PROBLEMAS DE RM
1 recomendación2,966 vistas
Este documento explica diferentes tipos de problemas sobre edades y cómo resolverlos utilizando un cuadro de edades y relacionando sujetos, edades y tiempos. Explica que la diferencia de edades entre dos personas es constante en cualquier tiempo y que la suma de valores extremos simétricos da el mismo resultado. También describe cómo calcular edades actuales, de nacimiento y futuras en base a las relaciones entre ellas. Finalmente, presenta varios problemas de aplicación para practicar estos conceptos.
PROBLEMAS DE RM
- 1. PROBLEMAS SOBRE recomienda emplear el cuadro de edades, en el cual vamos a relacionar: sujeto y tiempo. EDADES Pasado Presente Futuro Los problemas de edades, en su mayor´a ı Yo A C E se pueden resolver utilizando “planteo de Tu B D F ecuaciones”, aunque existen problemas con inecuaciones y numeraci´ n. En estos problemas o La diferencia de edades de 2 personas es con- se relacionan sujetos, edades y tiempos (pasado, stante en cualquier tiempo. presente, futuro). A−B = C −D = E −F Sujeto:Los protagonistas, que generalmente La suma en aspa de valores extremos sim´ tri- e son personas, pero pueden ser animales, plan- tas, etc. cos da un mismo resultado. Cada aspa da un re- Edad: la edad representa el tiempo de vi- sultado, que no es igual a los demas. ´ da de un sujeto. Entre las edades se establecen determinadas relaciones, llamadas condiciones, A+D =B+C las cuales se cumplen en un mismo tiempo o en- C +F =D+E tre tiempos diferentes. Tiempo: pueden ser: A+F =B+E Pasado → hace, ten´as, tuve, era, etc. ı Presente → tengo, tienes, tenemos,etc. Futuro → tendras, dentro de, sera, tendr´ , etc. ´ ´ e Tipo III: Para toda persona, se cumple que la relaciones de su edad actual (E.Act), su ano de ˜ Con el prop´ sito de ubicar correctamente los o nacimiento (A.Nac) y el ano actual (A.Act) es el ˜ datos en el cuadro de doble entrada veamos el siguiente . cuadro siguiente Si la persona ya cumplio anos ˜ Ano Nac + E.Act = ano actual ˜ ˜ Pasado Presente Futuro Si la persona no cumple anos ˜ Yo ten´a ı tengo tendr´e Ano Nac + E. Act = ano actual -1 ˜ ˜ tuve tenga Tu tenias tienes tendras ´ tuviste tengas Rodrigo naci´ en el ano 19ab pero en 19ba o ˜ ´ El tenia tiene tendra´ cumpli´ (a+b) anos ¿Cuantos anos cumplira Ro- o ˜ ´ ˜ ´ tuvo tenga drigo en el 2006? Observaciones para resolucion del proble- ´ mas Ano de nacimiento : 19ab ˜ Tipo I: Cuando interviene la edad de una sola Edad en 19ba: (a + b)anos ˜ persona pero Ano Nac + E.Act = ano actual ˜ ˜ Pasado Presente Futuro 19ab + (a + b) = 19ba hace 5 anos ˜ actual dentro de 5 anos ˜ (1900 + ab) + (a + b) = 1900 + ba E−5 ←E→ E+5 10a + b + (a + b) = 10b + a 10a = 8b Tipo II: Cuando intervienen las edades de dos ↓ = ↓ o mas personas, para este tipo de problemas se ´ 4 5 ↔ a = 4, b = 5
- 2. El 2006 tendra : 2006 − 1945 = 21 anos. ´ ˜ A) 28 B) 30 C) 33 Rpta: 21 anos ˜ D)36 E) 37 PROBLEMAS DE APLICACION ´ 09. Al preguntarle por su edad a Mar´a, esta ı ´ contesto:“Mi edad es la suma de todos aquellos ´ NIVEL BASICO numeros naturales tales que el cuadrado, de su ´ 01. Dentro de 10 anos tendr´ en edad el cuadru- ˜ e ´ cuadruple disminuido en 2, es mayor que 9 pero ´ ple de lo que tenia hace 8 anos. ¿Cual sera mi ˜ ´ ´ menor que 625” edad dentro de 15 anos? ˜ A) 15 anos ˜ B) 22 anos ˜ C) 23 anos ˜ A) 22 B) 18 C) 21 D) 20 anos ˜ E) 25 anos ˜ D) 29 E) 19 10. Tu tienes 7 veces la edad que yo tenia cuan- ´ 02. El gato “Minino” tiene 3 anos mas que el ˜ ´ do tu ten´as la edad que yo tengo. Si dentro de ´ ı perro “comotu”. Si el duplo de la edad de Minino ´ 5 anos nuestras edades sumaran 120.¿Qu´ edad ˜ ´ e menos los 5 de la edad de Comotu da 20 anos. 6 ´ ˜ tengo? ¿Qu´ edad tiene el perro Comotu? e ´ A) 25 B) 18 C) 21 A) 22 B) 12 C) 21 D) 20 E) 40 D) 29 E) 19 11. Elio le dice a Mary: “ yo tengo el doble de la 03. Se le pregunta por su edad a Mary y contes- edad que que tu ten´as cuando yo ten´a la edad ´ ı ı ta “formen 5 veces los anos que tendr´ dentro ˜ e que tu tienes; pero cuando tu tengas la edad que ´ ´ de cuatro anos y resten le 5 veces los anos que ˜ ˜ yo tengo la suma de nuestras edades sera 81 ´ ten´a hace 4 anos y resultara exactamente mi ı ˜ ´ anos”. Hallar la edad de Elio. ˜ edad actual ”. ¿Qu´ edad tiene Mary? e A) 27 B) 31 C) 33 A) 20 B) 40 C) 46 D) 29 E) 35 D) 30 E) 50 04. Yo tengo la edad que tu tendras cuando yo ´ ´ NIVEL INTERMEDIO tenga el triple de la edad que tu tuviste, cuando ´ 12. Mi abuelo naci´ en el siglo XIX y, en o yo tuve la mitad de la edad que tengo ahora. Si 1887, cumpli´ tantos anos como la suma de las o ˜ hace 5 anos nuestras edades sumaban 35 anos. ˜ ˜ cifras del ano de su nacimiento. yo nac´ exacta- ˜ ı ¿Cuantos anos tengo?. ´ ˜ mente 100 anos despu´ s del ano de su nacimien- ˜ e ˜ A) 24 B) 29 C) 26 to. ¿Cuantos anos cumplir´ este ano 1995? ´ ˜ e ˜ D) 28 E) 20 A) 18 anos ˜ B) 26 anos ˜ C) 28 anos ˜ D) 20 anos ˜ E) 29 anos ˜ 05. Tres veces el producto de la edad de Nataly 13. Si dos veces el cuadrado de la edad de Marco, disminuido en uno con su edad aumentado en disminuido en el triple de su edad es igual a la tres es igual a 63. ¿Hallar dicha edad? edad de Jhon y ademas, la edad de Jhon es 30 ´ A) 4 B) 6 C) 7 anos mayor que Marco. Hallar la suma de sus ˜ D) 5 E) 8 edades. 06. Hace 7 anos la edad de un padre era el ˜ A) 28 B) 35 C) 40 triple de la edad de su hijo; pero dentro de D) 30 E) 60 9 anos sera s´ lo el doble. ¿Cual sera la edad ˜ ´ o ´ A) 42 B) 82 C) 52 14. Cuando Tu tengas la edad que yo tengo, ten- ´ del padre dentro de 7 anos? ˜ dras lo que el ten´a, cuando ten´as la tercera ´ ´ ı ı D) 62 E) 72 parte de lo que tienes y Yo ten´a la tercera parte ı 07. Hace 10 anos la edad de un padre era el ˜ de lo que el tiene, que es 5 anos mas de lo que ´ ˜ ´ doble de la de su hijo, pero dentro de 20 anos ˜ tendr´ , cuando tengas lo que ya te dije y el tenga e ´ la relaci´ n de sus edades sera de 4 a 3. Hallar la o ´ lo que tu y Yo tenemos. ´ edad actual del padre. A) 15 anos ˜ B) 25 anos ˜ C) 30 anos ˜ A) 22 B) 18 C) 40 D) 20 anos ˜ E) 18 anos ˜ D) 20 E) 69 08. Yo tengo 10 anos mas que tu; Cuando yo ˜ ´ ´ ´ 15. Hace “n” anos la relaci´ n de las edades de ˜ o ten´a 28 anos menos del doble de la edad que ı ˜ dos personas es de 6 a 5, si la diferencia de los tu tienes, tu ten´as 28 anos menos de la edad ´ ´ ı ˜ cuadrados de sus edades es 111.¿Cual sera la re- ´ ´ que tengo.¿Qu´ edad tengo? e alaci´ n de sus edades dentro de “2n” anos?. o ˜
- 3. 4 7 2 A) 3 B) 8 C) 3 de el”. ¿Qu´ edad tengo? ´ e A) 12 anos ˜ B) 18 anos ˜ C) 25 anos ˜ 8 3 D) 7 E) 7 D) 14 anos ˜ E) 16 anos ˜ 16. En el primer ano bisiesto de la presente ˜ 22. Martin naci´ en el ano 19ab y es 9 anos, may- o ˜ ˜ d´ cada(de los 90) la edad de un padre es ac anos e ˜ or que su esposa, la cual naci´ en 19ba. Si en el o (a > c) y la edad de su hijo es “a” anos. En el ˜ ano 1999 Martin cump´o ba anos,¿cuantos anos ˜ ı ˜ ´ ˜ siguiente ano bisiesto la edad del padre es 5 ve- ˜ cumpl´o Martin en el ano 2006? ı ˜ ces la edad del hijo, la suma de las cifras de la A) 32 anos ˜ B) 58 anos˜ C) 52 anos ˜ edad del padre en el ano 2000 sera. ˜ ´ D) 44 anos ˜ E) 60 anos ˜ A) 4 B) 8 C) 9 D) 11 E) 12 23. La edad actual de Julio y la de Hirma son entre s´ como 9 es a 8. Cuando Hirma tenga ı 17. Eulalia cuenta que cuando cumpli´ anos en o ˜ la edad que tiene ahora Julio, este tendra el ´ ´ 1994, descubri´ que su edad era igual a la suma o doble de la edad que ten´a Hirma hace 18 anos. ı ˜ de las cifras de su nacimiento. ¿Cuantos anos ´ ˜ ¿Cuantos anos ten´a Julio cuando naci´ Hirma? ´ ˜ ı o ten´a en 1990? ı A) 6 B) 4 C) 3 A) 22 B) 18 C) 21 D) 5 E) 10 D) 20 E) 69 24. Fabiola tiene 2 sobrinas: Roc´o y Dilma; si ı 18. Teresa es hija de Rita y Juan es hijo de Tere- actualmente, la edad de Fabiola es 2.5 veces la sa. Cuando Juan naci´ , la edad de Rita era ex- o suma de las edades que tiene Roc´o y Dilma; y, ı actamente el doble de la edad de teresa. Hoy dentro de 5 anos, la edad de Fabiola sera s´ lo 1.5 ˜ ´ o durante la reuni´ n del d´ cimo cumpleanos de o e ˜ veces la suma de las edades que tendran, en ese ´ Juan, Rita dice tener 45 anos y Teresa dice ten- ˜ entonces, sus sobrinas. ¿Cual es la suma de las ´ er 27 anos. si las sumas de las edades de Rita, ˜ edades actuales de las tres? Teresa y Juan es de 90 anos. ¿Cuantos anos ocul- ˜ ´ ˜ A) 33 B) 35 C) 37 ta cada una de las senoras?.Dar la respuesta la ˜ D) 44 E) 39 suma de ellas. A) 5 B) 8 C) 7 25. La edad de un padre es un numero de dos ´ D) 9 E) 10 cifras y la del hijo tiene la misma cifras pero en orden inverso, Ademas la edad de cada uno de ´ 19. Dina le dice a Mariela:“ Cuando tu tengas ´ ´ sus dos nietos es igual a cada uno de las cifras. la edad que yo tengo, tendras lo que el ten´a, ´ ı Si el promedio de las edades del padre e hijo es que es el triple de lo que tienes y yo ten´a los ı 3 33. ¿Cual es el promedio de las 4 edades? ´ de lo que el tiene, que es 10 anos menos de ´ ˜ 5 A) 14 anos ˜ B) 16 anos ˜ C) 17 anos ˜ los que tendr´ cuando tengas lo que ya te dije”. e D) 15 anos ˜ E) 18 anos ˜ ¿Qu´ edad tuvo Dina cuando naci´ Mariela? e o A) 12 anos ˜ B) 16 anos ˜ C) 18 anos ˜ 26. La edad de un abuelo es un numero de dos ´ D) 14 anos ˜ E) 20 anos ˜ cifras y la edad de su hijo tiene los mismos d´gi- ı 20. Isac Newton naci´ en el siglo XV II y mu- o tos pero en orden invertido. Las edades de dos rio en el siglo XV III. se desea saber el ano de ˜ nietos coinciden con cada una de las cifras de su nacimiento sabiendo que: el numero formado ´ la edad del abuelo. Se sabe ademas que la edad ´ por las 2 ultimas cifras del ano de su nacimien- ´ ˜ del hijo es a la edad de nieto mayor como 5 es to aumentado en 12 es el doble del numero for- ´ a 1. Hallar la suma se las cifras de la edad de mado por las dos ultimas cifras del ano de su ´ ˜ la esposa del hijo sabiendo que dicha edad es la muerte y que este ultimo numero aumentado en ´ ´ mitad de la edad del abuelo. 1 es los 2 del primero. Dar la suma del ano de ˜ A) 7 B) 14 C) 10 3 Nacimiento. D) 8 E) 4 A) 9 B) 11 C) 12 27. Salvajito reflexionaba as´: “Si cambiara el ı D) 10 E) 13 calendario de 1994 por el nuevo 1995, en mi ulti- ´ 21. “Yo tengo el doble de tu edad; pero el tiene ´ mo cumpleano, mi edad ser´a igual a la cuar- ˜ ı el triple de la m´a, si dentro de 6 anos tu edad ı ˜ ta parte del numero que forman las dos ulti- ´ ´ sumada a la m´a sera 18 anos menos que la edad ı ´ ˜ mas cifras del ano de mi nacimiento”. Deter- ˜
- 4. mine qu´ edad cumplira salvajito en su pr´ ximo e ´ o 33. Yo tengo la edad que tu tendras cuando yo ´ ´ cumpleano.˜ tenga el triple de la edad que tu tuviste, cuando ´ A) 17 anos ˜ B) 19 anos ˜ C) 20 anos ˜ yo tuve la mitad de la edad que tengo ahora. Si D) 18 anos ˜ E) 21 anos ˜ hace 5 anos nuestras edades sumaban 35 anos. ˜ ˜ ¿Cuantos anos tengo?. ´ ˜ 28. Las edades de Carlos, Roc´o,Ada y Roger ı A) 24 B) 29 C) 26 estan dadas por cuatro numeros enteros. Car- ´ ´ D) 28 E) 20 los es mayor que Roc´o y esta mayor que Ada, ı ´ mientras que Ada es mayor que Roger. La suma 34. Una senora tuvo a los 24 anos 2 mellizos ˜ ˜ de las edades de Roc´o, Ada, Carlos y Roger es 54 ı en el ano en que las edades de los tres jun- ˜ anos. Cuando Roger naci´ Carlos ten´a 12 anos; ˜ o ı ˜ tos sumaban 78, se casa uno de los mellizos y cuando Ada naci´ Rocio ten´a la cuarta parte de o ı tiene su primer descendiente un ano despu´ s. ˜ e la edad que tiene Roger.¿Qu´ edad tiene Walter e Decir cuantos anos ten´a la madre de los mel- ´ ˜ ı si naci´ cuando Roc´o ten´a 5 anos? o ı ı ˜ lizos cuando el hijo del que se cas´ cumpli´ 2 o o A) 8 anos ˜ B) 9 anos ˜ C) 3 anos ˜ anos. ˜ D) 12 anos ˜ E) 10 anos ˜ A) 40 B) 45 C) 46 D) 48 E) 49 29. Jorge tiene 4 anos. La raiz cuadrada del ˜ ano en que naci´ mas su edad actual es igual ˜ o ´ 35. Hace 6 anos yo ten´a la mitad de la ˜ ı a la edad cuando muri´ .¿A que edad muri´ , si o o edad que tendr´ dentro de un numero de e ´ naci´ en el ano 19ab? o ˜ anos,equivalente a la tercera parte de mi edad ˜ A) 48 B) 49 C) 52 actual. ¿dentro de cuantos anos tendr´ el triple ˜ e D) 53 E) 58 de la edad que tengo actualmente? A) 1 B) 18 C) 27 30. Lucio le dice a Hester: “Mi edad hace mu- D) 9 E) 36 chos anos era mayor de 20, pero menor de 30, ˜ y en dicho ano se pod´a calcular de la siguiente ˜ ı 36. La edad que tienes es la edad que yo ten´a,ı manera: sumando los cuadrados de cada una de cuando el ten´a la octava parte de lo que tendr´ , ı e las dos primeras cifras y restandole la suma de ´ y cuando tu tengas lo que yo tengo, el tendra 6 ´ cada uno de los cuadrados de las dos ultimas ´ anos mas de lo que yo tuve. Si lo que tuve es 6 ˜ ´ cifras de aquel ano”. ¿Cuantos anos tiene Lucio ˜ ´ ˜ anos mas de lo que el tiene y 12 anos mas de lo ˜ ´ ˜ ´ actualmente (2004), sabiendo que es la mayor que tuviste. Hallar la suma de las edades que posible?. teniamos, tenemos y tendremos: yo, tu y el. ´ ´ A) 104 B) 98 C) 109 A) 240 B) 450 C) 234 D) 106 E) 96 D) 480 E) 232 37. La suma de las edades de Magaly y Ruth es 5 NIVEL AVANZADO 2 de la edad de Magaly. Hace 2 anos la edad de ˜ 31. Las edades de Luis y Arturo estan en la ´ Ruth era la misma que tendra Magaly dentro de ´ relaci´ n de 7 a 5 respectivamente, dentro de “m” o 8 anos. Hallar la suma de las edaddes. ˜ A) 40 B) 50 C) 46 anos estaran en la realci´ n de 7 a 6 y hace “n” ˜ ´ o D) 48 E) 49 anos estaban en la relaci´ n de 8 a 5. Calcule ˜ o “m − n”, Si se sabe que la edad que tendra Luis ´ 38. Hace algun tiempo tu edad y la de el esta- ´ ´ dentro de “m” anos excede a la edad que ten´a ˜ ı ban en relaci´ n de 5 a 2, mientras que mi edad o Arturo hace “n” anos en 64. ˜ y la tuya estaban en relaci´ n de 2 a 3. Cuando o ´ A) 28 B) 29 C) 30 tu tengas 54 anos, mi edad y la de el estaran en ´ ˜ ´ ´ D) 31 E) 32 relaci´ n de 11 a 9. Si actualmente mi edad y la o tuya son entre s´ como 3 es a 4.¿Cual es la edad ı ´ 32. El senor Eduardo tuvo un hijo alos 32 anos; y ˜ ˜ un nieto, 18 anos mas tarde. Actualmente, el ni- ˜ ´ de el?. Rpta=22anos ´ ˜ eto tiene 22 anos; el abuelo afirma tener 60 anos ˜ ˜ 39. Yo tengo el triple de tu edad y el tiene ; y el hijo, 38. Halle el producto de los anos que ˜ el cuadruplo de la m´a. Si dentro de 10 anos, ´ ı ˜ ocultan ambos. el tendra 32 anos mas que la edad que tienes ´ ´ ´ A) 26 B) 24 C) 22 tu. Hallar el producto de nuestras edades ´ D) 20 E) 18 Rpta=288anos˜