro Para la suma, el elemento a + (−a ) = 0
neutro es el cero, porque a + 0 = a , para 1
todo a ∈ . a· = 1
a

56 Elipse–Equiángulo

Por ejemplo, cuando simpliﬁcamos la b es la distancia del centro de la
fracción: elipse a un extremo del eje menor.
6 2×3 2 c es la distancia de cualquiera de
= =
¡
21 3 × 7 7
¡ los focos al centro de la elipse.
decimos que hemos eliminado el 3, Entre a ,b y c se cumple la relación:
porque hemos aplicado la segunda
propiedad enlistada antes. a2 = b2 + c2

Elipse Figura geométrica cerrada que tiene
E la propiedad que la suma de las distan-
cias desde cualquiera de sus puntos a Eneágono Polígono de 9 lados.
dos puntos ﬁjos llamados focos, es una
constante.
El siguiente diagrama muestra una
elipse con centro en el origen y
mostrando algunos de sus elementos:

y
B
P(x , y )
LR

Eneágono
x regular
V F O F V

Entero El conjunto de los números enteros,
B que se denota con la literal es el
siguiente:
Los elementos de la elipse son:
= {· · · , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, · · · }
Eje mayor: es el segmento con ex-
tremos en los puntos V y V . Observa que todos los números natura-
Eje menor: es el segmento con ex- les también son números enteros. Sin
tremos en los puntos B y B . embargo, no todos los números enteros
Vértices: son los puntos V y V son naturales.

Focos: son los puntos F y F Equiángulo Un polígono es equiángulo si
Lado recto: Es el segmento todos sus ángulos tienen la misma
perpendicular al eje mayor que medida.
pasa por un foco y sus extremos El siguiente polígono es equiángulo:
están sobre la elipse.

Algunas distancias importantes en la
elipse son:

a es la distancia del centro de la
elipse a cualquiera de sus vértices.


Equidistante–Eratóstenes, criba de 57

pues cada uno de sus ángulos mide 120◦ . Entonces, decimos que dos cantidades
Observa que un polígono equiángulo no son equivalentes si son iguales.
es necesariamente regular.
Equivalencia, relación de La relación
Equidistante Se dice que dos o más obje- de equivalencia es una estructura
tos son equidistantes de otro objeto P si matemática que presenta las siguienes
todos están a la misma distancia de éste propiedades:
(P).
Por ejemplo, en una circunferencia, Reflexiva: a ∼ a
todos sus puntos son equidistantes del
centro, porque están a la misma distan-
Simétrica: Si a ∼ b , entonces b ∼ E
a.
cia de él.
Transitiva: Si a ∼ b y b ∼ c ,
R entonces a ∼ c .
N
Decimos que los objetos a y b es-
tán relacionados si cumplen las tres
P
M propiedades enlistadas y lo denotamos
por a ∼ b .

Eratóstenes, criba de Procedimiento por el
S
cual se puede encontrar la lista de
T
todos los números primos menores a un
número natural dado n.
En la figura anterior, los puntos
El procedimiento consiste en ir elimi-
M , N , R,S y T son equidistantes del
nando los múltiplos de 2, 3, etc., excepto
punto P.
el primer múltiplo (2, 3, etc.), hasta
Equilátero Un polígono es equilátero si todos obtener una lista de números que no se
sus lados tienen la misma medida. han eliminado y por tanto son primos, al
El siguiente polígono es equilátero: no tener más de dos divisores.
La siguiente figura muestra la criba de
Eratóstenes para encontrar los números
primos menores a 25:

1
¡ 2 3 4
¡ 5

6
¡ 7 8
¡ 9
¡ 10

puesto todos sus lados tienen la misma 11 12

13 14

15

medida.
Observa que un polígono equilátero no 16

17 18

19 20

es necesariamente regular.
21

22

23 24

25

Equivalencia Propiedad que presentan dos
cantidades de tener el mismo valor. Criba de Eratóstenes


58 Error–Esfera

Error (1.) Diferencia entre el valor aproxi- Mormón, etc.
mado y el valor real de una cantidad. Esta escala es de uso frecuente en en-
(2.) En álgebra, un estudiante comete cuestas.
un error cuando aplica incorrecta-
mente una propiedad de los números Escala ordinal Decimos que una variable se
u omite un cálculo para la solución del mide en escala ordinal cuando puede
problema. tomar diferentes valores que están
ordenados de acuerdo a una escala.
Error absoluto El error absoluto de una Por ejemplo, leve, moderado, grave.
E medición se define como el valor abso-
luto de la diferencia entre el valor me-
Esta escala es de uso frecuente en en-
cuestas.
dido y el valor real:
Escaleno, triángulo Triángulo que tiene 3
εa b s = |valor real − valor medido|
lados con medida distinta.

Error relativo El error relativo de una medi-
ción se define como:
error T. escaleno
ε=
valor verdadero

Escolio Se refiere a la observación de una car-
Escala (1.) Conjunto de marcas sobre un acterística particular de una proposición
instrumento para hacer mediciones. dada.
La siguiente figura muestra parte de una
regla con escala en centímetros: Escuadra Conjunto de instrumentos para
realizar trazos en geometría plana. El
set de escuadras está formado por dos
escuadras triangulares, una con ángulos
1 cm de 90◦ −60◦ −30◦ y otra con 90◦ −45◦ −45◦
.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

(2.) Número o razón que indica el
número de veces que se ha magnificado
la representación gráfica de una figura
para su manejo más cómodo.
La palabra escuadra en el lenguaje colo-
quial se refiere a un ángulo de 90◦ , es
Escala nominal Decimos que una variable se decir, a un ángulo recto.
mide en escala nominal cuando cada
uno de los valores que puede tomar Esfera Sólido geométrico que tiene la
tiene un nombre. propiedad que todos sus puntos
Por ejemplo: Católico, Presbiteriano, equidistan de su centro.


Estadística–Euclides, algoritmo de 59

Estimación Aproximación a un valor por
medio de un método matemático.

Espacio Conjunto de objetos matemáticos
que se delimitan para su estudio.
Un espacio matemático no es necesaria-
Esfera mente un espacio físico.

Espacio muestral El espacio muestral de un
La superficie S y el volumen V encerrado evento aleatorio consiste en el conjunto
por una esfera de radio r son: de todos los posibles resultados de ese E
evento, de tal forma que a cada resultado
S = 4π r 2 le corresponda un elemento o punto
4π 3 del espacio muestral y a cada elemento
V = r
3 del espacio muestral le corresponda un
resultado.
respectivamente.
Por ejemplo, el espacio muestral del
experimento que consiste en lanzar una
Estadística Rama de las matemáticas que
moneda al aire, es {águila, sol}, porque
se encarga de la recolección, repre-
estos son los posibles resultados de este
sentación, análisis, interpretación y apli-
evento.
caciones de datos numéricos a través de
un conjunto de técnicas con rigor cientí- Estimación Aproximación de un valor a par-
fico. tir de un cálculo.
La estadística se divide en inferencial y
descriptiva. Estocástico Una variable es estocástica si es
aleatoria.
Estadística descriptiva Rama de la estadís- Vea la definición de «Aleatorio».
tica que se dedica a encontrar formas
Euclides de Alejandría (325 AC – 265 AC)
de representar información numérica
Matemático de la antigua Grecia. Fundó
de una forma comprensible y útil en
una escuela en Alejandría. Escribió
forma de tablas, gráficas y diagramas
varias obras, de las cuales la que más
para extraer de ellas información sobre
se le reconoce es «Los elementos», en la
los datos.
cual recopila todo lo que se conocía de
Estadística inferencial Rama de la estadís- geometría hasta su época.
tica que se dedica a estimar valores Su tratado «Los elementos», ha sido
descriptivos de la población a partir una de las obras que ha tenido la
de la información que se tiene de una mayor influencia en el desarrollo de las
muestra de la misma usando algunos matemáticas en la historia de la hu-
parámetros conocidos como estadísti- manidad.
cos (media, desviación estándar, etc.) Euclides, algoritmo de Algoritmo para
calcular el máximo común divisor de
Estática Rama de la mecánica que se encarga
dos números MCD(m , n) donde m n,
del estudio de las fuerzas que actúan
que se puede resumir como sigue:
sobre los cuerpos que se encuentran en
equilibrio (mecánico). 1. Dividir m entre n. Sea r el residuo.

60 Euler, Leonhard–Eventos independientes

2. Si r = 0, entonces MCD(m , n) = n. como la base de los logaritmos natura-
(Fin) les y cuyo valor es aproximadamente:
3. Si r 0, entonces MCD(m , n) = e ≈ 2.718281828459
MCD(n, r ).
Euler, recta de Es la recta que pasa por
4. Remplazar (m , n) por (n, r ) e ir al circuncentro, baricentro y el ortocentro
paso 1. de un triángulo.

Por ejemplo, para calcular el Evaluar Calcular el valor numérico de una
MCD(27, 12), tenemos: expresión para un (o varios) valor(es)
E dado(s) de su(s) variable(s).
27 = 12 × 2 + 3
12 = 3 × 4 + 0 Evento En un experimento aleatorio, un
evento es un conjunto de resultados
Entonces, MCD(27, 12) = 3. posibles; en otras palabras, un evento es
un subconjunto del espacio muestral.
Euler, Leonhard (1 707 – 1 783) Matemático
Vea la deﬁnición de «Espacio muestral».
suizo que destacó por la originalidad de
sus ideas. Hizo contribuciones impor- Eventos dependientes Dos eventos son de-
tantes a la teoría de números, análisis pendientes cuando el resultado de uno
(Cálculo inﬁnitesimal) y al Cálculo de es afectado por el resultado del otro.
variaciones.
Escribió más de 380 obras escritas, en Eventos independientes Dos eventos son in-
diversos temas (análisis, cálculo de ór- dependientes cuando el resultado de
bitas, análisis, Cálculo diferencial, etc.) uno no afecta el resultado del otro.
Introdujo los métodos analíticos en la Cuando dos eventos son independi-
teoría de números. Siempre estuvo entes, se cumple cualquiera de las
muy interesado en las aplicaciones de siguientes tres condiciones:
las matemáticas. Se considera como el
mejor matemático de su época. P(A|B ) = P(A)
Nota: Euler se pronuncia «oiler». P(B |A) = P(B )
Euler, fórmula de (Análisis) La fórmula: P(A ∩ B ) = P(A) · P(B )

e i θ = cos θ + i sin θ En palabras, la primera ecuación nos
dice que la probabilidad de que ocurra
se conoce como la fórmula de Euler. el evento A no depende del evento B ; la
(Geometría) En un poliedro simple, si V segunda ecuación indica que la probabi-
es el número de vértices, A es el número lidad de que ocurra el evento B no
de aristas y C es el número de caras, se depende del evento A y la tercera nos
cumple: dice que la probabilidad de que ocurran
V +C −A = 2 los eventos A y B juntos es igual al
Esta relación también se conoce como la producto de las probabilidades de que
fórmula de Euler. ocurra cada evento por separado.
Si al menos una de las tres condiciones
Euler, número de Número irracional (ecuaciones) no se cumple, decimos que
denotado por la literal e que se utiliza los eventos son dependientes.


Eventos mutuamente excluyentes–Exponente 61

Eventos mutuamente excluyentes Dos Existencia, axioma de Axioma que supone la
eventos A y B son mutuamente ex- existencia de un objeto o varios objetos
cluyentes si el hecho de que ocurra uno matemáticos.
hace imposible la ocurrencia del otro.
En otras palabras, si la ocurrencia si- Experimento En estadística, un experimento
multánea de ambos eventos es imposi- es el proceso que se lleva a cabo con el
ble, los eventos son mutuamente ex- fin de obtener un dato para formar una
cluyentes. colección de éstos y a partir de ella hacer
Por ejemplo, si al observar la variable análisis estadísticos para conocer alguna
aleatoria X que consiste en el resultado
de un volado (águila, sol), A corresponde
característica de la población de la cual
se extrajo esta información.
E
al evento «cayó sol» y B al evento «cayó
águila», entonces los eventos A y B son Exponencial, crecimiento Proceso que se
mutuamente excluyentes, porque no modela con una ecuación del tipo:
podemos tener en un solo experimento
ambos resultados: o cae águila, o cae sol. y = Me rt
Dos eventos mutuamente exluyentes no
necesariamente abarcan todo el espacio donde M y r son constantes positivas, e
muestral. es el número de Euler y t representa el
tiempo.
Exactitud Se refiere a la aproximación que se Dentro de ciertos límites, el crecimiento
hace de un valor. de una población presenta crecimiento
exponencial.
Excentricidad La excentricidad e de una
cónica se define a partir de los paráme- Exponencial, decaimiento Proceso que se
tros a , b y c que la determinan de modela con una ecuación del tipo:
manera única, y es igual a:
y = M e −r t
c
e=
a donde M y r son constantes positivas, e
La excentricidad varía de acuerdo a cada es el número de Euler y t representa el
cónica: tiempo.
Por ejemplo, la radiactividad presenta
Parábola: e = 1 decaimiento exponencial.

Elipse: e 1 Exponente Es el número que indica cuántas
Hipérbola: e 1 veces se multiplicará la base.

La excentricidad no está definida en la Exponente
circunferencia.

Exhaución, método de Método utilizado
Base 25 = 32 Potencia
para el cálculo del área de una figura, 5 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32
2
construyendo polígonos en ésta y calcu-
5 factores
lando la suma de las áreas de estos.


62 Expresión algebraica–Extrapolación

Expresión algebraica Una expresión
algebraica es una combinación de sím-
bolos matemáticos (literales, números, Extrapolación Estimación de una variable
operaciones, etc.) que tenga sentido. dependiente para valores (de la varia-
Por ejemplo, ble dependiente) que están localizados
fuera del conjunto de observaciones.
3 10 Por ejemplo, suponga que conocemos
7x2 −
π los valores de la presión para tem-
es una expresión algebraica. peraturas entre 0 y 100; si deseamos

E Expresión racional Una expresión racional
hacer una estimación de la presión para
110, entonces usaremos un método de
es una fracción en donde el numera-
extrapolación, porque 110 no está den-
dor y el denominador son expresiones
tro del intervalo de observaciones de la
algebraicas siendo el denominador dis-
temperatura.
tinta de cero.
La siguiente es una expresión racional:
a x2 +b x +c
x3 −1


F

Factor Número o expresión algebraica que se Diferencia de cuadrados:
está multiplicando.
Por ejemplo, en la expresión: x 2 − y 2 = (x + y )(x − y )

2x y 2 Trinomio cuadrado perfecto:

hay tres factores: y 2 , x , y 2. x 2 + 2x y + y 2 = (x + y )2

Factor primo Un número primo p es factor Polinomio cúbico perfecto:
primo de N , si N es divisible entre p .
Por ejemplo, 5 es un factor primo de 30, x 3 + 3x 2 y + 3x y 2 + y 3 = (x + y )3
porque 30 es divisible entre 5.
Trinomio cuadrado no perfecto:
Factorial El factorial del número natural
n, que se denota como: n!, se define x 2 + (a + b )x + a b = (x + a )(x + b )
como el producto de todos los números
naturales desde 1 hasta n:
Familia de curvas Conjunto de curvas que
n ! = (1)(2)(3) · · · (n) tienen un mismo patrón de construc-
Por ejemplo, el factorial de 4 es: ción o que se obtienen al variar un
parámetro de su ecuación.
4! = (1)(2)(3)(4) = 24
Fibonacci, sucesión de La sucesión:
El factorial del número cero es 1. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, · · · , en la cual cada tér-
mino se obtiene como la suma de los
Factorización Proceso de escribir un número
dos términos anteriores se conoce como
o una expresión algebraica en forma de
la sucesión de Fibonacci.
producto de factores.
Por ejemplo, Figura Forma geométrica (dibujo, gráfico,
x 2 + 5 x + 6 = (x + 2)(x + 3) etc.), que sirve para representar un con-
cepto abstracto de las matemáticas.
Los casos de factorización que más Cuando la figura está dibujada sobre un
frecuentemente se encuentran en el ál- plano, decimos que se trata de una figura
gebra son: plana.

64 Finito–Fracción

Si la figura tiene volumen, decimos que Fórmula Igualdad que sirve para calcular un
es una figura en tres dimensiones o tridi- valor a partir de otros valores conocidos.
mensional. Por ejemplo, la fórmula general para
calcular las raíces de una ecuación de
Finito Expresión que indica que algo tiene fin segundo grado: a x 2 + b x + c = 0, es:
o límites de manera que se pueden de-
terminar sus dimensiones o el número −b ± b 2 − 4 a c
de sus elementos a través de medi- x=
2a
ciones, conteo u otro similar.
Es lo contrario de infinito. Y la fórmula para calcular el número de
diagonales D que se pueden dibujar a un
Focal, radio Segmento dirigido que tiene su polígono regular de n lados es:
F punto inicial en el foco de una cónica y
su punto final en algún punto cualquiera n (n − 3)
D=
de la misma. 2

y
Fórmula de Euler (Análisis) La fórmula:
l P(x , y )
io foca e i θ = cos θ + i sin θ
Rad
x
F O F se conoce como la fórmula de Euler.
(Geometría) En un poliedro simple, si V
es el número de vértices, A es el número
de aristas y C es el número de caras, se
cumple:
Foco En una cónica, el foco es el punto que se
V +C −A = 2
tomó como referencia para hacer medi-
ciones. Para saber cuáles son las cónicas Esta relación también se conoce como la
vea la definición de «Cónica». fórmula de Euler.
Nota: Euler se pronuncia «oiler».
Forma ordinaria La ecuación de una cónica
en su forma ordinaria se refiere a la Fórmula general La fórmula general para re-
ecuación de esa cónica de manera solver ecuaciones de segundo grado es:
factorizada.
Algunos autores le llaman forma base a −b ± b 2 − 4 a c
x=
la forma ordinaria de una ecuación. 2a

Forma general La ecuación de una cónica donde a , b y c son los coeficientes de la
en su forma ordinaria se refiere a la ecuación cuadrática: a x 2 + b x + c = 0.
ecuación de la forma:
Fracción Representación de una división a
A x + B y +C xy +D x + E y + F = 0
2 2 través de la siguiente notación:
a
Cuando los ejes de la cónica son para- r=
b
lelos a los ejes coordenados C = 0, y el
término C x y , no aparece en la forma donde a es el dividendo, llamado
general. numerador en la fracción, b es el divisor,


Fracción algebraica–Fractal 65

llamado denominador en la fracción y r Fracción mixta Número que se escribe con
es el cociente. una parte entera y una parte frac-
Debido a que la división entre cero no cionaria.
está permitida, en la fracción no tiene Por ejemplo: 1¾.
sentido definir: b = 0.
A las fracciones también se les llama Fracción propia Cuando el numerador de
«fracción común» o «fracción simple». una fracción es menor al denominador
de la misma, decimos que la fracción es
Fracción algebraica Fracción en la cual al propia.
menos uno de los elementos de la frac- En otras palabras, si el cociente r de la
ción (numerador o denominador) es fracción es menor a 1, entonces la frac-
una expresión algebraica. ción es propia.
Por ejemplo, 2/7 es una fracción propia
F
Por ejemplo,
porque 2 7.
x +2
Fracción reducible Aquella fracción que
x2 −1
cumple que sus elementos (numera-
dor y denominador) tienen factores
comúnes.
Fracción equivalente se dice que dos fraccio- En otras palabras, si es posible encontrar
nes son equivalentes si tienen exacta- una fracción equivalente con el numera-
mente el mismo valor. dor y el denominador menores a los de
Por ejemplo, las fracciones: 2/3 y 6/9 son la fracción dada, la fracción es reducible.
equivalentes. Por ejemplo,

Fracción impropia Cuando el numerador de 6 2×3 2
= =
¡
una fracción es mayor al denominador 9 3×3 3 ¡
de la misma, decimos que la fracción es
impropia.
En otras palabras, si el cociente r de la Fracción simple Aquella fracción que no
fracción es mayor a 1, entonces la frac- tiene una parte entera en su escritura.
ción es impropia.
Por ejemplo, 9/4 es una fracción im- Fración unitaria Una fracción es unitaria si
propia porque 9 4. su numerador es 1 y su denominador es
un número entero positivo.
Fracción irreducible Aquella fracción que Por ejemplo, 1/7, es una fracción uni-
cumple que sus elementos (numera- taria.
dor y denominador) no tienen factores
Fractal Curva irregular que tiene la
comúnes.
propiedad que cuando se elige una parte
En otras palabras, el numerador y el
de ella, siempre es posible encontrar una
denominador de la fracción son primos
parte idéntica en la misma curva, bien
relativos cuando la fracción es irreduci-
magnificándola, bien reduciéndola en
ble.
escala.
Por ejemplo, 2/7 es una fracción
La siguiente figura es un fractal que se
irreducible.
conoce como el helado de Koch:


66 Frecuencia–Función acotada

nos devuelve un número cada vez que
le damos un valor.

Función

Dominio Contradominio
f
x f (x )

Valores que le Valores que nos
damos a la función devuelve la función

El conjunto formado por todos los
F Frecuencia (Análisis) Número de veces que
una función periódica repite una suce-
valores que nosotros le damos a la fun-
ción, para los cuales nos devuelve un
sión de valores para un intervalo dado.
valor, es su dominio, denotado por D f .
(Estadística) Número de veces que
El conjunto formado por todos los
aparece un valor en un intervalo dado
valores que la función nos devuelve es el
en una una tabla de datos. A esta defini-
contradominio de la misma.
ción de frecuencia se le conoce también
Por ejemplo, para la función y = x , su
como frecuencia absoluta. Con las fre-
dominio es el conjunto = {x |x ≥ 0},
cuencias absoluta de los diferentes in-
pues solamente podemos calcular raíz
tervalos de los datos se elabora la tabla
cuadrada de números no negativos.
de frecuencias.
El contradominio de esta función es:
Frecuencia absoluta Número de veces que = {y |y ≥ 0}, pues el resultado de
aparece un valor en un intervalo dado en calcular la raíz cuadrada de un número
una una tabla de datos. siempre es un número no negativo.
En este caso, se dice que y es la variable
Frecuencia relativa Para cada una clases, la dependiente, porque sus valores depen-
frecuencia relativa se calcula dividiendo den del valor que le demos a la variable
la frecuencia absoluta entre el número x . Se dice que x es la variable indepen-
total de datos (tamaño de la muestra). diente de la función. Decimos que y está
La suma de todas las frecuencias relati- en función de x , y matemáticamente lo
vas de una tabla de frecuencias es igual escribimos como: y = f (x ). El con-
a 1. cepto de función es uno de los más im-
La frecuencia relativa representa la frac- portantes en matemáticas.
ción del total de datos que está en esa De manera informal, podemos decir que
clase en particular. una función es la relación que existe
entre dos cantidades variables.
Función Relación entre dos conjuntos, Vea la definición de «Relación fun-
llamados el dominio y el contradomi- cional».
nio, de tal manera que a cada elemento
del dominio le corresponde a lo más un Función acotada Función que nunca toma
elemento del contradominio. valores mayores a un valor M específico.
Una función puede verse como una Por ejemplo, la función: y = 1/(x 2 + 1) es
máquina que transforma a los números acotada, pues los valores de y nunca son
que le vamos dando, de manera que mayores a 1.


Función algebraica–Función creciente 67

Función contínua Se dice que una función f
y es continua en un intervalo dado [a ,b ]
1 si toma todos los valores entre f (a ) y
1 y=
x2 +1 f (b ) y se puede dibujar en ese intervalo
x sin despegar la punta del lápiz del papel
−3 −2 −1 0 1 2 3 sobre el cual se le dibuja.
En la siguiente figura, la función y = f (x )
es continua en el intervalo [a ,b ]:
Función algebraica Es una función que se
expresa en base a operaciones algebrai-
cas (suma, resta, división, multipli- y
cación) de polinomios.
Por ejemplo, la función: F
f (b )
x + 1 (x − 3)2 y = f (x )
y= − + 4x3 + 7
x +2 x −5
f (a )
es algebraica.

Función biyectiva Una función es biyectiva x
a b
si es inyectiva (uno a uno) y sobreyectiva
(sobre) a la vez.
Función creciente Decimos que una función
Función cero La función cero se define f es creciente en un intervalo [a ,b ] si
como: f (x ) = 0 para toda x ∈ . Su para cualesquiera valores u , v que estén
dominio es el conjunto de todos los en ese intervalo y que cumplan con: u ≤
números reales y su contradominio es el v , se cumple: f (u ) ≤ f (v ).
conjunto {0}. Por ejemplo, la función y = x 2 es
De manera informal, cuando le damos creciente en el intervalo [0, 1]:
un valor real a la función cero, ésta nos
devuelve siempre 0. f (x )
y = x2
Función compuesta Dadas las funciones: 2
y = f (x ) y y = g (x ), la composición de f
en g , denotado por f ◦ g significa susti-
tuir g (x ) en la función y = f (x ):
1
e

f ◦ g = f g (x )
nt
ie
ec
Cr

Por ejemplo, si definimos: f (x ) = x 2 , y
g (x ) = 2 x − 3, entonces, x
0 0.5 1 1.5
f ◦g = f g (x )
= (2 x − 3)2 Al ver la gráfica de una función, sabe-
= 4 x − 12 x + 9
2 mos que es creciente si al moverte a la
derecha la gráfica de la función va hacia
arriba.


68 Función cuadrática–Función exponencial

Función cuadrática Una función de la forma: f (x )
y = a x 2 + b x + c , donde a 0.
La gráfica de una ecuación cuadrática es 2
una parábola vertical.

De
Vea la definición de «Ecuación de la

cre
parábola».

ci
1

en
te
Función cúbica Una función de la forma:

y = a x3 +b x2 +c x +d x
0 0.5 1
F donde a 0.
La siguiente gráfica corresponde a la de
una función cúbica: Observa que f (0.5) f (1.0), y también
se cumple que: 0.5 ≤ 1.0.

y
Función discontínua Se dice que una fun-
y = x3 ción es discontinua cuando no es con-
1
tínua.
x Por ejemplo, la siguiente figura muestra
−3 −2 −1 0 1 2 una función discontinua en el intervalo
−1 [a ,b ]:

−2 y

−3

−4 y = f (x )

−5

−6 x
a b
−7

−8 La función no es continua porque no se
le puede dibujar sin despegar la punta
del lápiz del papel sobre el cual se le
Función decreciente Decimos que una fun- dibuja.
ción f es decreciente en un intervalo
[a ,b ] si para cualesquiera valores u , v Función exponencial Función de la forma:
que estén en ese intervalo y que cum-
plan con: u ≤ v , se cumple: f (u ) ≥ f (v ). y = a (b )r x
Por ejemplo, la función y = 2 − x 2 es
decreciente en el intervalo (0, 2): La siguiente función es exponencial:


Función impar–Función par 69

y y
3

=x3
8
y = 2x
7

f (x )
2
6
1 3
x
=
5 f − (x )
1

4 x
−2 −1 1 2 3
3 −1
2 x
1 y
= −2
F
x
−3 −2 −1 0 1 2 3

Función inyectiva Una función es inyectiva
si a diferentes elementos de su dominio
Función impar Función que tiene la le corresponden diferentes elementos
propiedad: f (−x ) = − f (x ). del contradominio.
En otras palabras, una función impar es Es decir, para cualesquiera a ,b en el
simétrica respecto del origen. dominio de la función y = f (x ), si a b ,
Por ejemplo, la función y = x 3 es impar entonces, f (a ) f (b ).
(Vea la figura dada en la definición de A las funciones inyectivas también se les
«Función cúbica»). conoce como funciones «uno a uno».

Función inversa Sea f una función con Función irracional Función en la que
dominio f y contradominio f . Si aparece una expresión algebraica como
existe una función g con dominio g y argumento de un radical.
contradominio g tal que: Por ejemplo, la función: y = x es
irracional.

i. f (g (x )) = x para toda x ∈ g
Función lineal Función que puede reducirse
ii. g (f (x )) = x para toda x ∈ a la forma:
f

y = m x +b
entonces decimos que las funciones f y
g son inversas una de la otra.
La gráfica de una función lineal es una
f −1 denota la función inversa de f .
línea recta.
Por ejemplo, si f (x ) = x 3 , entonces,
f −1 (x ) = 3 x .
Geométricamente, la función f (x ) y su Función par Función que tiene la propiedad:
inversa f −1 (x ) son la reflexión una de la f (−x ) = f (x ).
otra respecto de la recta y = x . Por ejemplo, la función: y = x 2 es par.


70 Función periódica–Función trigonométrica

y En este ejemplo, P3 (x ) = 1+x +2 x 2 +3 x 3 ,
y Q 4 (x ) = 1 − x 4 .
8
7 Función simétrica Una función puede ser
6 simétrica respecto al eje y si al sustituir
−x en lugar de x y al simpliﬁcar obtene-
5
mos la misma ecuación.
4 y = x2 Por ejemplo, la parábola vertical con vér-
3 tice en el origen: y = x 2 es simétrica
respecto al eje y .
2
Una función puede ser simétrica
F 1 respecto al origen si cumple: f (−x ) =
x − f (x ). Es decir, si es impar.
−3 −2 −1 0 1 2 3
Por ejemplo, la función: y = x 3 es
simétrica respecto del origen.
Función periódica Si existe un valor k tal que
para todo x que esté en el dominio de
Función sobreyectiva Una función es so-
la función f se cumpla: f (x ) = f (x +
breyectiva cuando a cada elemento de
k ), entonces decimos que la función es
su contradominio le corresponde a lo
periódica.
menos un elemento de su dominio.
El periodo de una función periódica f es
A una función sobreyectiva también se le
el mínimo valor k que cumple: f (x ) =
conoce como función «sobre».
f (x + k ).
Por ejemplo, la función seno es periódi-
Función trigonométrica Son las funciones:
ca:
y k seno (sin)
coseno (cos)
x
tangente (tan)
y = sin x secante (sec)
cosecante (csc)
El periodo de la función seno es 2π.
cotangente (cot)
Función racional Función de la forma:
Pm (x ) Las funciones trigonométricas inversas
y=
Q n (x ) son:
donde Pm (x ) y Q n (x ) son polinomios de
grado m y n respectivamente. arcoseno (arcsin)
Por ejemplo, arcocoseno (arccos)
1+x + 2x2 + 3x3
y= arcotangente (arctan)
1−x4


G

Galón Unidad de volumen usada en el método de suma y resta.
sistema Inglés, equivalente a 3.785 litros Gauss ideó este método basándose en
en EE.UU. y 4.546 litros en Inglaterra. las siguientes propiedades de la igual-
dad:
Gauss, Carl F. (1 777 – 1 855) Matemático
alemán. Considerado como el úl- Si a = b , y c = d , entonces, a ± c =
timo matemático que supo todo de las b ±d.
matemáticas que se conocía hasta su Si a = b , entonces, a · k = b · k .
época y los nuevos descubrimientos
eran desarrollados principalmente por La idea del método es reducir el sistema
él. de ecuaciones eliminando variables
Resolvió problemas que se creían hasta obtener un sistema de una
irresolubles como la construcción (con ecuación con una incógnita y a partir
regla y compás) del polígono regular de de este valor calcular los valores de las
17 lados, que no se había podído re- demás incógnitas.
solver en más de 2 000 años. Generalizar Derivación de una afirmación de
un caso particular a todos los casos que
Gauss, campana de La campana de Gauss
sea aplicable.
es la forma que tiene una distribución
Por ejemplo, al sumar 1 + 2 + 3 + · · · +
normal.
100, se puede encontrar que la suma se
y puede calcular por medio de:
(100)(101)
1 + 2 + 3 + · · · + 100 =
2
x Al generalizar, se reconoce que:
µ
n(n + 1)
1 + 2 + 3 + ··· + n =
2
La distribución normal estándar tiene La generalización debe justificarse de
media cero y varianza 1. manera irrefutable para que sea válida.

Gauss, método de Método para resolver Generatriz Un punto, línea o superficie cuyo
sistemas de ecuaciones, también cono- movimiento genera una curva, superfi-
cido como el método de eliminación o el cie o sólido.

72 Geometría–Gráfica

Geometría Rama de las matemáticas que se agua se convierte en vapor a una presión
encarga del estudio de las propiedades de 1 atm.
de los puntos, las líneas, ángulos, super- El grado centígrado se denota por ◦ F .
ficies y sólidos.
Grado sexagesimal Unidad de medida de án-
Geometría Analítica Geometría que utiliza gulo equivalente a 1/360 parte de la
un sistema de coordenadas cartesianas vuelta completa.
para identificar de manera única puntos Un grado sexagesimal se denota con el
en el espacio estudiado. símbolo: ◦ , y generalmente se le llama
diciendo solamente «grado».
Geometría plana Geometría que estudia ob-
jetos en el plano: puntos, rectas, trián-
Grado de una ecuación El grado de una
gulos, cuadriláteros, etc.
ecuación polinomial es el mayor

G Geometría sólida Geometría que estudia los
objetos en tres dimensiones, como los
exponente al cual aparece elevada su in-
cógnita.
poliedros.
Grado de un polinomio Exponente de mayor
Geoplano Tablero cuadrado que contiene valor que tiene la variable del polinomio.
clavos en los vértices de una cuadrícula Por ejemplo, el polinomio:
dibujada sobre el tablero.
Con auxilio de los clavos y ligas o estam- 1 + 2 x 2 − 4 x 3 + 7 x 8 − x 13
bre se pueden hacer trazos y así estudiar
algunos temas de geometría. es de grado 13.

Gráfica La gráfica de una ecuación o de
una función es el conjunto de todos los
puntos del plano que la satisfacen.
Geoplano Un diagrama que representa el
comportamiento de una variable
Giga- Prefijo que denota 10 9 . Por ejemplo, dependiente respecto de otra variable
un Gigalitro equivale a mil millones de independiente.
litros, esto es, 1 GL = 109 L. La siguiente gráfica corresponde a la
función: y = x
Googol Número natural que se escribe con
un 1 seguido de cien ceros. Es decir, un
y
Googol es igual a 10100 .
y= x
2
Grado Centígrado Unidad de temperatura
igual a una centésima parte de la
1
diferencia de temperaturas entre la
solidificación y fusión del agua a presión
0 x
de 1 atm. 1 2 3 4
El grado centígrado se denota por ◦C .

Grado Farenheit Unidad de temperatura en Frecuentemente se utiliza la palabra
la cual 32◦ corresponden a la tempera- «diagrama» como sinónimo de la
tura a la cual el agua se congela y 212◦ el palabra «gráfica».


Gráfica circular–Griego, alfabeto 73

Gráfica circular Sinónimo de diagrama de Mayúscula Minúscula Nombre
sectores.
A α Alpha
Vea la definición de «Diagrama de
B β Beta
sectores».
Γ γ Gama
∆ δ Delta
E ε Epsilon
Z ζ Zeta
H η Eta
Θ θ Theta
I ι Iota
K κ Kappa
Λ λ Lambda
M µ Mu
N ν Nu G
Gramo Unidad de masa del Sistema Interna- Ξ ξ Xi
cional de Unidadess. O o Omicron
Vea la definición de «Sistema Internacio- Π π Pi
nal de unidades». P ρ Rho
Σ σ Sigma
T τ Tau
Υ υ Upsilon
Φ φ Phi
X χ Chi
Ψ ψ Psi
Ω ω Omega

Algunas letras griegas aparecen en
algunos libros con diferente estilo ti-
pográfico, por ejemplo: ϕ (phi), (ep-
Griego, alfabeto El alfabeto griego es el silon), (pi), ϑ (theta), (rho) y ς
siguiente: (sigma).


74

ita
atu
gr
G

ión
uc
rib
ist
ed
d
ro
Lib


H

Hardware Parte física de un equipo de cóm-
puto.
Por ejemplo, el teclado, ratón, impre-
sora, pantalla, etc., forman el hardware
de un equipo de cómputo.
La parte no física, es decir, los progra-
mas y la información contenida en la
computadora, se denomina «software».
Heptágono
Hectárea Unidad de área equivalente a un
cuadrado de cien metros de lado. El heptágono mostrado en la figura
El símbolo utilizado para la hectárea es anterior tiene sus 7 lados y sus 7 án-
ha y es igual a 10 000 metros cuadrados. gulos iguales, es decir, es un heptágono
regular.

Hexa- Prefijo que significa seis.
Por ejemplo, un hexágono tiene seis
100 m 1 ha lados.

Hexaedro Sólido geométrico formado por
seis caras cuadriláteras.
100 m El cubo es un hexaedro.

Hecto- Prefijo que indica cien. Se abrevia con
la letra h (minúscula).
Por ejemplo, un hectómetro es igual a
cien metros.

Hepta- Prefijo que significa siete.
Cubo
Por ejemplo, un heptágono tiene siete
lados.
Otro ejemplo de hexaedro es el Paralele-
Heptágono Polígono de 7 lados y 7 ángulos. pípedo.

76 Hexágono–Hiperbólico, seno

Hexágono Polígono de 6 lados y 6 ángulos. y

P(x , y )

2a
x
F a a F

Hexágono

El hexágono mostrado en la figura
H anterior tiene sus 6 lados y sus 6 án-
gulos iguales, es decir, es un hexágono La distancia del centro de la hipérbola a
regular. cualquiera de los focos es c , y la relación
entre a ,b y c es:
Hipérbola Conjunto de puntos del plano
que satisfacen que la diferencia de sus c2 = a2 +b2
distancias a dos puntos fijos del plano
llamados focos es una constante 2 a
menor que la distancia entre los focos.
La ecuación de la hipérbola horizontal Hipérbola de Fermat La gráfica de una fun-
con centro en el punto C (h, k ), longitud ción del tipo y = x n , donde n es un
del eje transverso 2 a y longitud del eje número entero negativo, se llama hipér-
conjugado 2b , es: bola de Fermat.

(x − h)2 (y − k )2 Hiperbólico, coseno La función coseno
− =1
a2 b2 hiperbólico del número x se denota por:
cosh x y está definida por:
La ecuación de la hipérbola vertical con
centro en el punto C (h, k ), longitud del e x + e −x
cosh x =
eje transverso 2 a y longitud del eje 2
conjugado 2b , es:

(x − h)2 (y − k )2
− + =1 Hiperbólico, seno La función seno hiper-
b2 a2 bólico del número x se denota por:
sinh x y está definida por:
La siguiente figura corresponde a la de
una hipérbola horizontal: e x − e −x
sinh x =
2


Hiperbólica, tangente–Hora 77

Hiperbólica, tangente La función tangente Rango Cantidad Fracción
hiperbólica del número x se denota por:
0 – 10 250 0.033
tanh x y está deﬁnida por:
10 – 20 1 200 0.160
e x − e −x 20 – 30 2 500 0.333
tanh x =
e x + e −x 30 – 40 1 225 0.163
40 – 50 850 0.113
50 – 60 750 0.100
Hipotenusa En un triángulo rectángulo, la 60 – 70 425 0.057
hipotenusa es el lado opuesto al ángulo 70 – 80 250 0.033
recto. 80 – 90 37 0.005
90 – 100 13 0.002

a Cateto opuesto
nus Y a partir de estos datos generamos el
te
po histograma dibujando una barra para
Hi
cada intervalo con una altura propor- H
cional a su valor de frecuencia en la
α
Cateto adyacente
tabla.

La hipotenusa siempre es el lado más
grande de un triángulo rectángulo.
2,000
Hipótesis Suposición hecha para resolver un
problema.
1,000
Histograma Representación gráﬁca de la
distribución de datos de una muestra
o población. 0
Para dibujar un histograma se acostum-
bra primero generar una tabla con los 0 20 40 60 80 100
Edad
datos.
Por ejemplo, supongamos que las
fracciones de la población en los Hora Una hora equivale a 60 minutos y es
siguientes rangos de edades de un igual a 1/24 de la duración del día. Es
pueblo se reparten como sigue: decir, un día tiene 24 horas.


78

ita
atu
gr
ión
H
uc
rib
ist
ed
d
ro
Lib


I

Icosaedro Sólido regular formado por veinte
triángulos equiláteros:
Identidades pitagóricas Identidades trigonométri-
cas que se obtuvieron usando el teorema
de Pitágoras:

sin2 α + cos2 α = 1
tan2 α + 1 = sec2 α
cot2 α + 1 = csc2 α

Icoságono Polígono de 20 lados. Igual (Álgebra) Decimos que dos números o
El siguiente polígono es un icoságono dos expresiones algebraicas son iguales
regular: cuando tienen el mismo valor.
Por ejemplo, 5 = 2 + 3.
(Geometría) Dos figuras geométricas
son iguales si una puede superponerse
en la otra de manera que ambas coinci-
dan en todos sus puntos.
(Teoría de conjuntos) Dos conjuntos
son iguales si tienen los mismos elemen-
tos exactamente.

Igualdad Relación definida para dos
Identidad Es una igualdad que se cumple números que indica que los dos tienen
para cualesquiera valores de las varia- el mismo valor.
bles que contiene. La relación de identidad se denota con
Por ejemplo, las siguientes igualdades el símbolo =.
son identidades: Las propiedades de la igualdad son las
siguientes:
(x + y )2 = x 2 + y 2 + 2 x y
1 = sin2 x + cos2 x a = a (reflexiva)

80 Imagen–Inconmensurable

Si a = b , entonces b = a (simétrica) Los primeros números impares son: 1, 3,
Si a = b y b = c entonces a = c 5, 7 y 9.
(transitiva)
Impar, función Función que tiene la
Otras propiedades útiles de la igualdad propiedad: f (−x ) = − f (x ).
son: En otras palabras, una función impar es
simétrica respecto del origen.
Si a = b , entonces a + k = b + k Por ejemplo, la función y = x 3 es impar
Si a = b , entonces a − k = b − k (Vea la figura dada en la definición de
Si a = b , entonces a · k = b · k «Función cúbica»).
a b
Si a = b , entonces = ; (k 0) Implicación Dadas dos afirmaciones A y B,
k k
decimos que A implica B, si al ser ver-
Si a = b , entonces a k = b k
dadera A, necesariamente B también
Imagen Dada una función f , la imagen del debe ser verdadera.
valor k bajo esa función, es el resultado Por ejemplo, considerando que p y q son
de evaluar la función en el valor k . números enteros, sea A = «el producto
I Por ejemplo, si la función es: y = x 2 , y de p por q es cero», y B = «bien, p es
k = 3, entonces, la imagen de 3 bajo la cero, bien q es cero, o quizás ambos sean
función y = x 2 es 9: cero», En este caso A implica B. Esto se
denota por A ⇒ B.
y = (3)2 = 9
Incentro Es el punto donde se intersectan las
Observa que la imagen corresponde a un
tres bisectrices de un triángulo.
solo valor del dominio. A menos que
el dominio de la función tenga un solo
elemento, el rango (o contradominio) de
la función no será igual a la imagen de Incentro
un valor (que esté en el dominio de la
función considerada).

Imaginario, número Número que está mul-
tiplicado por la unidad imaginaria.
Por ejemplo, el número 2 i es un número
imaginario.
La unidad imaginaria, que se denota Incógnita Símbolo literal cuyo valor se
con la literal i , es el número que tiene desconoce. Las variables generalmente
la propiedad de que cuando se multi- se denotan usando las últimas letras
plica por sí mismo obtenemos −1 como del alfabeto: t , u , v, x , y , z , etc., mientras
resultado. Es decir, i 2 = −1. que las constantes se denotan con las
Los números complejos se llaman primeras: a ,b, c , etc.
números imaginarios puros cuando su
parte real es cero. Inconmensurable Decimos que dos
números a ,b son inconmensurables si
Impar, número Número que al dividir entre no son conmensurables.
dos obtenemos como residuo 1. Vea la definición de «conmensurable».


Independiente, variable–Integral 81

Independiente, variable La variable Ínfimo La cantidad más grande que es
independiente de una función es el valor menor o igual que las cantidades de otro
que nosotros le damos para calcular la conjunto.
variable dependiente. Generalmente la Lo opuesto de ínfimo es «supremo».
variable independiente de una función
se denota con la literal x . Inscrito, ángulo Ángulo que tiene su vértice
Por ejemplo, en la función y = x 2 , sobre una circunferencia y cuyos lados
la variable independiente es x , pues son dos cuerdas de la misma.
nosotros asignamos el valor que esta
variable tomará.

Inducción matemática Método de de-
mostración en el cual se prueba una α
conjetura que depende de un número
entero k . La demostración se elabora,
primero para k = 1, luego se supone que
la conjetura es verdadera para k = n y
se prueba que para k = n + 1 también se Inscrito, polígono Se dice que un polígono
cumple. Así se demuestra que la conje-
I
es inscrito cuando todos sus lados son
tura se cumple para todos los números cuerdas de una misma circunferencia.
naturales.
Vea la definición de «Principio de induc-
ción matemática».

Inecuación Sinónimo de desigualdad.

Inercia Tendencia de un cuerpo de mantener
su estado de movimiento.

Inferencia Proceso que permite alcanzar una Hexágono inscrito
conclusión a partir de premisas. Una
inferencia puede ser deductiva o induc-
Integración la integración de una función
tiva.
f (x ) consiste en encontrar una función
diferenciable y = F (x ) que cumpla:
Infinitesimal Un infinitesimal o un in-
F (x ) = f (x ) para toda x en el dominio
finitésimo, es una cantidad infinita-
de f .
mente pequeña.
El infinitesimal es un número positivo Integración numérica Procedimiento de in-
menor que cualquier número positivo tegración en los que se aproxima el valor
(no necesariamente entero) que puedas de una integral definida por medio de
imaginar. métodos iterativos.
Vea la definición de «Iteración».
Infinito Expresión que indica que algo no
tiene fin. Se denota con el símbolo Integral En Cálculo, una integral es el
∞. También puede indicar que no tiene resultado de la integración de una fun-
fronteras. ción.


82 Integral definida–Interpolación

El símbolo de integral es: , y la expre- Interés compuesto Interés que se calcula
sión: cada intervalo de tiempo convenido
(mensual, trimestral, semestreal, anual,
f (x ) dx = F (x ) + C
etc.) donde el interés que se generó en
el último intervalo de tiempo formará
se lee: «La integral de la función f (x ) parte del capital para el cálculo del in-
respecto de x es igual a la función F (x ) terés del siguiente mes.
más una constante.» Si n es el número de intervalos de
La función f (x ) se llama integrando, dx tiempo que se usó el dinero, i es la tasa
indica que se va a integrar la función de interés y C es el capital inicial, el in-
respecto de la variable x , F (x ) + C es el terés I se calcula con la fórmula:
resultado de la integración.
Observa que la integral de una función I = M −C
es una familia de funciones. = C [(1 + i )n − 1]
Algunos autores llaman a la integral
Y el monto M a pagar es:
como «antiderivada», o «primitiva» de la
función y = f (x ). M = C (1 + i )n
I Vea la definición de «antiderivada».

Integral definida La integral definida de una Interés simple Interés que se calcula a partir
función y = f (x ) es un escalar, definido del capital inicial.
por: Si n es el número de intervalos de
b tiempo que se usó el dinero, i es la tasa
f (x )dx = F (b ) − F (a ) de interés y C es el capital inicial, el in-
terés I se calcula con la fórmula:
a
I = niC
donde, a y b son los límites de inte-
gración, y y = F (x ) es una primitiva de Y el monto M a pagar en ese mismo
y = f (x ). perido es:
Geométricamente, la integral definida,
M = C (1 + n i )
cuando y = f (x ) es positiva en el inter-
valo (a ,b ) representa el área debajo de la
gráfica de y = f (x ) y sobre el eje x desde
Interpolación Estimar el valor de una fun-
x = a hasta x = b .
ción f entre dos valores P(x p , y p ) y
Formalmente, la integral definida se
Q(x q , yq ) que se conocen.
define por el límite:
La fórmula para interpolar un valor y r ,
b dada su abscisa x r es:
n
b −a
f (x )dx = lim f (x i ) y p − yq
n →∞ n yr = (x r − x p ) + y p
a
i =0 xp − xq
Geométricamente, la interpolación
consiste en una aproximación lineal a
Interés Renta que se cobra por el uso del la función f .
dinero ajeno. El interés pagado se En realidad estamos encontrando el
denota con la literal I . punto sobre la recta que pasa por los


Intersección–Intervalo abierto 83

puntos dados P(x p , y p ) y Q(x q , yq ) y Intervalo Subconjunto de los números reales
evaluamos ésta en x = x r para calcular con extremos en a y b . Es decir, un inter-
yr . valo es el conjunto que satisface:
Si los valores están suficientemente
{x | a x b }
cerca, y la gráfica de la función es con-
tinua y suave, es decir, si no cambia de donde a b .
dirección bruscamente, la estimación Geométricamente, el intervalo se puede
generalmente será bastante buena. representar en una recta numérica.
Mientras los valores de x p y x q estén más Por ejemplo, la siguiente figura muestra
cercanos, la estimación será mejor. el intervalo (2, 4) con extremos en 2 y 4:
La siguiente figura muestra la inter-
pretación geométrica de la interpo-
lación: (2, 4)
x
−1 0 1 2 3 4 5

y El intervalo es abierto si los valores a y
b no están incluidos y se denota como:
yq
(a ,b ). I
Si tanto a como b están incluidos en
y = f (x ) el intervalo, éste es cerrado y se denota
yr
por: [a ,b ].
yp
Cuando se incluye solamente a , el inter-
valo se denota por: [a ,b ), y cuando b
x está incluido y a no lo está, la forma de
x px r xq
escribirlo es: (a ,b ].
Geométricamente el intervalo abierto se
Intersección (Geometría) Conjunto de denota con círculos vacíos (sin relleno)
puntos donde se intersectan dos cuer- en sus extremos. Cuando un extremo se
pos o figuras geométricas. Por ejemplo, incluye en el intervalo el círculo que le
dos rectas no paralelas se intersectan en representa se rellena.
un solo punto. Dos planos no paralelos En la siguiente figura se muestra un
se cortan en una recta. intervalo cerrado, es decir, que incluye a
(Teoría de conjuntos) La intersección ambos extremos:
de dos conjuntos es el conjunto que
contiene a todos los elementos que
[2, 4]
pertenecen a los conjuntos simultánea- x
mente. −1 0 1 2 3 4 5
Por ejemplo, considerando los conjun-
tos: Intervalo abierto Intervalo que no incluye
sus valores extremos. Si los extremos del
= {0, 1, 2, 3, 5, 8, 9} intervalo abierto son los puntos a y b , se
= {2, 3, 5, 7} denota por (a ,b ).
Geométricamente, el intervalo abierto
Su intersección es: ∩ = {2, 3, 5}. (a ,b ) se indica como muestra la
siguiente figura:


84 Intervalo cerrado–Isósceles

x A las funciones inyectivas también se les
O a b conoce como funciones «uno a uno».

Intervalo cerrado Intervalo que sí incluye Irracional, número número que no se puede
sus valores extremos. Si los extremos expresar como el cociente de dos
del intervalo cerrado son los puntos a y números enteros, donde el denomina-
b , se denota por [a ,b ]. dor es distinto de cero.
Geométricamente, el intervalo cerrado Ningún número racional es irracional y
[a ,b ] se indica como muestra la ningún número irracional es racional.
siguiente ﬁgura: Los números π y e son ejemplos de
números irracionales.
x
O a b
Irreducible, fracción Aquella fracción que
cumple que sus elementos (numera-
Inversa, función Sea f una función con dor y denominador) no tienen factores
dominio f y contradominio f . Si comúnes.
existe una función g con dominio g y En otras palabras, el numerador y el
I contradominio g tal que: denominador de la fracción son primos
relativos cuando la fracción es irreduci-
i. f (g (x )) = x para toda x ∈ g
ble.
ii. g (f (x )) = x para toda x ∈ f Por ejemplo, 2/7 es una fracción
irreducible.
entonces decimos que las funciones f y
g son inversas una de la otra.
f −1 denota la función inversa de f . Irregular, polígono Polígono que no es equi-
Por ejemplo, si f (x ) = x 2 , entonces, látero, o no es equiángulo o ambas.
f −1 (x ) = x. El siguiente polígono es irregular:

Inverso Operación que cancela una opera-
ción previa.
Por ejemplo la operación inversa de la
suma es la resta y la operación inversa
de la multiplicación es la división.
En aritmética, frecuentemente se dice:
«el inverso de este número», cuando
debería decirse: «el recíproco de
este número». Vea la deﬁnición de
Irregular, poliedro Poliedro que no es
«Recíproco».
regular. Es decir, aquel que no tiene
Inyectiva, función Una función es inyectiva todas sus caras iguales.
si a diferentes elementos de su dominio
le corresponden diferentes elementos Isoclina Dos rectas isoclinas son aquellas que
del contradominio. tienen la misma pendiente.
Es decir, para cualesquiera a ,b en el
dominio de la función y = f (x ), si a b , Isósceles Un triángulo es isósceles si dos de
entonces, f (a ) f (b ). sus lados miden lo mismo.


Iteración 85

Triángulo isósceles Trapecio isósceles

Iteración Método de resolución de una
ecuación a través de aproximaciones
sucesivas a la solución buscada. Es-
tos métodos se utilizan generalmente a
través de la programación de computa-
doras porque requiere de muchos cálcu-
Un trapecio es isósceles si sus dos lados los sucesivos, tarea que la computadora
no paralelos miden lo mismo. puede realizar fácilmente.

I


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J

Jerarquía de las operaciones Vea la deﬁni- ción de «Prioridad de las operaciones»

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K
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L

Lado En un polígono, un lado es un segmento de ésta y el ecuador a lo largo del meridi-
de recta cuyos extremos están en dos ano de ese mismo punto angular. La lat-
vértices consecutivos del polígono. itud se abrevia como lat.
Cuando el punto sobre la superficie de la
tierra se encuentra al norte del ecuador,
el ángulo se considera positivo; cuando
se encuentra al sur se considera nega-
tivo. Sobre el ecuador la latitud vale cero.
Lado

lat

Los lados del polígono delimitan su
área.

Lámina Objeto plano de grosor infinita-
mente pequeño, que puede conside- Legua Unidad de distancia usada en el
rarse para la resolución de un problema sistema Español, equivalente a 4 827
de Cálculo. metros.
Generalmente se consideran sus dimen-
siones de área, pero el grosor de la Lema Proposición que requiere de-
lámina se considera como un diferen- mostración y permite demostrar un teo-
cial. rema.

Lenguaje algebraico Lenguaje que se utiliza
para describir las relaciones entre las
cantidades expresadas en una expresión
Lámina
algebraica.
Por ejemplo, «semi» significa mitad, y
Latitud Ángulo con vértices en un punto «cociente» indica el resultado de una di-
sobre la superficie de la tierra, el centro visión.

90 Ley de cosenos–Leyes de Kepler

Ley de cosenos Para todo triángulo que se Si A y B son independientes,
encuentra en el plano, se cumple:
P(A ∩ B ) = P(A) · P(B )
C 2 = A 2 + B 2 − 2A B cos α
Vea la definición de «Eventos indepen-
donde A, B y C son las longitudes de los dientes».
lados del triángulo, y α es la medida del
ángulo formado por los lados A y B . Ley de suma de probabilidades La probabi-
lidad de que ocurra el evento A o el
evento B , es:
B

C
α P(A ∪ B ) = P(A) + P(B ) − P(A ∩ B )
A
Para el caso en que los eventos A y B son
mutuamente excluyentes, se tiene:
La ley de cosenos es una generalización
del teorema de Pitágoras, pues cuando P(A ∪ B ) = P(A) + P(B )
α = 90◦ , tenemos: C 2 = A 2 + B 2 , el caso
particular que corresponde al teorema Vea la definición de «Eventos mutua-
de Pitágoras. mente excluyentes».

Ley de grandes números Teorema de Ley de senos Para todo triángulo que se en-
probabilidad que indica que si la cuentra en el plano, se cumple:
probabilidad de ocurrencia de un evento
sin α sin β sin γ
E es p , si N (E ) es el número de veces = =
A B C
L que ocurre el evento E , y se hicieron n
experimentos, entonces, al aumentar el donde A es el lado opuesto al ángulo α,
número de experimentos (n tiende a in- B es el lado opuesto al ángulo β y C es el
finito), el cociente N (E )/n tiende a p . lado opuesto al ángulo γ.
Por ejemplo, si tomamos una moneda
y hacemos algunos experimentos que α
consista en lanzarla para observar el B C
resultado (águila o sol), esperamos que
la mitad caiga águila y la otra mitad sol. γ β
Sea N (A) el número de veces que cayó A
águila y n el número de veces que lan-
zamos la moneda. Mientras más crezca
Leyes de Kepler Las leyes de Kepler se re-
n, es decir, mientras más veces lance-
fieren a las leyes del movimiento de los
mos la moneda, el valor de N (A)/n se
planetas previa a la ley de gravitación
acercará cada vez más a 0.5, que es la
universal propuesta por Isaac Newton.
probabilidad de que caiga águila.
Las tres leyes de Kepler son:
Ley de multiplicación de probabilidades La
1. Los planetas recorren órbitas elíp-
probabilidad de que ocurran los dos
ticas, con el sol en uno de sus focos.
eventos A y B a la vez, es:
2. El segmento recto que une el sol
P(A ∩ B ) = P(A) · P(B |A) con el planeta (radio vector) barre
= P(B ) · P(A|B ) áreas iguales en tiempos iguales.


Leyes de los exponentes–Litro 91

3. Para cualquier planeta, el cuadrado más al valor k , en caso de que el límite
del tiempo que tarda en recorrer exista.
una órbita alrededor del sol es pro-
porcional al cubo de la longitud del Línea Objeto geométrico que tiene sola-
eje mayor de su órbita. mente una dimensión: longitud. La
línea no tiene espesor ni anchura.
Leyes de los exponentes Vea la deﬁnición
la siguiente ﬁgura es una línea:
«Reglas de los exponentes».

Leyes de Newton Las tres leyes del
movimiento propuestas por Sir. Isaac
Newton son las que han permitido un
avance en las ciencias y en la tecnología:

1. (Ley de inercia) Todo cuerpo Usualmente en geometría cuando deci-
mantiene su estado de movimiento mos línea nos referimos a cualquier tipo
rectilíneo uniforme, a menos que de línea, aunque muchos entienden so-
una fuerza externa lo obligue a lamente una línea recta.
cambiar dicho estado. La línea recta es un caso particular muy
2. (Ley de fuerza) El cambio en la especial de línea.
cantidad de movimiento de un
cuerpo es proporcional a la fuerza Literal Letra que representa una cantidad en
ejercida sobre el cuerpo, y ocurre álgebra. Las literales también pueden
sobre la línea recta sobre la cual se ser letras del alfabeto griego.
aplica la fuerza. Por ejemplo, en la fórmula: L
3. (Ley de acción y reacción) Para
toda fuerza ejercida sobre un b ×h
A=
cuerpo, existe otra fuerza contraria 2
de misma magnitud y dirección,
pero con sentido opuesto. la literal A representa el área de un trián-
gulo, la literal b representa la base de ese
Libra Unidad de peso equivalente a 0.454 kg, triángulo y la literal h representa la al-
o bien a 16 onzas. tura del mismo.
Límite (Álgebra) En un intervalo, los límites
son los valores extremos del mismo.
Por ejemplo, en el intervalo [a ,b ], los
h
límites son los valores a (límite inferior)
y b (límite superior).
(Análisis) El límite de la función f b
cuando la variable independiente tiende
a un valor constante k se denota por:

lim f (x ) = M Litro Unidad de volumen equivalente a 1
x →k
dm3 .
y M representa el valor al cual se acerca Frecuentemente se utilizan los siguien-
conforme los valores de x se aproximan tes múltiplos y submúltiplos del litro:


92 Logaritmo–Lugar Geométrico

Nombre Símbolo Equivalencia por log x , y se entiende que es equiva-
lente a escribir:
Mirialitro ML 10 000 L
Kilolitro KL 1 000 L log x = log10 x
Hectolitro HL 100 L
Decalitro daL 10 L Es decir, cuando la base del logaritmo no
Decilitro dL 0.1 L se especifíca, se entiende que es 10.
Centilitro cL 0.01 L Al logaritmo vulgar también se le conoce
Mililitro mL 0.001 L como logaritmo común.
Por ejemplo, dado que 10 000 = 104 ,
Un metro cúbico equivale a 1 000 litros,
log(10 000) = log10 (10 000) = 4
es decir,

(1 m)3 = (10 dm)3
1 m3 = 1 000 dm3 Lógica Rama de la filosofía que se encarga del
estudio de los métodos y principios uti-
porque un metro equivale a 10 decíme- lizados en la validación de argumentos
tros. en el razonamiento.
Las matemáticas utilizan a la lógica para
Logaritmo Exponente al cual debe elevarse que sus demostraciones sean irrefuta-
la base para obtener como resultado un bles.
número dado.
Si y = a x , donde a 0 y a 1, entonces, Longitud (Geometría) Dimensión mayor de
un objeto.
L se define:
loga y = x Distancia más corta entre dos puntos.
Medida de una distancia.
y se lee: «el logaritmo del número y en la Por ejemplo, la longitud de un árbol es
base a es igual a x ». 35 metros.
Por ejemplo, dado que 23 = 8, entonces, (Cartografía) Ángulo con vértices en un
punto sobre la superficie de la tierra, el
log2 8 = 3
centro de ésta y el meridiano de referen-
cia. El meridiano de referencia mundial
y se lee: «el logaritmo de 8 en base 2 es
es el meridiano de Greenwich. La longi-
3».
tud se abrevia como long.
Logaritmo natural Logaritmo cuya base es el Cuando el punto sobre la superficie de la
número de Euler, e ≈ 2.7182818. tierra se encuentra al este del meridiano
El logaritmo natural del número x se de referencia, se considera positivo.
denota por ln x , y se entiende que es En navegación marítima la longitud se
equivalente a escribir: denota con la letra griega ω.

Lugar Geométrico Es el conjunto de puntos
ln x = loge x
que satisfacen un conjunto de condi-
donde e ≈ 2.718281828. ciones dadas.
Por ejemplo, la parábola es el lugar
Logaritmo vulgar Logaritmo en base 10. El geométrico de los puntos que equidistan
logaritmo vulgar del número x se denota de un punto fijo F (foco) como de una


Lúnula–Lustro 93

recta ﬁja (directriz) que no pasa por el
foco.

Eje
F

Directríz
Lúnula
Lúnula región del plano delimitada por
dos arcos de circunferencia de radios Lustro Unidad de tiempo equivalente a cinco
diferentes. años.

L


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M Efrain Soto Apolinar

Magnitud La magnitud de un vector es igual Mapeo Sinónimo de función.
a su longitud. Vea la definición de «Función».
Por ejemplo, considerando el vector v =
(3, 4),
Marca de clase Cuando se agrupan datos de
y una muestra, se definen clases a partir
v = (3, 4) de intervalos. La marca de clase es igual
al promedio de los extremos (valores
límite) de los intervalos.
Por ejemplo, supongamos que las
fracciones de la población en los
siguientes rangos de edades de un
x pueblo se reparten como sigue:

su magnitud v , se calcula aplicando el
teorema de Pitágoras, como se muestra Rango Cantidad Marca de clase
enseguida:
0 – 10 250 5
v = 32 + 42 = 25 = 5 10 – 20 1 200 15
20 – 30 2 500 25
En general, para el vector v = (v x , v y ),
30 – 40 1 225 35
su magnitud puede calcularse con la fór-
40 – 50 850 45
mula:
50 – 60 750 55
2
v = (v x )2 + v y 60 – 70 425 65
70 – 80 250 75
Observa que la magnitud de un vector 80 – 90 37 85
no puede ser negativa. 90 – 100 13 95
Mantisa La parte de un logaritmo que está a
la derecha del punto decimal.
Por ejemplo, sabiendo que ln(π) ≈ La marca de clase de cada una de las
1.144729886, su mantisa es 0.144729886. clases definidas, son, 5, 15, 25, 35, 45, 55,
65, 75, 85 y 95, respectivamente.

96 Matemáticas–Máximo absoluto de una función

Matemáticas Es la ciencia que estudia las Por ejemplo,
cantidades, estructuras, espacios y el
2 −1 7
cambio. La matemática deduce de
1 4 −3
manera irrefutable cada conjetura acep-
tada basándose en axiomas y teoremas es una matríz 2 × 3, que indica que es de
ya demostrados. dos renglones por tres columnas.
Las matemáticas tiene muchas ramas.
Matríz cuadrada Aquella matríz que tiene el
Algunas de ellas son:
mismo número de renglones como de
Teoría de conjuntos columnas.
Por ejemplo, la siguiente es una matríz
Aritmética cuadrada de 3 × 3:
 
Álgebra a 11 a 12 a 13
 a 21 a 22 a 23 
 
Geometría
a 31 a 32 a 33
Análisis matemático
Topología Matríz identidad Matríz cuadrada que tiene
ceros en todos sus elementos, excepto
A su vez, cada una de estas ramas
en la diagonal principal, cuyos elemen-
tiene otras subramas que hacen un es-
tos son unos.
tudio más particular en cada caso. Por
La siguiente matríz es una matríz identi-
ejemplo, la geometría se subclasiﬁca en
dad:
geometría plana, geometría analítica,
 
1 0 0
etc.  0 1 0 
 
0 0 1
M Matemáticas aplicadas El estudio de las téc-
nicas y métodos de las matemáticas
para la resolución de problemas que se Matríz inversa La inversa de la matríz
presentan en los sistemas creados por la cuadrada M se denota por M −1 y es otra
sociedad y en el estudio de la naturaleza matríz del mismo tamaño que M y tiene
(económicos, industriales, ecológicos, la propiedad de que al multiplicarla por
etc.) M obtenemos la matríz identidad.
Una matríz cuadrada tiene inversa si
Matemáticas puras Estudio de las matemáti- y solamente si, su determinante es
cas, su teoría, estructura, métodos y pro- distinto de cero.
cedimientos, con el ﬁn de incrementar
Máximo Valor más grande que toma o puede
el conocimiento matemático. En este
tomar una variable.
caso, las aplicaciones de las matemáti-
cas no se tienen en cuenta, aunque Máximo absoluto de una función El máximo
generalmente lo que se descubre en las absoluto de una función f es el valor x M
matemáticas puras puede ser utilizado de la variable independiente que hace
en otras ramas de la ciencia como la que f (x M ) cumpla:
física.
f (x M ) ≥ f (x )∀x ∈ D f
Matríz En matemáticas, una matríz es un En palabras, si al evaluar la función
arreglo rectangular de números. y = f (x ) en el punto x M obtenemos el


Máximo común divisor–Media aritmética 97

máximo valor que puede tomar la fun- en ese intervalo, entonces f tiene un
ción en todo su dominio, entonces f máximo en x M y su valor es f (x M ).
tiene un máximo absoluto en x M , y su La siguiente gráfica muestra una función
máximo es f (x M ). con un un máximo relativo en x = q y un
mínimo relativo en x = p :
Máximo común divisor El máximo común
divisor de varios números es el número
entero más grande por el cual todos los y
números son divisibles.
El máximo común divisor de los f (q )
números a y b se denota por:
M.C.D.(a ,b ). y = f (x )
Por ejemplo, el M.C.D.(4, 12, 20) es 4.
Para calcular el M.C.D.(4, 12, 20) vamos f (p )
simplificando sacando mitad, tercera
x
parte, etc., hasta que no se puedan a p q b
simplificar más. Multiplicamos los
números entre los que se dividen los
Mayor que Decimos que a es mayor que b si
números 4, 12 y 20 simultáneamente:
la diferencia a − b es positiva y lo deno-
tamos por a b .
4 12 20 2 −→ mitad
Por ejemplo, 10 es mayor que 6, porque
2 6 10 2 −→ mitad
10 − 6 = 4, y 4 es un número positivo.
1 3 5 3 −→ tercera parte
Vea la definición de «Desigualdad».
1 1 5 5 −→ quinta parte
1 1 1 −→ terminamos Mecánica Rama de la física que se encarga
de estudiar el movimiento de los cuer- M
El M.C.D.(4, 12, 20) es: pos debido a la acción de fuerzas sobre
éstos.
2×2=4
Media armónica La media armónica de una
Observa que no multiplicamos ni por 3 muestra de n datos {x 1 , x 2 , · · · , x n } se
ni por 5 porque no dividen a los tres define como
números 4, 12 y 20 simultáneamente.
1
Mh =
Máximo relativo de una función El máximo 1 1 1
+ + ··· +
relativo de una función f en el inter- x1 x2 xn
valo [a ,b ] es el valor x M de la varia-
ble independiente que hace que f (x M ) La media aritmética x de un conjunto de
cumpla: valores siempre es mayor que la media
armónica M h de ese mismo conjunto.
f (x M ) ≥ f (x )∀x ∈ [a ,b ]
Media aritmética La media, o media arit-
En palabras, si x M está en intervalo mética x de una muestra de n datos
[a ,b ], es decir, cumple con a ≤ x M ≤ b , y {x 1 , x 2 , · · · , x n } se define como:
al evaluar la función f en x M obtenemos x1 + x2 + · · · + xn
el máximo valor que la función tome x=
n

98 Media geométrica–Mediatriz

En otras palabras, la media aritmética de Media proporcional La media proporcional
una muestra es igual al promedio de los x de los números p y q es:
datos.
x = pq
Media geométrica La media geométrica x g
de dos números p,q (no negativos) se
La media proporcional coincide con la
define como la raíz cuadrada de su
media geométrica de dos números.
producto:
xg = p ·q
Mediana La mediana de un triángulo es la
La media geométrica de n datos recta que pasa por el punto medio de un
{x 1 , x 2 , · · · , x n } se define como la enésima lado y por el vértice opuesto.
raíz del producto de todos los datos:

xg = n
x1 · x2 · · · · · xn

donde se supone que el cálculo de la raíz
indicada es posible.

Media ponderada Dados los valores ana M
di
x 1 , x 2 , · · · , x n , cada uno con peso Me
w 1, w 2, · · · , w n , respectivamente, la
media ponderada se define como:
w 1x 1 + w 2x 2 + · · · + w n x n
xp =
w1 + w2 + · · · + wn
Las tres medianas de un triángulo
Por ejemplo, considera que se compran se cortan en un punto que se llama
3 kg de tomate, cada kilogramo a $12.00
M pesos, 7 kg de cebolla, cada kilogramo
«baricentro».

a $8.00 pesos y 5 kg de papa, cada kilo-
gramo a $14.00 pesos. El precio prome-
dio de lo que se ha comprado se calcula
con la media ponderada, y en este caso
es igual a: Baricentro
(3)(12) + (7)(8) + (5)(14)
xp =
3+7+5
162
= = 10.8
15
Observa que, como estamos prome-
diando el precio, sumamos en el El baricentro es el centro de gravedad
denominador los kilogramos que com- del triángulo.
pramos de cada producto.
Si en el denominador ponemos la suma Mediatriz La mediatriz de un segmento es
de los precios estaremos calculando la la recta perpendicular al segmento que
media ponderada del número de kilo- pasa por su punto medio.
gramos que se compró de todos los pro- La siguiente figura muestra la mediatriz
ductos adquiridos. del segmento A B :


Medida–Mega- 99

Me B
dia
tri
z m

3 cm
5c
M

4 cm
A
Medidas de dispersión Valor que indica
la variabilidad de los valores de un
conjunto de datos.
El punto M mostrado en la ﬁgura es el Las medidas de dispersión más
punto medio del segmento A B . frecuentemente utilizadas son el rango,
La mediatriz tiene la propiedad de que el rango intercuartílico, la desviación
cualquiera de sus puntos equidista de media, la desviación media absoluta, la
los extremos del segmento sobre la cual desviación estándar, siendo ésta última
se le construyó. la más usada.
En un triángulo, las tres mediatrices
se cortan en un punto que se llama Medidas de tendencia central Constante lla-
«circuncentro». mada valor central, alrededor de la cual
se concentran los valores de un conjunto
de datos observados.
Las medidas de tendencia central son la
media (aritmética), la moda y la medi-
ana.
La medida de tendencia central más
frecuentemente utilizada es la media.
M
Medio Cuando dividimos un entero en dos
partes iguales, cada una de ellas es un
medio, o bien, una mitad del entero.
Circuncentro

1 1
Como el circuncentro equidista de los 2 2
tres vértices del triángulo, es el centro
de la circunferencia que pasa por los tres
vértices del mismo.
Mega- Preﬁjo que indica 106 . Se abrevia
con a letra M. Por ejemplo, un Megalitro
Medida Dimensión o capacidad de algún equivale a un millón de litros, es decir,
objeto. 1 ML = 106 L.
Por ejemplo, la medida de los lados del Observa que «Mega-» se abrevia con M
siguiente triángulo son 4 cm, 3 cm y 5 cm (mayúscula), mientras que «mili-» con m
respectivamente: (minúscula).


100 Menor que–mili-

Menor que Decimos que a es menor que b si
la diferencia a − b es negativa y lo deno-
tamos por a b .
Por ejemplo, 6 es menor que 8, porque
1 m3
6 − 8 = −2, y −2 es un número negativo.
1m
Vea la definición de «Desigualdad».

Mes Un mes es la unidad de tiempo que se 1m
utiliza para dividir el año y es aproxi-
1m
madamente igual a 30 días.
Diferentes meses tienen diferente du-
ración. Micro- Prefijo que indica 10−6 . Se abrevia con
Para el cálculo de interés y amortiza- la letra griega µ.
ciones se supone que el mes tiene 30 Por ejemplo, un micrometro es una
días. millonésima parte de un metro, y se
denota por 1 µm = 10−6 m.
Método de exhaución Método utilizado
Miembro En una igualdad, las expresiones
para el cálculo del área de una figura,
que se encuentran a la derecha y a
construyendo polígonos en ésta y calcu-
la izquierda del signo de igual son los
lando la suma de las áreas de estos.
miembros.

Metro Unidad de medida de la distancia x 2 y 2 − 2 x + 3 y = x 2 − 10 x y + 5 y 2
usado en el Sistema Internacional de
miembro izquierdo miembro derecho
Unidades. El símbolo utilizado para el
metro es m.
M (Teoría de conjuntos) Decimos que un
elemento es miembro de un conjunto si
Metro cuadrado Unidad de área que consiste pertenece al conjunto.
en un cuadrado cuyos lados miden un Por ejemplo, 2 es miembro del conjunto
metro de longitud. El símbolo para de- {0, 1, 2, 3, 4}. En este sentido, la palabra
notar al metro cuadrado es m2 . «miembro» es sinónimo de «elemento».

Milésimo (1.) Un milésimo es equivalente a
una de las partes de un entero que ha
sido dividido en mil partes del mismo
1m 1 m2 tamaño.
(2.) En un número con decimales, el
dígito de los milésimos es el dígito que
se encuentra en la tercera posición a la
1m derecha del punto decimal.
Por ejemplo, en el número 1.23456, el
dígito «4» corresponde a los milésimos.
Metro cúbico Unidad de volumen que
consiste en un cubo cuyas aristas miden mili- Prefijo que indica 10−3 . Se abrevia con
un metro de longitud. El símbolo para m.
denotar al metro cúbico es m 3. Por ejemplo, un mililitro representa 10−3


Milla–Mínimo relativo de una función 101

litros. Es decir, 1 mL = 10−3 L. Mínimo común múltiplo Dados varios
Observa que la abreviación debe hacerse números enteros, su mínimo común
con una m minúscula. Cuando la abre- múltiplo (M.C.M.) es el menor número
viación corresponde a una M (mayús- entero positivo que es múltiplo de todos
cula) se trata del prefijo «Mega-». ellos.
Por ejemplo, el M.C.M. de 4, 12 y 20 es
Milla Unidad de distancia en el sistema 60.
Inglés que es equivalente a 1 609 metros Para calcular el M.C.M. de estos
(milla terrestre). Una milla también es números vamos simplificando sacando
igual a 1 760 yardas. mitad, tercera parte, etc., hasta que no se
puedan simplificar más. Multiplicamos
Milla marina Unidad de distancia en el los números entre los cuales dividimos y
sistema Inglés que es equivalente a 1 852 ese resultado es el M.C.M.
metros.
4 12 20 2 −→ mitad
Millón Número equivalente a 1 000 000. Es 2 6 10 2 −→ mitad
decir, el millón se escribe con un 1 1 3 5 3 −→ tercera parte
seguido de 6 ceros. 1 1 5 5 −→ quinta parte
1 1 1 −→ terminamos
Mínimo Valor más pequeño que acepta o
puede tomar una variable. El M.C.M. de (4, 12, 20) es:

2 × 2 × 3 × 5 = 60
Mínimo absoluto de una función Si el
número k , tiene la propiedad de que
f (k ) ≤ f (x ) para cualquier x que esté
en el dominio de f , entonces decimos Mínimo relativo de una función Dado el
que la función f tiene un mínimo abso- intervalo [a ,b ], si el número k , tiene M
luto en x = k , y su valor mínimo es f (k ). la propiedad de que f (k ) ≤ f (x ) para
Matemáticamente esto se escribe: cualquier x que esté dentro del intervalo
[a ,b ], entonces decimos que la función
Si ∃ k | f (k ) ≤ f (x )∀x ∈ D f f tiene un mínimo relativo en x = k , y su
valor mínimo es f (k ).
Entonces, f tiene un mínimo absoluto La siguiente gráfica muestra una fun-
en x = k , y su valor es f (k ). ción con un mínimo relativo en x = p y
un máximo relativo en x = q :
Mínimo común denominador Número
entero que es el mínimo común múlti-
y
plo de los denominadores de dos o más
fracciones.
Por ejemplo, considerando las fraccio- f (q )
nes 2/3 y 3/5, el mínimo común y = f (x )
denominador es el mínimo común
múltiplo de 3 y 5, que son los denomi- f (p )
madores de las fracciones. Es decir,
el mínimo común denominador de las x
2/3 y 3/5 es 15.
a p q b
fracciones


102 Minuendo–Muestreo

Minuendo En una resta, el minuendo es el número a es congruente con k módulo
número del cual se está restando otra b , y se denota por: a ≡ k mod b , si es
cantidad. posible escribir:

9 876 minuendo a =b m +k
− 5 324 sustraendo
4 552 diferencia donde m ∈ .
En otras palabras, si el número a −
k es divisible por b , entonces a es
Minuto (ángulo) un 1/60 de un grado sexa- congruente con k módulo b .
gesimal. Es decir, 60 minutos forman un Por ejemplo, 14 ≡ 4 mod 5, porque:
grado sexagesimal.
(tiempo) un 1/60 de una hora. Es decir, 14 = 5 × 2 + 4
60 minutos forman una hora.
Un minuto está formado por sesenta Es decir, 14 − 4 es divisible por 5.
segundos, tanto en el caso de unidad de (Geometría) El módulo de un vector es
medida de ángulos como de tiempo. igual a su longitud. Si el vector es v =
(a ,b ), su módulo se calcula usando la
Moda En una muestra, la moda es el valor que
fórmula:
aparece con mayor frecuencia.
Para el caso de datos agrupados, la moda
v = a2 +b2
está representada por la marca de clase
de la clase con mayor frecuencia.
El módulo del vector también se conoce
como su magnitud.
f (Variable compleja) El módulo de un
M número complejo z = a + i b , se denota
por |z | y es igual a:

|z | = a2 +b2

Observa que: a 2 + b 2 = z · z .
x
A B C D E F
Monomio Polinomio que tiene exactamente
un término.
En el histograma mostrado, la marca de
Por ejemplo, 7 x 2 y 4 es un monomio.
clase de la clase C es la moda por tener
Cuando hablamos de polinomios,
la mayor frecuencia.
monomio es sinónimo de término.
Modelo Representación teórica de una
situación real a través de símbolos Muestra Parte de una población que se elije
matemáticos que sirve para explicar y/o aleatoriamente para que la represente
pronósticar el comportamiento de un en un estudio estadístico.
fenómeno.
Muestreo Selección de una muestra de una
Módulo (Teoría de números) Dados los población para que la represente en un
números enteros a ,b, k , decimos que el estudio estadístico.


Multiplicación–Mutuamente exluyentes, eventos 103

Multiplicación Operación binaria que Múltiplo El número entero m es múltiplo
consiste en una abreviación de la suma del número entero a si puede expresarse
repetida de un mismo número varias como: m = a ·k , donde k es otro número
veces. entero.
Por ejemplo, la multiplicación de 7 por 4 Por ejemplo, el número 12 es múltiplo de
se denota por: 7 × 4 y significa sumar el 3, porque 12 = 3 × 4.
número 7 cuatro veces.
Cuando se trata de otros objetos Mutuamente exluyentes, eventos Dos even-
matemáticos (fracciones, convectores, tos A y B son mutuamente excluyentes
etc.) la multiplicación se realiza de si el hecho de que ocurra uno hace im-
diferente manera. posible la ocurrencia del otro. En otras
palabras, si la ocurrencia simultánea de
Multiplicación de fracciones Vea la defini-
ambos eventos es imposible, los eventos
ción «Producto de fracciones».
son mutuamente excluyentes.
Multiplicación de números compleos Vea la Por ejemplo, si al observar la variable
definición «Producto de números com- aleatoria X que consiste en el resultado
plejos». de un volado (águila, sol), A corres-
ponde al evento «cayó sol» y B al evento
Multiplicidad Una raíz r de una ecuación «cayó águila», entonces los eventos A y
polinomial es de multiplicidad k si B son mutuamente excluyentes, porque
podemos factorizar el binomio x − r , k no podemos tener en un solo experi-
veces en la ecuación. mento ambos resultados: o cae águila, o
Por ejemplo, en la ecuación: cae sol.
Dos eventos mutuamente exluyentes no
(x − 3)7 (x + 2) = 0
necesariamente abarcan todo el espacio
la raíz x = 3 es de multiplicidad 7. muestral. M


104

ita
atu
gr
ión
uc
rib

M
ist
ed
d
ro
Lib


N

Símbolo que representa el conjunto de los neperianos.
números naturales. Vea la definición de «Logaritmo
natural».
= {1, 2, 3, 4, · · · }
Newton, binomio de Producto notable que
Vea la definición: «Número natural». sirve para calcular cualquier potencia
de un binomio de forma directa, cuya
Natural, logaritmo Logaritmo calculado en fórmula es:
la base e .
Vea la definición de logaritmo. (x +y )n = x n +nx n−1 y +· · ·+nx y n −1 +y n
El binomio de Newton también se
Negativo En la recta numérica, al origen
conoce como «teorema del binomio».
se le asigna el cero, a la derecha se
Los coeficientes del polinomio de ele-
encuentran los números positivos y a su
var el binomio a la potencia n pueden
izquierda los números negativos.
calcularse usando el triángulo de Pascal
Un número es negativo cuando es
o usando la fórmula de combinaciones:
menor que 0. n
Vea la definición de «recta real». n
(x + y )n = x n −k y k
En matemáticas indicamos que una k
k =0
cantidad es negativa anteponiendo el Vea la definición de «combinación».
símbolo −.
Norma Longitud de un vector. La norma de
Negativo, ángulo Ángulo cuya medida se da a un vector también se llama «magnitud»
favor del giro de las manecillas del reloj. del vector.
Vea la definición de «Magnitud».

Normal Sinónimo de perpendicular.
Vea la definición de «Perpendicular».

Normal, distribución Distribución de
−α probabilidad continua que presentan
muchos fenómenos donde cada dato
Neperiano, logaritmo Los logaritmos pueden interpretarse como el promedio
naturales también se llaman logaritmos de varias mediciones.

106 Normal, recta–Notación científica

Por ejemplo, cuando medimos una En otras palabras, normal es sinónimo
distancia, cometemos un error de medi- de perpendicular.
ción que tiene distribución normal. La
Normalización Transformación de una
distribución del error de la medición es
variable aleatoria que presenta distribu-
simétrica respecto del valor verdadero
ción normal para que presente una dis-
de la distancia. En este ejemplo, cada
tribución normal estándar.
medición puede considerarse como el
Si X es una variable aleatoria que pre-
promedio de varias mediciones sepa-
senta distribución normal N (µ, σ2 ), su
radas.
normalización consiste en transfor-
La distribuión normal se utiliza
marla en la variable Z , que se obtiene
frecuentemente como una aproxi-
con:
mación a la distribución binomial. X −µ
La distribución normal se define con la Z=
σ
media poblacional µ y su varianza σ2 . donde µ es la media de la población y σ
Si la media de la distribución es cero y es la desviación estándar de la misma.
su varianza 1, la distribución se conoce La variable Z presenta una distribución
como distribución normal estándar. normal con media µ = 0 y desviación
Esta distribución es muy importante en estándar σ = 1.
probabilidad y estadística.
La forma de la gráfica de la distribución Norte Uno de los cuatro puntos cardinales
normal es la de una campana, por eso que indica la dirección al polo norte
frecuentemente se le llama la «campana terrestre.
de Gauss» Norte geográfico Dirección al Norte indicada
y en un mapa geográfico que indica la di-
rección al polo norte terrestre.

Norte magnético Dirección Norte indicada
N µ
x por una brújula. El Norte geográfico
no necesariamente debe coincidir con
el Norte magnético. Depende del lu-
La gráfica tiene las siguientes gar del planeta desde donde se haga
propiedades: la medición. Generalmente existe una
Tiene un máximo en x = µ (media). pequeña diferencia de manera que el
norte magnético sirve como una buena
La curva es simétrica respecto de la aproximación al norte geográfico.
media.
La media, la mediana y la moda Notación Simbología utilizada en las ciencias
coinciden en el máximo de la fun- (no solamente en matemáticas) para
ción. representar objetos abstractos de una
forma comprensible para su estudio y
El eje horizontal es una asíntota de análisis.
la curva.
El área total bajo la curva es 1. Notación científica Forma de escribir
números muy grandes o muy pequeños.
Normal, recta Una recta es normal a otra La forma de escribir un número en
recta si son perpendiculares. notación científica se basa en la primera


Notación sigma–Número 107

cifra del número, inmediatamente Esta notación es muy utilizada en Cál-
después el punto decimal y algunas culo Integral cuando se define la integral
otras cifras del número complemen- definida como una suma de Riemann.
tando con el número 10 elevado a una
Noveno Cuando dividimos un entero en
potencia igual al número de cifras que
nueve partes iguales, cada una de ellas
queda recorrido el punto decimal a la
es un noveno, o bien, una novena parte
izquierda.
del entero.
Por ejemplo, el número 1 537 000, en no-
tación científica se escribe como:

1 537 000 = 1.537 × 106
1 1 1 1 1 1 1 1 1
Observa que el punto decimal se 9 9 9 9 9 9 9 9 9
recorrió seis cifras a la izquierda, por eso
escribimos exponente 6 al número 10.
Cuando el punto decimal se corre hacia
la derecha, el exponente debe tener Nulo Se dice que algo es nulo cuando vale
signo negativo. cero.
Por ejemplo, el número 0.00035 escrito Por ejemplo, un ángulo nulo mide cero
en notación científica es: grados.

0.00035 = 3.5 × 10−4 Nulo, conjunto Conjunto que tiene cero
elementos. Es decir, el conjunto nulo es
Ahora el punto decimal se ha recorrido el conjunto vacío (∅).
4 lugares a la derecha, por eso el
exponente tiene signo negativo. Numerador En una fracción, el numerador
indica cuántas partes vamos a tomar de
Notación sigma Notación matemática que las que fue dividido el entero.
permite indicar la suma de varios térmi-
numerador
nos de una sucesión. Fraccion =
denominador
N
Si x 1 , x 2 , · · · , x n son los términos de una
sucesión que deben sumarse, esta op- En la fracción el numerador se escribe
eración se puede indicar con la notación arriba y el denominador abajo.
sigma de la siguiente manera: Numeral Palabra o símbolo que denota un
n número.
xi = x1 + x2 + · · · + xn Por ejemplo, 1, 2, 3 son numerales en
i =1 nuestro sistema de numeración (arábi-
Y se lee: «La suma de todos los términos cos). En el sistema de numeración ro-
x i donde el índice i va desde 1 hasta n». mano se encuentran I, II, III.
Por ejemplo, consideremos la sucesión
Número Símbolo matemático que denota
de los primeros 100 números naturales.
una cantidad. En matemáticas los
Entonces, usando notación sigma pode-
números se han clasificado como:
mos indicar la suma de estos términos
como sigue: naturales irracionales
100 enteros reales
i = 1 + 2 + · · · + 100
i =1
racionales complejos

108 Número abundante–Número deficiente

Número abundante Un número natural tal Número cardinal Números que utilizamos
que la suma de sus divisores propios es para indicar cantidades.
mayor a él. Los números cardinales son 1, 2, 3, etc.
Por ejemplo, el número 24 es un número Vea la definición de «Número ordinal».
abundate, porque sus divisores propios
(1, 2, 3, 4, 6, 8, 12) suman 36, que es Número complejo Número que tiene una
mayor que 24. parte real y una parte imaginaria:
A los números abundantes también se
les conoce como «números excesivos». z =a +i b

Número algebraico El número z es un En el número complejo z , a es la parte
número algebraico si satisface una real y b su parte imaginaria.
ecuación polinomial, Por ejemplo, si z = 3 − 2 i , 3 es la parte
real de z y −2 su parte imaginaria.
a 0 + a 1x + a 2x 2 + a 3x 3 + · · · + a n x n = 0

con coeficientes a 0 , a 1 , a 2 , a 3 , · · · , a n Número compuesto Un número natural que
racionales. tiene más de dos divisores.
Por ejemplo, el número 2 sí es un Por ejemplo, el número 9 es compuesto,
número algebraico, porque satisface la porque sus divisores son: 1, 3, y 9.
ecuación polinomial:
Número de Euler Número irracional
−2 + x 2 = 0 denotado por la literal e que se utiliza
Observa que los coeficientes son como la base de los logaritmos natura-
racionales, porque todos los números les y cuyo valor es aproximadamente:
enteros son números racionales. e ≈ 2.718281828459
Algunos números que no son algebrai-
Número de Fermat Un número de la forma:
cos son e y π.
N Número amigable Dos números naturales
n
Fn = 22 + 1
son amigables si la suma de los divisores
propios de cada uno es igual a otro. donde n es un número entero no nega-
Por ejemplo, los números 220 y 284 son tivo.
amigables, porque los divisores propios Por ejemplo,
de 220 (1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 4
110) suman 284, y los divisores propios F4 = 22 + 1 = 216 + 1 = 65537
de 284 (1, 2, 4, 71, 142) suman 220.

Número capicua Un número es capicua si
al leerse de derecha a izquierda se ob- Número deficiente Un número natural tal
tiene el mismo número que si se lee de que la suma de sus divisores propios es
izquierda a derecha. menor a él.
Por ejemplo, los números 111, 34543, Por ejemplo, el número 5 es deficiente,
909 son números capicua. pues su único divisor propio es el 1.
A los números capicua también se les Otro número que es deficiente es el
conoce como «palíndromos». 8, pues sus divisores propios (1, 2, 4)
Vea la definición de «Palíndromo». suman 7, que es menor a 8.


Número e –Número natural 109

Número e Número irracional que sirve una parte real y una parte imaginaria. La
de base para los logaritmos natura- parte imaginaria siempre aparece multi-
les. Su valor es aproximadamente e ≈ plicada por la unidad imaginaria que se
2.718281828459. denota con la literal i :
El número e también se conoce como el
«número de Euler». z =a +i b

Número entero El conjunto de los números Del número complejo z , la parte real
enteros se deﬁne como los números está representada por la literal a , y la
naturales, el cero, y los naturales dota- parte imaginaria por b .
dos del signo negativo:
Número impar Número que al dividirse
= {· · · , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, · · · }
entre dos deja resíduo 1.
Un número entero es cualquiera de los Por ejemplo, los números 1, 3, 5, 7, · · · son
elementos del conjunto de los números impares.
enteros. Todos los números naturales
son también números enteros. Número imperfecto Número que no es per-
fecto. Es decir, un número es imperfecto
Número excesivo Un número natural tal que si la suma de sus divisores propios es
la suma de sus divisores propios es diferente al número.
mayor a él. Por ejemplo, 8 es un número imperfecto,
Por ejemplo, el número 24 es un número porque la suma de sus divisores propios:
excesivo, porque sus divisores propios 1 + 2 + 4 = 7, no es igual a 8.
(1, 2, 3, 4, 6, 8, 12) suman 36, que es
mayor que 24. Número irracional Es el conjunto de todos
A los números excesivos también se les los números que no se pueden expre-
conoce como «números abundantes». sar como el cociente de dos números en-

Número imaginario Número que es múltiplo
teros, donde el denominador es distinto
de cero.
N
de la unidad imaginaria.
Por ejemplo, el número 2 i es un número p
imaginario. = x x , p,q ∈ ;q 0
q
La unidad imaginaria, que se denota
con la literal i , es el número que tiene Un número irracional es cualquier
la propiedad de que cuando se multi- elemento del conjunto de los números
plica por sí mismo obtenemos −1 como racionales.
resultado. Es decir, i 2 = −1. Ningún número racional es irracional y
Los números complejos se llaman ningún número irracional es racional.
números imaginarios puros cuando su Algunos números irracionales muy
parte real es cero. conocidos son π ≈ 3.141592654 · · · y
e ≈ 2.7182818 · · ·
Número imaginario puro Un número es
imaginario puro si al elevarse al Número mixto Número formado por una
cuadrado obtenemos un número real parte entera y una parte fraccionaria.
negativo. Por ejemplo: 1¾.
Un número complejo está formado por


110 Número opuesto–Números pitagóricos

Número natural El conjunto de los números decimoquinto
naturales es el conjunto de números que
decimosexto
usamos para contar:
decimoséptimo
= {1, 2, 3, 4, 5, · · · }
decimoctavo
Observa que el cero no es un elemento decimonoveno
de este conjunto.
Un número natural es cualquiera de los vigésimo
elementos del conjunto de los números
Los siguientes números ordinales se
naturales.
nombran anteponiendo la raíz greco-
Número opuesto El número opuesto del latina de las decenas del número (tri,
número a es el número −a . tetra, penta, etc.) seguido de «-gésimo»
Geométricamente el opuesto de un y el número ordinal correspondiente
número está a la misma distancia del entre primero y noveno.
origen, pero del lado opuesto. Por ejemplo, el número ordinal 35 se
Al número opuesto de un número tam- nombra: «trigésimo-quinto».
bién se le llama simétrico. Vea la definición de «Número cardinal».
Un número y su opuesto tienen el
mismo valor absoluto. Número par Número que es divisible entre
Vea la definición de «Valor absoluto». dos. Es decir, un número par tiene al
dos como factor al menos una vez en su
Número ordinal Números que indican la descomposición en factores primos.
posición ordenada de un conjunto de Por ejemplo, los números 2, 4, 6, 8, 10, · · ·
objetos. son números pares.
Los primeros 20 números ordinales son:
Número perfecto Un número natural tal que
N primero
la suma de sus divisores propios es igual
segundo a él.
tercero Por ejemplo, el número 6 es un número
perfecto, porque sus divisores propios
cuarto
(1, 2, 3) suman 6.
quinto
sexto Números pitagóricos Una tercia de números
entero a ,b, c que satisfacen:
séptimo
octavo a2 +b2 = c2
noveno
Por ejemplo, los números 3, 4, 5 son una
décimo tercia de números pitagóricos porque:
decimoprimero
decimosegundo 32 + 42 = 52

decimotercero Hay un número infinito de tercias de
decimocuarto números pitagóricos.


Número primo–Números romanos 111

Número primo Número natural que tiene En otras palabras, dos números son
exactamente dos divisores. primos relativos, si al formar una frac-
Por ejemplo, el número 2 es primo, pues ción con ellos, ésta no se puede simplifi-
sus únicos divisores son 1 y 2. car.
El número 9 no es un número primo, Por ejemplo, 8 y 7 son primos relativos.
pues tiene 3 divisores: 1, 3, y 9. Observa que no se requiere que los dos
Los primeros 20 números primos son los números considerados a ,b sean primos,
siguientes: sino que satisfagan que M.C.D.(a ,b ) =
1.
2 3 5 7 11
13 17 19 23 29 Números racionales Es el conjunto de todos
31 37 41 43 47 los números que se pueden expresar
53 59 61 67 71 como el cociente de dos números en-
teros, donde el denominador es distinto
Observa que un número impar no es de cero.
necesariamente primo. Por ejemplo, el
p
21 no es primo, pues tiene 4 divisores (1, = x x = , p,q ∈ ;q 0
3, 7, 21). q

Número simétrico Sinónimo de número Un número racional es cualquier
opuesto. elemento del conjunto de los números
Vea la definición de «Número opuesto». racionales.
Todos los números enteros y todos
Número trascendental Número irracional los números naturales también son
que no puede ser raíz de una ecuación números racionales.
polinomial con coeficientes racionales. Por ejemplo, los números:
Por ejemplo, el número e es un número
trascendental. 1 3 2 18
2
,
7
, − ,
5
−
7 N
Números cardinales Números que indican la
cantidad de elementos de un conjunto. son números racionales.
Los números 1, 2, 3, etc., son los
Números reales Conjunto de números que se
números cardinales.
obtiene como la unión de los conjun-
Números ordinales Números que denotan tos de los números racionales y de los
un orden. Los números ordinales son números irracionales:
primero, segundo, tercero, etc.
= ∪
Números primos gemelos Se dice que dos
números primos son primos gemelos si
la diferencia entre ellos es igual a 2.
Por ejemplo, los números 11 y 13 son Números romanos Sistema de numeración
primos gemelos, así como 29 y 31. decimal, no posicional, utilizado por los
antiguos romanos. En este sistema el I
Números primos relativos Decimos que dos representa al 1, V al 5, X al 10, L al 50, C
números son primos relativos si el máxi- al 100, D al 500 y M al 1 000.
mo común divisor entre ambos es 1. No tenían un símbolo para el cero.


112 Números triangulares

Números triangulares El conjunto de los Los números triangulares se obtienen
números generados a partir de arreglos sumando los puntos que están con-
triangulares de puntos: {1, 3, 6, 10, · · · }. tenidos en el triángulo. Es decir, pode-
En la siguiente ﬁgura se muestra el mos calcular el enésimo número trian-
quinto número triangular (15): gular utilizando la fórmula de la suma de
Gauss:
n · (n + 1)
S=
2
Por ejemplo, el quinto número triangu-
lar (n = 5) es: S = (5)(6)/2 = 30/2 = 15.

N


O

Observación Resultado de la obtención de Octágono Polígono de 8 lados y 8 ángulos.
información de una variable estadística
en un estudio científico relativo a una
población específica.
Por ejemplo, cuando se mide la altura de
los estudiantes de un grupo, cada medi-
ción realizada es una observación.

Obtuso, ángulo Ángulo que mide más que
un ángulo recto, pero menos que un án-
gulo llano. En otras palabras, un ángulo Octágono
obtuso mide más de 90 ◦ , pero menos

que 180◦ . Octante El espacio tridimensional queda
dividido en 8 partes que se tocan en el
origen de coordenadas. Cada una de
esas 8 partes se llama octante.
α

z
En la figura el ángulo α es obtuso.

Octaedro Sólido geométrico cuyas 8 caras
son triángulos equiláteros.
El siguiente sólido es un octaedro: y

x

Un octante es cada una de las 8 divi-
siones que se muestran en la figura (es-
pacio tridimiensional) anterior.

114 Octavo–Orden de las operaciones

Octavo Cuando dividimos un entero en ocho Optimización Un problema es de optimiza-
partes iguales, cada una de ellas es un ción cuando se requiere maximizar o
octavo, o bien, una octava parte del minimizar una cantidad.
entero.
Opuesto El opuesto del número x es el
número −x .
Por ejemplo, el opuesto del número 3 es
1 1 1 1 1 1 1 1
el número −3, y el opuesto del número
8 8 8 8 8 8 8 8 −10 es el número 10.

Orden (Álgebra) Se dice que los números
reales son ordenados porque satisfa-
Onceavo Un onceavo es equivalente a una cen la tricotomía, es decir, dados dos
de las partes de un entero que ha números reales a ,b cualesquiera, se
sido dividido en once partes del mismo cumple una y solamente una de las
tamaño. siguientes condiciones:

a b
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a =b
11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11
a b

(Teoría de conjuntos) Es igual al
número de elementos que tiene un
conjunto. Es decir, orden es un sinóni-
mo de cardinalidad.
«onceavo» refiriéndose al número ordi-
(Cálculo) El orden de una derivada es
nal «undécimo».
igual al número de veces que se derivó la
Por ejemplo, en un maratón, quien
función.
llegó en el lugar número once, tiene el
Por ejemplo, la derivada de orden dos o
O undécimo lugar, no el onceavo. Onceavo
es una fracción, no un número ordinal.
de segundo orden de la función y = x 2 ,
es y = 2.
Onza Unidad de peso usada en el sistema
Orden de las operaciones El orden de las
Inglés, equivalente a 28.38 gramos.
operaciones es el conjunto de reglas
Operación Proceso definido por medio del que indican qué operaciones deben
cual se obtiene un valor a partir de otros. realizarse primero en una expresión que
Las operaciones más frecuentemente incluye varias operaciones.
usadas con los números son: suma, En resumen, el orden de las operaciones
resta, multiplicación, división, poten- es:
ciación y radicación.
1. Simplificar expresiones dentro de
Operación algebraica En álgebra elemental, signos de agrupación (paréntesis)
las operaciones de suma, resta, multi-
plicación, división, potenciación y ex- 2. Calcular potencias y raíces
tracción de raíz son las operaciones 3. Calcular multiplicaciones y divi-
algebraicas. siones


Ordenada–Ortogonal 115

4. Calcular sumas y restas En la figura, la ordenada del punto
P(3, 2) es y = 2, y su abscisa es x = 3.
Por ejemplo, al evaluar:
3 × 52 + 7 Ortocentro Es el punto donde se intersectan
las tres alturas de un triángulo.
empezamos elevando al cuadrado 5
(prioridad más alta), luego ese resultado
lo multiplicamos por 3 (siguiente
prioridad) y finalmente sumamos 7,
obteniendo:
3 × 52 + 7 = 3 × 25 + 7 = 75 + 7 = 82
Ortocentro
1ro 2do 3ro

Ordenada Dadas las coordenadas de un
punto en el plano, P(x , y ), la primera
coordenada (x ) se llama abscisa y la se-
gunda coordenada (y ) se llama orde- Ortogonal Sinónimo de perpendicular. Por
nada. ejemplo, dos vectores son ortogonales si
son perpendiculares.
y
Vea la definición de «Perpendicular».
3

2 P(3, 2)

1

x
1 2 3 4

O


116

ita
atu
gr
ión
uc
rib
ist

O
ed
d
ro
Lib


P

Palíndromo Un número o una frase es un y
palíndromo si al leerse de derecha a
izquierda se obtiene lo mismo que si se 8
lee de izquierda a derecha.
7
Por ejemplo, los números 111, 34543,
909 son palíndromos. 6
Una frase palíndromo es: «La ruta nos
5
aportó otro paso natural».
4 y = x2

Par Decimos que un número es par si 3
es divisible entre dos. Es decir, un 2
número par tiene al dos como factor al
menos una vez en su descomposición en 1
factores primos. x
Por ejemplo, los números 2, 4, 6, 8, 10, · · · −3 −2 −1 0 1 2 3
son números pares.

Parábola Curva plana generada por un
Par ordenado Un par ordenado se refiere a punto que se mueve de manera que se
un par de valores (x , y ) que determinan mantiene a la misma distancia de un
un objeto matemático que, en general, punto fijo llamado foco y de una recta
satisfacen: (a ,b ) (b, a ), es decir, fija llamada directriz.
los mismos valores en distinto orden
corresponden a dos objetos diferentes.
Por ejemplo, las coordenadas de un
Eje

punto son un par ordenado, porque en
el plano cartesiano, (2, 3) (3, 2).

Par, función Función que tiene la propiedad: F
f (−x ) = f (x ).
Por ejemplo, la función: y = x 2 es par. Directríz

118 Parábola de Fermat–Parámetro

La parábola es una de las cónicas. 1 2
1 2
Vea la definición de «Cónica».

Parábola de Fermat La gráfica de una fun-
ción del tipo y = x n , donde n es un
número natural, se llama parábola de En geometría analítica, sabemos que
Fermat. dos rectas son paralelas si tienen la
La siguiente gráfica es una parábola de misma pendiente.
Fermat cúbica:
Paralelogramo Cuadrilátero que tiene dos
pares de lados opuestos paralelos.
y
y = x3
1
h
x
−3 −2 −1 0 1 2 b
−1 Paralelogramo

−2 El área del paralelogramo es igual al
producto de su base por su altura.
−3 A =b ×h

−4
Paralelepípedo Poliedro de cuyas 6 caras
−5 son paralelogramos que son paralelas en
pares.
−6 Por ejemplo, el cubo es un paralelepípe-
do.
−7

−8

P Parábola cúbica Curva que resulta
Paralelepípedo
de graficar una función cúbica:
y = ax3 +bx2 + cx + d .
Parámetro (1.) Variable que sirve para carac-
Paradoja Una proposición que puede pro- terizar la evolución de un sistema.
barse cierta y falsa sin error lógico (2.) Valor constante que sirve para
aparente. caracterizar a una población.
Por ejemplo, la media es un parámetro
Paralelo Dos rectas que se encuentran en de una población.
un mismo plano son paralelas si no se (3.) Conjunto de valores que determinan
cortan por más que se prolonguen. de manera única una figura geométrica.
En la siguiente figura, las rectas 1 y 2 Por ejemplo, los parámetros a y c de-
son paralelas. Esto se denota como: terminan de manera única a una elipse
1 2. horizontal.


Pascal, Blaise–Pendiente 119

Pascal, Blaise (1 623 – 1 662) Matemático, empezando desde 0 y terminando en 5.
filósofo y teólogo francés. En matemáti- Observa también que la suma de los
cas hizo aportaciones importantes en exponentes de las literales de cada
geometría analítica y en probabilidad. término es 5.
También trabajó en física, específica-
mente en hidrostática. Sus principales Patrón Decimos que una sucesión, una
obras fueron: Ensayo en secciones cóni- figura o un objeto matemático presenta
cas (1 640), Nuevos experimentos rela- un patrón cuando es posible encontrar
cionados con el vacío (1 647), Tratado cierta regularidad en el objeto.
sobre el equilibrio de los líquidos (1 654), Por ejemplo, para la construcción de
La generación de secciones cónicas fractales se sigue un patrón de construc-
(1 654), Tratado en el triángulo arit- ción. En la siguiente figura se muestra el
mético (1 654). fractal de Koch, junto con el patrón que
se encuentra regularmente en él:
Pascal, triángulo de Triángulo que sirve para
calcular los coeficientes de la enésima
potencia de un binomio.
El siguiente diagrama indica cómo cal-
cularlo:

1
1 + 1
1 + 2 + 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1 Patrón
1 5 10 10 5 1
Podemos decir que para la construc-
Suma los dos números que están indica- ción de una sucesión también existe un
dos para obtener el que está en medio de patrón, que consiste en la regla que nos P
ellos en el siguiente renglón. ayuda a generar los números que for-
Para calcular: (x + y )5 calculamos los man la sucesión, uno tras otro.
primeros 6 renglones del triángulo de Por ejemplo, en a sucesión, 3, 10, 24,
Pascal y escribimos los coeficientes, y 52, etc., el patrón o la regla para ir
después las literales con los exponentes generando los términos de la sucesión
que le corresponden: es: «suma dos al último término y mul-
tiplica por dos al resultado».
(x + y )5 = x 5 + 5x 4 y + 10x 3 y 2 + 10x 2 y 3
Pendiente La pendiente m de una recta que
+5x y 4 + y 5 pasa por los puntos P(x p , y p ) y Q(x q , yq ),
se define como el cociente:
Observa que los exponentes de x van
decreciendo, empezando desde 5 y y p − yq ∆y
m= =
terminando en 0, los de y van creciendo, xp − xq ∆x

120 Pentacontágono–Perigonal, ángulo

Geométricamente, la pendiente indica Pentaedro Poliedro de 5 caras.
cuántas unidades avanza verticalmente Una pirámide con base cuadrada es un
la gráfica por cada unidad avanzada en ejemplo de pentaedro.
el sentido del eje x .
La pendiente de una recta es igual a la
tangente del ángulo que ésta forma con
el eje horizontal:

y

Percentil Valores que dividen a las medi-
ciones realizadas en cien partes iguales.
Para hacer el cálculo de los percentiles se
m = tan α
requiere que los datos estén ordenados
α de manera creciente.
x
El p percentil es el valor que tiene p %
de todos los valores por debajo de él y el
Pentacontágono Polígono de 50 lados. (100 − p )% por encima.
Por ejemplo, el 35 percentil es mayor al
Pentacontaedro Poliedro de 50 caras.
35% de todos los valores y es menor al
Pentadecágono Polígono de 15 lados. 65% de todos los valores.

Perfecto, cuadrado Un número es cuadrado
perfecto si su raíz cuadrada es un
número entero.
Por ejemplo, 25 es un cuadrado perfecto,
porque su raíz cuadrada es 5.
5 no es un cuadrado perfecto, porque su
raíz cuadrada no es un entero.

Perfecto, número Un número natural tal que
P Pentadecágono la suma de sus divisores propios es igual
a él.
Pentágono Polígono de cinco lados. Por ejemplo, el número 6 es un número
perfecto, porque sus divisores propios
(1, 2, 3) suman 6.

Perigonal, ángulo Ángulo cuya medida es
igual a 360◦ .

α
Pentágono

En la figura anterior se muestra un pen- En la figura anterior, el ángulo α es
tágono no regular. perigonal.


Perímetro–π (Pi) 121

Perímetro El perímetro de un polígono es 1 ⊥ 2
igual a la suma de las longitudes de sus 2
lados.
El perímetro de una figura geométrica
cerrada (como la circunferencia) es igual
1
a la longitud de la línea que la delimita.
El perímetro es la longitud del contorno
de una figura plana.
Vea la definición de «Contorno».

Periodo Si existe un valor k tal que para todo Pertenencia Decimos que x pertenece al
x , f (x ) = f (x +k ), entonces decimos que conjunto si x es uno de sus elementos,
la función es periódica. El periodo de y se denota como: x ∈ .
una función periódica f es el mínimo Si x no es un elemento del conjunto ,
valor k que cumple: f (x ) = f (x + k ). entonces decimos que x no pertenece al
Por ejemplo, la función seno es periódi- conjunto y lo denotamos como: x .
ca: Por ejemplo, 3 ∈ , pero π . Observa
que el concepto de pertenencia se aplica
y k a los elementos del conjunto, no a sus
subconjuntos. En ese caso usamos
x el concepto de inclusión de conjuntos.
(Vea la definición de «Subconjunto»)
y = sin x
Peso El peso de un cuerpo es igual a la fuerza
con que la tierra lo atrae.
El periodo de la función seno es 2π. En matemáticas frecuentemente se uti-
liza la palabra «peso» para referirse a la
Permutación Una permutación P(n, r ) es
masa del mismo. Cuando decimos que
una secuencia ordenada de r objetos de
las unidades de peso son los gramos (gr)
un conjunto de cardinalidad n.
y los kilogramos (kg), nos referimos a la
P(n, r ) se lee: «el número de permuta-
masa, no al peso. En matemáticas este
ciones de n objetos tomando r a la vez»,
y se calcula con la fórmula:
uso de la palabra peso se ha extendido,
sin embargo, no coincide con la defini-
P
n! ción de peso dada en física.
P(n, r ) =
(n − r )!
π (Pi) El número π se define como el
donde n! es el factorial del número n. resultado de dividir la longitud de una
circunferencia entre su diámetro.
Perpendicular Dos rectas son perpendicula- Este número es irracional, y es aproxi-
res si al cortarse forman cuatro ángulos madamente igual a:
iguales. Es decir, si dos rectas forman
cuatro ángulos rectos cuando se inter- π ≈ 3.141592653589793
sectan, entonces son perpendiculares.
En la siguiente figura las rectas 1 y 2 son Generalmente utilizamos la aproxima-
perpendiculares. Esto se denota como ción: π ≈ 3.1416 para realizar cálculos
1 ⊥ 2. con él.


122 Pictograma–Plano

Pictograma Diagrama que representa datos Implementó el uso de fórmulas y teore-
estadísticos. mas basado en las relaciones matemáti-
El pictograma es útil para la compara- cas. En su enseñanza dió mucha impor-
ción de conjuntos de datos. tancia a los números. Se le atribuyen
varios descubrimientos, principalmente
300 en geometría, como el hecho de que la
250 suma de los tres ángulos internos de un
200 triángulo que se encuentra en el plano
175
suman 180◦ , y el teorema de Pitágoras.
Su escuela creció de manera que influyó
en otros pensadores posteriores, como
Euclides de Alejandría.

Pie Unidad de distancia usada en el sistema Pitágoras, teorema de En todo triángulo rec-
Inglés, equivalente a 12 pulgadas, o bien tángulo que se encuentra en un plano, la
a 30.48 cm. suma de los cuadrados de las longitudes
de los catetos es igual al cuadrado de la
Pie cuadrado Unidad de área utilizada en longitud de la hipotenusa.
el sistema Inglés, equivalente a 0.093 Algebraicamente, si a y b son las longi-
metros cuadrados, o bien, a 144 pul- tudes de los catetos del triángulo rectán-
gadas cuadradas. gulo y c es la longitud de su hipotenusa,
entonces se cumple:
Pie cúbico Unidad de volumen utlizada en
el sistema Inglés, equivalente a 0.02832
c2 = a2 +b2
metros cúbicos.

Pirámide Sólido geométrico con un polígono
como base y triángulos isósceles con un
vértice común como las demás caras del c b
sólido.

P a

Plana, geometría Geometría que estudia ob-
jetos en el plano: puntos, rectas, trián-
gulos, cuadriláteros, etc.
Pirámide triangular
Plano Superficie tal que al considerar una
Pitágoras (569 AC – 475 AC) Matemático de recta que pase por cualesquiera dos
la antigua Grecia. Alumno de Tales de puntos sobre la superficie, todos los
Mileto, de quién aprendió geometría. puntos de la recta se encuentra en la
Fundó una escuela en Samos, a la que misma superficie.
llamó «Semicírculo», donde se enseñaba La siguiente figura es de un plano en tres
ética, filosofía y matemáticas. dimensiones:


Plano cartesiano–Poliedro 123

Los parámetros de la población son los
calculados a partir de datos colecciona-
dos sobre todos los elementos de la
población. Los parámetros muestrales
son los que se calculan a partir de los ob-
servados en la muestra.
π
Polar, coordenada Las coordenadas polares
del punto P del plano se definen a partir
de la distancia al origen y el ángulo que
forma la recta que pasa por el origen y el
punto P con el eje horizontal:
En matemáticas se denota con la letra π
a un plano.

Plano cartesiano Plano que utiliza un
sistema de coordenadas cartesianas
(rectangulares) para determinar las P(r, θ )
r
coordenadas de los puntos.
Al plano cartesiano también se le llama
«plano coordenado».
θ
Plano complejo Plano que asigna el eje
horizontal a los números reales y el eje Las coordenadas polares de un punto
vertical a los números imaginarios de P(r, θ ) pueden transformarse en
manera que podamos representar gráfi- coordenadas rectangulares P(x , y ), a
camente los números complejos. través de las siguientes fórmulas:

I x = r · cos θ
y = r · sin θ
z = 3 + 2i
P
Polar, forma La forma polar del número
complejo z = a + i b , es:
R
z = r (cos θ + i sin θ )
El plano complejo también se conoce
b
como el «plano de Gauss». donde θ = arctan .
a
Platónico, sólido Cada uno de los cinco sóli-
dos regulares: tetraedro, cubo, octaedro, Poliedro Sólido geométrico formado por
dodecaedro e icosaedro. caras planas.
Si todas sus caras son el mismo polígono
Población En estadística, la población se regular se llaman poliedros regulares.
refiere al universo de donde se elige una Los poliedros regulares son: tetraedro,
muestra para su estudio. cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro.


124 Polígono–Polígono de frecuencias

Tetraedro Octaedro

Dodecaedro Icosaedro Hexágono circunscrito

Polígono inscrito Se dice que un polígono
es inscrito cuando todos sus lados son
cuerdas de una misma circunferencia.

Cubo

Polígono Figura plana cerrada delimitada
por segmentos de recta que no se cortan
entre ellos, salvo en sus extremos.
Cada uno de los segmentos de recta es
un lado del polígono y el punto donde se Hexágono inscrito
intersectan dos lados consecutivos del
polígono se llama vértice.
Polígono de frecuencias Gráfica de una dis-
La siguiente figura muestra un polígono:
tribución de frecuencias que se elabora
uniendo los puntos medios de la base
superior de cada rectángulo en un histo-
P Vértice grama.
La siguiente figura muestra un polígono
de frecuencias:
Lado

f
3

2

Polígono circunscrito Se dice que un polí- 1
gono es circunscrito cuando todos
sus lados son tangentes a una misma 0 Clases
circunferencia. A B C D E


Polígono regular–Postulado 125

Polígono regular Cuando un polígono tiene Términos Nombre Ejemplo
todos sus lados y todos sus ángulos
1 Monomio 3x2
iguales se llama polígono regular. Es
2 Binomio 2+x3
decir, un polígono es regular si es equi-
3 Trinomio 1 + 2x + 3x2
látero y equiángulo a la vez.

Frecuentemente se les llama simple-
mente «polinomio» cuando tienen más
de tres términos.
αn
Porcentaje Fracción de una cantidad que se
toma por cada cien contenida en ella y
que se denota con el símbolo %.
Es decir, un porcentaje es una propor-
i
ción que compara un número con el
Los elementos de los polígonos regu- cien.
lares son: Por ejemplo, el 10% de 500 es 50, porque
de cada cien de los 500 tomamos 10,
Ángulo central como hay 5 grupos de cien, obtenemos
360 ◦ 5 × 10 = 50.
αn = El cálculo del p porcentaje de la canti-
n
dad M se realiza fácilmente usando:
Suma de ángulos internos
S i nt = 180◦ (n − 2) p ·M
R=
100
Ángulo interno
180◦ (n − 2) Por ejemplo, el 5% de 250 es:
i=
n
5 × 250
Número de diagonales R= = 12.5
100
n (n − 3)
D=
2 P
Suma de ángulos externos:
Positivo Un número o expresión algebraica
S e x t = 360◦ es positivo(a) si su valor es mayor a cero.
Polinomio Expresión algebraica de la forma: Para indicar que una cantidad es posi-
tiva se le antepone el signo +. Cuando
a 0 + a 1x + a 2x 2 + · · · + a n x n no aparece símbolo alguno, se entiende
donde n es un número entero, que que el signo positivo está considerado de
se conoce como el grado del polino- manera implícita.
mio. Los coeﬁcientes a 0 , a 1 , a 2 , · · · , a n ,
son números reales y a n 0. Postulado Proposición que se acepta como
El nombre particular que recibe cada verdadera.
polinomio depende del número de tér- Un postulado no es necesariamente un
minos que lo formen. axioma.

126 Postulados de Euclides–Primos triates

Postulados de Euclides Lista de cinco postu- Primo, factor Un número primo p es factor
lados que utilizó Euclides al estudiar la de otro n si éste último es divisible entre
geometría Plana en su obra titulada «Los el número primo p .
Elementos». Por ejemplo 3 es factor primo de 21,
porque 21 puede dividirse exactamente
x Por cualesquiera dos puntos del entre 3 y porque 3 es un número primo.
plano pasa una recta exactamente.
y Una línea recta puede extenderse Primo, número Número natural que tiene
en ambos sentidos infinitamente. exactamente dos divisores.
Por ejemplo, el número 2 es primo, pues
z Dado un radio y un punto, siempre sus únicos divisores son 1 y 2.
es posible dibujar un círculo con El número 9 no es un número primo,
centro en el punto dado y con el pues tiene 3 divisores: 1, 3, y 9.
radio dado. Los primeros 20 números primos son los
{ Todos los ángulos rectos son siguientes:
iguales.
2 3 5 7 11
| Dada una recta y un punto fuera
13 17 19 23 29
de ella, hay exactamente una línea
31 37 41 43 47
recta paralela a la recta dada.
53 59 61 67 71
Vea la definición «Euclides».
Observa que un número impar no es
Potencia Es el resultado de multiplicar un necesariamente primo. Por ejemplo, el
número (la base) por sí mismo varias 21 no es primo, pues tiene 4 divisores (1,
veces. 3, 7, 21).

Exponente Primos gemelos Dos números primos p,q
son primos gemelos si la diferencia entre
ellos es 2.
Por ejemplo, los números 29 y 31 son
Base 25 = 32 Potencia
5 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32
primos gemelos, pues la diferencia 31 −
2
29 = 2.
P 5 factores
Primos relativos Dos números naturales son
Precisión (Computación) Número de cifras primos relativos si el máximo común
significativas que presenta una canti- divisor entre ellos es el número uno.
dad. Por ejemplo, 7 y 9 son primos relativos.
Por ejemplo, el valor de π con una pre- Observa que no se requiere que los
cisión de 4 cifras es: 3.1416. números sean primos para que sean
primos relativos.
Premisa En lógica, las proposiciones a partir
de las cuales se obtiene una conclusión, Primos triates Tres números primos p,q, r
se llaman premisas. son triates si la diferencia entre dos con-
Vea la definición «Conclusión». secutivos es 2.
La única terna de primos triates es:
Primero Número ordinal que corresponde al 3, 5, 7. Observa que 7 − 5 = 2, y también
1. se cumple: 5 − 3 = 2.


Principio–Probabilidad 127

Principio Una verdad que ha sido de- Prisma Poliedro con dos caras poligonales
mostrada. Sinónimo de ley. idénticas y paralelas, y las demás caras
siendo paralelogramos.
Principio de inducción Asociamos un entero
n a una proposición P(n). Si se cumple
la proposición para n = 1, es decir, P(1)
se satisface, y también se satisface P(2);
al suponer que se satisface P(k ), si se
puede mostrar que P(k + 1), entonces,
P(n) se satisface para todos los números
naturales n ∈ . Prisma pentagonal
Principio del buen ordenamiento El princi-
pio del buen ordenamiento dice que Prisma recto Prisma con bases perpendicu-
un subconjunto (de cardinalidad finita) lares a sus caras laterales.
de un conjunto ordenado contiene un Por ejemplo, el prisma pentagonal
elemento que es el menor de todos. mostrado en la definición de «Prisma»,
Por ejemplo, el conjunto {0, 2, 4, 6, 8} es un prisma recto.
tiene un elemento que es el menor de
todos, (0). Probabilidad En matemáticas, la probabili-
dad es una forma de medir la posibilidad
Prioridad de las operaciones La prioridad de de que un evento ocurra.
las operaciones es el conjunto de reglas El valor de la probabilidad P(A) de un
que indican qué operaciones deben evento A satisface: 0 ≤ P(A) ≤ 1.
realizarse primero en una expresión que Cuando un evento A tiene n diferentes
incluye varias operaciones. posibles resultados, todos igualmente
En resumen, la prioridad de las probables, la probabilidad de que ocurra
operaciones es: uno de esos eventos P(A) es:
1. Simplificar expresiones dentro de 1
signos de agrupación (paréntesis) P(A) =
n
2. Calcular potencias y raíces
3. Calcular multiplicaciones y divi-
Y más generalmente, cuando hay k
casos favorables de obtener un resultado
P
siones particular de un experimento de entre
4. Calcular sumas y restas n casos posibles, la probabilidad del
evento es:
Por ejemplo, al evaluar: 3 × 52 + 7,
empezamos elevando al cuadrado 5 casos favorables k
P(A) = =
(prioridad más alta), luego ese resultado casos posibles n
lo multiplicamos por 3 (siguiente
prioridad) y finalmente sumamos 7, Si a un evento se asigna la probabilidad
obteniendo: de cero (0), entonces ese evento es prác-
ticamente imposible de que ocurra.
3 × 52 + 7 = 3 × 25 + 7 = 75 + 7 = 82 Si a un evento se asigna la probabilidad
1ro 2do 3ro de uno (1), entonces ese evento ocurre
con certeza.


128 Probabilidad empírica–Progresión aritmética

Probabilidad empírica Probabilidad de un Productos notables Los productos notables
evento calculada a partir de la repetición reciben su nombre debido a que apare-
del evento un gran número de veces. cen frecuentemente en álgebra; se han
establecido sus reglas para no tener que
Problema Una proposición o pregunta que calcularlos cada vez que se requiera
requiere de un procedimiento o método conocer su resultado.
para encontrar su solución. Algunos productos notables de fre-
En matemáticas no todos los problemas cuente uso son:
tienen por solución un número o una
expresión algebraica. Algunas veces la (a + b )2 = a 2 + 2 a b + b 2
solución del problema consiste en decir (a + b )3 = a 3 + 3 a 2b + 3 a b 2 + b 3
que ese problema no tiene solución. (a + b )(a − b ) = a 2 − b 2
Por ejemplo, la solución de encontrar el
(x + a )(x + b ) = x 2 + (a + b ) x + a b
número x que cumpla: x + 2 = x , es: «Tal
número x no existe».
Programa Listado de instrucciones que per-
Producto Es el resultado de la multiplicación
mite la solución de un problema a través
de dos números o expresiones algebrai-
de la computadora. Generalmente los
cas.
programas se escriben en algún lenguaje
Producto cartesiano El producto cartesiano de programación para que la computa-
de los conjuntos y denotado por dora pueda entender las instrucciones.
× es el conjunto formado por todos
Programación lineal Estudio de las técni-
los pares ordenados (a ,b ) donde a ∈ y
cas para la optimización de sistemas
b∈ .
de ecuaciones lineales bajo un conjunto
Por ejemplo, sean = {0, 1, 2} y =
de condiciones sobre las variables del
{4, 5, 6}. Entonces,
problema.
La optimización permite la planeación
× = {(0, 4), (0, 5), (0, 6), (1, 4),
del desarrollo de actividades de manera
(1, 5), (1, 6), (2, 4), (2, 5), (2, 6)} que los recursos se aprovechen de la
mejor manera posible.
P Progresión aritmética Lista de números que
Producto de fracciones El producto de las tienen la propiedad que cualesquiera
fracciones a /b y c /b está deﬁnido por: dos consecutivos tienen una diferencia
a c a ·c constante.
= El primer término de la lista se denota
b d b ·d
por a 1 y la diferencia constante por d .
Podemos calcular el n−ésimo término
Producto de números complejos El producto a n de la progresión usando la fórmula:
de los números complejos z 1 = a 1 + i b 1
a n = a 1 + d (n − 1)
y z 2 = a 2 + i b 2 , está deﬁnido por:
Y la suma de los primeros n términos S n
z 1 ·z 2 = (a 1 ·a 2 −b 1 ·b 2 )+i (a 1 ·b 2 +a 2 ·b 1 ) con:
n (a 1 + a n )
Sn =
2

Progresión geométrica–Propiedades de los números 129

A la progresión aritmética también se le Propia, fracción Fracción en la que el
conoce como «sucesión aritmética». numerador es menor que el denomina-
Por ejemplo, si definimos a 1 = 5 y d = 3, dor.
los términos de la sucesión aritmética Por ejemplo, la fracción 3/7 es propia,
son: a 1 = 5, a 2 = 8, a 3 = 11, a 4 = 14, porque 3 7.
etc.
Propiedad Decimos que un objeto
Progresión geométrica Lista de números (matemático) tiene una propiedad si
que tienen la propiedad que cuales- presenta una característica específica.
quiera dos consecutivos tienen una
razón constante. Es decir, si dividimos Propiedades de los números Los números
a i +1 ÷ a i = r para cualesquiera dos tér- reales presentan las siguientes
minos consecutivos de la progresión. propiedades:
El primer término de la lista se denota Para la suma:
por a 1 y la razón constante por r .
Podemos calcular el n−ésimo término Cerradura: a + b ∈
a n de la progresión usando la fórmula: Conmutativa: a + b = b + a
a n = a 1 · r n −1 Asociativa: (a + b ) + c = a + (b + c )
Y la suma de los primeros n términos S n Neutro: a + 0 = a
con:
a 1 (1 − r n +1 ) Inverso: a + (−a ) = 0
Sn =
1−r
A la progresión geométrica también se le Para la Multiplicación:
conoce como «sucesión geométrica».
Cerradura: a · b ∈
Por ejemplo, si definimos a 1 = 2 y r = 3,
los términos de la sucesión geométrica Conmutativa: a · b = b · a
son: a 1 = 2, a 2 = 6, a 3 = 18, a 4 = 54, etc. Asociativa: (a · b ) · c = a · (b · c )
Promedio El promedio de n datos Neutro: a · 1 = a
{x 1 , x 2 , x 3 , · · · , x n }, es igual a la suma de
Inverso: a · (1/a ) = 1, a 0.
todos ellos entre n:
x1 + x2 + x3 + · · · + xn xi Y la propiedad distributiva, que es la P
x= =
n n única que involucra a las dos operacio-
Nota: el símbolo indica la suma de los nes de suma y multiplicación:
valores x i .
Vea la definición «Sigma, notación». a (b + c ) = a b + a c

Pronóstico Un pronóstico es una estimación Al conjunto de números que satisface
del comportamiento de una variable es- todas estas propiedades se le llama
tadística en eventos futuros. «campo».
Para elaborar un pronóstico se utilizan Los números racionales también forman
datos estadísticos, teoría económica y un campo, es decir, ellos también tienen
condiciones del problema. las mismas propiedades.
Existen muchos métodos para hacer El conjunto de los números complejos
pronósticos. también forman un campo.


130 Proporción–Proporción por suma y resta

Proporción Igualdad entre dos razones. Proporción inversa Cuando dos cantidades
Por ejemplo, están en proporción de manera que al
x 7 crecer una de las cantidades, la otra
=
7 2 decrece la misma cantidad de veces,
es una proporción. entonces las cantidades están en pro-
porción inversa.
Proporción áurea Número irracional
Por ejemplo, cuando varias personas van
denotado por la letra griega φ, e igual
a pintar una pared, si las personas traba-
a:
1+ 5 jan al mismo ritmo y no se estorban,
φ= al aumentar el número de personas,
2
Este número aparece en la naturaleza el tiempo que requieren para pintar la
frecuentemente. pared disminuye.
Los griegos lo utilizaron para que sus
Proporción por alteración Dada la propor-
obras tuvieran un mejor aspecto es-
ción a /b = c /d , se cumple:
tético.
Se dice que un rectángulo está en pro- a b
=
porción aurea cuando al multiplicar la c d
longitud de un lado por φ obtenemos
como resultado la longitud del otro lado.
Proporción por inversión Dada la propor-
D N C ción a /b = c /d , se cumple:

b d
=
a c

A M B
Proporción por resta Dada la proporción
Si dividimos: A B entre BC obtene- a /b = c /d , se cumple:
mos el mismo resultado que dividir BC
a −b c −d
entre B M : =
b d
P φ=
AB
=
BC
=
1+ 5
BC BM 2
Proporción por suma Dada la proporción
Los rectángulos A BC D y M BC N están a /b = c /d , se cumple:
en proporción áurea.
a +b c +d
=
Proporción directa Cuando dos cantida- b d
des están en proporción de manera
que al crecer una de las cantidades, la
otra crece la misma cantidad de veces, Proporción por suma y resta Dada la pro-
entonces las cantidades están en pro- porción a /b = c /d , se cumple:
porción directa.
Por ejemplo, cuando aumenta el a +b c +d
=
número de horas trabajadas, aumenta a −b c −d
el número de minutos trabajados.


Proposición–Punto crítico 131

Proposición Enunciado de una ley o un prin- y
cipio. También puede ser una cuestión 1
que se requiere resolver o demostrar.
En matemáticas las proposiciones más x
usadas son: el axioma, el postulado, el
-1 y = sin x
teorema, el corolario y el problema.

Prueba Sinónimo de demostración. Punto de tangencia Punto en el cual una
Vea la definición de «Demostración». recta toca tangentemente a una curva.
En la siguiente figura se muestra una
Pseudoprimo Un número entero n es circunferencia y una recta tangente. El
pseudoprimo si n es divisor de 2 n − 2. punto de tangencia es P:
Por ejemplo, el número 5 es pseudo-
primo, porque es divisor de 30, y
30 = 25 − 2.
P
Pulgada Unidad de distancia usada en el
sistema Inglés, equivalente a 2.54 cm, o
bien a un doceavo de un pié. Es decir, 12 C
pulgadas equivalen a 1 pié.

Punto Objeto geométrico que carece de lon-
gitud, ancho y fondo y se utiliza para
Punto decimal Signo matemático que sirve
indicar una ubicación en el espacio.
para separar la parte entera de un
En otras palabras, el punto tiene una
número de su parte decimal.
longitud, un área y un volumen de cero
Por ejemplo, en el número: 3.1416, la
unidades en cada uno.
parte entera es: 3, y la parte decimal es:
Euclides definió el punto como: «aquello
0.1416.
que no tiene partes».
En algunos países se acostumbra
El punto se considera el objeto
escribir una coma decimal en lugar del
geométrico más fundamental.
punto. P
Punto de inflexión En la gráfica de una Punto crítico En una curva, el punto crítico
curva, el punto de inflexión corresponde es el punto donde una recta tangente a
al punto donde la concavidad de la grá- la curva es horizontal.
fica cambia. En la siguiente figura, el punto P
El punto de inflexión se puede calcular indicado es un punto crítico de la fun-
con la segunda derivada de la función, ción y = f (x )
porque precisamente donde la segunda
y
derivada se hace cero la gráfica de la fun-
1 P
ción cambia de concavidad.
En la gráfica de la función seno, los
x
puntos de inflexión se encuentran sobre
el eje x , esto es, cuando sin x = 0, la grá- -1 y = f (x )
fica cambia de concavidad.


132 Punto medio–Puntos notables

Punto medio El punto medio del segmento
B B
A B es el punto M del segmento que está
a la misma distancia de sus extremos.
En otras palabras, el punto medio de un
segmento es el punto que lo divide en A A
dos segmentos de la misma longitud.
En la figura se muestra un segmento A B
y su punto medio M :
C C

Los pares de puntos A y A , B y B , C y C
son puntos homólogos.
B Observa que los puntos homólogos se
encuentran a la misma distancia de la
M recta (eje) de simetría.

A Puntos notables En un triángulo que se en-
cuentra en un plano, los puntos notables
son los siguientes:

Baricentro: es el punto donde se
intersectan sus tres medianas.
Puntos homólogos En un par de figuras Circuncentro: es el punto donde se
simétricas respecto de un eje, se llaman intersectan sus tres mediatrices.
puntos homólogos a cada par de puntos
correspondientes entre las dos figuras. Incentro: es el punto donde se
Por ejemplo, en la siguiente figura intersectan sus tres bisectrices.
se muestran los triángulos A BC y Ortocentro: es el punto donde se
ABC intersectan sus tres alturas.

P


R

Símbolo que representa el conjunto de los Radical Símbolo que se utiliza en matemáti-
números reales. cas para indicar la raíz: n .
El índice n nos dice del orden de la raíz
Racionalización Proceso que consiste
(cuadrada, cúbica, cuarta, etc.)
en convertir una fracción con un
Por ejemplo, para indicar raíz quinta
denominador irracional a una fracción
usamos el índice 5:
equivalente con denominador racional.
Por ejemplo, 5
32 = 2
1 1 2 2
= · =
2 2 2 2
Radicando El número o la expresión que
Racionalizar Desarrollar una razionaliza- sirven de argumento a un radical.
Por ejemplo, en la expresión x + 5, el
3
ción.
Vea la deﬁnición de «Racionalización». radicando es x + 5.

Radián Unidad de medida de ángulo que es Radio Distancia del centro de una
igual al ángulo subtendido por un arco circunferencia a cualquiera de sus
de longitud igual al radio. puntos.
En la siguiente ﬁgura se muestra el án-
gulo α que mide un radián:

r
C
r r

α
r
Radio de un polígono regular Segmento que
Un radián se denota por 1 rad. va del centro del polígono a cualquiera
π rad = 180◦ . de los vértices del polígono.

134 Radio focal–Rama

Raíz cuadrada La raíz cuadrada del número
x es el número r que tiene la propiedad
o que al multiplicarse por sí mismo da x .
radi
En otras palabras, la raíz cuadrada de x
es el número r que cumple: r 2 = x .
Por ejemplo, la raíz cuadrada de 100 es
10, porque:

Radio focal Segmento dirigido que tiene su 102 = 10 · 10 = 100
punto inicial en el foco de una cónica y
su punto final en algún punto cualquiera La raíz cuadrada de un número negativo
de la misma. no es un número real.
y
Raíz de una ecuación La raíz de una
l P(x , y )
io foca ecuación es el valor de su variable que
Rad hace que (la ecuación) se reduzca a una
x igualdad válida.
F O F
Por ejemplo, las raíces de la ecuación:
x 2 − 1 = 0, son x = 1 y x = −1, pues
cuando sustituimos cualquiera de estos
valores en la ecuación, obtenemos cero.
Raíz Número que multiplicado un número Geométricamente la raíz de una
de veces indicado, resulta igual a otro ecuación representa el punto en que la
valor dado. gráfica de la ecuación corta al eje de las
Por ejemplo, la raíz cúbica (el índice es abscisas (eje x ).
3) de 27 es 3, porque 33 = 27. La siguiente figura muestra dos raíces de
La raíz quinta de 32 es 2, porque 25 = 32. la ecuación: sin x = 0
La raíz cuadrada se denota con el signo
de radical: k , y las raíces de mayor
n
orden con un índice: k indica la raíz y
y = sin x
enésima. 1
Raíz cúbica La raíz cúbica del número x es el
x
número r que tiene la propiedad que al 1 2 3 4
R multiplicarse por sí mismo tres veces da
−1
x. Raíces
En otras palabras, la raíz cuadrada de x
es el número r que cumple: r 3 = x .
Por ejemplo, la raíz cuadrada de 1000 es Rama Una gráfica tiene ramas cuando es dis-
10, porque: continua. A cada una de las partes de la
103 = 10 · 10 · 10 = 1000 gráfica se le llama «rama» de la gráfica.

La raíz cúbica de los números enteros no
siempre es un número entero.


Rango–Razón de división 135

y primera derivada de la posición respecto
Rama Rama
del tiempo.
izquierda derecha
Rayo Una parte de una recta que tiene un
punto inicial y no tiene punto final.
− →
La siguiente figura muestra el rayo A B :

−→
x AB

B

A

Para denotar al rayo siempre indicamos
Rango (Análisis) Al contradominio de una primero el punto inicial y después otro
función también se le conoce como el punto cualquiera por el cual también
rango de la función. pase.
(Estadística) El rango de un conjunto
Razón (1.) La razón de dos números a ,b es el
de datos se define como la diferencia
resultado que se obtiene al dividirlos:
entre el mayor y el menor de todos los
datos. En otras palabras, el rango de un a
conjunto de datos es el intervalo más pe- es la razón de los números a y b .
b
queño que los contiene a todos.
El rango es una medida de dispersión de (2.) En una sucesión geométrica, la
los datos, pues indica qué tan distantes razón r de la sucesión es el cociente
están los datos más alejados de la de dos términos consecutivos cuales-
muestra. quiera:
a n +1
r=
an
Rango intercuartílico Medida de dispersión
definida por la diferencia entre los per- De manera que podemos calcular un
centiles 75 y 25 de una distribución. término de la sucesión a partir del
Vea la definición de «percentil». anterior como sigue: a n +1 = r · a n .

Rapidez (1.) Número que indica en cuánto
Razón de cambio Razón a la cual una canti-
dad varía con respecto de otra.
R
cambia de la posición de un objeto por Si el valor de y depende de x de acuerdo
cada unidad de tiempo. a y = f (x ), la razón de cambio de y con
La rapidez nunca es negativa. respecto a x corresponde a la derivada
La rapidez se calcula dividiendo la de y respecto de x .
distancia recorrida entre el tiempo que Vea la definición de «Derivada».
tomó recorrer esa distancia.
(2.) Magnitud de la velocidad, sin con- Razón de división Dado el segmento A B y
siderar dirección. un punto P en él, la razón de división
(3.) En Cálculo, la rapidez es igual a la del segmento A B por el punto P es el


136 Recíproco–Rectángulo

cociente: |AP|/|P B |.
Por ejemplo, si |A B | = 10, y el punto P
está a 6 unidades del punto A, entonces,
|AP| = 6 y |P B | = 4, y la razón de división
del segmento A B por por el punto P es:

|AP| 6 3
r= = = = 1.5
|P B | 4 2
Rectas notables del triángulo Las rectas no-
tables en un triángulo son:
Recíproco El recíproco del número x 0 es el
resultado de dividir uno entre x : Altura Mediatriz
1 Bisectriz Mediana
es el recíproco de x .
x
Vea cada definición para más detalles.
1
Por ejemplo, el recíproco de 2 es . Recta numérica Sinónimo de «Recta real».
2
Frecuentemente al recíproco se le Vea la definición de «Recta real».
llama (equivocadamente) el inverso del
Recta real Recta en la cual se elige un punto
número.
fijo al cual se llama origen y al que
Los números no tienen inverso, las fun-
se le asigna el cero, y utilizando una
ciones y las operaciones sí.
unidad de medida se marcan puntos
Recta Línea que no cambia de dirección y se con esa unidad de distancia entre ellos
denota por . para marcar los números enteros posi-
tivos hacia la derecha y los negativos a la
izquierda del origen:

Origen

(−) (+)
−2 −1 0 1 2 3 4
Frecuentemente se utiliza la palabra
«línea» como sinónimo de recta. A cada número real se le puede asig-
Una línea también puede ser curva. Por
R ejemplo, una circunferencia también es
nar un punto de la recta real y a cada
punto de la recta numérica le corres-
una línea, pero no es recta, pues cambia ponde exactamente un número real.
constantemente de dirección. «Recta numérica» es sinónimo de «recta
real».
Recta de Euler Es la recta que pasa por el
circuncentro, el baricentro y el ortocen- Rectángulo Cuadrilátero que tiene cuatro
tro de un mismo triángulo. ángulos internos iguales.
También se puede definir como un
Rectas concurrentes Rectas que se cortan en paralelogramo que tiene sus 4 ángulos
un solo punto. internos iguales a un recto.


Rectilíneo–Regla 137

A =b ×h Reducción, método de Método para resolver
P = 2 (b + h) sistemas de ecuaciones lineales que
h
b consiste en sumar múltiplos de una
ecuación a otra para reducir el número
Rectángulo de variables y de ecuaciones en el
sistema.
El cuadrado es un caso particular del Este método también se conoce como
rectángulo, que tiene sus cuatro lados de «método suma y resta» o como el
la misma medida. Es decir, el cuadrado «método de eliminación».
es un rectángulo que también es un
rombo.
Reflexiva, propiedad La propiedad reflexiva
Rectilíneo Objeto caracterizado por una o de la igualdad dice que todo número es
varias líneas rectas. igual a sí mismo.
Por ejemplo, el movimiento rectilíneo se Matemáticamente, a = a .
realiza sobre una línea recta. Vea la definición de «igualdad» para ver
otras propiedades de la igualdad.
Redondeo Proceso de aproximar un valor a
una cantidad considerando algunas de
sus primeras cifras decimales. Región Subconjunto del plano cartesiano.
Por ejemplo, al redondear el valor de π a Una región puede ser, por ejemplo, la
diezmilésimos obtenemos: π = 3.1416. solución de un sistema de desigual-
Reducción En matemáticas, la palabra re- dades:
ducción es sinónimo de simplificación.
Por ejemplo, cuando reducimos una ex-
presión, la expresamos de una manera y
equivalente, pero más sencilla de inter- 10 x + y 10
pretar.
8
Por ejemplo,
6 x
+
x 2 − 6 x + 9 = (x − 3)2 y
4 =
10
2
Reducción al absurdo Demostración a través x
de probar que lo contrario guía a 2 4 6 8 10
una contradicción. Sinónimo de
«demostración por contradicción».
R
Reducción de una fracción Decimos que Regla Instrumento usado en geometría para
hemos reducido una fracción cuando la dibujar rectas.
hemos simplificado. En geometría plana la regla se considera
Por ejemplo, al reducir la fracción 12/20, sin escala (acotación), de manera que
obtenemos: no podemos medir distancias, sino sola-
12 3 · 4 3 mente trazar líneas rectas con ella.
= =
¡
20 5 · 4 5
¡ Una parte de una regla con acotación es
la siguiente:


138 Regla de la recta vertical–Regla de los cuatro pasos

Reglas de los signos Las reglas de los signos
son las siguientes:
1 cm
+·+ = +
0 1 2 3 4 5 6 7 +·− = −
−·+ = −
−·− = +
Regla de la recta vertical Regla que permite
mostrar si una gráfica pertenece a la de En resumen, al multiplicar dos signos
una función. Para esto, se trazan rectas iguales obtenemos + y cuando multipli-
verticales a lo largo de la gráfica. Si al camos dos signos diferentes obtenemos
menos una recta vertical corta a la grá- −.
fica en dos o más puntos, entonces la Estas mismas reglas se aplican a la di-
gráfica no corresponde a la de una fun- visión:
ción.
+÷+ = +
+÷− = −
y
−÷+ = −
−÷− = +
x

Regla de los cuatro pasos La regla de los
cuatro pasos sirve para calcular la
derivada de una función y = f (x ).
Como la gráfica mostrada nunca es cor-
tada por una recta vertical en dos o más Paso 1: Dar un incremento a x y
puntos, corresponde a la gráfica de una calcular el correspondiente incre-
función. mento en y .

Reglas de los exponentes Las reglas de los y + ∆y = f (x + ∆x )
exponentes son las siguientes:
Paso 2: Restar la función original:
a m · a n = a m +n
∆y = f (x + ∆x ) − f (x )
am
= a m −n
R
an
Paso 3: Dividir entre el incremento en
a m am x:
= m
b b
∆y f (x + ∆x ) − f (x )
1 =
m = a −m ∆x ∆x
a
a0 = 1 (a 0) Paso 4: Calcular el límite cuando el in-
cremento en x tiende a cero:
(a m )n = a m n
dy f (x + ∆x ) − f (x )
(a · b )m = a m b m = lim
d x ∆x →0 ∆x

Regla de tres–Regular, polígono 139

Regla de tres Método que sirve para calcular Regular, poliedro Poliedro que tiene todas
un valor desconocido de una proporción sus caras iguales. En total hay cinco
directa, dados los otros tres. poliedros regulares: tetraedro, cubo,
Por ejemplo, para calcular el valor de x octaedro, dodecaedro e icosaedro.
en:
x 3
=
7 21
hacemos:
Tetraedro Octaedro
3×7
x= =1
21

Regletas de Cuisenaire Juego de diez regletas Dodecaedro Icosaedro
de colores que se utilizan para enseñar y
aprender diferentes temas matemáticos.
Las regletas tienen diferente tamaño y
color, como se indica enseguida:

x Regleta Blanca, mide 1 cm. Cubo

y Regleta Roja, mide 2 cm.
Regular, polígono Cuando un polígono tiene
z Regleta Verde claro, mide 3 cm. todos sus lados y todos sus ángulos
{ Regleta Carmín, mide 4 cm. iguales se llama polígono regular. Es
decir, un polígono es regular si es equi-
| Regleta Amarilla, mide 5 cm. látero y equiángulo a la vez.
} Regleta Verde Oscuro, mide 6 cm.
~ Regleta Negra, mide 7 cm.
Regleta Café, mide 8 cm. αn
€ Regleta Azul, mide 9 cm.
Regleta Naranja, mide 10 cm.
i
Pentágono regular
R
Los elementos de los polígonos regu-
lares son:

Ángulo central
360◦
αn =
n
Suma de ángulos internos
Regletas de Cuisenaire S i nt = 180◦ (n − 2)

140 Relación–Resta

Ángulo interno puede encontrarse usando la siguiente
relación de recurrencia:
180◦ (n − 2)
i= a n = a n−1 + a n −2
n
que en palabras dice: «el término actual
Número de diagonales
es igual a la suma de los últimos dos tér-
n (n − 3) minos».
D=
2 Relación funcional Regla de corresponden-
cia entre dos cantidades que dependen
Suma de ángulos externos:
una de la otra.
S e x t = 360 ◦ Por ejemplo, si el precio de un jugo de
manzana es de $7.00 pesos, el importe a
pagar y se relaciona funcionalmente con
Relación (1.) Forma de comparar dos
la cantidad de jugos a comprar (x ) de la
elementos de un mismo conjunto.
siguiente manera: y = 7 x .
Por ejemplo, las desigualdades son rela-
ciones que se definen para los números Renglón En una matriz, un renglón es una
reales. línea horizontal de sus elementos.
Otros ejemplos de relaciones entre dos En la siguiente matriz A, el primer
números son: «a = b », «x ≡ 3 mod 7», renglón está formado por los elementos
«a |b », etc. a, b y c:
(2.) Una relación se define como un par  
ordenado de elementos de un conjunto a b c
A = d e f 
 
: (a ,b ), donde a ,b ∈ .
g h i
Relación de equivalencia La relación
de equivalencia es una estructura
Residuo En una división, el número que
matemática que presenta las siguienes
«sobra», es el residuo.
propiedades:
Por ejemplo, en la división:
Reflexiva: a ∼ a 2 5
Simétrica: Si a ∼ b , entonces b ∼ 12 3 0 7
a. 6 7
7
Transitiva: Si a ∼ b y b ∼ c ,
R entonces a ∼ c . el residuo es 7.

Decimos que los objetos a y b es- Resta Operación matemática binaria
tán relacionados si cumplen las tres denotada con el símbolo −.
propiedades enlistadas y lo denotamos La resta de los números a y b es el
por a ∼ b . número que hay que sumar a a para
obtener b y se denota por: b − a .
Relación de recurrencia Función con Por ejemplo, 5 − 3 = 2, porque 3 + 2 = 5.
dominio en los números naturales y La resta también se conoce como
rango en los términos de una sucesión. diferencia.
Por ejemplo, la sucesión de Fibonacci Vea la definición de «Diferencia».


Resultante–Rotación 141

Resultante Vector que resulta de sumar dos Romboide Paralelogramo que no es rectán-
vectores. gulo.
En la siguiente figura se muestran los
vectores u y v y la resultante u + v :

y

v
u

+
u Romboide

v
Rotación
x Movimiento rígido del plano
alrededor de un punto fijo, el cual es
llamado eje de rotación.
Rombo Cuadrilátero que tiene sus 4 lados de En la siguiente figura se muestra una
la misma medida. rotación de los ejes en un ángulo de 30◦ :

y
y

x

◦
0
θ =3
Rombo x

R


142

ita
atu
gr
ión
uc
rib
ist
ed
d

R
ro
Lib


S

Satisfacer Decimos que un valor satisface a (Trigonometría) La función secante se
una ecuación o a una función cuando define como el recíproco de la función
al sustituir este valor en la ecuación o coseno:
1
función ésta se reduce a una igualdad sec α =
válida. De manera semejante, cuando cos α
se dan un conjunto de condiciones y En el triángulo rectángulo mostrado
algún objeto matemático cumpla con en la definición de «Seno» la función
todas esas condiciones, decimos que las secante del ángulo α menor a 90◦ se
satisface. puede escribir como:
Por ejemplo, si imponemos como condi- hipotenusa
sec α =
ción para una figura geométrica que la cateto opuesto
suma de sus ángulos internos no sea
mayor a 200◦ , cualquier triángulo en el
plano satisface esa condición. Sección Intersección de dos objetos ge-
ométricos.
Secante (Geometría) La secante a una curva Por ejemplo, de la intersección de un
es una recta que la corta. plano con un cono podemos obtener
La siguiente figura muestra una una parábola, que es una sección
circunferencia y una secante que la cónica.
corta:
Sector circular Un sector circular es una
parte de la circunferencia limitada por
te
Secan dos radios y un arco, como se muestra
enseguida:

α

144 Segmento–Seno

El área del sector circular de α◦ se calcula En palabras, dos figuras son semejan-
con la siguiente fórmula: tes si tienen la misma forma, pero no
necesariamente el mismo tamaño.
απr 2
A= Semi- Prefijo usado en matemáticas que
360
significa «mitad de».
Por ejemplo, semiperímetro significa «la
Segmento Intervalo de recta delimitado por mitad del perímetro».
dos puntos fijos sobre la misma. El Semicircunferencia Arco de circunferencia
segmento que inicia el el punto A y que une dos extremos de un diámetro.
finaliza en el punto B se denota por A B .
En la siguiente figura se muestra un ferencia
cun
segmento: icir

m
Se
B
AB Semicírculo Mitad de un círculo.

A

Semicírculo
Semejanza Se dice que dos triángulos son
semejantes si uno está dibujado a escala Semirrecta Una parte de una recta que tiene
del otro. un punto inicial y no tiene punto final.
Para verificar si dos triángulos son La siguiente figura muestra la semirrecta
semejantes podemos usar cualquiera de −→
AB:
los siguientes criterios:
−→
AB
Dos lados son proporcionales y el
ángulo formado entre ellos está en
B
cada triángulo.
Dos ángulos iguales.
Los tres lados son proporcionales. A

S Los siguientes triángulos son semejan-
A la semirrecta también se le conoce
tes:
como rayo.

Seno La función seno se define para
cualquier ángulo α. Dado un ángulo
con un lado horizontal y vértice en el
origen, su seno, denotado por sin α se
define como la coordenada sobre el eje


Seno hiperbólico–Séptimo 145

y del punto de intersección del otro Senos, ley de Para todo triángulo que se en-
lado (no horizontal) del ángulo con la cuentra en el plano, se cumple:
circunferencia de radio 1.
sin α sin β sin γ
= =
y A B C

donde A es el lado opuesto al ángulo α,
B es el lado opuesto al ángulo β y C es el
lado opuesto al ángulo γ.
sin α

α
x α
cos α 1
C

B
En un triángulo rectángulo, el seno de β γ
un ángulo positivo menor a 90◦ puede A
encontrarse con el cociente:
cateto opuesto
sin α = Sentido Sinónimo de orientación.
hipotenusa
Sentido positivo En un eje de coordenadas,
el sentido positivo indica hacia dónde
Cateto opuesto

sa los valores de la recta van creciendo.
nu
te
po En el plano, el eje horizontal es x y el
Hi
sentido positivo de este eje es hacia la
derecha. Para el eje vertical (y ) el sen-
α
tido positivo es hacia arriba.
Cateto adyacente

La gráfica de la función seno es la
Sentido positivo →

y
siguiente:

y
1

x x
Sentido positivo →
-1 y = sin x
Observa que las flechas de los ejes indi- S
Seno hiperbólico La función seno hiper- can el sentido positivo de cada uno de
bólico del número x se denota por: ellos.
sinh x y está definida por:
Séptimo Cuando dividimos un entero en
e x − e −x siete partes iguales, cada una de ellas es
sinh x =
2 un séptimo, o bien, una séptima parte
del entero.


146 Serie–Signo

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
7 7 7 7 7 7 7 6 6 6 6 6 6

Siglo Un siglo equivale a cien años.
Serie La suma de los términos de una suce-
sión. Sigma, notación Notación matemática que
Cuando la sucesión es aritmética, se permite indicar la suma de varios térmi-
llama serie aritmética. nos de una sucesión.
La fórmula para calcular la serie aritmé- Si x 1 , x 2 , · · · , x n son los términos de
tica de los primeros n términos es: una sucesión que deben sumarse, esta
operación se puede indicar con la no-
n (a 1 + a n ) tación sigma de la siguiente manera:
Sn =
2 n
xi = x1 + x2 + · · · + xn
Donde a 1 es el primer término y a n es el i =1
enésimo término de la sucesión.
Cuando los términos que se es- Y se lee: «La suma de todos los términos
tán sumando forman una sucesión x i donde el índice i va desde 1 hasta n».
geométrica, la serie es geométrica, y se Por ejemplo, consideremos la sucesión
calcula con: de los primeros 100 números naturales.
Entonces, usando notación sigma pode-
a 1 (1 − r n ) mos indicar la suma de estos términos
Sn =
1−r como sigue:
100
Donde a 1 es el primer término y r es la
i = 1 + 2 + · · · + 100
razón de la sucesión.
i =1

Serie divergente Serie que crece indefinida- Esta notación es muy utilizada en Cál-
mente conforme se consideran mayor culo Integral cuando se define la integral
cantidad de términos. definida como una suma de Riemann.

Signo Símbolo que indica una característica
Sesgo Característica de la distribución de los de un objeto.
datos de una población que indican que En matemáticas, los símbolos pueden,
S ésta no es simétrica. además, indicar operaciones (+, −, ×,÷,
Cuando se dice que una muestra tiene ∩, ∪, etc.), la naturaleza de un objeto
un sesgo, indica que ésta no es represen- matemático (positivo, negativo, vacío,
tativa de la población. etc.), pueden indicar el tipo de objetos
matemáticos ( , ∠, AB, etc.), relación
Sexto Cuando dividimos un entero en seis entre objetos de la misma naturaleza (≤,
partes iguales, cada una de ellas es un ≥, , etc.) entre otras cosas (∞, %, π, u ,
sexto, o bien, una sexta parte del entero. etc.).


Sima–Sistema de ecuaciones 147

Sima En una curva sinusoidal, la sima es
cada uno de los puntos más bajos en su
trayectoria.
Por el contrario, la cima (con c) corres-
C
ponde a cada uno de los puntos más al-
tos de su trayectoria.

Cima Sima
Un hexágono regular presenta simetría
radial. Su centro de simetría es el punto
C.

Simétrica, propiedad La propiedad
simétrica de la igualdad dice que si
un número es igual a otro, el segundo
número es igual al primero. Matemáti-
Simetría Propiedad que presentan algunas camente,
figuras geométricas que consiste en una
Si a = b, entonces, b = a .
correspondencia en la forma, el tamaño
y la secuencia de las partes que la com- Vea la definición de «igualdad» para ver
ponen respecto de una línea o punto. otras propiedades de la igualdad.
Vea «Eje de simetría».
Sistema coordenado Conjunto de ejes que
Simetría axial Un objeto geométrico pre- sirven para indicar coordenadas de
senta simetría axial cuando tiene una puntos. Cuando los ejes son mutua-
recta de simetría. Esa recta se dice que mente perpendiculares y todos utilizan
es el eje de simetría de la figura. la misma unidad de medida en cada eje,
Por ejemplo, el triángulo isósceles pre- se dice que es un sistema de coordena-
senta simetría axial. das cartesiano.
Sistema decimal Sistema de numeración que
utiliza el 10 como base y que utilizamos
actualmente para contar.
Por ejemplo, el número 2 745, se puede
Eje de simetría

escribir como:
2745 = 2 000 + 700 + 40 + 5
= 2 × 1 000 + 7 × 100 + 4 × 10 + 5
= 2 × 103 + 7 × 102 + 4 × 101 + 5 × 100

En nuestro sistema de numeración,
S
cada cifra tiene un valor que depende
de su posición respecto del punto deci-
Simetría radial Un objeto geométrico pre- mal. Esto se hace evidente al escribir el
senta simetría radial cuando su centro número en términos de potencias de 10.
sirve de centro de simetría.
Por ejemplo, un polígono regular pre- Sistema de ecuaciones Conjunto de varias
senta simetría radial. ecuaciones que deben resolverse


148 Sistema de numeración–Sólido

simultáneamente. La solución del escribimos números en base 10 sola-
sistema de ecuaciones es el conjunto mente, no se requiere indicar la base,
de valores que las reducen a todas las pero cuando utilizas varias bases se
ecuaciones a igualdades verdaderas. sugiere indicar siempre la base, aún
Por ejemplo, el sistema de ecuaciones: cuando esté escrito en base 10 para evi-
tar confusión.
x +y = 10
x −y = 2 Sistema de referencia Conjunto de ejes que
sirven para indicar coordenadas de
tiene por solución x = 6, y = 4, porque al puntos.
sustituir estos valores en las ecuaciones, El sistema de referencia es también
cada una se reduce a una igualdad ver- llamado «sistema coordenado».
dadera.
Los sistemas de ecuaciones se clasifi- Sistema Internacional de Unidades Conjunto
can de acuerdo al tipo de ecuaciones de unidades de medida para utilizar
que la componen. En el ejemplo dado, en todo estudio y reporte científico y
el sistema de ecuaciones es lineal, pues tecnológico (abreviado como S.I.)
todas las ecuaciones que lo componen Las unidades básicas del S.I. son:
son lineales.

Sistema de numeración Reglas que se de- Magnitud Unidad Símbolo
finen para escribir y realizar operaciones Distancia metro m
con números. Masa kilogramo kg
Nosotros utilizamos un sistema de Tiempo segundo s
numeración decimal y posicional. Corriente eléctrica amperio A
Decimos que es decimal porque conta- Temperatura kelvin K
mos usando potencias de 10, y que es Intensidad luminosa candela cd
posicional porque el valor de cada cifra
depende de su posición relativa a los
Sistema Pié-libra-segundo Sistema de
demás números usados al escribir el
unidades que tiene por unidades bási-
número. La base de nuestro sistema es el
cas al pié (longitud), la libra (masa) y el
10. De aquí viene la palabra «decimal».
segundo (tiempo).
Los romanos utilizaban un sistema de
numeración decimal que no era posicio- Software Programas e información utilizada
nal. Los mayas utilizaban un sistema de por la computadora.
numeración vigesimal (base 20) que sí
Sólido Figura geométrica que tiene tres di-
era posicional.
mensiones.
A un sistema de numeración también se
S le llama «sistema numérico».
La siguiente figura muestra los sólidos
cubo y esfera:
Cuando se escribe un número en
un sistema de numeración de base
diferente a la 10, se indica la base
con un subíndice a la derecha. Por
ejemplo, 1002 indica que es el número
cuatro (en base 10, esto es 410 ). Dado
que utilizamos la base 10, siempre que Cubo Esfera


Sólido rómbico–Subíndice 149

Los sólidos también se conocen como Suave Se dice que una función y = f (x )
cuerpos. es suave en un intervalo (a ,b ) si su
derivada está definida en todo punto del
Sólido rómbico Sólido cuyas caras son rom- intervalo.
bos congruentes. La función y = x 2 es una función suave,
pues su gráfica es una parábola, que no
Sólidos platónicos Nombre que se les da a
presenta cambios bruscos de dirección.
los cinco poliedros regulares: tetraedro,
Por otra parte, la función valor absoluto
cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro.
(y = |x |) no es suave, pues su derivada no
está definida en el origen. En este punto,
tiene un cambio brusco de dirección.

Subconjunto Un conjunto es subconjunto
Tetraedro Octaedro de otro conjunto si todos los elemen-
tos de están también en .
Si existe algún elemento de que no
esté en , entonces no es un subcon-
junto de .
Dodecaedro Icosaedro
Si es un subconjunto de , entonces
decimos que el conjunto está incluido
en , lo cual se denota por: ⊂ ,
o bien, que el conjunto incluye al
conjunto , lo cual se denota por: ⊃ .
El siguiente diagrama muestra al
Cubo
conjunto , que es un subconjunto del
conjunto :
Solución (1.) Respuesta de un problema
(2.) Proceso o método para resolver un
problema.
(3.) Conjunto de valores que al susti-
tuir en una ecuación o en un sistema
de ecuaciones, se reduzcan a igualdades ⊂
verdaderas.
(4.) En química, frecuentemente se uti-
liza la palabra «solución» para referirse
al término «disolución».

Solución trivial Solución a un problema que
no requiere de algún procedimiento
El conjunto vacío ∅ es un subconjunto
de cualquier conjunto, pues no hay un
S
porque es muy evidente. elemento de ∅ que no pertenezca al
Por ejemplo, para la ecuación: segundo (por vacuidad).
Todo conjunto es subconjunto de sí
xn +y n = zn mismo.

con cualquier valor n, las soluciones Subíndice Número que se escribe en la parte
triviales son x = 0, y = 0, z = 0. inferior derecha de una literal o un


150 Sucesión–Suma

símbolo para identificarlo de manera Sucesión de Fibonacci La sucesión:
particular de entre un conjunto de 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, · · · , en la cual cada tér-
elementos. mino se obtiene como la suma de los
Por ejemplo, cuando se define un vector, dos términos anteriores se conoce como
v = (v 1 , v 2 ), el subíndice de cada compo- la sucesión de Fibonacci.
nente denotada con la literal v indica si
es la primera (v 1 ) o la segunda (v 2 ) com- Sucesión geométrica Lista de números que
ponente. tienen la propiedad que cualesquiera
dos consecutivos tienen una razón
Sucesión Lista de números que siguen
constante. Es decir, si dividimos a i +1 ÷
una determinada regla para calcular el
a i = r para cualesquiera dos términos
siguiente término.
consecutivos de la sucesión.
Por ejemplo, la sucesión: 3, 8, 18, 38, 78, · · ·
El primer término de la lista se denota
sigue la siguiente regla: «suma 1 al
por a 1 y la razón constante por r .
último término de la sucesión y al
Podemos calcular el enésimo término
resultado multiplícalo por dos».
Sucesión aritmética Lista de números que
tienen la propiedad que cualesquiera a n = a 1 · r n −1
dos consecutivos tienen una diferencia
constante. Y la suma de los primeros n términos S n
El primer término de la lista se denota con:
por a 1 y la diferencia constante por d . a 1 (1 − r n +1 )
Sn =
Podemos calcular el enésimo término 1−r
A la sucesión geométrica también se le
a n = a 1 + d (n − 1) conoce como «progresión geométrica».
Por ejemplo, si definimos a 1 = 2 y r = 3,
Y la suma de los primeros n términos S n los términos de la sucesión aritmética
con: son: a 1 = 2, a 2 = 6, a 3 = 18, a 4 = 54,
n (a 1 + a n ) etc.
Sn =
2
A la sucesión aritmética también se le Suceso Evento del cual se registra el resultado
conoce como «progresión aritmética». con el fin de estudiar el comportamiento
Por ejemplo, si definimos a 1 = 5 y d = 3, estadístico del mismo.
los términos de la sucesión aritmética Por ejemplo, si observamos los resulta-
son: a 1 = 5, a 2 = 8, a 3 = 11, a 4 = 14, dos de lanzar una pelota a una canasta
etc. para saber la proporción de puntos que
S Sucesión convergente Una sucesión tal que
logra un estudiante, cada lanzamiento
es un evento.
sus términos sucesivos están cada vez
más cerca de un valor fijo.
Suma (Aritmética) (1.) Operación entre
Por ejemplo, la sucesión:
números que expresa la relación entre
0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, · · · el número de elementos de la unión de
ellos.
converge a cero. (2.) Resultado de sumar dos números.


Sumando–Sustraendo 151

1234 sumando Suplementario, ángulo Dos ángulos son
+ 5678 sumando suplementarios si su suma es 180◦ .
6912 suma Vea la definición de «ángulo suplemen-
tario».
(Álgebra) Operación binaria entre Supremo La menor cantidad que es mayor o
expresiones algebraicas. igual a cada una de las cantidades de un
conjunto dado.
Sumando Número o expresión algebraica Lo opuesto de supremo es «ínfimo».
que se utiliza para realizar la operación
Sustitución Procedimiento algebraico usado
de suma junto con otro(a) u otros(as).
para reducir un sistema de n ecuaciones
en un sistema equivalente (es decir, que
1234 sumando
tiene el exactamente las mismas solu-
+ 5678 sumando
ciones) de n − 1 ecuaciones.
6912 suma
Sustracción Sinónimo de resta.
Podemos tener varios sumandos en una Vea la definición de «resta».
expresión, no solamente dos.
Sustraendo En una resta, el sustraendo es
Superficie (1.) Conjunto de puntos del plano el número que se está restando a otra
o de dos dimensiones (tiene largo y cantidad (el minuendo).
ancho). Las unidades de medición de
la superficie son metros cuadrados (m2 ). minuendo
9 876
En geometría se utiliza la palabra área sustraendo
− 5 324
como sinónimo de superficie.
4 552 diferencia
(2.) Frontera de un sólido.

S


152

ita
atu
gr
ión
uc
rib
ist
ed
d
ro

S
Lib


T

Tabla Arreglo de datos en forma de renglones
y columnas para identificar patrones en
los mismos.
P
Por ejemplo, la siguiente tabla re-
copila la información relacionada con
las edades de la población de un pueblo: C

Rango Cantidad
0 – 10 250 Tangente (Geometría plana) La tangente a
10 – 20 1 200 una curva es una línea recta que toca a
20 – 30 2 500 la curva en solo uno de sus puntos.
30 – 40 1 225 La siguiente figura muestra una
40 – 50 850 circunferencia con una tangente:
50 – 60 750
60 – 70 425 T
70 – 80 250
80 – 90 37
r

Ta
nge
90 – 100 13 nte

C

En estadística el uso de las tablas es muy
frecuente así como el uso de gráficas.
El punto T donde la recta tangente toca
a la circunferencia se llama «punto de
Tangencia, punto de Punto en el cual una tangencia».
recta toca tangentemente a una curva. (Trigonometría) La tangente del ángulo
En la siguiente figura se muestra una α se define como:
circunferencia y una recta tangente. El sin α
punto de tangencia es P: tan α =
cos α

154 Tangente hiperbólica–Teorema de Bayes

En un triángulo rectángulo, la tangente Tendencia central Un número que describe a
de un ángulo positivo menor a 90◦ puede un conjunto de datos, es una medida de
encontrarse con el cociente: la tendencia central de ese conjunto.
cateto opuesto Las medidas de tendencia central más
tan α = frecuentemente utilizadas son la media
cateto adyacente
aritmética, la mediana y la moda.
Hay otras medidas de tendencia central

Cateto opuesto
a como la media armónica y la media pon-
us
en derada.
otp
Hi

Teorema Proposición que requiere de
α
demostración.
Cateto adyacente
Por ejemplo, «Existe exactamente una
circunferencia que pasa por tres puntos
En geometría analítica, la pendiente m no colineales», es un teorema de
de la recta que pasa por los puntos geometría.
P(x p , y p ) y Q(x q , yq ) es igual a la tangente
del ángulo que ésta forma con el eje de
las abscisas: Teorema binomial Para cualesquiera dos
números enteros no negativos, se
∆y yq − y p
m= = cumple:
∆x x q − x p
n
k
(x + y ) =
n
x k y n −k
Tangente hiperbólica La función tangente n −k
k =0
hiperbólica del número x se denota por:
tanh x y está definida por:
El teorema del binomio también se
e x − e −x conoce como el «binomio de Newton».
tanh x = x
e + e −x Vea la definición «Newton, teorema de»

Tangram Rompecabezas inventado por los Teorema de Bayes Sean A y B dos even-
chinos que consiste en ocho piezas tos cualesquiera con probabilidad de
de cartón: seis triángulos rectos, un ocurrencia diferente de cero. Entonces,
cuadrado y un paralelogramo.
La siguiente figura se muestra las piezas P(A|B ) · P(B )
P(B |A) =
del Tangram: P(A)

En palabras, la probabilidad de que
ocurra el evento B dado que ya ocurrió
T el evento A es igual al producto de la
probabilidad de que ocurra el evento A
dado que ya ocurrió B por la probabili-
dad de ocurrencia del evento B , dividido
entre la probabilidad de ocurrencia del
evento A.


Teorema de De Moivre–Teorema del valor medio del Cálculo Integral 155

Teorema de De Moivre El teorema de De Se cumple entonces,
Moivre es una generalización de la fór-
a b c
mula de Euler, para cualquier n entero: = =
a b c
(cos θ + i cos θ )n = cos(nθ ) + i sin(nθ )

Al Teorema de De Moivre también se le Teorema del factor Dada la ecuación polino-
conoce como la fórmula de De Moivre. mial:
Vea la deﬁnición de «Fórmula de Euler».
a 0 + a 1x + a 2x 2 + · · · + a n x n = 0
Teorema de Pitágoras En todo triángulo rec-
tángulo que se encuentra en un plano, la Si el número k es una de sus raíces,
suma de los cuadrados de las longitudes entonces, el polinomio es divisible entre
de los catetos es igual al cuadrado de la x −k.
longitud de la hipotenusa. Por ejemplo, una de las raíces de la
Algebraicamente, si a y b son las longi- ecuación:
tudes de los catetos del triángulo rectán-
6 + 5x + x2 = 0
gulo y c es la longitud de su hipotenusa,
entonces se cumple: es x = 3. Entonces, 6+5 x +x 2 es divisible
entre x − 3. En efecto,
c2 = a2 +b2
6 + 5 x + x 2 = (x − 3)(x − 2)

Lo cual indica que la otra raíz de la
c ecuación es x = 2.
b
Teorema del valor medio del Cálculo Diferencial
Si la función y = f (x ) es continua
a y diferenciable en el intervalo [a ,b ],
entonces, existe al menos un valor c en
Teorema de Thales Si varias paralelas son el intervalo (c ∈ [a ,b ]) tal que:
cortadas por dos secantes, los segmen- f (b ) − f (a )
tos determinados en una secante son f (c ) =
b −a
proporcionales a los determinados en la
otra secante. En palabras, esto nos dice que la función
Por ejemplo, en la siguiente ﬁgura se tiene en al menos un punto del inter-
muestran varias paralelas (verticales) valo la pendiente de la recta tangente a la
cortadas por dos secantes: curva igual a la pendiente de la recta que
pasa por los puntos (a , f (a )) y (b, f (b )).
B D F H
b c S Teorema del valor medio del Cálculo Integral
a
R Si la función y = f (x ) es positiva, con-
tinua e integrable en el intervalo [a ,b ],
T
a b c entonces, existe un valor h 0 tal que:
P Q
b
A C E G
f (x )dx = h · (b − a )
AB CD CD EF EF GH
a


156 Teorema fundamental de la aritmética–Tercio

Geométricamente, esto nos indica que el intervalo [a ,b ] y y = F (x ) es cualquier
el valor del área bajo la gráﬁca de la antiderivada de f , entonces,
función y = f (x ) puede expresarse de b
manera equivalente como el área de un
rectángulo de base b − a y altura h: f (x ) dx = F (b ) − F (a )
a

y
Teoría Conocimiento organizado sistemáti-
camente que es aplicable en la solu-
f (b )
ción de problemas y para explicar la
h y = f (x ) naturaleza o el comportamiento de una
gran variedad de fenómenos.
f (a )
Teoría de conjuntos Rama de las matemáti-
x cas que estudia los conjuntos, sus
a b
b propiedades y sus aplicaciones.
h · (b − a ) = f (x )dx Teoría de ecuaciones Rama de las matemáti-
a cas que estudia las ecuaciones
polinomiales:

Teorema fundamental de la aritmética a 0 + a 1x + a 2x 2 + · · · + a n x n = 0
Todo número natural n 1 puede ex- La teoría de ecuaciones estudia princi-
presarse como producto de números palmente los métodos de solución de
primos, de manera única, salvo el este tipo de ecuaciones.
orden.
Teoría de números Rama de las matemáti-
Teorema fundamental del álgebra Toda cas que estudia los números, sus
ecuación polinomial de grado n tiene propiedades y de sus operaciones.
exactamente n raíces (algunas de las
cuales pueden ser complejas). Tera- Preﬁjo que indica 1012 . Se abrevia con
la letra mayúscula T.
Teorema fundamental del Cálculo Si la fun- Por ejemplo, un teralitro equivale a un
ción y = f (x ) es continua en el intervalo billón de litros (un millón de millones de
[a ,b ] y y = F (x ) es cualquier antideri- litros), esto es: 1 TL = 1012 L.
vada de f , entonces,
Tercio Cuando dividimos un entero en tres
x
partes iguales, cada una de ellas es un
d
f (t )dt = f (x ) tercio, o bien, una tercera parte del
dx entero.
a
T b

f (x ) dx = F (b ) − F (a ).
1 1 1
a
3 3 3
Teorema fundamental del Cálculo Integral
Si y = f (x ) es una función continua en


Término–Toro 157

Término Expresión algebraica que consiste Teselado Cobertura del plano por polígonos
de una constante que multiplica a una de manera que cada punto del plano
o varias variables cada una de ellas ele- esté cubierto por solamente un polí-
vada a alguna potencia entera no nega- gono y que dos polígonos se toquen
tiva. solamente en sus lados.
Por ejemplo, 3 x 2 y 5 es un término.

Los polinomios son un suma de uno o
varios términos. Monomio se entiende
como sinónimo de término.

Término general En un polinomio o en
una ecuación, el término general se
representa por medio de una expresión
algebraica que indique la forma que
tiene cada uno de sus términos.
Por ejemplo, en un polinomio, el tér-
mino general es a i x i . Esta expresión Teselado
indica que hay un coeﬁciente a i que
multiplica a la i −ésima potencia del
número x . Tetraedro Sólido geométrico cuyas caras son
cuatro triángulos equiláteros:
Término irracional Término que tiene un
exponente irracional en alguno de sus
factores.
Por ejemplo, el término 3 x 2 , es un tér-
mino irracional.

Terna pitagórica Es una terna de números
(a ,b, c ) que cumplen con:
Tetraedro
a2 +b2 = c2

Por ejemplo, (3, 4, 5), (5, 12, 13) y Tonelada Unidad de peso equivalente a 1 000
(20, 21, 29) satisfacen la condición, por kilogramos.
tanto, son tercias pitagóricas.
Toro Superﬁcie curva cerrada que tiene un
Esto quiere decir que si construimos un
hoyo en medio, con la forma de una
triángulo con medidas iguales a cada
dona.
uno de los valores de la terna pitagórica,
el triángulo resultante será un triángulo
rectángulo.
T
5
3

4 Toro


158 Transitiva, propiedad–Triángulo

Transitiva, propiedad Propiedad que El lado paralelo con mayor longitud se
consiste en que si a ∼ b , y también b ∼ c , llama base mayor (B ) y el lado paralelo
entonces, a ∼ c . con menor longitud se llama base menor
Por ejemplo, la igualdad presenta la (b ). La altura del trapecio (h) es la
propiedad transitiva, pues si a = b , y distancia entre las dos bases.
también b = c , entonces, a = c . El área del trapecio se calcula con la
Vea la definición de «igualdad» para ver siguiente fórmula:
otras propiedades de la igualdad. (b + B ) · h
A=
Translación Movimiento de un objeto 2
geométrico de manera que cada uno de y su perímetro sumando las longitudes
sus puntos se mueve en la misma direc- de sus lados.
ción, la misma distancia, sin rotación, Trascendental, número Número irracional
reflexión o cambio en su tamaño. que no puede ser raíz de una ecuación
En la siguiente figura, el triángulo polinomial con coeficientes racionales.
A BC se ha trasladado hacia la derecha Por ejemplo, el número e es un número
para obtener el triangulo congruente trascendental.
ABC:
Trayectoria Camino o ruta que sigue un
C C cuerpo en movimiento.

B B Triada Un trio ordenado de valores.
A A Por ejemplo, (2, 3, 4) es una triada.

Triangular (1.) Caracterizado por el trián-
Transportador Instrumento utilizado para gulo.
medir ángulos. (2.) Dividir una región del plano en
triángulos para facilitar el cálculo de su
110
100 90 80
70
área.
120 60
130 50 Triángulo Polígono de tres lados.
140 40
150 30
La siguiente figura es un triángulo con
160 20 base b , altura h y lados a y c :
170 10

180 0
Transportador
a

h
c

Trapecio Cuadrilátero con un par de lados
paralelos.
b
T b
P = Perímetro = a + b + c
bh
h A = Área =
2
Un triángulo se clasifica de acuerdo a la
B medida de sus lados como:

Triángulo acutángulo–Triángulo obtusángulo 159

Escaleno: si todos sus lados tienen
distinta medida. a

b
Isósceles: si dos de sus lados tienen
la misma medida.
c
Equilátero: si sus tres lados tienen
la misma medida. Se cumplen las siguientes tres desigual-
dades:
Y de acuerdo a sus ángulos como:
a +b c
Acutángulo: si todos sus ángulos a +c b
son agudos.
b +c a
Rectángulo: si tiene un ángulo
recto. que es lo que dice el principio.

Obtusángulo: si tiene un ángulo Triángulo equilátero Un triángulo es equi-
obtuso. látero si sus tres lados tienen la misma
medida.
La suma de los ángulos internos de un
triángulo es igual a 180◦ .
Debido a esto, un triángulo no puede
tener dos ángulos rectos, mucho menos
dos ángulos obtusos. T. equilátero

Triángulo acutángulo Un triángulo es Triángulo escaleno Un triángulo es es-
acutángulo si todos sus ángulos son agu- caleno si todos sus lados tienen distinta
dos. medida.

T. escaleno
T. acutángulo
Triángulo isósceles Un triángulo es isósce-
Triángulo aritmético Arreglo triangular de les si dos de sus lados tienen la misma
números que se utiliza para calcular los medida.
coeﬁcientes del binomio (a + b )n . Tam-
bién se conoce como el «Triángulo de
Pascal».
T. isósceles
Vea la deﬁnición de «Triángulo de Pas-
cal».
Triángulo obtusángulo Un triángulo es ob- T
Triángulo, desigualdad de Para todo trián- tusángulo si tiene un ángulo obtuso.
gulo que se encuentra en un plano, la
suma de las longitudes de cualesquiera
dos lados es mayor al tercer lado.
T. obtusángulo
Por ejemplo, en el triángulo:


160 Triángulo rectángulo–Trigonometría

Triángulo rectángulo Un triángulo es rectán- Tricotomía Propiedad de los números reales.
gulo si tiene un ángulo recto. Dados dos números reales a ,b cuales-
quiera, se satisface una y solamente una
de las siguiente condiciones:

i. a b
T. rectángulo
ii. a = b
Triángulo de Pascal Triángulo que sirve para iii. a b
calcular los coeﬁcientes de la enésima
Tridecágono Polígono de 13 lados.
potencia de un binomio.
El siguiente diagrama indica cómo cal-
cularlo:

1
1 + 1
1 + 2 + 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
Tridecágono
1 5 10 10 5 1
Trigonometría Rama de la matemática que
Suma los dos números que están indica- se encarga del estudio de los triángulos,
dos para obtener el que está en medio de las proporciones entre sus lados y án-
ellos en el siguiente renglón. gulos, las funciones trigonométricas, sus
Para calcular: (x + y )5 calculamos los propiedades y sus aplicaciones.
primeros 6 renglones del triángulo de Las funciones trigonométricas son las
Pascal y escribimos los coeﬁcientes, y siguientes:
después las literales con los exponentes
que le corresponden: seno (sin)
coseno (cos)
(x + y )5 = x 5 + 5x 4 y + 10x 3 y 2 + 10x 2 y 3
tangente (tan)
+5x y 4 + y 5
secante (sec)
Observa que los exponentes de x van cosecante (csc)
decreciendo, empezando desde 5 y
terminando en 0, los de y van creciendo, cotangente (cot)

T empezando desde 0 y terminando en 5.
Observa también que la suma de los
Las funciones trigonométricas inversas
son:
exponentes de las literales de cada tér-
mino es 5. arcoseno (arcsin)
arcocoseno (arccos)
Triángulo pitagórico Triángulo rectángulo
con longitudes de lados enteros. arcotangente (arctan)


Trillón–Truncar 161

Trillón En Español, trillón es el número necesariamente de grado dos.
formado por un 1 seguido de 18 ceros.
Es decir, un trillón es igual a un millón Trisección del ángulo Problema que consiste
de billones. en la construcción de un ángulo con
En Estados Unidos y en Canadá, un medida igual a un tercio de un ángulo
trillón (En Inglés) es el número formado dado.
por un 1 seguido de 12 ceros. Es Este problema no se puede resolver uti-
decir, en estos países un trillón lizando solamente regla y compás.
equivale a un billón (10 12 ). Algo
curioso es que en Inglaterra, que Trivial Muy fácil de resolver o sencillo.
también usan el idioma Inglés, el
trillón para ellos es 1018 , al igual que para Truncar Aproximación de a un valor omi-
nosotros. tiendo decimales a partir de uno especí-
ﬁco.
Trinomio Polinomio que tiene 3 términos. Por ejemplo, al truncar el valor de π a
Por ejemplo, diezmilésimos obtenemos: π = 3.1415.
Observa que se han omitido los dígi-
1 + x 5 − x 11
tos decimales después de los diezmilési-
Observa que un trinomio no debe ser mos.

T


162

ita
atu
gr
ión
uc
rib
ist
ed
d
ro

T
Lib


U

Último Teorema de Fermat Uno de los Unidad cúbica Unidad de volumen formada
problemas que ocasionó un gran avance por un cubo con aristas de medida igual
en las matemáticas. El teorema dice: no a la unidad.
existen números enteros x , y , z diferen-
tes de cero que satisfagan: Unidad cuadrática Unidad de área formada
por un cuadrado con lados de medida
x +y =z
n n n igual a la unidad.

para n 2. Unidad de medida Cantidad establecida
para realizar mediciones de alguna
Undécimo Número ordinal correspondiente naturaleza física.
al lugar número once. Por ejemplo, el kilogramo es la unidad
Por ejemplo, en un maratón, el corredor de medida establecida por el Sistema
que llega en el lugar número once, tiene Internacional de Medidas para la masa.
el undécimo lugar.
Frecuentemente en el lenguaje colo- Unidad imaginaria El número i que tiene la
quial se dice (incorrectamente) propiedad de que: i 2 = −1, se llama
«onceavo» reﬁriéndose al número ordi- unidad imaginaria.
nal «undécimo».
Unión La unión de los conjuntos y es el
Onceavo es una fracción, no un número
conjunto que está formado por todos los
ordinal.
elementos que están en como los que
Decimoprimero es sinónimo de
están en .
undécimo.
El siguiente diagrama de Venn muestra
Unicidad Condición de ser única. la unión de los conjuntos y :
Cuando se dice que se requiere de
mostrar la unicidad de una solución,
signiﬁca que debemos probar que no
existen otras soluciones diferentes a la
dada.

Unidad El número 1 se llama unidad.
∪

164 Unitario, cubo–Uno a uno, función

Unitario, cubo Cubo con aristas de medida conjunto de todos los alumnos de la es-
igual a la unidad. cuela.

Unitario, vector Vector con magnitud igual a
Uno Menor número natural, que se denota
la unidad.
por 1.
Universo El conjunto que contiene todos Este número tiene la propiedad de que
los elementos que son relevantes para cualquier número x multiplicado por él,
una discusión o en la solución de un da el mismo número x .
problema particular.
El universo se denota por . Uno a uno, función Sinónimo de función in-
Por ejemplo, si se está resolviendo un yectiva.
problema relacionado con los alum- Vea la deﬁnición de «Función Inyec-
nos de una escuela, el universo es el tiva»

U


V

Vacuidad Condición de estar vacío. Vara cuadrada Unidad de superficie usada
Cuando se demuestra algo referente al en el sistema Español, equivalente a
conjunto vacío, que se sigue por el hecho 0.7 m2 .
de estar vacío, se dice que se demostró
por vacuidad. Variable Literal que se supone cambia de
Por ejemplo, el conjunto ∅ es subcon- valor.
junto de cualquier otro conjunto , por En la función y = f (x ), la variable
vacuidad, pues no hay algún elemento independiente es la variable en la cual
del conjunto vacío que no esté en el sustituimos los valores, generalmente x .
conjunto . Por otra parte, la variable dependiente es
Vea la definición de «Subconjunto». el valor que la función toma, usualmente
y.
Valor absoluto El valor absoluto de un En matemáticas las variables se denotan
número x , denotado por |x | se define usando las últimas letras del alfabeto:
como su valor numérico si considerar su t , u , v, x , y , z , etc.
signo.
Variable cualitativa En estadística, una
Por ejemplo, el valor absoluto de −18 es:
variable es cualitativa si solamente
| − 18| = 18, y el valor absoluto de 3 es:
indica alguna cualidad sin indicar un
|3| = 3.
número.
Geométricamente el valor absoluto
Por ejemplo, cuando se indica un grado
representa la distancia del origen de la
de afectación de un huracán a un domi-
recta numérica al punto que le corres-
cilio, en la encuesta se podría incluir una
ponde el número:
escala ordinal: nulo, leve, moderado,
grave, pérdida total.
| − 3| |2| También es posible que se incluya una
x escala nominal para medir otro aspecto,
−3 −2 −1 0 1 2 3 como el tipo de construcción: barro,
madera, concreto.

Vara Unidad de distancia usada en el sistema Variable estadística Una característica de
Español, equivalente a 0.84 metros. una población que puede tomar diferen-
Una vara es equivalente a 2.76 piés. tes valores.

166 Variación–Velocidad

Por ejemplo, el peso promedio de los El punto inicial del vector está en el
adultos de un país es de interés para origen y el punto final está en las
conocer los niveles de salud de esta coordenadas (v x , x y ). La longitud del
población. vector se denomina como su magnitud
o su módulo, denotada por v , y se
Variación Cambio que sufre una variable.
calcula aplicando el teorema de Pitágo-
Usualmente se denota anteponiendo a
ras:
la variable el símbolo ∆.
v = vx + vy2 2
Así, la variación que sufre la variable x se
denota como ∆x y se lee: «delta x ». La dirección del vector se puede definir
La variación que sufrió una variable para cualquier vector no nulo, como
cuando cambió del valor x 1 al valor x 2 el ángulo que éste forma con el eje
es: horizontal y se calcula con:
∆x = x 2 − x 1
vy
Por ejemplo, si x cambió de x 1 = 3 a x 2 = θ = arctan
5, la variación de x es: ∆x = 5 − 3 = 2. vx
A la variación también se le llama cam-
El vector nulo 0 = (0, 0) no tiene definida
bio o incremento.
una dirección y su magnitud es cero.
Varianza Es el promedio de las desviaciones Algunos autores definen al vector como
cuadradas respecto de la media: un segmento de recta dirigido.
n
(x i − x )2 Vector libre Vector cuyo punto inicial puede
i =1 estar en cualquier punto.
σ2 =
n
donde x es la media aritmética de los n Vector tangente Vector que tiene la misma
datos {x 1 , x 2 , · · · , x n }. dirección que una recta tangente a una
La varianza es una medida de la disper- curva y que tiene su punto inicial en el
sión de los valores que presenta la varia- punto de tangencia de la recta tangente
ble x . con la curva.

Vector Una diada de valores ordenados. Vector unitario Vector con magnitud igual a
v = (v x , v y ) la unidad.

Geométricamente el vector se Vectorial Referente a vectores.
representa con una flecha que va Por ejemplo, cuando en física se habla
del origen al punto indicado por sus a un campo vectorial se refieren a un
coordenadas: conjunto de vectores que sirven como
y la descripción de la magnitud de alguna
cantidad variable que se mide para
explicar algún fenónemo.
vy
) Velocidad Vector cuya magnitud es igual
,v y
v (v x
a la rapidez de un objeto y la direc-

V θ
x
ción indica hacia dónde se realiza el
movimiento.
vx Vea la definición de «rapidez».


Vértice–Volumen 167

Vértice Punto característico de una figura B
geométrica donde se intersectan dos
lados o varias (dos o más) aristas.
A
Algunas figuras que tienen vértices son
los polígonos, algunas de las cónicas
(elipse, parábola e hipérbola), los sóli-
dos, etc.

Vértices consecutivos En un polígono, dos
vértices son consecutivos si son ex- Volumen Espacio que ocupa un cuerpo. Sus
tremos de un mismo lado. unidades se miden en litros, o unidades
En la siguiente figura, los vértices A y B de longitud cúbicas, como metro cúbico
son consecutivos. (m3 ).

V

168

Lista de símbolos matemáticos

La siguiente lista contiene los símbolos matemáticos que más frecuentemente se utilizan en las
matemáticas de primaria y secundaria.

+ → suma | → divisible por

− → resta, diferencia → no es divisible por

× → multiplicación ∴ → por lo tanto

÷ → división → porque

/ → división ∀ → para toda

≡ → equivalente a ∃ → existe

∃! → existe un único
≡ → por deﬁnición
∃ → no existe
≡ → congruente con
¡

| → tal que
= → igual a
: → tal que
→ desigual a
⇒ → implica, se sigue
→ mayor a
⇔ → si y solo si
→ menor a
→ números naturales
≥ → mayor o igual a
→ números enteros
≤ → menor o igual a
→ números racionales
→ mucho mayor a
→ números irracionales
→ mucho menor a
→ números reales
≈ → aproximadamente igual a
→ números complejos
∝ → proporcional
∈ → pertenece
% → porciento → no pertenece
± → más, menos ∅ → conjunto vacío
→ raíz cuadrada ⊂ → está incluido
3 → raíz cúbica ⊃ → incluye

n → raíz enésima
⊂ → no está incluido

∞ → infinito
⊃ → no incluye


169

⊆ → incluido estrictamente Sn → serie (primeros n términos)

∪ → unión x → media aritmética, promedio

∩ → intersección ⊥ → perpendicular

→ universo → paralelo

ν → cardinalidad ∼ → es semejante a

∨ → o (interjección) → no es semejante a

∧ → y (conjunción) u → vector (también u)

→ → se mapea a u → magnitud de u

mod → módulo AB → arco A B

◦ → grados sexagesimales
lim → límite
→ minutos
max → máximo
→ segundos
min → mínimo
◦C → grados centígrados
→ sumatoria
◦F → grados Farenheit
loga → logaritmo en base a
∠A BC → ángulo A BC
log → logaritmo vulgar
α → ángulo α
ln → logaritmo natural
A BC → triángulo A BC
det → determinante
C (n, r ) → combinaciones de n en r
∆ → incremento
P(n, r ) → permutaciones de n en r
δ → desviación
n
d → diferencia → combinaciones de n en r
r

r → razón σ → desviación estándar

r → radio σ2 → varianza

ai → i −ésimo término π → 3.141592654 · · ·


170


171

Referencias

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Grossman, Stanley I. Mathematics and its History
Álgebra lineal Ed. Springer
Grupo Editorial Iberoamérica EE.UU. 2010. 660 pp.
México, 1983. 399 pp.

172

Agradecimientos a revisores

Las siguientes personas (que aparecen en orden alfabético) han apoyado de manera voluntaria
en la revisión de este diccionario.
Se agradece infinitamente su colaboración.

Aedo, María Elena.

Arroyo H., Evangelina (EE.UU.)

Brito, Franco (Venezuela)

Motilla, Guillermo.

Romero, Jorge.

Sobrevilla S., Ana.

Sobrevilla T., Ana I.

Los revisores han colaborado con sugerencias de conceptos por agregar, correcciones de todo
tipo (ortográficas, gramaticales, de diseño, etc.), corrección en las definiciones, etc.
Sin su colaboración, este material no tendría la calidad que ahora tiene.

Estimado lector, si usted encuentra un error o tiene alguna sugerencia, por favor, envíela con
su nombre completo a la siguiente dirección de correo electrónico:

efrain@aprendematematicas.org.mx

Usted también aparecerá en esta lista de revisores y colaboradores.
Gracias por su apoyo en nombre de todos los profesores y estudiantes que actualmente utilizan
este material de distribución gratuita.

Efraín Soto Apolinar.
(Autor)


Créditos 173

CRÉDITOS
Debo agradecer el precioso apoyo que todo este tiempo me ha estado brindando mi esposa, Ana
Gloria.
Sin su comprensión, ánimo y entusiasmo hubiera tardado cien veces más en elaborar este material.

Autor: Efraín Soto Apolinar

Productor general: Efraín Soto Apolinar

Dirección y coordinación editorial: Efraín Soto Apolinar

Edición: Efraín Soto Apolinar

Composición tipográfica: Efraín Soto Apolinar

Diseño de portada: Efraín Soto Apolinar

Diseño de figuras: Efraín Soto Apolinar

Revisión técnica: Vea la sección Agradecimientos a revisores.

Año de edición: 2 009

Año de publicación: 2 010

Última revisión: 20 de abril de 2011.

Última modificación: 23 de mayo de 2012.

Total de figuras: 333.

Total de definiciones: 1021.

Software utilizado: En la edición, diseño y composición tipográfica de este material se han utilizado los
siguientes programas:

x LTEX 2
A Tipografía del texto, ecuaciones y diagramas.
y TikZ Diseño de ﬁguras, encabezados y diagramas.
z pgfPlots Gráﬁcas y diagramas.
{ TEXnicCenter Edición del código fuente LTEX 2 .
A

Apreciado lector, agradezco sus comentarios, sugerencias y correcciones a la cuenta de correo elec-
trónico:

efrain@aprendematematicas.org.mx

Usted puede descargar este Diccionario Ilustrado de Conceptos Matemáticos de manera gratuita del
siguiente sitio de Internet:

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