ALGEBRA 4º y 5º

PRESENTACIÓN

El COLEGIO DE CIENCIAS APLICADAS “VÍCTOR VALENZUELA
GUARDIA” pone a disposición de nuestros alumnos el presente Módulo Teórico-
Práctico, del curso de Álgebra correspondiente al área de Ciencias, el cual permitirá a
nuestros estudiantes la aprehensión de la asignatura con la visión de sostenerla y
aplicarla en la realidad multidisciplinaria en que hoy se desarrolla la educación del
país.

Queremos manifestar el agradecimiento respectivo a la totalidad de nuestra Plana
Docente, la cual en largas sesiones de trabajo, elaboración y coordinación han podido
lograr la realización de este Módulo, y extender el agradecimiento a todas las
personas que han aportado para que dicho material sea el más óptimo posible.

Estas últimas líneas son para agradecer y felicitar a ustedes por confiarnos su
preparación, y en este binomio que hemos conformado, sabemos por anticipado que la
calidad en servicios educativos, está asegurada.

La Dirección

4to Año Razonamiento Matemático 2

COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”

ALGEBRA

I Bimestre

POTENCIAS Y RADICALES EN  Ejemplos
E.1. Encuentre el valor de R si:
3 1
POTENCIACIÓN 1 2 1
R 5 7 .3
Y 3 6
RADICACIÓN
Solución
Son Aplicando las propiedades, obtenemos:
2
3 1
OPERACIONES INVERSAS R 3 7 6 .3
5
1
Que consisten en 27 7 18
25
1
16
Dados dos números base Dados dos números 25
y exponente, determinar radicando e índice, 401
un tercer número llamado determinar un tercer 25
potencia número llamado raíz
E.2. Reduce utilizando las definiciones
de potencias, reducir:

an b n 89
b a K 7 7 7 7 7 ....... 7 7 Solución
 
 
Potenciación y Radicación 89 Veces

89
K 7 7 7 7 7 ....... 7 7
 
 
89 Veces
89 89
7 7
K 0
En potenciación n 1 , n  .se tiene: En radicación n 2 , n 
Propiedades: 1
n
1.- Dados a , n  , se tiene: a 0 a a n . Propiedades:
1
n
2.- Dados a , n  ,a 0 , se tiene: 1.-
m
an am
1 m
a n .b p .c q .... m
a n .m b p .m c q .......
a n .a n
a n .a n 1 a n
3.-
2.-
an a n m .b p m .c q m .....

y z ..... f 3.- m
a b m
a m
a a1 m
x b1 m
a x. y . z ..... f
m
b b
a
1
m n p m.n. p ....u
4.- .....u a a a ( m.n. p....u )

n
3.- a p .b q .......x m a p .n .b q .n ......x m.n

4.- a n an 5.- am .an
am an m
am n

am

3


EJEMPLOS Aprendiendo a resolver…..resolviendo
1.- Calcule: p 6
x3 12
x4 1.-En cada caso calcule el valor de x.
5 3
Solución: 1) x 2 2) x 4
3
6
3) x 25 4) x 72
6 3 12 4 x3 3
p x x p 5) x 0, 6 4) x 2, 2 2
12 4
x 3

3 6
42 325 3 9

x 6) x 7) x
x 3 6 4 12 3 313
x 4 12 3 5
x 3 6 2 6 x1 6 23 a 5b 7 a11b9
8) x 45
9) x
6
x 2 a 2b10
16
2 12
2.- Reducir: M 2 3 4 5
x120 2 6
2.- Simplificar N f
Solución:
3.- Reducir m4 m 2
m 5
2 3 4 5 2.3.4.5
M x120 x120
120 4.-Reduzca la siguiente expresión
x 2.3.4.5 x. M x
3 5
3.- Calcular: M 2. 2. 2
2. 2 L x .x 5 .x 20

Solución 5.- Completar con la alternativa correcta
La expresión dada es: 1 m
1000

R .m 2 .m 0 . .m 3 x para R=m
2. 2 4 m2 m
M 2. 2. 2 2. 2. 2
2. 2. 2
2
2. 2.2 4.- Efectuar:
6.- Al reducir a su mínima expresión
4.2 2.2 4
3 5 4 30
M 4 M x3m xm .Obtenemos M x2 . Hallar el
3n 1
K n 1
1
valor de m .
31 n
1 5
Solución: 7.- Calcule el valor de
Transformando el denominador del radicando:
J x x1 16
3n 1
1 3n 1 1
K n 1
31 n
1 n 1 1 8.- Si: 5n 2 , calcular: (25)1 n
1
3n 1
a)4 b)16 c) 6,25 d)12,5 e) 3,125
3n 1 1 n 1
(3n 1 1)3n 1

n 1 3n 1 1 3n 1
1 9.- Indicar el exponente final de “x” en:
3n 1

4
n 1
3n 1
3 x8 3 x 5
3
K 3 x3 4 x5
 
48 radicales
 a)1 b)2 c) 4 d)0 e) x
8
5.- Simplificar N x . x 8 x .... 8 x
8
10.- Mostrar el equivalente de:
10 x 3 x x 3 x ....... x 3
 
 x 2 x 1 2x

96 radicales x xx
x
Solución:
 radicales 

48
 a) x b) x2 c) x3 d) x-1 e) 1
8
x . 8 x 8 x .... 8 x
N
x ........  3 x 3 
3
11.- Simplificar M 20mn 1
10  xx  x ....... 
 x mn
2 mn 4
48 radicales 48 radicales
2 22 mn 2
48 48
8 8 6
x x x
48 48 10 x 40 10 a)2 b)4 c) 5 d) 10 e) 12
10
x 3
x x 24 .x16
x6 12.- El equivalente de:
x2
x4
N x2

4

ab a
a c b es: 3
x2 4
x x , el exponente final de x es:
c a ,
aa b
ab c a)19 b)19/24 c) 17/24 d)21/19 e)23/24
a)1 b) a 1
c) a d) a 2 e) a 2

13.- Determinar el exponente final de x en: ECUACIONES EXPONENCIALES
4
x2 x3 x5 x3
4 Definición.- Se denomina Ecuación Exponencial a toda
x2 x3 x5 x3
igualdad condicional que se caracteriza por presentar a
a)3/2 b)16/7 c) 27/14 d)54/32 e)16/3
n 1
su incógnita formando parte de algún exponente.
14.- Reducir: 3 3n 3
3n 5
3n 7
2 x
3n 3
3n 5
3n 7
3n 9
Ejm: 2x 16; 3x 1
81; 23 2
64
a)1/3 b)1/9 c) 1/27 d)1/81 e)3 Propiedades:
15.- Mostrar el equivalente de: 1.- a x ay x y; a > 0 a 1
n 1 n 1 n 1
2 .2 .2 ....." n " factores
Ejm.Si: 6x 2
68 x 2 8 x 6
2 .2 n .2 n ....." n " factores
n

2
2.- a x b x x 0; a > 0 b > 0 a b
a)1 b)2 c) 2n d) 2n e) 22 n
Ejm.Si: 9x 2
3x 3
x 2 0 x 2
16.- Simplificar:
2 2

m2
22 m 1
45(25m )
50 2 m2 1 TEOREMAS DE CONVERGENCIA (infinitos)
a) 0,1 b)0,01 c) 0,001 d)1 e)10
17.- Simplificar: 1.- n a n a n a......... n 1
a; n  / n 2 a 
1
9
19 19 1 9
x5 . x5 . x5 2.- n a n
a n
a ......... n 1
a; n  / n 2 a 
5
x2 .5 x2 .5 2
 x ..... 

5
x2
15 factores
EJEMPLOS
x 1
a)1 b) x c)5/2 d) x2 e) 2 1.- Evaluar “ x ” en: 2 .4x 81 2x

18.-Sabiendo que : a b c abc , se pide determinar Solución
el equivalente de: Expresando cada potencia en función de la base 2
a
xb c b
xa c c
xb a tenemos:
ab ac bc
x
x x x x 1
2 .(22 ) x (23 )1 2x

x 1
a) x b) x ab c) x bc d) x ac e) 1 2 2
.22 x 23 6x

m 2 x 1
19.- Efectuar: 5 5m 1
25m 1
5m 2
2x x 1
m
2 2
. 23 6x
2x 3 6x
5 2
x 1
a)5 b)31 c)25 d) 1/5 e) 37 3 8x x 1 6 16 x
2
20.- Si: x n y m 10n xm y n 10m , calcular el valor 17 x 7 x 7 17
x y
de: xy x
3 3
2.- Resolver para cada “ x ”: 3 27
10 1/10 10
a)10 b)1/10 c)(1/10) d) (1/10) e) 1 Solución
21.- Calcular: 0,1 0,4 0,3
.0, 2 .0, 3 .0, 4

0,2 0,1
La ecuación dada es:
0, 50,5.0, 30,8
1
x
3 3 3x 3 x
a)1 b)0,06 c) 1,2 d)0,6 e)0,12 3 27 3 33 33 3
33
1 1 1
22.- Al efectuar : 3
x3 x3 x .
3 3 3
x2 3 9 x
3 32
3x 3 x
3
Se obtiene: 1 1
3 1x 32 2 x -
5 5
x 2
a) x b) 3
x c) 9
x d) 9
x e) 2
23.- Luego de simplificar la expresión

5

3.- Calcular el valor de “ x 2 x ” si se verifica que:
x 1 2x 1
32 92

Aprendiendo a resolver…..resolviendo
Solución
2x 5 5 3x
x 1 2x 1 x 1 2x 1 x 1 2x 1
32 92 32 (32 ) 2 32 32.2 1.- Si: a 3
a 4
, hallar x
2x 1
22 x 2
x 1 2x 2 x -3 a)2/17 b) 33/17 c) 32/7 d)1/5 e) 35/17
4.- Resolver: x.x x 1
1616 x( x 1)2
2.- Calcular “ x ” si: 275 x 2
2432 x 3

Solución a)-2/5 b)-21/5 c)9/5 d) 21/5 e)-9/5
Desarrollando el exponente del segundo miembro y 2x 3x 2
3.- Evaluar “ x ” si: 5 49
transponiendo, se obtiene: 7 25
2
x 1 2
xx 1 xx 2x 1
a)1/2 b)-1/2 c)1/4 d) -1/4 e)2
x.x 1616 xx 2x 1
1616
x
x
xx
4.- Determinar “ x ” si: 3 4
1 2
xx 1
1616 xx 2x
1616 ( xx 2 )x 2
Elevando al exponente xx 1 a ambos miembros a)2/3 b)1/3 c)3/2 d) 1/4 e)2/5
tenemos: 5.- Calcular “ x ” si: 54 2 18x
xx 1 xx 1
xx 1
1616 xx 2 x
1616 xx 2 x. x x 1
a)3/4 b)4/3 c)2/3 d) 1/4 e)2/5
Comparando
2 2

1616 xx 2 (x
x 2
) 6.- Evaluar “ x ” si: 2 2x 2
2

la igualdad, obtenemos: a)2 b)1/2 c) 2 d) 1/ 2 e)2 2
x 2 x 2 2 2
x 16 x 4 x 2 7.- Si: 5x 0, 25; determinar A x
16
.
.. .
. ..
3 5x
3 5
x x
x
a) 0,5 b) 0,25 c) 0,4 d) 0,45 e) 0,2
5.- Resolver: 5
x x
2x
8.- Si: 93 x 512; evaluar 3
Solución
a) 9 b)1/2 c) 27 d) 1/27 e)1/81
Para resolver una ecuación de la forma dada se
9.- Determinar “ x ” si: 3x 3x 2
216
recomienda utilizar una variable auxiliar.
..
a) 2 b)3 c) 4 d)5 e)8
.
3 5 x
.. ..
x
10.- Encontrar “ m ” si: 1 (8m 1 8m 1 ) 1040
5
3 x x
5
x x
 
k 8
 
II


I a) 1/3 b)2/3 c) 4/3 d) 10/3 e)7/3
De I : 11.- Determinar “ x ” si: 3 x 1
3x 2
3x 3 351
..

3 5
x
3 5 x
..
5
3 k
5 3 k 3 k
5 a) 1 b)2 c) 3 d)4 e)5
5
x =k x k x k x k
1 x
x k 5 3 k ...................( ) 12.- Resolver para “ x ” si: 3 5 25x

De II : a) 1/7 b)2/7 c) 3/7 d) 7 e)4/7

x
x
..
.

k
Igualando 13.- Calcular “ x ” si:
k
x k x k x k
x 2 x x 2 x 4
8
x k
k
2
x k 2 k ............ 2 .4 8 8 .16 16

: a)2/5 b) 5/2 c) 22/5 d) 5/22 e)7/5
y
5 2
14.- Resolver para “ x ” si: 240 9x 9x 2

k 3 k
5 2
k k 5k 2k 6 a) 1/2 b)1/4 c) 1/8 d)1/3 e)1/5
k 3 k
3k 6 k 2 15.- Determinar “ x ”
Luego :
2 3x 3x 1 3x 2 3x 3 3x 4 360
2
x 2 x 2
a) 6 b)5 c)4 d)7 e)3

6

9x x3 3
1 6.- Calcular x , si: xx 27
16.- Evaluar “ x ” si: 1 3 1
27 9
3 a) 3
5 b) 3
3 c) 5 d) 5 e)3
26
a) 1/2 b)2 c) 3 d)1/3 e)1/9 7.- Resolver para x sí: x - 3
4
0
17.- Proporcionar el valor de “ x ” que verifica: x
a) 7 b) 8 c) 5 d)9 e) 10
5x 2 5x 512 x
32 2 x
4
8.- Encontrar el valor de x en: 4 x
a) 6 b)2 c)4 d)9 e)3
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
18.- Determinar “ x ” si:
516 5x 1
7 5 9.- Resolver para x sí: x x =
5x 25 4
2
a) 6 b)7 c)9 d)5 e)8 a) 3/2 b)1/8 c) 1/4 d)1/16 e)1/2
19.- Calcular el valor de: N+K, si: x 1 x 1
2
10.- Resolver para x sí: x.x 1616 x
6 64
N 32 6 32 6 32......... ; K= a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
64
x9
64 5
x3
11.- Determinar x si: 5
x 3
15

a) 5
15 b) 9
15 c) 3
5 d) 15
3 e) 9
5
a) 6 b)66 c)62 d)10 e)5
20.- Simplificar la expresión: 12.- Un valor de x en: x 1
x 21
4 ; es:
a) 10 b) 4 c) 63 d) 64 e) 62
3 3 3
SEGUNDO BIEMESTRE
3 2 3 2 3 ....
UNIDAD I
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
EXPRESIONES ALGEBRAICAS

ECUACIONES TRASCENDENTES
EXPRESIÓN ALGEBRAICA
Definición.- Se denomina ecuación trascendente a
es un
toda ecuación no algebraica.
CONJUNTO DE TÉRMINOS
Ejem. 2x x 6; x x 4; senx x 0,7; 5x 1 6 x 2 QUE REPRESENTA UNA
CANTIDAD
CRITERIOS DE COMPARACIÓN

Si: x x aa x a CONSTITUIDA
POR
x b
Si: x b x b
( x 1) VARIABLES CONSTANTES
1.- Resolver: ( x 1) 256
a) 2 b)3 c) 4 d)5 e)8 representada por dadas por
x
3 9
2.- Resolver: x 0,3 LETRAS NÚMEROS

a) 1/2 b)1/3 c) 1/4 d)1/5 e)1/8
6 2
3.- Calcular x , si: x x 2 OPERACIONES
MATEMÁTICAS
a) 12
6 b) 12
8 c) 4 d)2 e)3 ELEMENTALES

4.- Resolver: (3 x) x 3
4
TÉRMINO ALGEBRAICO (Monomio)
a) 3/2 b)1/3 c) 2/3 d)1/5 e)1/2
Definición.- Es la mínima parte de una expresión
x5
5.- Calcular x , si: x x 5 algebraica, en el no existen operaciones de adición o
a) 3
5 b) 5
5 c) 5 d) 5 e)3 sustracción.

7

Polinomio………………más de 3 términos

3
3 xy 2 EXPRESION ALGEBRAICA TRASCENDENTE
Ejem: 5 x 2 y; 7x 2
y6 ;
z Ejem: 2 xy 5x y 5x 3
2
Todo termino algebraico presenta tres partes, las 2x senx cos x
cuales son: Ejercicios resueltos
1.- ¿Cuántas de las expresiones son algebraicas?
3x 2 x 1
;3 x
3; 3 x 3
x 5; 28; x 2 4x 1
Exponentes Solución
Son expresiones algebraicas:
7 x5 y 3 7
3x 2 x 1
; 3x 3
x 5; 28

Variables 2.- Si los términos : 4 x a 3
yb 1
x5 a
y 2b
Coeficiente Son semejantes; calcular a.b
Solución
TÉRMINOS SEMEJANTES Podemos plantear:
Definición.- Son aquellos términos que presentan las 4 xa 3
yb 1
 x5 a
y 2b
mismas variables e iguales exponentes respecto a la a 3 5 a 2a 8 a 4
Variable común. Donde: b 1 2b b 1 b 1
Ejem: 7 xy 5 4 xy 5 son semejantes a.b 4

CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES Aprendiendo a resolver…..resolviendo
ALGEBRAICAS
A.- Según su Naturaleza 1.- Si: A 2 x 7 y
B 5 x 3 y;
1.- Expresión Algebraica Racional.
Es aquella expresión en donde los exponentes de Determinar: 5 A 2B

las variables son números enteros. Estas a su vez se a) 9 x b) 9 y c) 41 x d)41 y e)20 x –41 y

dividen en: 2.- Si: a 1 xb 1; b 2 x5 a.b xa 2 ;
1.A Expresión Algebraica Racional Entera Son términos semejantes, calcular: a 2 b2
Ejem: 7 xy 4
4x y 2
4x 2y 1 a) 31 b) 33 c) 35 d)47 e)19
2.A Expresión Algebraica Racional Fraccionaria 3.- Si:
Ejem: 7 xy 2 2 A 2x 3y 4 xy
5 xy 1
x B 5x 2y 2 xy
2.- Expresión Algebraica Irracional C 4x y xy;

Es aquella expresión en donde existe al menos una Evaluar: A B C
variable afectada de algún signo radical o exponente a) x 6 y 7 xy b) x 6y xy c) 3x 4 y xy
fraccionario. d) 2x 10 y 4xy e) x 6y
2
Ejem: 2 xy 5 x y x 3
4.- Si: x
n 2
y 4  x5 y1 m ; determinar: m n
2 x 1 4 y 3xy 4
3x1 5 2
a) 4 b) 5 c) 3 d)-4 e) 1
B.- SEGÚN EL NÚMERO DE TÉRMINOS
5.- Si: 2 x n 1
5x 4 se reduce a un solo término, ¿Cuál
Monomio……………….1 término
es valor de n?
Binomio…………………2 términos
a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 2
Trinomio…………………3 términos
…………………………………….
8

6.- ¿Cuántas de las siguientes: P(1) = suma de coeficientes
2x 4 y 1 ; 2x 3; 3; log 2 x2 x1 4 ; x
3 x no Ejem: Si P( x 3) 5x 16
son expresiones algebraicas? Calcular: T. Independiente y suma de coeficientes
a)1 b)2 c) 3 d)4 e) 5 Solucion
7.- Si se divide la suma por la diferencia de los Se pide P(0) + P(1)
términos: 5 x 2 y 3 3x y , se obtiene:
2 3

P(0) : i) x 3 0 x -3 . Reemplazando en:
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) xy
P( 3 3) 5( 3) 16 1
8.- Si los siguientes términos son semejantes: P(0) 1
2
3xm 2
yn 5
8x n 5
ym 4
Proporcionar el mayor P(1) : i) x 3 1 x -2 . Reemplazando en:
valor de: m n P( 2 3) 5( 2) 16 6
a) 3 b) 7 c) 9 d) 11 e) 13 P(1) 6
FORMA GENERAL DE UN POLINOMIO DE
GRADO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS VARIABLE X
P( x) a0 x n a1 x n 1
a2 x n 2
................... an 1 x an
GRADO DE UNA EXPRESIÓN
ALGEBRAICA
Donde:
es un n  ; n grado del polinomio
EXPONENTE QUE CARACTERIZA A
LA EXPRESION ALGEBRAICA a0 , a1 , a2 ,.........., an 1 , an : son los coeficientes tales
que:

RELATIVO ABSOLUTO a0 0 : Coeficiente Principal (C.P)
SI SE REFIERE A UNA SI SE REFIERE A
SOLA VARIABLE TODAS LAS VARIABLE
an : Término Independiente (T.I)
POLINOMIOS ESPECIALES
1.- Polinomio Homogéneo.- Es aquel polinomio que
SÓLO UN TODA LA tiene todos sus términos el mismo grado.
TÉRMINO EXPRESIÓN
Ejem: P( x, y ) x3 3x 2 y 4 xy 2 y3

2.- Polinomio Ordenado.- Es aquel polinomio que esta
VALOR NUMÉRICO DE EXPRESIONES
ordenado con respecto a una variable llamada
ALGEBRAICAS
ordenatriz, donde los exponentes de la mencionada
Definición.- Es aquel valor que se obtiene al
variable van aumentando o disminuyendo.
reemplazar las variables por constantes o variables y
Ejemplos:
efectuar dichas operaciones.
P( x, y ) 9 x5 y 2 x3 y 3 4x2 y 2 3y4
Ejem: Sea P( x) 5x 3 . Hallar:
P( x, y ) 9x4 2 x3 y 4x2 y 2 xy 3 y4
P(0); P(1); P( x 3)
Q( x ) 5 x17 2 x12 x6 x 1
Solución
si : 3.- Polinomio Completo.- Es aquel polinomio en el que
x 0 P (0) 5(0) 3 3 el grado de todos sus términos van desde un máximo
x 1 P (1) 5(1) 3 8 valor hasta el de exponente cero (término
x x 3 P( x 3) 5( x 3) 3 5x 18
independiente)
VALORES NUMERICOS NOTABLES Ejem: P( x) 9 x5 2x4 4 x3 3x 2 x 5
Si P( x) es un polinomio, se cumple:
P( x, y ) 9x4 y x3 y 2 4x2 10 xy y2
P(0) = término independiente
Propiedad
9

En todo polinomio completo y de una sola variable, el
x n 2 . 7 x3n es de grado 2.Calcular el valor de
P( x) 3
número de términos es equivalente al grado aumentado 4
xn 1
en uno. “n”
Es decir: número de términos = Grado + 1 a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9
4.- Polinomios Idénticos.- Dos polinomios de las 8.- Si el monomio M ( x, y, z ) el
5x2n 4
y 3n 1 z 5 n 8

mismas variables son idénticos si tienen el mismo valor
grado relativo a z es 12, hallar el G.A(M)
numérico para cualquier valor o valores asignados a
a) 13 b) 15 c) 17 d) 29 e) 19
sus variables.
10.- Si el grado absoluto de:
Ejemplos: P( x) (x 2) 2 Q( x) x2 2x 8
P( x, y ) x3n 1 y n 2 x2n 2
y 2n xn 3
y 3n es 11.
3 3 2 2
P( x, y) x y Q( x, y) x y x xy y
Calcular el valor de n
5.- Polinomio Idénticamente Nulo.- Son aquellas a) 2 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9
expresiones que son equivalentes a cero. Estando 11.- Si el polinomio
reducidas se cumple que cada coeficiente es igual a P( x, y) 2a 3 xb a y (2 4b) x2b y a 9 es homogéneo
cero. Notación: P( x) 0 y la suma de coeficientes es 9, hallar el valor de ab.
Aprendiendo a resolver…..resolviendo a) -28 b)-42 c) 28 d) 42 e) 16
12.- Si el polinomio
1.- Determinar el grado de: P( x, y) 4a 2 x2b q y3 (b 1) xa b 6
abx3a 4b
y a b , es
P ( x, y ) ( x 4 )5 ( y 2 ) 6 completo y ordenado con respecto a x en forma
a) 31 b) 32 c) 33 d) 34 e) 55 decreciente, hallar la suma de sus coeficientes.
2.- Indicar el grado de: a) 6 b) 16 c) 26 d) 28 e) 32
2 3
N ( x) x 1 x 2 x 3 ............20 factores 13.- Si P( x, y ) xm 2n
ym n
15 x n y m 2n
2xm n y8

a) 210 b) 220 c) 410 d)20 e) 100 Es un polinomio homogéneo, calcular m
n 2 a) 8 b) 1/16 c) 64 d) 1/24 e) 32
3.- ¿Para qué valor de n: P( x) x 4 es de 2º
14.- Sabiendo que:
grado?.
P( x) ax b
a) 1 b) 2 c) 3 d)4 e) 5
P p x a 2 x b2
4.- Si el trinomio:
Hallar: P(-1)
P( x) a 1 x2 4x2 4xa 1
4a
a) -2 b)-1 c) 0 d) 1 e) 2
Es de tercer grado. ¿Cuál es la suma de sus
15.- Se sabe que: P ( x ) ax 4; siendo a, b 
coeficientes? Q x 9x b

a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15 Además: P Q x Q P x 2 .Calcular: (a/b)
5.- Resolver “ab” si: GA( N ) 18 GR( y) 9 a) 6 b) 9 c) 3/17 d) 6/9 e) 7
a a 2b 2a b
Siendo: N x, y 5 x y 16.- Sea: P( x) x3 a 3b x 2 2c 1 x 3
3 2
Q( x) dx 3x a b x c
a) 1 b) 3 c) 6 d) 9 e) 12
Si la suma de P(x) Y Q(x) da un polinomio
6.- Efectuar ”a+b” si el grado del monomio:
2 a 1
idénticamente nulo. Hallar: “a+b+c+d”
Q ( x, y ) (a b) x y 3b , es igual a 17 y su
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 1
coeficiente tiene el mismo valor que el grado relativo de
17.- Calcular el grado absoluto del monomio
“x”
2 2 2
6 a b b c a c
a) 1 b) 3 c) 6 d) 9 e) 12 P ( x, y , z ) x .y .z .Si: a b b c 4

7.- Si el monomio a) 1 b) 8 c) 16 d) 32 e) 64

10

18.- Si el polinomio a b
3
a3 3a 2b 3ab 2 b3
a 1 2n m c a b n 2n 5 a 3
P ( x, y ) bx cx y ax y ny a b a3 3a 2b 3ab 2 b3
es homogéneo y la suma de sus coeficientes es 4. Ejemplo 1
2 2
Calcular: m n Efectuar: L x 2y 3x y 2 x2 2 y2
a) 10 b) 20 c) 30 d) 15 e) 25
Solución
Efectuando la multiplicación:
L x 2y 3x y 2x2 2 y2
PRODUCTOS NOTABLES
L 3x 2 xy 6 xy 2 y2 2x2 2 y2

PRODUCTOS
L x2 5 xy
NOTABLES
Ejemplo 2
2 2
son Calcular: M x 5 x 2 2 x 2 6 x 19
RESULTADOS DE DETERMINADAS
MULTIPLICACIONES, OBTENIDOS
Solución
SIN EFECTUAR LA OPERACIÓN Desarrollando cada potencia por separado
Por ejemplo x 5
2
x2 10 x 25 . Luego podemos notar:
2 2
x 2 x 4x 4
2 2
BINOMIO SUMA x 5 x 2 x2 10 x 25 x2 4x 4
2 2 2
AL CUADRADO a b a 2ab b 2
2x 6x 29

Luego M 2 x 2 6 x 29 2 x 2 6 x 19
BINOMIO DIFERENCIA 2
a b a 2
2ab b 2 M 10
AL CUADRADO

Ejemplo propuestos para clase 3 .
BINOMIO SUMA
AL CUBO 3
Efectuar:
a b a3 3a 2b 3ab2 b3
1.- E = (x–y)2 – (y–z)2 + (z–w)2 –(w–
x)2 + 2(x–z)(y–w)
BINOMIO DIFERENCIA 3
a b a3 3a 2b 3ab2 b3
AL CUBO

Definición.- Se denominan así a todas aquellas
multiplicaciones o potenciaciones cuyos resultados:
Rpta.
Productos o potencias, tienen una frecuencia que las
2.-Efectuar:
hace reconocibles en una inspección.
E = (a+b)2(a2+2ab-b2) – (a–b)2(a2–
Algunos resultados mas: 2
2ab–b )
1.- DIFERENCIA DE CUADRADOS
a b a b a2 b2
a m bn a m bn a 2m b2n

2.- TRINOMIO AL CUADRADO
2
a b c a2 b2 c2 2 ab ac bc
2 2 2 2
a b c a b c 2ab 2ac 2bc
2
a b c a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc
2 2 2 2
a b c a b c 2ab 2ac 2bc

3.- SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS Rpta.

11


3.-Efectuar: 8.- Calcular
E = 2(a+b)[(a+b)2 – 2ab + (a-b)2] + 2 7 2 7
3 1 3 1
2 2 2
+ (a–b) [(a+b) + 4(a +b )–(a–b) ] 2 3 3 3 3

Rpta.

Rpta.
4.- Efectuar:
M 1 5 6 30 30 6 5 1
1. Simplificar:
E = (x–y)(x+y–z) + (y–z)(y+z–x) +
+ (z–x)(z+x–y)
a)0 b) x+y+z c) x–y+z
d) x+y–z d) y+z–x
2. Simplificar:
x 1 x 1 x4 x2 x1 x 6 x3 x1 x 6 x3 1
Q
x9 1
Rpta.
A) x18+1 B) x9–1 C) x9+1
5.- Calcular el valor de E para x 2 D) 1 E) –1
2 2
E = [(x+1) (x +2x–1) – 3. Simplificar:
1/2
– (x–1)2(x2–2x–1)]2/3 E 4ab a b a b 2 b a b

A) a B) b
C) a b D) 2 a
E) a b
4. Determinar el valor numérico de:
(a+b+3c)(a–b+3c)–(a–3c+b)(a–3c–b)
Rpta. a 2 1;b 2; c 2 1
6.- Calcular el valor numérico de: A) 9 B) 10 C) 11
E = (a2+b2)3 + (a2–b2)3 – 6b4(a2–b2) D) 12 E) 13
Para a3 =2, b3 = 3 5. Si:
x 3
1972 11 ;

Rpta. y 1969 11

Hallar el valor de:
x9 – 9x3y3 – y9
7.- Simplificar:
2
A) 27 B) 72 C) 30
2y 2 2xy x2 y2 2xy
2

E D) 20 E) 25
x y
6. Simplificar:
E = (x–1)(x+4)(x+2)(x–3) + (x–2)(x+5)(x+3)(x–4) –
2 2
–2(x +x–10) + 56

2
Rpta A) 5x–20 B) x +3x–84

12

C) 3(x–10) D) Cero 3 3

E) Uno
15.- Si: a 3 2 2 3 2 2 .Indicar el valor de:
3 3
b 3 2 2 3 2 2
7.- Si: a . b–1 + a–1b = 3; hallar el valor de:
3 3 a4 a2 3b 2 b 4 3a 2 b2
a2 b2
E 1 1 R
b2 a2 64

F) 27 G) 81 H) 189
a) 1 b) 2 c) 4 d) 8 e) 16
I) 243 J) 486

2 2
EQUIVALENCIAS NOTABLES
8.- Si: x y 1; calcular x 2 y x y2
1.- Equivalencias de Legendre
a) -1 b) 1 c) 2 d) 0 e) 4 a b
2
a b
2
2 a2 b2
1 a b
2
a b
2
4 a2 b2
9.- Por cuanto se debe multiplicarse: x 3
x3
2.- Equivalencias de Steven
6 1
Para obtener: x x a x b x2 a b x ab
x6
x a x b x c x3 a b c x2 ab ac bc x abc
1 1 4 2 3 3
a) x x b) x x c) x x d) x x
3.- Equivalencias de Lagrange
3 3
e) x x 2 2
a 2 b2 x 2 y 2 ax by ay bx
2
10.- Simplificar : E x2 x 4 x 2 x 1 x 2 x 3 a 2 b2 c 2 x 2 y 2 z 2 ax by cz
2
ay bx
2
az cx
2
bz cy
2

a) 0 b) 3 c) 2 d) x 3 e) 4 4.- Equivalencias de Argand
11.- Si: x y z 0 .Calcular: a4m a 2 mb 2 n b4 m a2m a mb n b2 m a2m a mb n b2n

3 3 3
x y 2z y z 2x z x 2y
R
xyz Equivalencias Condiconales
a) 9 b) 27 c) -27 d) 81 e) -81 Si . a + b + c = 0 . Se verifican:

12.- Si: 5a 5c ac 0 calcular:
5ac . a2 + b2 + c2 = –2(ab + bc + ac) .
A
a 5 5 c a c

a) 9 b) 27 c) -27 d) 81 e) -81 . (ab + bc + ac)2 = (ab)2 + (bc)2 + (ac)2 .

13.- Si se cumple:
3 3 3 . a3 + b3 + c3 = 3abc
a2 bc b2 ac c2 ab
3
a2 bc b2 ac c2 ab

Calcular el valor numérico de:
Ejemplos
b c c a a b a b c
1. Efectuar:
a b c b c c a a b 2 2 2
E = (x–y) – (y–z) + (z–w) –
a) 3 b) 5 c) 6 d) 7 e) 9 – (w–x)2 + 2(x–z)(y–w)
14.- Simplificar la expresión:

m2 n2 m4 n4 m2 n2 m4 n4
J
m2 n2 m4 n4 m2 n2 m4 n4

m
a) 2 m b) 2
m
c) d) 2 m e) 2mn Rpta
n n n n
2. Efectuar:
13

2 2 2
E = (a+b) (a +2ab-b ) – a) a b) b
2 2
– (a–b) (a –2ab–b )
2 c) a b d) 2 a
e) a b
4. Determinar el valor numérico de:
(a+b+3c)(a–b+3c)–(a–3c+b)(a–3c–b)

Rpta. a 2 1;b 2; c 2 1
3. Efectuar: a) 9 b) 10 c) 11
2 2
E = 2(a+b)[(a+b) – 2ab + (a-b) ] + d) 12 e) 13
2 2 2 2 5. Si:
+ (a–b) [(a+b) + 4(a +b )–(a–b) ]
x 3
1972 11 ;

y 1969 11 Hallar el valor de: x – 9x y – y
9 3 3 9

Rpta. a) 27 b) 72 c) 30
d) 20 e) 25
4. Calcular el valor de E para x 2
6. Simplificar:
E = [(x+1)2(x2+2x–1) – E = (x–1)(x+4)(x+2)(x–3) + (x–2)(x+5)(x+3)(x–4) –
2 2 2/3
– (x–1) (x –2x–1)] –2(x2+x–10)2 + 56
a) 5x–20 b) x2+3x–84
c) 3(x–10) d) Cero
e) Uno
7. Si: a . b–1 + a–1b = 3; hallar el valor de:
Rpta. 3 3
a2 b2
E 1 1
5. Simplificar: b2 a2
2
2y 2 2xy x2 y2 2xy
2

E
x y a) 27 b) 81 c) 189
d) 243 e) 486
8. Si:
8
x abc 8
x abc a
Rpta. 8
x abc 8
x abc b
6. Calcular
4
x abc 4
x abc c
2 7 2 7
M= 3 1 3 1
3 3 3 3 Hallar:

R x abc x abc

Rpta. a) ab b) bc c) 2
d) 2abc e) a2
9. Si: E 3 2 3 32 3
1. Simplificar: Hallar el valor numérico de:
E = (x–y)(x+y–z) + (y–z)(y+z–x) +
+ (z–x)(z+x–y) P 3
E3 3E 23

a) 0 b) x+y+z c) x–y+z a) 1 b) 2 c) 3
d) x+y–z e) y+z–x d) 3
2 e) 3
3
–1
2. Simplificar: 10. Sabiendo que: a + a = 3; determinar el valor de:
1
x 1 x 1 x4 x2 x1 x 6 x3 x1 x 6 x3 1 1 a 1 1 a
Q
x9 1
M aa a aa a
18 9 9
a) x +1 b) x –1 c) x +1
d) 1 e) –1
a) 20 b) 30 c) 40
3. Simplificar:
1/2
d) 50 e) 60
E 4ab a b a b 2 b a b

14


ALGEBRA
II Bimestre
3. Coeficientes del cociente que se obtienen de dividir
la suma de los elementos de cada columna entre el
DIVISIÓN ALGEBRAICA
primer coeficiente del divisor. Cada coeficiente del
Definición.- Operación que se realiza entre cociente se multiplica por los demás coeficientes
polinomios que consiste en hallar dos polinomios
llamados COCIENTE y RESIDUO, conociendo otros del divisor para colocar dichos resultados a partir
dos polinomios denominados DIVIDENDO y de la siguiente columna en forma horizontal.
DIVISOR que se encuentra ligados por la relación:
4.- Coeficientes del residuo que se obtienen de sumar
. D(x) = d(x) Q(x) + R(x) . la columnas finales una vez obtenidos todos los
coeficientes.
Donde:
D(x) : Dividendo
d(x) : Divisor
Q(x) : Cociente
R(x) : Residuo o Resto

Propiedades de la División
Gdo. (D(x)) Gdo. (d(x)) Gdo. (Q(x)) =
Gdo. (D(x)) – Gdo. (d(x))

Gdo. (R(x)) < Gdo. (d(x))

Además: Máximo Gdo. (R(x)) = Gdo.
(d(x)) – 1
OBSERVACIÓN:
LA LÍNEA DIVISORIA SE COLOCARÁ SEPARANDO
PRINCIPALES MÉTODOS DE DIVISIÓN TANTOS TÉRMINOS DE LA PARTE FINAL DEL
DIVIDENDO COMO GRADO DEL DIVISOR:

MÉTODO DE WILLIAM G. HORNER
Pasos a seguir: MÉTODO DE PAOLO RUFFINI
1. Coeficiente del dividendo ordenado
Pasos a seguir:
decrecientemente en una variable completo o
completado. 1.-Coeficientes del dividendo ordenado

2.- Coeficiente del divisor ordenado decrecientemente, completo o completado, con

decrecientemente en una variable, completo o respecto a una variable.

completado, con signo contrario salvo el primero. 2.- Valor que se obtiene para la variable cuando el

15

divisor se iguala a cero Ejemplos para clases
3.-Coeficientes del cociente que se obtienen de
1. Sea R el resto y Q el cociente de la división:
sumar cada columna, luego que el coeficiente
3x 4 2x 3 2x 2 2
anterior se ha multiplicado por (2), y colocado en
x 2x 2 3
3

la siguiente columna.
Hallar Q + R
4.- Resto de la división que se obtiene de sumar la
última columna

Rpta.

2. Al efectuar la división:
x4 ax 3 bx 2 ax b
x2 4x 3

El residuo, es (–6x–7), hallar: (a.b)

OBSERVACIÓN:

SI EL COEFICIENTE PRINCIPAL DEL DIVISOR ES
DIFERENTE DE LA UNIDAD, EL COCIENTE Rpta.
OBTENIDO SE DEBERÁ DIVIDIR ENTRE ESTE
3. En la división exacta:
VALOR.
x 3 3nx 2 ax b
x 2 2nx a

TEOREMA DEL RESTO Hallar: E = a9 + b6

Se utiliza para obtener el resto de una división.
Consiste en igualar a cero al divisor y despejar la 4. Si al dividir:
mayor potencia de la variable, para que sea 2x 4 5x 3 2mx 2 5
reemplazada en el dividendo. 2x 2
3x 1

Los coeficientes del cociente son iguales, hallar el
OBSERVACIÓN:
resto.
DESPUÉS DE REALIZAR EL REEMPLAZO, DEBE
COMPROBARSE QUE EL GRADO DEL POLINOMIO

OBTENIDO SEA MAYOR QUE EL GRADO DEL DIVISOR.

Rpta.

Ejemplo:

x3 2x 10 5. El residuo de la división:
x 2
6x 5 5x 4 y 17 x 3 y 2 x 2 y 3 4y5
Resolución: 2x 2 3xy 3y 2

d(x) = x – 2 = 0 x = 2. Reemplazo “x” en D(x):

R(x) = (2)3 + 2(2) – 10 R(x) = 2

16



1. Hallar el residuo de la división: 7. Dar la suma de coeficientes del cociente de la
8x 5 2x 4 5x 3 5x 2 3x 2 siguiente división indicada:
4x 3 x 2 2
x 6 14x 4 49x 2 36
a) 1 b) x c) x
2 x 1 x 2 x 3

d) x + 1 e) x2 + 1 a) 24 b) 22 c) 20
2. Hallar el valor de (k + m) para que la siguiente d) 23 e) 26
división sea exacta: 8. Al efectuar la división indicada: se obtiene
ax 5
5x 4
ax mx 3 2
ax 5 como residuo (x – 2). Determinar el resto que
x kx
4 2
1
P x 3
se obtiene al efectuar:
a) 5 b) 1 c) 6 x2 1
d) 2 e) 4 a) x b) x + 1 c) x – 2
d) 3x – 2 e) 11x –2
3. El polinomio
P(x) = 2x6–x5–11x4+4x3+ax2+bx+c ab
3b a ; sabiendo que al dividir: (ax –
2
9. Calcular:

Es divisible separadamente entre los ax – 2b) entre (ax + b) se obtuvo como resto ”2b” y

binomios (x–1), (x+1) y (x2–3); según esto, además el término independiente del cociente es (–

¿Cuánto vale a+2b+3c? 4a)
a) 2 b) 3 c) 4
a) 25 b) –17 c) –15
d) 5 e) 6
d) 20 e) 18
10. Al dividir el polinomio:
4. Calcular la suma de coeficientes del polinomio
P(x) = 2x5–3x4–x3+1
cociente, que se obtiene de la siguiente división:
3 7 2 5
entre x3+x2+bx+b
x x 2x 1
x2 5x 6 Se obtiene del resto R(x). Hallar el resto de dividir
dicho resto entre x+1
a) –69 b) 69 c) –65
d) –63 e) 63 a) –6 b) –1 c) –3
d) 1 e) 4
5. Sabiendo que el resto de la siguiente división:
8x5+4x3+mx2+nx+p entre
6 x4 Ax3 Bx 2 Cx 5
3 2 2 11. Al efectuar la división:
2x +x +3, es: R(x) = 5x –3x–7; calcular el valor de: 2 x2 x 1
(m+np) Se obtiene un residuo igual a 3x 2 .Si la
a) 1 b) 2 c) 3 suma de coeficientes del cociente entero es 5,
d) 4 e) 5 calcular el valor de: A B /A
3
6. Encontrar la relación entre “p” y “q” para que: x – a) 1 b) -1 c) -2 d) -3 e) 3
2
3px + 2q; sea divisible entre (x+a) 12. Calcular el valor de A B si la división:
2 3 2
a) p = q b) p = q c) p = q
6 x4 Ax3 14 x 2 Bx 5
d) p = 2q e) p = –q deja como residuo:
2 x2 x 5
3x 5
17


xn 1
x n 2y x n 3y 2 ...ny n 1 ; n par C.N.
a) 17 b) 16 c) 15 d) 14 e) 13 xn yn
2y n
x y xn 1
x n 2y x n 3y 2 ... y n 1

x y
; n impar cociente completo

COCIENTES NOTABLES

Definición.- Son aquellos cocientes que se pueden
CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE PARA
obtener en forma directa sin necesidad de efectuar
OBTENER UN C.N.
la operación de división.
xm yn m n
xm ym r;r
+
De: se debe cumplir: Z
Condiciones que debe cumplir: xp y q
p q
x y
FORMULA DEL TÉRMINO GENERAL DE UN C.N.
Donde
Es una fórmula que nos permite encontrar un
x; a bases iguales
término cualquiera en el desarrollo de los C.N., sin
+
m Z ;m 2 necesidad de conocer los demás.

CASOS xn yn
De la división:
x y
xm yn
1. Si: R = 0 q x cociente entero
x y
a) Si d(x) = x – y: . tk = xn–kyk–1 .
o exacto (C.N.)
xm yn R x
2. Si: R = 0 q x b) Si d(x) = x+y: . tk = (–1)k–1xn–kyk–1 .
x y x y
Donde:
cociente completo
tk término del lugar k

x 1er. término del divisor.
También según la combinación de signos se puede
y 2do. término del divisor.
analizar 4 casos.
n número de términos de q(x)
DEDUCCIÓN DE LOS COCIENTES
Ejemplos:
+
DIVISIÓN COCIENTES n Z
x5 y5
INDICADA x4 x 3y x 2y 2 xy 3 y 4 (C.N.)
x y
xn yn
=xn-1+xn-2y+xn-3y2+...+yn-1+; n (C.N.)
x y x4 y4 2y 4
x3 x 2y xy 2 y3
x y x y
2y n
xn yn
n-1 n-2 n-3 2 n-1
=x +x y+x y +...+y + ; n (cociente (Cociente Completo)
x y
x y
completo) x 12 y 12
x6 x 6y 3 x 3y 6 y8 (C.N.)
x3 y3
xn 1
x n 2 y x n 3y 2 ... y n 1 ; n impar C.N.
xn yn
2y n
x y xn x n 2 y x n 3y 2 ... y n ; n par cociente completo TAREA DE CLASE
1 1

x y

1. Efectuar:
x7 1 x7 1
2x 6 2x 4 2x 2
x 1 x 1
18


Rpta. 1. Hallar el quinto término del desarrollo:

2. Reducir aplicando cocientes notables,
3
x 7 y
indicando el número de términos del cociente.
15
x 35 y

x 70 x 68 x 66 ... x 2 1
a) 35 y b) 35 y5 c) 15 y4
x 32 x 28 x 24 ... x 4 1
d) 35 y5 e) 15
x4
2. El término independiente del desarrollo:
x6 1
64 x 6 ; es:
x 1
Rpta 2 x

3. Hallar el valor de (m + n), si el t60 del desarrollo de: a) 1 b) No existe c) 3
x 148 m
y 296 n
d) 4 e) 2
x 2m
y 4n
3. Simplificar:
140 1416
Es x y , si es cociente notable x 44 x 33 ... x 11 1
x 4 x 3 ... x 1
M
x 50 x 45 ... x 5 1
x 10
x 9 x 8 ... x 1

a) 2 b) 3 c) 1
Rpta. d) 4 e) 5

4. Sabiendo que: n2 – 31n + 234 = 0; hallar el número 4. Obtener el 20avo. término del desarrollo del
de términos de la siguiente división exacta. cociente notable.

x n 1y y n x 2 3x 2
xy y 2 10
x 1 1

a) x–1 b) 2 c) 3
d) 1 e) 4

Rpta. 5. Qué lugar ocupa dentro del desarrollo del cociente
notable:
5. Hallar el valor numérico del término de lugar
x 436 y 1090
29 del C.N.
x2 y5
x 3 36 x 36
, para x = –1
2x 3 El término que contiene a “x” e “y” con exponentes
iguales.

a) 67 b) 66 c) 65
d) 64 e) 63

6. Si la división siguiente:

19

x 6n 3
a 6n 22

n 6 n 8
x 2 a 2 FACTORIZACIÓN

Es un cociente notable, hallar el número de
Definición.- Proceso inverso de la multiplicación por
términos de su desarrollo
medio del cual una expresión algebraica racional entera
a) 25 b) 24 c) 26 es presentada como el productos de dos o más
d) 27 e) 28 factores algebraicos.
7. Se sabe que el resto de la división: Factor Divisor: Un polinomio no constante es factor
x m
zm
de otro cuando lo divide exactamente, por lo cual
xn zn
también es llamado divisor.
Es cero, según esto ¿Cuántos términos tiene
Factor Primo Racional: Llamamos así a aquel
el cociente?
polinomio que no se puede descomponer en otros
–1 –1
a) mn b) mn c) m n factores. Racionales dentro del mismo campo.
m n Ejemplo:
d) e)
n m
8. Reconocer el 5to. término del siguiente El proceso

cociente notable, si se sabe que al 3ero. es x + a) (x + b) = x 2 + (a + b) x + ab
36 2
x y
es una multiplicación.
xm yn
x2 y En cambio el proceso

x2 + (a + b)x + ab = (a + b) (x +b)
a) x30y6 b) x36y4 c) x32y4
d) x32y6 e) x34y2 es una factorización

9. Efectuar y simplificar: Donde:
x 3n
x 2n
1 1
(x + a), (x + b), son factores primos.
xn 1 xn 1 xn 1 xn 1
MÉTODO DE FACTORIZACIÓN
a) xn+1 b) x2n–1 c) xn–1
2n 2n
d) x +2 e) x +1 Factor Común Monomio

10. Hallar “n” si l décimo término del desarrollo: Consiste en extraer la parte que se repite en

x 3n y 15n todos los términos para lo cual se extrae la
; tiene grado absoluto: 185
x y5 expresión repetida, elevada a su menor exponente.

a) 40 b) 27 c) 45 Ejemplo:

d) 60 e) 50 Factorizar E = 7x5y5 – 2x3y3 + x2y2
2 2
x 5 n 12 y 4 p El factor común monomio será x y . Ahora
11. Si la siguiente división: ; genera un
xn y p dividiremos cada uno de los términos cada uno de

cociente notable, donde uno de los términos en su los términos entre dicho factor común, para lo que
24 3 queda en el polinomio. Luego de dicho proceso se
desarrollo es: x y .Calcular “np”
tendrá:
a) 12 b) 15 c) 24
d) 36 e) 48

20


Factor Común Polinomio

Se usa este método cuando el polinomio posee un
factor común de 2 o más términos. Por lo general, se OBSERVACIÓN:
encuentra luego de agrupar términos y bajo los
EL TRINOMIO O CUADRADO PERFECTO ES EL
siguientes criterios:
DESARROLLO DE UN BINOMIO AL CUADRADO, SE

- De acuerdo al número de términos CARACTERIZA POR PORQUE EL DOBLE DEL PRODUCTO

Ejemplo: si el polinomio tiene 8 términos podemos DE LA RAÍZ DE DOS DE SUS TÉRMINOS ES IGUAL AL

agrupar de 2 en 2 o de 4 en 4. TERCER TÉRMINO:

- De acuerdo a los coeficientes de los términos:
Ejemplo:
Todo trinomio cuadrado perfecto se transforma en
Factorizar binomio al cuadrado.
12 8 4 4 8 12
E=x +x y +x y +y B) Diferencia de Cuadrados
Como no hay factor común monomio podemos agrupar
los 4 términos de 2 en 2 y en forma ordenada. A2 – B2 = (A + B) (A – B)
En cada uno de los tres grupos: Ejemplos:
E = x6(x4 + y4) + y8(x4 + y4) 1. Factorizar: x4 – 4b2
Factor Común Polinomio (x 4 + y4). Ahora dividamos solución:
cada agrupación entre el factor común polinomio. Se tiene: (x2)2 – (2b)2 = (x2 + 2b) (x2 – 2b)
2 2 6
2. Factorizar: x + 2xy + y – z
solución:

x2 + 2xy + y2 – z6 (x + y)2 – (z3)2 = (x + y + z3)
(x + y – z3)

Los factores primos no se pueden descomponer en C) Suma o Diferencia de Cubos
3 3 2 2
nuevos factores, tiene un único divisor que es sí mismo A B = (A B) (A  AB + B )

Esta expresión tendrá 2 factores primos Ejemplo:

Método de las Identidades Factorizar: 27x3 – 8

Aplicación de identidades notables para estructuras solución:
conocidas.
(3x)3 – 23 = (3x - 2) (9x2 + 6x + 4)
Recordemos los siguientes:
ASPA SIMPLE

Se utiliza para factorizar expresiones trinomios
A) Trinomio Cuadrado Perfecto o aquella que adopten esa forma:
2 2 2
A 2AB + B = (A B)
Ax2m + Bxmyn + Cy2n

21

Ejemplos: 2. A la suma obtenida se le agrega la expresión que
haga falta para ver el término central. La expresión
Factorizar: a2 + b2 + 3a + 3b + 2ab - 28
agregada es la que se descompone para
(a + b)2 + 3(a + b) – 28 (a + b + 7) (a + b – 4) comprobar los otros términos del polinomio

Ejemplo:
ASPA DOBLE
1. Factorizar
Se utiliza para factorizar polinomios de la
2 2
forma: Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F

Ejemplos:
62

1. Factorizar:

MÉTODO DE LOS DIVISORES BINOMIOS

Con éste método se busca uno o más factores
binomios primos

Consideraciones:
La expresión factorizada es:
1. Si P(x0) = 0; entonces: (x- x0) es un factor primo de
(5x + 3y – 7) (4x + 2y – 1)
P(x).
2. Factorizar: 2. Los demás factores se encuentran al efectuar:
P x
x x0
3. Los valores que anulan a P(x); se pueden
encontrar:
Divisores T. indep. de P x
La expresión factorizada es: Posibles x0
ceros Divisores Coef. Pr incipal de P x
(3x + 4y + 2z) (2x + 5y + 3z)
Ejemplo:
ASPA DOBLE ESPECIAL 3 2
Factorizar: P(x) = x + 6x + 11x – 6
Se utiliza para factorizar polinomios de la
Divisores 6
forma: Posibles ceros
Divisor de 1
4 3 2
Ax + Bx + Cx Dx + E.
Posibles ceros = (1, 2, 3, 6)
Regla:
Probando con uno de ellos; para x = 1 por Ruffini
1. Se descompone el término de mayor grado y el
término independiente, se calcula la suma del
product6o en aspa.

22

R = 0 lo que significa que x = 1 es un cero y luego
un factor es (x . 1)

Luego: P(x) = (x +1) (x2 – 5 x + 6)

x –3
Rpta.
x –2
6. Si a uno de los factores de:
P(x) = (x – 1) (x – 3) (x – 2) (x+1)3 + (x+2)3 + (x+3)3 – (2x+1) (x+9) – 21

Se le evalúa para (x = 2), se obtiene 7; indicar el
valor que arroja este mismo factor para x = 4.
TAREA PARA LA CLASE

1. Factorizar e indicar un factor de:
3a2 – 6ab + 3b2 – 12c2

Rpta.

7. Factorizar e indicar el número de factores
Rpta. binómicos:
2 2
(a12 b12)–(aa1
2
2. (a + b) + + bb1) es (2x4–1)(2x4–2)+(2x4–2)(2x4–3) +
equivalente a:
+ (2x4–3) (2x4–1) + 1

8. Determinar el número de factores binómicos
de:
xn+2 – xn + x3 + x2 – x – 1; n N
Rpta.

3. Indicar un factor de:
(x3–x2+x–1) (x+1)(x4+1) + x4 + 2 (x3 – x2 + x –
Rpta.
1)
9. Cuántos factores primos de primer grado admite:
a2(b–c) + b2(c–a) + c2(a–b)

Rpta.

4. Factorizar e indicar la suma de sus factores
primos
2 Rpta.
2(a + b) + c(3c + 5a) + 5bc

10. Factorizar:
x4 – 3x3 – 7x2 + 27x - 18

Indicando la suma de sus factores primos.

Rpta.

5. Cuantos factores admite
25(a4 + b4)2 – 16(a4 – b4)2

23

Admiten un factor común lineal, halle “m”, si A(x)
B(x) m Z
1. Cuántos divisores admite: a) 0 b) 3 c) –2
x 10 9 6 5 4
+ x + x + 3x + x + x + 1 d) –10 e) –6

a) 12 b) 11 c) 10 8. Un factor primo de:
d) 9 e) 8 A(x) = x10 + x2 + 1; es:

2. Indicar uno de los cuatro factores de: a) x3+x+1 b) x4-x+1
6 4 2
8
x +x +1
4
c) x –x +1 d) x +x+1
2 e) x5+x+1
a) x –x–1 b) (x – 3 x+1)
2

2 9. Cuantos factores lineales admite:
c) x +1 d) x+1
e) x–1 P m m5 4m3 m2 4

3. Factorizar a) 5 b) 4

(x+1)(x+3)(x–2)(x–4) + 24 c) 3 d) 2
e) 1
e indicar la suma de los coeficientes de uno
de los factores 10. Si: x a2 c b b2 a c c2 b a
2
y c b a ab ac bc
a) 41 b) 5 c) –8
d) –7 e) –6
Calcular x/ y
a) 2 b) 2(a+b)
4. Factorizar:
c) 1 d) (a-b)
4x2 – 15y2 + 17xy + 12x – 9y
e) -1
e indicar la suma de sus factores primos
11. Uno de los factores primos de:
a) x–5y–3 b) x3+3y
P( x, y) x3 y10 626 x 7 y 6 625 x11 y 2 es:
c) x+y+1 d) 5x+2y+3
a) x+2y b) 5x+2y
e) 5x–2y–3
c) x2 y d) y+5x
5. Indicar el número de factores primos en:
e) x+1
(x2+7x+5)2 + 3(x2+1) + 21x + 2
12. La suma de coeficientes de un factor primo
a) 1 b) 3 c) 2
4 2 2
de: P( x, y) 2 x y x y 4 xy x y 50
d) 4 e) 5
es:
6. Los polinomios
a) 17 b) 11
P(x) = x4 + 2x3 – x – 2
c) 15 d) 26
Q(x) = x3 + 6x2 + 11x + 6 e) 10
Tienen un factor común. Indicar la suma de
13. Factorizar: P( x, y ) x 4 3x 2 y2 y 2
coeficientes de dicho factor común
señalando el termino independiente de un
a) –1 b) Cero c) 3 factor.
d) 4 e) 5 a) 1 b) -1
2
7. Si: A(x) = x – 4x + m + 1 c) 2 d) -2
2
B(x) = x – (m+1)x + 4 e) 3

24


ALGEBRA

III Bimestre

M.C.D. – M.C.M. – FRACCIONES Propiedad:

Solo para dos polinomios: A(x), B(x).

MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D.)

Definición.- El Máximo Común Divisor de 2 o más Se cumple:
polinomios es otro polinomio que tiene la característica
M.C.D. (A,B) . M.C.M. (A,B) = A(x) . B(x)
de estar contenido en cada uno de los polinomios. Se
FRACCIONES ALGEBRAICAS
obtiene factorizando los polinomios y viene expresado
por la multiplicación de factores primos comunes
afectado de sus menores exponentes.
Fracción Algebraica

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M.C.M.) Definición.- Una fracción algebraica, se obtiene
como la división indicada de dos polinomios N(x) y
Definición.- El Mínimo Común Múltiplo de 2 o más
D(x) siendo D(x) polinomios no constantes.
polinomios es otro polinomio que tiene la característica
de contener a cada uno de los polinomios. Se obtiene N x
Denotado:
Dx
factorizando los polinomios y viene expresado por la
multiplicación de los factores primos comunes y no Donde:
comunes afectados de sus mayores exponentes.
N(x): polinomio numerador (no nulo).
Ejemplo:
D(x): polinomio denominador (no constante)
Hallar el M.C.D. y M.C.M. de los polinomios:
Ejemplo:
4 2 6 2 6
A(x) = (x+3) (x +1) (x–2) (x+7)
x2 1 x4 1 x 2 2x 48
; ;
x 2 x7 2 x 4
2 2 3 4 8
B(x) = (x+7) (x +1) (x–2) (x+5)

C(x) = (x+5)4 (x2+1)2 (x–2)3 (x+3)3 Signos de una Fracción

Rpta: como ya están factorizados el: a) Signo del Numerador: +
2 2
M.C.D. (A,B,C) = (x +1) (x–2) b) Signo del Denominador: –
c) Signo de la fracción propiamente dicha: –
2 6 4 4 6 6
M.C.M. (A,B,C) = (x +1) (x–2) (x+3) (x+7) (x+5)
x
F
y

25

OBSERVACIÓN: a c e adf bfc bde
b d f bdf
SI INTERCAMBIAMOS UN PAR DE SIGNOS POR UN
C) Para 2 fracciones
MISMO SIGNO EL VALOR DE LA FRACCIÓN NO SE
Regla practica:
ALTERA EN EL EJEMPLO ANTERIOR, ES DECIR:

x z wz yz
y w yw
x x x x
F
y y y y

2. Multiplicación
Ejemplo:
También:
a c e a .c .e .
. .
b d f b .d .f
A A A
x
x 7 x 2 x 1 x 7
B B B . ..
x 1 x 2 x x 7 x 7
Ejemplo: Sumar: x 0
3. División
x y x y Ejemplo:
S
x y y x x y x y
a
a c a d b ad
x y . …. Invirtiendo
S 1 b d b c c bc
x y
d
Ejemplo: TAREA DE CLASE

Simplificar 1. Hallar el M.C.D. de: P = 20x4 + x2 – 1
Q = 25x4 + 5x3 – x – 1 y R = 25x4 – 10x2 + 1
x2 9 x 1
F
x3 6x 2 11x 6

solución:

Factorizando y Simplificando:

x 3 x 3 x 1 x 3
F Rpta.
x 1 x 2 x 3 x 2
2
2. Hallar el M.C.M. de: P = x – 2x – 15
OPERACIONES CON FRACCIONES Q = x2 – 25 y R = 4ax2 + 40ax + 100a
1. Adición o Sustracción
Se presentan los siguientes casos:

A) Para fracciones homogéneas:
Ejemplo:
Rpta.
x y z x y z
x 2 x 2 x 2 x 2 3. Hallar el M.C.D. de los polinomios:
3 2 4 3
P(x) = x + 5x – x + 5 , Q(x) = x + 2x – 2x – 1
B) Para fracciones heterogéneas:
Ejemplo:

26

4. Hallar el M.C.D. y M.C.M. de:
P = 3x3 + x2 – 8x + 4 y Q = 3x3 + 7x2 – 4
E indicar el producto de sus factores no comunes

1. Hallar el M.C.D. de:
3 4 2
P(x) = x – 1 y Q(x) = x + x + 1
2 2
a) x +x+1 b) x +1
c) x–1 d) x2–x+1
Rpta. e)
2
x –1
5. Hallar la suma de coeficientes del M.C.M. de:
2. Hallar el número de factores primos en que se
P(x) = x4 – 11x2 – 18x – 8 , Q(x) = x4 – 1 descompone el M.C.M. de lños polinomios
3 2
R(x) = x – 6x + 32 P(x) = x2 – 3x + 3, Q(x) = x2 – 5x + 6 y

R(x) = x2 – 4x + 3

a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5

3. El M.C.D. de:
Rpta.
x4 + 2x3 – px2 + qx + r y x3 + 7x2 – qx + 20
6. El producto de dos polinomios es:
es (x2+3x+5), hallar: pqr.
(x6 – 2x3 + 1) y el cociente de su M.C.M. y su
M.C.D. es (x–1)2. Hallar el M.C.D. a) –340 b) 340 c) 680
d) –680 e) 170

4. El producto de dos polinomios es: (x 2–1)2 y el
cociente de su M.C.M. y M.C.D. es (x–1)2. Calcular
el M.C.D.
Rpta.
a) x+1 b) x2+1 c) –(x+1)
7. Hallar la suma de los términos del M.C.D. de
los polinomios: d) x–1 e) –(x–1)

P(x,y) = x3 –xy2 + x2y – y3
5. Hallar la suma de coeficientes del M.C.M. de:
3 2 2 3
Q(x,y) = x – xy – x y + y x3 + 9x2 + 24x – 24 y x3 + 2x2 – 13x + 10
4 2 2 4
R(x,y) = x – 2x y + y a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4

6. Al simplificar:

a4 27a a 2 20a 100 a 2 100
.
a2 7a 30 a 3 3a 2 9a a 3
Obtenemos:

a 3 a 3
a) b)
a 10 a 10
Rpta.
a 3 a 3
c) d)
a 3 a 10

27

e) 1 d) 10 x 12 e) 2 x2 10 x
7. Hallar el valor de E en la expresión:
3
x a x 2a b BINOMIO DE NEWTON
E
x b x a 2b

a b FACTORIAL
Para: x
2

a) 1 b) a+b c) a–b Definición.- El factorial es un operador exclusivo de
3 números naturales. Matemáticamente se define:
d) (a–b) e) Cero

8. Simplificar:
2
n 1x2x3x.....xn ; n N/ n 2
ab x y 2 xy a b 4abxy
M
a axy bx 2 by 2 b2 xy 2 2
a) ax+by b) ax–by 3 1x2x3 6
ax by ax by
c) d) 4 1x2x3x4 24
ax by ax by
e) 1

9. Calcular el valor de la expresión: Propiedad:

a 2m a 2n 4mn 1. n n n 1
M= Cuando: a
a 2m a 2n m b

a) 1 b) Ceroc) 4mn
Ejem: 7 6 7 6 6 6 6
d) m+n e) 2
2. 1 1
10. Si:
3. 0 1
b2 c 2 a 2 a2 b c 2
x z
2bc b c 2 a2
Observación: Existen 2 operadores mas ; los cuales son:
x z
Calcular:; E
1 xz 2n 2x 4x6x8x....x (2n)
a) Cero b) 1 c) a+b+c
2n (2x1) x (2x 2) x (2x3).....x (2xn )
d) abc 1
e)
abc 2n 2n x n
11. Calcular n-k+c si:
5 x 2 12 x 13 n kx c
2
x 7 x2 5x 3 x 7 x 5x 3 Cofactorial:

2n 1 1x3x5x7x....... (2n 1)
x
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4 2n 1
2n 1
12. Luego de simplificar la fracción: 2n n
2
x2 x 5 36 sus términos suman:
2 Propiedad:
x2 6 25 x

a) 2 x
2 b) 10 x c) 12 n . n 1 n 1

28

NÚMERO COMBINATORIO

Definición.- Siendo n y k números naturales, la x4 4x 3 a 6x 2 a 2 4xa 3 a4
(x a) 4
n 1 2 3 4 5
notación C k que denota: Combinatorio de n en k y se
Se Obtuvo
Para n =4 5 Términos
define de la manera:
En general:
n
Ckn n, k  0 k n n
Un polinomio: P (x + a) Tiene (n + 1) Términos
n k k
n
Propiedades Básicas: Un binomio: (x + a) . Tiene (n + 1) Términos
n n
1) C 0 1 ; C1 n : Cn
n 1
Ejem:
2) Complemento:
P (x + a) = (10x + 3a) 5 Tiene 5 + 1 = 6 Términos
Cn
k Cn
n k
Término General:

3) Degradación: Contenido de Izquierda a derecha:

n n n 1
TK 1 Cn x n k a k
K
C k C k 1
k donde:
4) Reducción: T K+1 es el término de lugar ( k+1)

Cn Cn Cn 1 Ejm:
k k 1 k 1
En el desarrollo de P (x,a) = ( x 2+a3) 6, determine el
tercer termino
BINOMIO DE NEWTON

Solución:
Definición: Es una expresión matemática que tienen la
forma de una función polinomial. T3 T2 1 C 6 ( x 2 ) 4 (a 3 ) 2
2 C6 x 8 a 6
2

Es un binomio de la forma:
Contando de derecha a izquierda:

(a+b)n , para n = 0,1,2,3,....... TK 1 Cn x k a n
K
k

donde:
Sabemos:
T K+1 es el término de lugar ( k+1)
0
(a b) 1
1 3 2 5
(a b) a b Ejm: En el desarrollo de P (x,a) = ( x +a ) , determine
2 2 2
(a b) a 2ab b el término de lugar con respecto al final.
3 3 2 3
(a b) a 3a b 3ab b
.
Solución:
.
. T4 T3 1 C 5 ( x 3 ) 3 (a 2 ) 2
3 C5 x 9 a 4
3
n n n o n n 1 n n 2 2 n o n
(a b) Co a b C1 a b C2 a b ....C n a b
Término Central:
en forma polimonial:
El desarrollo del binomio tendrá un único término
n Z central en cambio si “ n ” es par, luego la posición que

P ( x, a ) ( x a) n Con x n C1n x n 1a C2n x n 2a 2 ..... Cnn a n ocupa este Término es:

Ejm: n n
n n
1 . Tc T n C n
2
x a 2
; n es par
(x a) 4 C0 x 4
4
C1 x 3 a 1
4
C4 x 2a 2
2 C 3 xa 3
4
C4 a 4
4 1 (
2
1)
2

29

TAREA DE CLASE
Ejem: En el siguiente problema; Determinar el término 14
1
Central del desarrollo de: 1. En el desarrollo del Binomio: x
x
2 6
P(x; a) = (x + a) ¿Qué lugar ocupa el término de 2do grado?
Como : n = 6

n n
n es par la posición será 1 ; 3
2 2
Rpta.-

n 2. Señale el término independiente de x en el
Tc T 1 C36 ( x 2 )3 (a)3 Tc C36 x6 a3
2 desarrollo de:
Sabemos: 9
0.5 x2
6 6 x 5x 4
C3 20 x 0.5
3x 2 x1

 Tc 20 x 6 a 3
Propiedades:
Rpta.-
1. (a+b) n tiene (n+1) Términos.
3. Hallar (n+k,) si T3= 405 xk al desarrollar :
2. Exponente de a van
(x 2 3) n
disminuyendo de n hasta 0
Exponente de b van aumentando de 0 hasta
3. En cada término , la suma de exponentes de a y b
es igual a “n”. Rpta.-
4. Coeficientes del 1° y último Término son iguales a 4. Calcular (n +m). Si:
1. 8
14
Coeficientes del 2° y penúltimo término son iguales n m
a “n”.
En general: los coeficientes son SIMÉTRICOS.
Definiciones Previas Combinatorios:

n 1x 2x....x n Rpta.-
-
n n!

- Cn Cn siendo o k n 5. Efectuar: 10 7 8 9
k n k

n
- Cn
k
k
Rpta.-
a a! 6. Hallar (k+n) si:
! a 1 b 1
b b! 22 21
7 11
(axb) ! a ! x b! 2k 2k 1
4n 2n
( a b) ! a! b! a 1 b 1 3 28
3 2

30

n -2 17
7. ¿Qué valor asume “n” en : (x + x ) de modo
que el producto de los términos centrales sea Aprendiendo a resolver…..resolviendo
constante? 1. Reducir:
2 2
x x 1
2 2
x x 1
Rpta.-
8. Al efectuar:
a) x b) x-1 c) 1 d) x x e) x2
2 n 2 n 2 1 n
(x x) (x 1) (1 x ) Se obtiene 31
2. Hallar el valor de “n”
términos. Halle el segundo término.
(2n! 1)!(2n)!
99 (2n 2)
(2n 1)! (2n)!

a) 5 b) 6 c) 7 d) 4 e) 3

Rpta.- 10!
3. Siendo : 42
9. Determine la suma de los coeficientes del a! b!
desarrollo de: (nx
4
xy 2 ) n 1 , sabiendo que uno Calcular: ab
a) 12 b) 15 c) 20 d) 30 e) 42
de sus términos admite como parte literal x 9y10
4. Si se cumple que:
x! 3 x! 2 x! 2
3 2 1
Calcular : (x + 1)!
Rpta.-
a) 60 b) 24 c) 6 d) 20 e) 720
10. ¿Qué lugar ocupa el Término que tiene como
5. Indicar el valor de “k” en el desarrollo de (x + 1)36. si
grado absoluto 17 ; en el desarrollo de:
los términos de lugar k-4 y k2, tienen igual
coeficientes.
2 14
(x 2 y) a) 7 b) 6 c) 5 d) 9 e) 10

6. Si el grado absoluto del Término en el desarrollo
de:

(a 2 b c) n es 30

Rpta.- Hallar el grado absoluto del término central.
a) 28 b) 27 c) 26 d) 25 e) 24

11. Calcular el valor de “n” para que el décimo 7. Dado el binomio (x + a)4.
término del desarrollo de: Calcular: T2 . T4

n
a) 16x 4 a 4 b) 4x 4 a 4 c) 16x 3a 3 d) 4x 3 a 3 e) 4xa
1
x3 , contenga x 15 8. En el desarrollo del binomio (x 5+x3) 10. Calcular el
x2
séptimo término.

a) 210 x 32 b) 210 x 34 c) 210 x 36 d) 210x 38
Rpta.-
e) 200 x 32
31


9. ¿Qué lugar ocupa el término cuya suma de
exponentes de x e y sea 48 con el desarrollo del RADICACIÓN
2 3 18
binomio. (x + y ) .
Definimos la raíz n-ésima principal de un número
a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 real “a” denotado por :
n
1 n
a
4
10. Dado el binomio ( x x ) .Hallar “n” para que
n
el 5to término resulte del 1er grado. Sea: n a b a b donde a 0 y b 0 Si
“n” es par y a , b son números reales arbitrarios si “n”
es impar:
a) 12 b) 14 c) 18 d) 20 e) 24

n El símbolo n
a para la raíz n – ésima principal de a se
1
11. Dado el binomio 2
x el término de lugar 17 le llama RADICAL ; el entero “ n ” es el INDICE y “ a ”
x
es el RADICANDO.
es de la forma T17 C16 x 2 .
n

n
a) 19 b) 20 c) 21 d) 22 e) 23
Índice
a
12. Indicar el valor de “m” es (x 7+ ym) 25 si el término de
Radicando
lugar 14 es de la forma: x 84 y 39 .
Propiedades básicas de los radicales:

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
Sean n 2 y m 2 enteros positivos y a , b son
3 -1 2 n
13. Si en el desarrollo del binomio (3x + 2x y ) existe
números reales, si todos los radicales están definidos.
un término cuyas potencias de “x” e “y” son
respectivamente 5 y 8 encontrar el número de Tenemos las siguientes propiedades:

términos del desarrollo.
n n n
1) ab a b
a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 6
n
a a
14. Calcular el quinto términos del desarrollo de: 2) n
n
b b
8
x 4
4 x 3) n
am (n a ) m
a) 59 b) 69 c) 70 d) 71 e) 19
mn mn
15. Halla el valor de “n” 4) a a

1 2 2 3 3 .... n n 5039 Operaciones:

a) 7 b) 5 c) 6 d) 8 e) 9.
Sea: x x x x
 
 
n Radicales.

16. Dar el número de términos del desarrollo de:
21.1
(x y z) 6 . 1/ 2
1
2 x1 21
n 1 x x x x
2 x 2.n 22 1
4 3 3/ 4 2x 2 22
a) 28 b) 56 c) 7 d) 21 e) 30 n 2 x x x x x x

32

3
2x 2x 2 1 2 .1
8
n 3 x x x x7 x7 / 8 x 2x 2x 2
x 23
.

. Rpta.-

3n 3n
2
n
1 5. Calcular “ x ” si: 8 x 8 x 63
2n
n n x x..... x x
  
 
n Radicales .

Si tenemos :
2
Rpta.-
a3 a 4 a ? 6. Para que sea el valor de “ n ” la expresión:

5
X + M( x ) 5x n 4 4x 2 n 3 3x 6 2x 4n
1 3 1 4 1
a a a (Multiplica y se suma)
Resulte ser un monomio de 2° grado.

(1x3+1) 4+1 = (4x4) +1 = 7

en el denominador : 2 x 3 x 4 = 24
Rpta.-
17
a
a3 a 4 a a 24
7. Reducir:

xx xx x 1
X 1 xx
TAREA DE CLASE 1 x
A x
2x y x y
15 6
1. Calcular x – 2y si: 2 8 y 3 81

Rpta.-
Rpta.- R x 3 x 2 3 x 3 3 x 4 ......
8. Reducir:
2. Calcular ab si:

b
4a 32 a 8b y b
3a 3 a 91 b

Rpta.-
2
(x 2) 2 2
x 2
9. Resolver: x .2
Rpta.-
Indicando el valor de:
a
3. Si: 3 216 3a 2
. Calcular “ x ” en:
(x 2 x 1)(x 2 x 1)
x 1
a 1
a2 9 128

Rpta.- Rpta.-
10. Efectuar:
4. Calcular “ x ” si: 1
2 x 3 a
ax x x
x x x ....x x
2 x2 K
x 2
x 2 3 2 3 a a
2

x x

33


x 2 12 x
1. Si: m = 5 ;n
X
5 ;
Rpta.- P 5

X 1
x
x a 1 Hallar “ x ” en 32 m P
2n
11. Si: a X X
Hallar R x
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

2. Indicar la mayor solución al resolver:
Rpta.-
2x 2x x
1
5 5 5
2(3) 6(2) 13 (6)
12. Si al Reducir
a) -5 b) -10 c) 10 d) 2 e) 5
x x x........ x 3. Calcular “ x ”Si:
 
 
20 Radicales 3n 3n
2 x 2 x 511
El exponente final de “ x ” es de la forma ; 1 1 1
n n n n1
n 20
1 a) 4 b) 8 c) 16 n d) 2 e) 8
20
;n N. Halle : “ n ” 4. Calcular:
n a 1 b 1
b a
M a b
a b 1
Si: b 5 ; a
2
Rpta.- a) 57 b) 50 c) 58 d) 62 e) 64

8
13. Si se cumple que: 5. Si: A 8 2 2 6
8 ;B ( 2 )

3
25 5 5........ a 6 6.... 11 a 32 Calcular: AB
Calcular: a

a) 2 b) 4 c) 8 d) 16 e) 1/4

Rpta.- 6. Evaluar:
2 1
2
14. Si: 2
2 2 2
x 2 ( 2 )3 ( 2) 4 2
x Calcular: 2 (2) . x
2
2
a) 1 b) 2 c) 2 d) 2 e) 4

Rpta.- 7. Efectuar:

10
3
2 1 ( 23 2 1)
15. Racionalizar: 2
3 3
2 12 18 3
4 (1 3
2)
2
Rpta.- 3 3 3
a) 2 b) 2 c) 2 d) 4 e) 2 +1

a
8. Si: b. b a ab
ab

Halle el equivalente de:

34

E b . 1 b a1 a 214 1 216 1
15
216
a) x 2 b) x
a) 1 b) ½ c) 1/3 d) 2 e) 4

9. Reducir: 215 1 215 1 215 1
15 15
2 215
a 1 a a c) x d) x2 1
e) x
4 4
a 1 a 1
4 4
16. Calcular:
a) 1 b) 2 c) 4 d) ½ e) ¼
E 11 6 2
10. Obtener
a) 3 2 b) 3 2 2 c) 3 3 d) 3 2
3
9 133 1 3
3 1
3. 9 e) 3 2 2

3 17. Calcular:
a) 3 b) 3 c) 3 d) 3 3 e) 3 3 3
11. Resolver: 3 2 2 2
X X X
E
1 1
7 3 3 3
1 x4 1 x X X X
3x
x3 x 15 11 19 13 13

a) x 24 b) x 12 c) x 24 d) x 12 e) x 24
Siendo: x 1

a) 4/3 b) 2 c) 3/2 d) 5 e) 3 18. Hallar “x ”

12. Hallar “ x ” en : x
x x 16 1
x 1 64 x x x 2
1
2 2
xx x 4
x a) 2 b) 4
a) ½ b) -½ c) ¼ d) -¼ e) 1/16 c) 8 d) 16
e) 32
13. Resolver:
.
.
.
1 X
1 X
X x x x x x x..... 19. Evaluar:

2 2
2 2 1
a) ½ b) ¾ c) 8/27 d) 4/9 e) 2/3 22 2

14. Hallar “ x ” en:
a) 1 b) 2
4
2
3 3 c) 2 d) 2
4 3
6
x 93 3x , x 0 e) 4

3
20. Hallar “ a ” Si:
a) 3 /3 b) 1 c) 3 d) 3 e) 3
3
a 12 12...... n
15. Calcular:

Siendo : 3n = 2 6 6.....
x x x...... x a) 4 b) 3

15 Radicales
c) 8 d) 5
e) 6

35


ALGEBRA

IV Bimestre
2L 2 2 3 ( Artificio)

RADICALES DOBLES
2L 4 2 3 3 1
+
Tiene la expresión: a B (A B )
3 1 3 1
es llamado radical doble. L
2 2 2

Ejm: 2 3 ; 5 7 Son ejemplos de radicales TAREA DE CLASE
dobles.
En algunas ocasiones es necesario expresar un radical
1. Hallar: “x” 16 2 48 2(x 1)
doble como la suma de dos radicales simples (es decir

A B ) el proceso mediante la cual esto es llevado a
cabo se llama transformación de radicales dobles a simples.

Nos preguntamos cuando es posible descomponer un
radical doble en la suma de dos radicales simples, el Rpta.:
siguiente teorema establece para que esto sea posible.
2. Si: 5 2 4 3 6 x . Hallar “x”

Teorema:
2
Si C A B es un cuadrado perfecto entonces

A C A C
a B Rpta.:
2 2

Transformación de un Radical doble de la forma 3 2 2 2
3. Efectuar: E
a 2 B en radicales simples 5 2 6

a 2 B x y;x y
Rpta.:
Donde: 4. Calcular “M” si la expresión:
x.y=B x+y=A
Ejm: M 2 2X (x x 1)
9 2 14 7 2

6 2 5 5 1 Siendo x 1
L 2 3

Rpta.:
36


5. Determinar el valor de “M” Rpta.:
3
10. Simplificar: E 3
2 3 1 3 16 2 48
M
3 8 5 24
3 1

Rpta.:
Rpta.:
6. Dada un función que depende de x: Aprendiendo a resolver…..resolviendo

f (x) x x2 1 ; x 2(n) 1
1. Si: 17 12 2 6 4 2 E
Hallar la suma de 3 primero términos, siendo n N. Siendo: E un radical simple, donde su radical el
doble tiene la expresión: N (N 1) 2

Hallar “N”:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

Rpta.: 2. Se cumple que:

7.
Si: 2 (30 M) M 5 M 5 2 n
19 n n 1 15
2
Hallar “M” Hallar “n”:
a) 6 b) 4 c) 10 d) 8 e) 2

3. Calcular: J= 79 30 6 3 6

Rpta.: a) 4 b) 6 c) 7 d) 5 e) 3
4. Hallar “E”:
8. Si C es un cuadrado perfecto C A2 B 51 14 2 29 10 2 E
2
E

a) 4 b) 3 c) 2 d) 5 e) 6
Se cumple: A 7
B 2

5. Determinar: “x”: x 2 5 2 4 3
Y su radical doble tiene la expresión A B,
donde A 15. Hallar “B”.
a) 2 2 b) 3 2 c) 2 3 d) 6 e) 5

6. Hallar las soluciones de “x”:
x x ( 29 10 2 2) 6
Rpta.:

9. Si A = 11 y B = 72 de un radical doble, se tiene en a) 2,4 b) -2,3 c) -2, -4 d) 1,3 e) 2,3
la expresión final a simples:

61 24 5 2 5
x 4 x 3) 7. Hallar “M”: M
21 8 5

Hallar “x”: a) -1 b) 1/2 c) 1/4 d) 1 e) 2

37

15. Determinar “M”:

28 16 3 2
8. Hallar: M= M 3 8 11 6 2
3

a) 2 12 b) 2 2 3 c) 12 d) 2 12
a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 4
e) 2 4 3

9. Reducir: E 28 10 3 28 6 3 16. Determinar: H= 39 12 3 4 2 3

a) 6 2 b) 2 3 c) 3 1 d) 4 3 e) 3 1 a) 6 b) 5 c) 4 d) 7 e) 8

10. Hallar “n”: 17. Hallar:

3 2 2 2
(2n 1) 4 5 5 n
2

a) 3 b) 4 c) 2
a) 1/2 b) ¼ c) 1/3 d) 2 e) 1
d) 6 e) 8

11. Si: 28 6 3 n n 1 18. Resolver:
Hallar: 4 2 n 3

a) 2 b) 3 c) 1 2 11 6 2 9 4 2
10
d) 2 2 e) 3

a) 2 b) 1 c) 1/3 d) ½ e) ¼
2
12. Si: 28 (n 1) 3 5 n
19. Reducir:
a) 6 b) 1 c) 3
d) 2 e) 2 3 4 2 3 4 2 2
4 2 2 6
13. Si: A C 11

a) 1 b) 1/4 c) 2 d) 1/2 e) 2
A 3 2
Hallar el radical doble:
C 2

20. Si:
a) 3 2 2 b) 3 35

c) 3 35 d) 9 65
6 2 5 n n2 3
Hallar “n”
e) 9 65

a) 1 b) 3 c) 5 d) 2 e) 4
61 24 5 3 5
14. Resolver:
4

a) 2 b) 1 c) 1/3 d) 2 e) 1/2

38

2n 2n
* a b no acepta C – N
RACIONALIZACION 2n 2n
* a b sale a – b (Por C – N)

Definición.- Racionalizar un cociente es rescribir este
TAREA DE CLASE
cociente de modo que el denominador no contenga
1. Simplificar:
radicales. Aquí la idea principal para lograr lo que la
definición se pide determinar una expresión adecuada
3 27 6 12
de modo que, al ser multiplicada por el radical en el
108
denominador, el nuevo denominador no tenga
radicales.

Factor Racionalizante (F.R.): Es el menor número
irracional que multiplicado por otro irracional da como Rpta.:
resultado un número Racional.
9 18 2
2. Resolver:
Número Irracional x (FR) = Número Racional 2 2 1 7

Ejemplo: ( 2 2 ) ( 2 ) = 8

FR
Rpta.:
Casos:
I) PARA MONOMIO:
10 20
3. Hallar: M=
2 1 2
m
An FR A A es primo.

N
Ejemplo:
3
22
3
Rpta.:
22 3
2 2
4. Determinar: E2 – 2. Si:

primo F.R. 9 2
E
Así concluimos: 3 2 3 2
n
FR Am n
; A un número primo
II) PARA BINOMIO:
Aquí consideramos como productos notables:

Rpta.:
a b a b a2 b2
5. Hallar “x”: si x 0
a b a2 ab b 2 a3 b3
a b a2 ab b 2 a3 b3 2
x + mx + m = 0
12 8
Además: m
OBS: Para denominadores: 3 3 1

2n 1 2n 1
* a b sale: a b

39


3
6. Racionalizar:
9
x5y2 11. Resolver “m”

11
m m 1 0
11 2 30

Rpta.:
1
7. Racionalizar: 2
4
17 12 2

Rpta.:
12. Efectuar:

1
Rpta.:
12 4
3 2 3 2 3 2

1 a 2 a
8. Si:
12 140 2

Rpta.:
. Hallar “a”

2
1. El valor Racionalizado de: es:
2 2
Rpta.:
9. Hallar: “E2 + 1”
a) 2 2 b) 4 2 2 c) 2 2 d) 4 2 2
2 2 2
5 12 e)
E 2
7 2 6 6
2. La sgte. Expresión:
3 2 3
4
3 2 2

Rpta.: a) Es un número entre 3 y 4.
10. Hallar: b) Igual a 5.
c) Igual a 4.
d) Es un # comprendido entre 4 y 5.
4 e) Entre 2 y 3.
8 2 12
3. Hallar: “a”

2 7 2a a
30 704 7
Rpta.:

a) 3 b) 1 c) 3/2 d) 2 e) 4

40


4. Racionalizar: 11. Efectuar:

5 2 3 3 2 7 4 3
5 2 3 2 3 3 2

a)
17 5
b)
14 2
c)
13 3 a) 2 3 b) 6 2 c) 6 2 d) 2 3
4 3 2
e) 3 1
14 2 15 6
d) e)
5 3
5. Calcular “x”: 12. Efectuar:
1 3 4
11 2 x 7 2 10 8 4 3 1 1 3
8 2 12 11 2 30 7 2 10

a) 30 b) 5 c) 20 d) 13 e) 10 a) 0 b) 1 c) 15 d) 2 3 e) 6
3
6. Racionalizar:
5 2
13. Después de racionalizar el denominador es:

5 2 5 2
a) 5 2 b) c) 2 3 5
2 3
2 3 5
2 3 5 2
d) e) a) 9 b) 7 c) 11 d) 13 e) 17
5 10
3
7. Racionalizar: 2
3
3 14. Racionalizar:
3 3 3 3 3
9 27 18 16 2 3
a) b) c) d) e)
3 2 3 3 3 (a 5 2b)( 5 3)( 45 4)
(5a 2b 5) ( 2 5)
2
8. Simplificar: se obtiene:
72 50 8 4 3
a) 5 10 b) 5 9 c) 10 5
5 5

a) 1/3 b) 1/9 d) 5 10 e) 5 3.
c) 2/9 d) 4/9
3
15. Racionalizar:
e) 18/99 1 2 3

1 31 2 6 3 3
9. Racionalizar: a) b) 6 3 c) 2 2 6
3
3 3
4 5 4 9

2 6 2 2 6 2
d) e)
3
3 3
3
3 4 3
9 23 2 3
12 4 2
a) 3 4 b) c)
7 7
x 1 x 2
3 3
16. Racionalizar:
d) 3 3 4 2 x 1 x 1
4 3 e)

2
b
10. La expresión: es: 2 2 2
2 2 a) x 1 1 b) x 1 x c) x 1 x
a b a
2
d) x 1 x 1 e) x 1 x
2 2 2 2
a) a b b) a b b c) b a b 17. Simplificar: 1
x 2 2 x 1 x 2 2 x 1
2 2
d) ab a e) a b a

a) 2 b) 1/2 c) 1/4 d) 1/3 e) 4

41


ECUACIONES Ecuaciones Equivalentes: Son ecuaciones que tienen
las mismas soluciones.
Ejm:
Ecuaciones: (Igualdad Condicional)
5x – 3 = 2x + 9 4x – 1 = x + 11
Es una igualdad que sólo se satisface o verifica para
sistemas particulares de valores numéricos atributos a 3x = 12 3x = 12

sus letras. Las letras reciben el nombre de incógnitas, x=4 x=4

que por lo general se representa con las últimas letras
del alfabeto. Ambas soluciones es x = 4, son iguales.

Ecuaciones de primer grado con una incógnita:
Así: 5x – 3 = 3x + 1
2x = x=2
Definición: Una ecuación de primer grado o lineal con
Ya que: 5(2) – 3 = 3 (2) + 1 una incógnita es aquella que puede reducirse a la
forma:
7=7
ax + b = 0
Siendo:
Clasificación de las ecuaciones:
a y b coeficientes
Las ecuaciones pueden ser:
Resolviendo
1. Ecuación posible o compatible.- Admite ax = -b
solución.
Pueden ser: Pasando b al segundo miembro con signo
cambiado.
. De acuerdo a los valores que tomen a y b pueden
- Determinada.- # limitado de soluciones. suceder:
- Indeterminada.- # ilimitado de soluciones.

2. Ecuación Imposible incompatible o 1) Si a 0,b 0 tendremos:
absurda.- Aquella que no admite solución b
x
a
3. Ecuación Algebraica.- Pueden ser: 2) Si a 0yb 0 tendremos:
x=0
- Racional.- Pueden ser racional entera o
fraccionaria.
- Irracional.- Si alguita incógnita, figura bajo 3) Si a = 0 y b = 0 tendremos:
radical 0x = 0
Observamos que x puede tomar cualquier
Ejm: valor.
2
(1) 4x + 9 = x – 12 racional entera. 4) Si a = 0 y b 0 tendremos:
X = (-3) y x =7 0x = -b

3x 1 5 Observamos que esta solución es absurda.
(2) racional
x 4 x 1
fraccionaria. Ejm:
x 1 1 . Resolver y discutir:
(3) 3 Irracional
5 x 1
4. Ecuación Trascendente.- Son no algebraicas.
Ejm: m2 (x – 1) = 5 (5x – m)
Solución:
(1) log x 1 1 2 0
x+1
(2) a =5
(3) Sen 3x + 1 = 0
42

2 2
Efectuando: m x – m = 25x – 5m Suma: x1 + x2 = -b/a
2 2
(m – 25) x = m – 5m
(m + 5) (m – 5) x = m (m – 5) producto: x1 + x2 = c/a

Discusión: Diferencia: x1 + x2 = D ; x1 x2
a
(1) Si m2 – 25 0 m(m 5) m
x TAREA DE CLASE
(m 5)(m 5) m 5
(2) Si m = 5 ; 0x = 0
1. Para que valor de m: las raíces de la ecuación:
2
La ecuación es compatible x 3x m 1
, serán iguales en magnitud pero de
indeterminada. 5 x 12 m 1
signo contrario.

(3) Si: m = -5 ; 0x = 50
La ecuación es incompatible.
Ecuación de Segundo Grado:

Rpta.:
2
Forma General: ax + bx + c = 0
5x 2 3x 4 7x 5
x incógnita
2. Resolver: 1
2 3 4

Hay dos soluciones:

b b2 4ac
x1 Dos formas de
2a resolver una
Rpta.:
b b2 4ac ecuación de 2do
x2 grado
2a

Discusión de las Raíces.- Se define como
discriminante de la ecuación: ax2 + bx + c = 0 ; a 0 5x 2 x 1 7x 1
3. Resolver:
3 2 6

D= b2 4ac
D Discriminante

1) Si D 0 ; las soluciones son números reales Rpta.:
diferentes.
2) Si D = 0 ; las soluciones son números reales
iguales.
3) Si D 0 ; las soluciones son números complejos
conjugados. 2
x 2 4x 5 x 3
4. Resolver:
x 2 6x 10 x 2

Propiedades de las Raíces:
Sea: x1 , x2 raíces de ax2 + bx + c = 0 ; a 0

43

10. Resolver:
Rpta.:
1
5. Resolver la ecuación. x x2 21 7 2 x x 3
2 x x

Rpta.:

x 2 x 3 5
6. Dar los valores de x:
x 3 x 2 2 Rpta.:
2 2
11. Resolver: x 12x 27 x 12x 35 2 2

Rpta.:
7. Dar los valores de X: Rpta.:
12. Hallar m, n tal que tengan igual solución:
2x 2 3x 3 2x 2 3x 9 0
2
(5m – 52) x – (m – 4) x + 4 = 0
(2n + 1) x2 – 5nx + 20 = 0

Rpta.:
8. Resolver:
Rpta.:
3 3
14 x 14 x
2
3
14 x 3
14 x Aprendiendo a resolver…..resolviendo

1. Resolver la ecuación:

Rpta.: 2 x 6 x 5
9. Hallar el valor de x: 6 x 2 x 2

4 x2 x 9 x2 5x x2 7 1 2x a) {9 , 6/5} b) {36/25 , 10} c) {9 , 36/25} d) {19}
e) {6/5}
x 5 6
2. Resolver:
5 x 2 x 5 5

a) {5/4} b) {45/4 , 95} c) {95} d) {5/4 . 45/4}
e) {5/4 , 95}

Rpta.:
44

3
10. Resolver la ecuación: 2 x 1 x 1 . Dar
x 3 x 3 la suma de todas las raíces.
3. Resolver: x
x x 3 x x 3

a) {2} b) {3/2} c) {3/2 , 2} d) e) {5/2 , 2}
a) 2 b) 1 c) 10 d) 12 e) 13
2 2
4. Dar: a + ab + b , para que las raíces de la
11. Si a 1, obtener la suma de las soluciones reales
ecuación sea igual
de la ecuación: a a x x.

a3;
b 1 a 1 x a x b 1 4a 3 1 1 4a
x a x b a 1 b 1 a) -1/2 b) c)
2 2
a) 3 b) 3/2 c) ¾ d) 3/5 e) 1/3
1 1 4a 1 4a 5
5. Hallar los valores de k de modo de que las raíces d) e)
2 2
de la ecuación 4x2 – 16x + k2 = 0, estén en el
12. Dar (m + n) para las cuales las ecuaciones:
intervalo 1 , 3 , si k a , b c , d . Hallar
“a + b + c + d”
2 3 2 2
a) -3 b) -2 c) -4 d) 0 e) 5 (m – 2)x – (m + 2)x – (n + 6) = 0 (m – 1)x – (m +
1)x – (4n3 – 4) = 0
6. Si r, s son las raíces de la ecuación x 2 + bx + 4c = 0
; (2r + b), (25 + b) de x 2 + mx + n; Tendrán las mismas relaciones.
hallar: a) 3 b) 2 c) 5 d) 4 e) 1
2
m 4n
E
2
13. Halar “m” a fin de que la suma de las raíces
b 16c
positivas de la ecuación bicuadrada: x4 –
a) 1 b) 2 c) 4 d) 8 e) 1/2 (3m + 4) x2 + (m + 1)2 = 0 sea 6.
a) 3 b) 23 c) 34 d) 6 e) 15

4 4 14. Resolver la ecuación:
7. Resolver: (x – 5,5) + (x – 4,5) = 1
2
1 x 2x x 3 2 x x
a
2 2 x x
a) -5,5 b) -4,5 c) 4,5 d) 3,5 e) 6,5 1 x 2x x

2
8. Dada la ecuación –x + mx – m = 3. Hallar si existe a 12 a (a 1)
2
a) (a – 1)2 b) 2ª c) c) 2
e)
el menor entero m para que una de sus raíces sea 2a (a 1) a

menor que 10. Dar la suma de las cifras “m”. 2
15. Si el conjunto solución de la ecuación: mx + nx + 2

a) 3 b) 2 c) 4 d) 5 e) 6 = 0, es , , calcular “n”.
1 2 1
6 5 4 3 2
9. Resolver la ecuación: x – 9x + 30x = 45x – 30x a) -10 b) -6 c) 0 d) 2 e) 5
A B
+ 9x – 1. Si una raíz es de la forma . 16. Si es el discriminante positiva de la ecuación:
2 19
x2 ( 1) x 0 determinar el
Hallar “A + B” 4
conjunto solución:

a) 5 b) 3 c) 8 d) 7 e) 6
a) {5/2 , 9/2} c) {5/2 , 11/2} d) {3/2 , 9/2}

b) {3/2 , 1/2} e)

45

Ejm: -3 -1 -3 – (-1) = -2, es (-)
INECUACIONES
3. Si: a b c d son desigualdades de sentido
contrario.
Definición: Es una desigualdad.

Propiedades de las Desigualdades
Desigualdad: Es una relación que nos indica que una
cantidad o expresión es mayor o menor que otra. 1. Sea: a b
Si se le suma o resta: c
Estos se establecen solo en el campo de los números
reales.
a c b c (NO VARIA)
Signos: (Sirven para designar a las desigualdades)
2. Si los dos miembros de una desigualdad se
multiplican o dividen por la misma cantidad, el
diferente a sentido de la desigualdad NO VARIA.
mayor que
menor que
Si: a b ac bc
a b
También: y c 0
c c
mayor o igual que 3. Si a b c 0
menor o igual que
Cumple:

- +
ac bc
a b se invierte
| | | | | | | | |
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 c c

Menores de Mayores de 4. Si a b b c
cero (-) cero (+)
a b c a c
Si a es (+) a 0
Si a es (-) a 0 5. Si a b c>d

Definiciones: Se cumple: a + c b+d

1. Se dice que una cantidad “a” es mayor que otra
6. Si a b c d
cantidad “ b ”, si la diferencia (a – b) es una
Se cumple: a – c c-d
cantidad positiva, es decir:

7. Si a b c d b 0 d 0
a b si a – b 0
Se cumple: ac bd
Ejm: -2 -7 porque -2 – (-7) = 5 , es (+)
Consecuencias: Si a b siendo b 0
2. En caso contrario:
n n
a b
Si a b n n
a b
a–b 0
46

2
El conjunto solución: {x R / ax + bx + c 0} y
8. Si: a b c d siendo b 0 c 0 dependerá de la naturaleza del discriminante.

a b
Se cumple:
c d 2
= b – 4ac
Inecuaciones de Primer Grado con una incógnita
Luego:
Definición.- Una inecuación de primer grado con una Caso 1: Si
2
= b – 4ac 0=
2
ax + bx + c, tiene dos
incógnita es aquella que puede reducirse a la forma:
raíces reales diferentes, por ejemplo x 1, x2, con x1 x2
entonces.
ax + b 0 ó ax + b 0 ax2 + bx + c = (x – x1) (x – x2)
b
Si: ax + b 0 x 1.1) ax2 + bx + c 0 a (x - X1) (x – x2)
a
0
b
Si: ax + b 0 x a) Si a 0 x - , x1 U x2 ,
a
b) Si a 0 x x1 , x2
Ejm:
c)

Resolver la inecuación: 1.2) Ax2 + bx + c 0 a (x – x1) (x – x2) 0

2x 1 3x 2 2x 1 2 a) Si a 0 x x1 , x2
5 6 2 3 b) Si a 0 a (x – x1) (x – x2) 0

Solución: 5 – 6 – 2 – 3 | 30
Caso 2: Si = b2 – 4ac = 0 ax2 + bx + c, tiene dos

Multiplicando por 30: raíces iguales, es decir: x 1 = x2, luego:

Sea: ax2 + bx + c = a(x – x1)2
2x 1 3x 2 2x 1 2
30
5
30
6
30
2
30
3
2.1 ax2 + bx + c 0 a (x – x1)2 0
a) Si a 0 x R – {x1}
12x – 6 + 15x – 10 30x + 15 + 20
b) Si a 0 x
-3x 51
x -17 2 2
2.2 Ax + bx + c 0. a (x – x1) 0
Graficando:
a) Si a 0 x
| | |
- -17 0 b) Si a 0 x R – {x1}
+ 2 2
Caso 3: Si = b -4ac 0 ax + bx +c, no tiene
raíces reales:
- x -17 ó x - , -17
3.1. Si a 0
2
ax +bx + c 0 , x R

3.2. Si a 0
do
Inecuaciones de 2 grado: 2
ax + bx + c 0 , x R
2
Ejm: Sea: x – 7x + 6 0
Toda inecuación de 2do grado puede reducirse siempre
a: (x - 6) (x - 1) 0
ax2 + bx + c 0 ; a 0
x - ,1 U 6,
47

x 4 x 2
x 2 x 4

Rpta.:
TAREA DE CLASE
1. Si: -1 b a 0; donde a y b R de las siguientes
proposiciones:

I. a2 b2 7. Resolver:
2 3
II. a b
III. a 3
b3 ¿Son ciertas? 2x 2 x 2 (2x 2 3x 4)
0
5x 2 x 1
Rpta.:

2 2 2 2 Rpta.:
a b b a
2. Resolver en “x” 2
x
2 2
x
2
,
b a a b

si: a b a,b R+
8. Resolver:
Rpta.: x2 – x – 6 0

1 1
3. Si: a ; ¿A que intervalo pertenece: 31 2a ?
8 5
Rpta.:

Rpta.: 9. Resolver: x4 – 5x2 – 36 0

4. Resolver en x:
Rpta.:
2 2
x a x b 10. Resolver:
x b x c x a (x c)
x c2
3 x8 – 2x4 + 1 0 indicando la suma de los valores
x a x b que la verifiquen.

Rpta.: Rpta.:

5. Resolver:
11. Resolver:
x 3
2
x 2 3
x3 3x 2 5x 6 x 2

Rpta.:
Rpta.:

6. Resolver:

48

1 e) 12
8
12. x 4 x 0
x
7. Resolver:

Rpta.: (x - 7)2 – 9|x – 7| + 18 0

Aprendiendo a resolver…..resolviendo a) 1 ; 4 U 12 ; 14 b) 1 ; 5 U 6 ; 7
c) 1 ; 4 U 10 ; 13 d) 2 ; 5 U 10 ; 16
e) - ; 5 U 10 ;
1. Dar el equivalente al conjunto:
8. Calcular:
A x R/ x 5 3

a) - ; 14 b) 5 ; + c) 5 ; 14 d) 5 ; 14
| 5x 20 | | 3x 20 |
E
x
e) 0 ; 14
Si: x -3 , -2
a) -2 b) 1 c) 3 d) 2 e) 5
2. Dado: B x Z/ x 5 3
9. Resolver: 2x2 – 10x – 12 0

Indique el menor valor que presenta:
a) x -1 ; 6 b) x -1 ; -6 c) x 2;4
d) x -2 ; 8 e) - ; 14
a) 15 b) 14c) 13 d) 12 e) 16

10. Resolver:
3. Dado: M x Z/ x 2 x 1
2
0
9x 49
Indique su cardinal:
indicar el intervalo de la solución:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

7 7 7
a) x 0; b) x ;
3
4. Resolver: x 1 4 8 3 8
c) x d) x - , e) x -3 ; 3
a) x -65 ; + b) x c) x -63 ; + 2
11. Resolver: x – 14x + 50 0
d) x 1;+ e) x R
5. Resolver: |2x – 7| 9 a) x R b) x R –{3} c) x 2;4
d) x -7 ; e) x
a) x 1;6 b) x 1 ; 8) c) x 1;2 2 2
12. Resolver: |x - 4| (x + 2) Hallar su intervalo.
d) x -1 ; + e) x -1 ; 8
a) x 0; -{2} b) x 0; U {-2}
6. Hallar los valores de “a” para que la desigualdad: c) x 0 ; 7 U {-2} d) x e) x R

x 2 ax 2 13. Si: x R se verifica x + (m – 1) x + 4
2
0.
3 2
x2 x 1 El mayor valor natural de “m” es:
Se verifique para todo valor real de x.
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 8
14. Hallar los valores de “m” de modo que las raíces de
a) -1 , 4 b) -1 , 2 c) -1 , 0 d) 1 , 2 la ecuación:
49

4x2 – 16x + m2 = 0 VALOR ABSOLUTO
Estén en el intervalo 1 ; 3 . Si:
m a,b U c,d Definición:

Entonces: ad – bc es: El valor absoluto de un número real “a” se denota por
|a| y se define:

a Si a 0
a) -3 b) -2 c) -4 d) 0 e) 5 a
a Si a 0

15. Resolver: Ejm: |2| = 2 : | 5| ( 5) 5

x2 4 Si
2
x 2 x 2 1
3x 1 , si 3x 1 0 3x 1 , Si x
3
a) x 0;+ b) x -0 ; + c) x 2,+ | 3x 1 |
(3x 1), si 3x 1 0 1 3x , si x 1
d) x -1 , + e) x -4 , + 3
Teorema:
- valor de a: |a| 0 Se cumple:
16. La solución de la desigualdad es:
Si a = 0 entonces |a| = |0| = 0
x 6 x 3 3 x |a| = |-a|
a |a|
-a |a|
a) -3 x 3 b) -6 x
c) - x -6 , 3 x d) x = 3 e) x = -6 Supóngase: que a 0 b 0 entonces:
3x 1 a b a b2
17. Si: 3 5 ; su intervalo de “x” es:
x 5
|a| |b| = |ab|

a) 5 ; b) 3 ; 5 c) - ; 5 d) 12 ; a |a|
, b 0
e) 15 ; b |b|
x 12 x 1
18. Hallar “x” si se cumple: , es: n n
x 1 19 x 2 |a | = |a| , n entero

Desigualdad Triangular:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

Dada por: |a + b| |a| + |b|
19. La solución es: x 1 x 3 Ecuaciones con Valor Absoluto:

a) -3 ; -1 b) -3 ; 1 c) -1 ; -1 d) -3 ; -1 El siguiente teorema es utilizado en la solución de

e) -3 ; 1 ecuaciones con valor absoluto:

24 2x x 2 Teorema: a, b  , se tiene:
20. Los valores de “x“ son: 1
x
a b b 0 a b a b
a) 0 x 4
b) 2 x 4 TAREA DE CLASE
c) -6 x 0
d) -6 x 0 ; 3 x 4
1. Resolver: |x – 1| = -3x
e) -6 x -3 ; 3 x 4

Rpta.:

50

2. Resolver la ecuación:
|x + 1| + |x – 1| = 6. T = {q R / |aq + b| |a + b – aq|, -2b a 0}

Rpta.:
Entonces: S T es:

3. Resolver:
Rpta.:

(x – 3)2 – 8 |x – 3| + 15 = 0
7. Si:
A = {x R / |3x – 1| = 2x + 5}
Rpta.:

B = {x R / |x + 2| + 6 = 3x}
4. Dados los conjuntos de números reales:
Hallar la suma de los elementos de A B:

S = {P R / 2P + 6–P}

T = {q R / |aq + b| |a + b – aq|, -2b a 0}
Rpta.:

8. Resolver la siguiente ecuación:
Entonces: S T es:

|5x – 3| = 4x + 1
Rpta.:

9. Las soluciones de la ecuación:
5. Si:

|x| + x3 = 0
A = {x R / |3x – 1| = 2x + 5}

Rpta.:
B = {x R / |x + 2| + 6 = 3x}

10. El conjunto solución de:

Hallar la suma de los elementos de A B:
|2x – 5| = 4

Rpta.:

6. Resolver la siguiente ecuación: Rpta.:

|5x – 3| = 4x + 1

51


Aprendiendo a resolver…..resolviendo a) 18 b) -18 c) 36 d) -24 e) -20

1. Indicar la mayor solución al resolver: 9. Indicar la suma de las soluciones de:
2
x x 6
1
x2 x 2
3 |x + 1| + |x – 8| = 19
a) -2 b) 2 c) 0 d) 3 e) -3 a) 4/3 b) 9/4 c) 5/7 d) ½ e) 11/6
2. Resolver: 10. Resolver:
x 5 2x 3 |x – 2| + |x – 3| = |2x - 5|

a) x - ,2 3,+
a) -2 b) 8/3 c) 3/8 d) -1/2 e) a y b
b) x - , -1 3,+
3. ¿Cuántos elementos tiene el C.S. de:
c) x R
d) x
|x2 – 2| = 2 – 3x?
e) x - ,4
a) 4 b) 3 c) 3 d) 1 e) 0

4. Proporcionar el cardinal del conjunto solución de la 11. ¿Cuántos valores de “x” verifican la ecuación:
ecuación:

|x + 3| = |2x – 4| + 5?
|x + 3| - |x – 1| = x + 1
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) Ninguna
a) 5 b) 4 c) 3 d) 1 e) 2
12. Resolver:
5. Calcular: ||x| - 1| 2 – x
| 5x 20 | | 3x 20 | a) {3/2} b) {-3/2} c) {1/2} d) {3/2 ; 1/2}
E si: x -3 , -2
x
e) {3/2 ; 1/4}
a) -2 b) 1 c) 3 d) 2 e) 5
13. Resolver:
6. Indicar la suma de las soluciones: ||x + 4| +4| -2 = 0
3x 1
4 Indicar la suma de todos los valores que asume “x”
x 1
a) -8 b) -6 c) 3 d) 0 e) No existe tal suma
a) 41 / 7 b) 38 / 7 c) 13 / 7 d) 19 / 5
14. Indicar una raíz al resolver:
e) 32 / 5 2
1 7
7. Si: x1 y x2 son las soluciones de: 2x | 2x 1 | 6 0
2 2

a) 1 b) -2 c) 3/2 d) -5/2
||15 – 2x| - 4| = 8
e) Más de una es correcta
Calcular |x1 – x2|
15. Las soluciones de la ecuación.
a) 8 b) 10 c) 11 d) 14 e) 12

8. Indicar el producto de las soluciones:
2
|18 – 3x – x | = 3 – x son
|x2 – 6| = |x|

52

o Si |x| a a 0 -a x a
a) -5 y 3 b) -7 y -5 c) -6 y 2 d) -5; -7 y 3 o Si |x| a a 0 -a x a
o Si |x| a a 0 x -a
e) -5 ; -6 y 3
o Si |x| a a 0 x -a
16. La suma de las valores de y es:
Teorema:
y – 2 |x| = -3
Dados a,b R:
|y| + x = 3
1. |a| |b| (a + b) (a - b) 0
a) -2 b) 6 c) 7 d) 10 e) 13
2. |a| |b| (a + b) (a – b) 0
17. Las soluciones de la ecuación: 3. |a| |b| (a + b) (a – b) 0
Ejm:
2 x+3 |x–5|+ 6 2 |x–5|+ 8 x+1
x .3 .+3 =x .3 +3
Resolver: |2x – 3| 1
a) x = {-1/3 , 1/3} b) - x 5 c) 5 x
|2x – 3| 1 1 0 -1 2x – 3 2
d) x = {-1/3 , 1/3} - x 5
1 0 1 x 2
e) x1 =-1/30 ; x2 =1/3 ; 5 x
1 x 2
18. Después de resolver la ecuación:
C.S. -1 , 2

||x – 5 | + 3| = 2, se puede decir que:
TAREA DE CLASE
a) x = 5 b) x = 8 c) x = 0 d) es una indet..
1. Resolver la siguiente inecuación:
e) es imposible

19. Resolver: (x1 + x2)
|3x – 5| 7
|x + 9| = 16

a) -12 b) -16 c) -4 d) 9 e) 15

20. Resolver:
Rpta.:

|x2 – 4| = 5 2. Resolver:

|4x – 3| 5
a) {3 , -3} b) {-3} c) {1 , -1} d) {3}

e) R

INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO Rpta.:


a , a 0
Sabemos: |a| |x2 – 6x + 8| 4–x
a, a 0

La solución de inecuaciones con Valor absoluta se basa
en los siguientes teoremas:
Sean x a R entonces: Rpta.:
53


10. Hallar el C.S. de:

|3x – 5| 7

||x – 3| + 3| -2

Rpta.:

Rpta.:

5. Resolver:

11. Si:

|4x – 3| 5
5 1
A x R/
12x 1 |x 2|
Rpta.:

C
Hallar: A

|x2 – 6x + 8| 4–x Rpta.:

12. Hallar el menor de los números M tales que.

Rpta.:
x 9
M, si x 2,5
x 6
7. Resolver:

Rpta.:
|3x – 1| |x|

13. Hallar el C.S.:
Rpta.:

2x 3 x
8. Si:
A = {x R / 2- |2x + 3| 3}

B = {x R / 2- |x + 2| 0}

Hallar: (B – A)

Rpta.:

9. Hallar el conjunto solución:
| 2x 3 | |x 8|
0
| 2x 1 | | 7x 8 |

54


Aprendiendo a resolver…..resolviendo 6. El intervalo que satisface al siguiente sistema de
2 1 inecuación:
1. Si: ; 6 ; determinar el menor valor entero
x 5
2
de M para que se cumpla: |x – 4| 5 … (1)
x 3 2
|x – 5x + 6| … (2)
M
x 6
a) 1 x 3
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 1
b) 1 x 3
2. Resolver:
3 2 c) 1 x 3
|x – 1| x + x + 1 es:
d) -3 x 3
a) 1 x 2
b) 0 x 1 e) -3 x 4
c) 0 x 2 7. Resolver:
d) -1 x 0 2
|2x + x – 5|
2
x + 2x – 3
e) 0 x 2
a) x - ,1
3. La solución d la inecuación:
b) x 1,2
a) 2 – 4 2 x -2
c) x - ; -3 + 10
b) 2 – 4 2 x -2
3 105
c) 2 – 4 2 x 2 d) x - ,
6
d) 2 – 4 2 x -2 ; -2 x 2 3 105
e) x - , 2,
e) - x 2 6
4. Hallar los valores de “x” 8. Resolver:
2
X + 4 |x + 2| 20, es: |x – 4| - |x – 2| |x – 1|

a) - x 4 Indique la suma de los valores naturales menores
b) 4 x que 15
c) -3 x 4
a) 102 b) 103 c) 104 d) 105 e) N.A.
d) Ninguna valor
9. La desigualdad:
e) Todo valor de x
2
x + 3 |x| + 28 0 Es equivalente a:
5. La solución de:
|x3 – 7x + 6| 19x – x3 – 18 es: a) x 7
b) -3 x 3
a) x - , -3 -3 , 1
c) x 3 x -3
b) x -3 , 1 3,
d) x -7 x 7
c) x - ,1 3 x e) x -3 x 7
10. Para cuantos valores enteros se verifica:
d) - x 1;1 x
2
|5x – 10| + |14 – 7x| |2x – x< |
e) x - ,0 3,
a) 23 b) 24 c) 22 d) 21 e) 20

55


11. Indique el valor que no verifica la inecuación: MISCELANEA
x 1 01) Efectuar: 27
( 27)6
1 |x| x
02) Efectuar:
7 1
a) 2 3 5 b) 6 1 2 c) 2n 2
2n 4
2n 6
2 P
2n 2
2n 4
2n 6

8 28 03) Reducir:
d) 2 6 20 e)
2
a 3b
24a b 18a b
12. Resolver:
36a 2b
| x 1|
1 04) Hallar “x” en:
x 4
3 2 3 6
a) - , -4 -5/2 , + 2x x 3 326 326 32.....
b) - , -4 1,2
05) Resolver:
c) -4 ,
x 2 x 2
d) -5/2 , + 1632 22
e) -2,
06) Resolver:
|x| x–1 x–2 x–3 x–4
13. 2 2 +2
x
+2 +2 +2 =248
| x 1|
a) 1, 07) Calcular M, sabiendo que: a + b + c = 2p
b2 c2 a2
b) - ,0 Si: 2M 1
2bc
c) - ,1
a x9
08) Sabiendo que: 7 , hallar la expresión:
d) - , 2/3 x9 9
2
e) - , 2,
3 a 4 x9
4
x9 9

2
14. Resolver: 09) Si: x – y = 8. Hallar: (x – 3y) – 4y(2y – x) + 8

1 1 4
10) Si: ,calcular:
2 x y x y
| x 1| || x 1 | 2 |
0
2
x 5 x2 y2 x 2y 2y
M
xy 2x x 3y
a) 2,3
11) Determinar el valor de:
b)
c) R (2b)2x – (2b)–2x, si se sabe que: (2b)8x + (2b)–8x = 7 y
1
d) 0,2 0<b<
2
e) -1 , 3
12) Si:

H (x 5)( x 6)( x 1)( x 2) 196
Hallar: R H 16,25

56

ALGEBRA 4º y 5º

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