ALGEBRA 2º

PRESENTACIÓN

El COLEGIO DE CIENCIAS APLICADAS “VÍCTOR VALENZUELA
GUARDIA” pone a disposición de nuestros alumnos el presente Módulo Teórico-
Práctico, del curso de Álgebra correspondiente al área de Ciencias, el cual permitirá a
nuestros estudiantes la aprehensión de la asignatura con la visión de sostenerla y
aplicarla en la realidad multidisciplinaria en que hoy se desarrolla la educación del
país.

Queremos manifestar el agradecimiento respectivo a la totalidad de nuestra Plana
Docente, la cual en largas sesiones de trabajo, elaboración y coordinación han podido
lograr la realización de este Módulo, y extender el agradecimiento a todas las
personas que han aportado para que dicho material sea el más óptimo posible.

Estas últimas líneas son para agradecer y felicitar a ustedes por confiarnos su
preparación, y en este binomio que hemos conformado, sabemos por anticipado que la
calidad en servicios educativos, está asegurada.

La Dirección

4to Año Razonamiento Matemático 2

ALGEBRA

I Bimestre

POTENCIAS Y RADICALES EN  an
4.- a n am an m

am
5.- am .an am n

POTENCIACIÓN
Y En radicación n 2 , n 
RADICACIÓN 1
n
Son
a a n . Propiedades:
n
m
OPERACIONES INVERSAS 1.- an am
m m
Que consisten en 2.- a n .b p .c q .... a n .m b p .m c q .......
a n m .b p m .c q m .....

Dados dos números base Dados dos números 3.- m a m
a a1 m
a b m

y exponente, determinar radicando e índice, b m
b b1 m
un tercer número llamado determinar un tercer 1
potencia número llamado raíz m n p m.n. p ....u
4.- .....u a a a ( m.n. p....u )
Eejmplos:

an b n
b a 1. 3 4
x 24
x
Potenciación y Radicación

2. 4 3
10 3 4
10 12
10

3. Reducir: M 2 3 4 5
x120
En potenciación n 1 , n  .se tiene: Solución:
Propiedades: 2 3 4 5 2.3.4.5
M x120 x120
1.- Dados a , n  , se tiene: a 0
1 120
x 2.3.4.5 x. M x
2.- Dados a , n  ,a 0 , se tiene: 2. 2
4.- Calcular: M 2. 2. 2
1
a n .a n
a n .a n 1 a n
3.- Solución
an La expresión dada es:
z ..... f
y 2. 2 4
x
a a x. y . z ..... f M 2. 2. 2 2. 2. 2
2
2. 2. 2 2. 2.2
4.2 2.2 4
n
M 4
3.- a p .b q .......x m a p .n .b q .n ......x m.n

4to Año Razonamiento Matemático 2

COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”
TAREA DE CLASE
1. Simplificar:
7
3 . 38 . 315
8. Si: 6
8 n
2n
319 . 3 14

Hallar: n 1

Rpta. Rpta.

3
2. Si n 10 5
n4 n p
9. Simplificar:
Hallar P 1
K 6 3 3 3........

10. Indicar el exponente final del número 2
Rpta.
23 . 4 2 2
24

Rpta.
3. Reducir
3 3 323
10
5 2 5
4 10
4
11. Reducir:
3 . 22n 1 2 . 32n 2
n Q
Rpta. 6 22n 32n 1

4. Reducir Rpta.
1 n 2n 3 1
x .x .x
x2 5n
.x 3
. x 1 2n

5. Reducir: 12. Simplificar:
214 4 5 6
5
1
1
210 82 3 5 10 . 7

0
1 2 3 4 5 6 7
Rpta.
13. Hallar el valor de “M + 3”, si:
M 7 7 7........

6. Reducir:
16
Rpta.
2 2 2

Rpta. 14. Indicar el valor de “K” si:
K 20 5 5 5.....

8 8 8....
7. Luego de reducir:
n
2 n 3n
2n

Rpta.
3


Aprendiendo a resolver…..resolviendo
9. Luego de reducir el radical, indicar el
1. Simplificar: valor de M + 2:
5 8 . 5 9 . 516
64
520 . 5 15 M
64
a) 5
10
b) 5
15
c) 5
12
64
d) 513 e) 515 
2. Si: 
2
K 35 5
K5K Q
, hallar Q + 3 a) 2 b) 4 c) 6
d) 8 e) 10
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7 10. Reducir:

3. Efectuar:
4 4 525 5 . 32K 1 3 . 52K 2

12 6 2 6
9 12
9 15 32K 52K 1
a) 5 b) 6 c) 7 a) 1 b) 2 c) 1/2
d) 8 e) 11 d) 1/3 e) 15
4. Reducir:
a 1 2x . a 4 x 3 . a 1
a 1 4 x . a . a 1 2x EXPRESIONES ALGEBRAICAS
–1 -2 -5
a) A b) A c) A
d) A-6 e) A-7 EXPRESIÓN ALGEBRAICA
5. Reducir:
es un
217 46 CONJUNTO DE TÉRMINOS
213 44 QUE REPRESENTA UNA
CANTIDAD
a) 12 b) 14 c) 16
d) 18 e) 20 CONSTITUIDA
POR
6. Reducir:
8

3 3 3
VARIABLES CONSTANTES

a) 9 b) 1 c) 27 representada por dadas por
d) 3 1
e)
3 LETRAS
NÚMEROS

7. Simplificar:

Q 4 5 5 5..... OPERACIONES
MATEMÁTICAS
ELEMENTALES
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5

8. Indicar el exponente final del número 3. en TÉRMINO ALGEBRAICO (Monomio)
34 4 3 3
35 Definición.- Es la mínima parte de una expresión
algebraica, en el no existen operaciones de
adición o sustracción.
a) 21/16 b) 31/15 c) 31/17
d) 11/16 e) 31/16

4

3 2 1 3
3 xy 2 3x x ;3 x
3; 3 x x 5; 28; x 2 4x 1
Ejem: 5 x 2 y; 7x 2
y6 ;
z Solución
Todo termino algebraico presenta tres partes, las Son expresiones algebraicas:
cuales son: Exponentes 3x 2 x 1
; 3x 3
x 5; 28

2.- Si los términos : 4 x a 3
yb 1
x5 a
y 2b
5 3 7
7x y Son semejantes; calcular a.b
Variables Solución
Coeficiente Podemos plantear:
TÉRMINOS SEMEJANTE 4 xa 3
yb 1
 x5 a
y 2b
Definición.- Son aquellos términos que presentan a 3 5 a 2a 8 a 4
las mismas variables e iguales exponentes Donde: b 1 2b b 1 b 1
respecto a la Variable común. a.b 4

Ejem: 7 xy 5 4 xy 5 son semejantes
GRADO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES
GRADO DE UNA EXPRESIÓN
ALGEBRAICAS ALGEBRAICA

A.- Según su Naturaleza
1.- Expresión Algebraica Racional. es un
EXPONENTE QUE CARACTERIZA A
Es aquella expresión en donde los LA EXPRESION ALGEBRAICA
exponentes de las variables son números enteros.
Estas a su vez se dividen en:
RELATIVO ABSOLUTO
1.A Expresión Algebraica Racional Entera SI SE REFIERE A UNA SI SE REFIERE A
SOLA VARIABLE TODAS LAS VARIABLE
Ejem: 7 xy 4 4 x2 y 4x 2y 1

2.A Expresión Algebraica Racional Fraccionaria
Ejem: 7 xy 2 2
5 xy 1
x SÓLO UN TODA LA
TÉRMINO EXPRESIÓN
2.- Expresión Algebraica Irracional
Es aquella expresión en donde existe al menos
una variable afectada de algún signo radical o VALOR NUMÉRICO DE EXPRESIONES
exponente fraccionario. ALGEBRAICAS

5x2 y
Definición.- Es aquel valor que se obtiene al
Ejem: 2 xy x 3
2x 1 4
y 3xy 4
3x1 5 2 reemplazar las variables por constantes o

B.- SEGÚN EL NÚMERO DE TÉRMINOS variables y efectuar dichas operaciones.

Monomio……………….1 término Ejem: Sea P( x) 5x 3 . Hallar:

Binomio…………………2 términos P(0); P(1); P( x 3)

Trinomio…………………3 términos Solución
……………………………………. si :
x 0 P (0) 5(0) 3 3
Polinomio………………más de 3 términos
x 1 P (1) 5(1) 3 8
EXPRESION ALGEBRAICA TRASCENDENTE x x 3 P( x 3) 5( x 3) 3 5x 18
y
Ejem: 2 xy 5 x 5x 3
VALORES NUMERICOS NOTABLES
2 x senx cos 2 x
Si P( x) es un polinomio, se cumple:
Ejercicios resueltos
P(0) = término independiente
1.- ¿Cuántas de las expresiones son algebraicas?
5

P(1) = suma de coeficientes

Ejem: Si P( x 3) 5x 16 P( x, y ) 9x4 y x3 y 2 4x2 10 xy y2

Calcular: T. Independiente y suma de coeficientes Propiedad

Solucion En todo polinomio completo y de una sola variable,

Se pide P(0) + P(1) el número de términos es equivalente al grado
aumentado en uno.
P(0) : i) x 3 0 x -3 . Reemplazando
Es decir: número de términos = Grado + 1
en:
4.- Polinomios Idénticos.- Dos polinomios de las
P( 3 3) 5( 3) 16 1
mismas variables son idénticos si tienen el mismo
P(0) 1
valor numérico para cualquier valor o valores
P(1) : i) x 3 1 x -2 . Reemplazando en: asignados a sus variables.
P( 2 3) 5( 2) 16 6 Ejemplos: P( x) (x 2) 2 Q( x) x2 2x 8
P(1) 6
P( x, y) x3 y3 Q( x, y) x y x2 xy y2
FORMA GENERAL DE UN POLINOMIO DE
5.- Polinomio Idénticamente Nulo.- Son aquellas
VARIABLE X
expresiones que son equivalentes a cero. Estando
P( x) a0 x n a1 x n 1
a2 x n 2
................... an 1 x an
reducidas se cumple que cada coeficiente es igual

Donde: a cero. Notación: P( x) 0
n  ; n grado del polinomio
TAREA DE CLASE
a0 , a1 , a2 ,.........., an 1 , an : son los coeficientes
tales que:
1. Si P(x+1) = 3x – 2
a0 0 : Coeficiente Principal (C.P) Calcular: P(2)

an : Término Independiente (T.I)
Rpta.
POLINOMIOS ESPECIALES
1.- Polinomio Homogéneo.- Es aquel polinomio
que tiene todos sus términos el mismo grado.
2. Si P(x) = 2x – 2x – 1
Ejem: P( x, y ) x3 3x 2 y 4 xy 2 y3 Calcular
2.- Polinomio Ordenado.- Es aquel polinomio que P(1) + P(2) + P(3)
esta ordenado con respecto a una variable
llamada ordenatriz, donde los exponentes de la Rpta.
mencionada variable van aumentando o
disminuyendo.
Ejemplos: 3. Calcular (a – b) si el monomio:
2a + b a + 2b
M(x;y) = 5x y
P( x, y ) 9 x5 y 2 x3 y 3 4x2 y 2 3y4
Tiene G.A. = 15 y G.R(x) = 8
4 3 2 2 3 4
P( x, y ) 9x 2x y 4x y xy y

Q( x ) 5 x17 2 x12 x6 x 1 Rpta.
3.- Polinomio Completo.- Es aquel polinomio en el
que el grado de todos sus términos van desde un
máximo valor hasta el de exponente cero (término 4. Determinar “m”, si el siguiente polinomio
es homogéneo
independiente)
P(x;y) = 3xm + 1 . yn + 3 + 2xa . yb +
Ejem: P( x) 9 x5 2x4 4 x3 3x 2 x 5 2m x+2
+x .y
6

11. Sea P(x) = 4x + 1
Rpta. P1 P 2
Hallar E
P 3 P 0

5. Sea Rpta.
90 88 2
P(x) = 3x – 27x +3x – 4x
Halar P(3)

12. Sea P(x – 5) = 5x + 5
Rpta P 1 P 0
6. Sea: R(x) = 4x + 3 Hallar
N(x) = 2x – 5 P 1 P 2

Hallar R(N(3))
Rpta

Rpta.

7. Sea F(3x – 1) = 2x + 3 1. Si P(x – 1) = 5x – 3
P(x) = 4x – 1 Hallar P(3)
Hallar P(F(2))
a) 16 b) 17 c) 18
d) 20 e) 4
Rpta.

2. Si P(x) = 3x + 1 + 3x – 2
8. El siguiente es un polinomio 1 2
ordenado y completo de grado Calcular P 0 P1 P2
3 9
3:
P(x) = xa – b + 4xa – 7xb + 5
Hallar a2 + b2 111 101 112
a) b) c)
9 9 9
113 114
Rpta. d) e)
9 9

3. Calcular (a – b), si el monomio
M(x;y) = 8x3a + b . ya + 3b
9. Sabiendo que:
x 1 2
Tiene G.A = 16 y = G.R(x) = 10
A(x) = y B(x) = x +
2
x–1
a) –1 b) –2 c) –3
Halar el valor de A(B(2)) d) –4 e) –5
4. Sea:
a–8 6 a–11 5 a–13 20
P(x;y) = 3x y + 4x . y + 7x . y
Rpta.
2 Cuyo G.R.(x) = 7, hallar el G.A.
10. Si P(x + 1) = x .
Hallar: P(P(P(2)))
a) –1 b) –2 c) –3
d) –4 e) –5
Rpta.

5. Sea

7

100 99 2
P(x) = 5x – 25x + 6x – 3x PRODUCTOS NOTABLES

Hallar P(5)
PRODUCTOS
NOTABLES
a) 125 b) 115 c) 135
d) 145 e) 160
son
RESULTADOS DE DETERMINADAS
MULTIPLICACIONES, OBTENIDOS
6. Sea R(x) = 3x + 4 SIN EFECTUAR LA OPERACIÓN
N(x) = 5x – 1
Por ejemplo
Hallar R(N(2))

BINOMIO SUMA
2
a) 30 b) 31 c) 32 AL CUADRADO a b a 2 2ab b2
d) 33 e) 34

BINOMIO DIFERENCIA 2
a b a 2 2ab b2
AL CUADRADO
7. Sabiendo que:
x 1 2
A(x) = y B(x) = x – x + 1 BINOMIO SUMA
3 AL CUBO 3
a b a3 3a 2b 3ab2 b3
Hallar el valor de B(A(2))

BINOMIO DIFERENCIA 3
AL CUBO
a b a3 3a 2b 3ab2 b3
1 3 5
a) b) c)
9 9 9
7 11
d) e)
9 9
8. Sea: P(x - 4) = 4x – 4 Definición.- Se denominan así a todas aquellas
P 2 P 0 multiplicaciones o potenciaciones cuyos
Hallar
5
P 1 P resultados:
4
Productos o potencias, tienen una frecuencia que
las hace reconocibles en una inspección.
a) 0 b) –1 c) 2
d) 3 e) 5 Algunos resultados mas:
1.- DIFERENCIA DE CUADRADOS
a b a b a2 b2
a m bn a m bn a 2m b2n
9. Si: P(x) = 3x + 2
Hallar P(P(–2)) 2.- TRINOMIO AL CUADRADO
2
a b c a2 b2 c2 2 ab ac bc
a) –8 b) –6 c) –7 2
d) –110 e) –2 a b c a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc
2 2 2 2
10. Sea: M(x) = x+ 7 a b c a b c 2ab 2ac 2bc
N(M(x)) = 3x + 2 a b c
2
a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc
Hallar N(7)
3.- SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS
3
a b a3 3a 2b 3ab 2 b3
a) 1 b) 2 c) 3 3
d) 5 e) 1 a b a3 3a 2b 3ab 2 b3

8

TAREA DE CLASE Rpta.
1. Simplificar:
3x 1 2 3 x 1 2
3x 2 1
8. Efectuar:
2 2
2 3 1 3 1 22 3 1 3 1
Rpta.

9. Si se cumple que:
x 2y
2. Si se cumple que: a2 +b2 = 3ab. Reducir: 2
2y x
a b2 a b2
a b2 a b2 8
x
Calcular
y
Rpta.

Rpta.
10. Si (x + y + 1) (x + y – 1) = 1
3. Reducir: Calcular: (x + y)
2

8
2 5 3 52 32 54 34 38

Rpta. Rpta.

4. Efectuar:
11. Reducir:
4
3 1 3 1 4
3 1
m 2 m 2 9
N
m2 5
Rpta.
Rpta.

5. Siendo: 1
1
X 2 3 2 3 12. Si: x 5 ; hallar x 3
x x3
Hallar x2
Rpta.

Rpta. 13. Si: m + n = 2; m . n = 1
Hallar m3 + n3
6. Reducir “M”:
x 2a 2 2x a 2
M
x a x a 2a 2 Rpta.

14. Si: n2 = n + 1
Rpta. Hallar

P 8
n n2 1 n4 1 n8 1 1

7. Efectuar:
Rpta.
3 2 3 2
3 2 3 2

9


Aprendiendo a resolver…..resolviendo 7. Efectuar:
5 3 5 3
1. Simplificar: M
5 3 5 3
5x 1 2 5 x 12
N
5x 2 1
a) 2 b) 4 c) 5
d) 6 e) 8
a) 2 b) 4 c) 6
d) 7 e) 8 8. Efectuar:
2 2 2
Q 3 5 1 5 2 1 2 5

a) 33 b) 44 c) 55
d) 66 e) 77
2. Si se cumple que: x 2 + y2 + 4xy
Reducir:
9. Si se cumple que:
x y 2
x y 2
R a 3b
x y 2
x y 2
2
3b a
3
a
Calcular:
a) 0,2 b) 0,3 c) 0,4 b
d) 0,5 e) 0,6

a) 7 b) 17 c) 27
d) 37 e) 47
3. Reducir: 10. Si (x – y + 2)(x – y + 2) = 4
N 8 3.11 . 7 2
4 7 2 4
4 4
48 Calcular (x – y)2

a) 7 b) 8 c) 9
d) 10 e) 4 a) 16 b) 12 c) 10
d) 8 e) 6

4. Efectuar:
Q 85 1 5 1 8
5 1 4
5 1

a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
5. Siendo:
x 3 5 3 5

Hallar x2

a) 12 b) 11 c) 10
d) 9 e) 8

6. Reducir:
x 3a 2 3x a 2
Z
x a x a 2a 2

a) 5 b) 10 c) 15
d) 20 e) 25

10


ALGEBRA

II Bimestre
DIVISIÓN ALGEBRAICA

Definición.- Operación que se realiza entre completado, con signo contrario salvo el
polinomios que consiste en hallar dos primero.
polinomios llamados COCIENTE y RESIDUO, 3. Coeficientes del cociente que se obtienen de
conociendo otros dos polinomios denominados dividir la suma de los elementos de cada
DIVIDENDO y DIVISOR que se encuentra columna entre el primer coeficiente del divisor.
ligados por la relación: Cada coeficiente del cociente se multiplica por
los demás coeficientes del divisor para colocar
dichos resultados a partir de la siguiente
. D(x) = d(x) Q(x) + R(x) .
columna en forma horizontal.
Donde:
D(x) : Dividendo 4.- Coeficientes del residuo que se obtienen de
d(x) : Divisor sumar
Q(x) : Cociente la columnas finales una vez obtenidos todos los
R(x) : Residuo o Resto coeficientes.

Propiedades de la División
Gdo. (D(x)) Gdo. (d(x)) Gdo.
(Q(x)) = Gdo. (D(x)) – Gdo. (d(x))

Gdo. (R(x)) < Gdo. (d(x))

Además: Máximo Gdo. (R(x)) =
Gdo. (d(x)) – 1

PRINCIPALES MÉTODOS DE DIVISIÓN

MÉTODO DE WILLIAM G. HORNER
Pasos a seguir:
1. Coeficiente del dividendo ordenado OBSERVACIÓN:

decrecientemente en una variable completo o LA LÍNEA DIVISORIA SE COLOCARÁ SEPARANDO
TANTOS TÉRMINOS DE LA PARTE FINAL DEL
completado. DIVIDENDO COMO GRADO DEL DIVISOR:
2.- Coeficiente del divisor ordenado
decrecientemente en una variable, completo o
11

OBSERVACIÓN:
MÉTODO DE PAOLO RUFFINI DESPUÉS DE REALIZAR EL REEMPLAZO, DEBE
Pasos a seguir: COMPROBARSE QUE EL GRADO DEL POLINOMIO

OBTENIDO SEA MAYOR QUE EL GRADO DEL DIVISOR.
1.-Coeficientes del dividendo ordenado
decrecientemente, completo o completado,
con
respecto a una variable. TAREA DE CLASE
2.- Valor que se obtiene para la variable
cuando el 1. Indicar el residuo de la siguiente división
2x 7 4x 6 2x 3
divisor se iguala a cero x 2
3.-Coeficientes del cociente que se obtienen de
sumar cada columna, luego que el coeficiente Rpta.
anterior se ha multiplicado por (2), y colocado
en 2. Efectuar la siguiente división
Indicar el residuo
la siguiente columna.
4.- Resto de la división que se obtiene de sumar 6x 3 5x 2 4x 4
x 1
la
última columna

Rpta.
3. Indicar el término independiente del resto
de la siguiente división
6x 3 x 2 2x 6
3x 2 2x 1

Rpta.
OBSERVACIÓN: 4. Indicar la suma de coeficientes del
cociente luego de efectuar:
SI EL COEFICIENTE PRINCIPAL DEL DIVISOR ES 2x 4 x3 3x2 20x 10
DIFERENTE DE LA UNIDAD, EL COCIENTE 2x2 3x 1

OBTENIDO SE DEBERÁ DIVIDIR ENTRE ESTE 5. Calcular “n”, si el resto de la división es – 15
VALOR. 2x 3 nx 2 4x n
2x n

TEOREMA DEL RESTO

Se utiliza para obtener el resto de una división. Rpta.
Consiste en igualar a cero al divisor y despejar 6. Al dividir x4 – 2x2 – 6 entre
la mayor potencia de la variable, para que sea x + 3, el residuo es:
reemplazada en el dividendo.

Rpta.

12

7. Hallar el cociente en: Rpta.
x 5
6x 2x
4 3
x 1
x 3 3x 2 1

15. Hallar el cociente aplicando Horner
Rpta. 6x5 + 2x4 – 23x3 + 11x2 + 12x – 3 entre 3x3 – 5x2
+3

8. Cual es el valor que deberá tener “K” para que Aprendiendo a resolver…..resolviendo
al dividir 4x 5 – 2x3 + K – 2 entre x – 2, el
residuo sea cero
1. Indicar el residuo en la siguiente división:
9. El cociente de la siguiente división: 2x 3 x2 3
x3 + 3x2 – x – 3 entre x2 + 2x – 3 es: x 1

a) 1 b) –1 c) 0
Rpta. d) 2 e) –2

2. Efectuar la siguiente división:
6x 2 x 2
10. Hallar el residuo en 2x 1
2x 4 5x 3 3x 6
E indicar el cociente
x 2
a) x+1 b) 3x–2 c) 3x+2
d) 2x+3 e) 2x–3
Rpta.
3. Indicar el término independiente del resto
en la siguiente división
6x 2 9x 27
11. Hallar el cociente en: 3x 9
38x 4 65x 3 27
2x 2 5x 3 a) 1 b) 2 c) –2
d) 3 e) 0

4. Calcular la suma de coeficientes del cociente,
después de efectuar.
Rpta.
x2 15x 56
12. Hallar el coeficiente del término
cuadrático en: x 8
2x 4 x 3 7x 3 a) 5 b) –5 c) 6
2x 3 d) –6 e) 7
5. Calcular “n” si el resto de la división es cero
13. Hallar el cociente aplicando Horner 2x 3 11x 2 18x n
x 5 27x x 4 7x 2 10 x 4
x2 x 5
a) 12 b) 36 c) 42
d) 6 e) 24
Rpta.
6. Al dividir:
x 6 7x 3 12
x3 3
14. Hallar el cociente aplicando Ruffini
4 3
x – 3x + 5x – 8 entre x + 2 El residuo es:

a) x3–4 b) X3+4 c) x2–5

13

d) x2–3 e) 2x3+1 14. Dividir e indicar la suma de coeficientes
del residuo
7. Hallar el cociente en:
x3 10 x2 14 x 9 11x 3 3x 5 46x 2 32
x 2 4x 3 8 3x 2 6x

a) x+1 b) x–1 c) x+6 a) 1 b) 5 c) 0
d) x–6 e) x+7 d) 4 e) 6
8. Dividir usando Horner 15. Efectuar la división
5y 5 9 y 4 3y 6 10 y 3 3y 4 8y 2
e
3y 3 2 y 2 5 y 4
indicar la suma de coeficientes del x 4 2x 2 6
cociente x 3
a) 0 b) 1 c) –1 e indicar el resto
d) 2 e) 3
9. Dividir usando Ruffini a) 69 b) 62 c) 59
2x3 – 11x2 + 18x – 24 entre d) 57 e) 54
x- 4
16. Al efectuar la división
e indicar el término
x 5 2x 4 x 2 3
independiente del cociente
x 2 2x 1
a) 1 b) 3 c) 6
d) 9 e) –3 Indicar la suma de coeficientes del
10. Dividir usando Horner residuo
31x 2 x 6 8x 5x 5 21 a) 3 b) 4 c) 5
x 3 7 2x d) 6 e) 7
e indicar el coeficiente del 17. Efectuar la división e indicar el
término cúbico término independiente del
a) 0 b) 1 c) –1 residuo
d) 2 e) –2 2x 4 x 3 4x 2 x 5 1
11. Dividir e indicar la suma de coeficientes 2x 2 x 1
del residuo Indicar el término
independiente del resto
11x 3
3x 5
46x 2
32
8 3x 2 6x
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
a) 1 b) 5 c) 0
d) 4 e) 6
18. Utilizando el Método de Horner,
12. Efectuar la división efectuar la división
6x 5 7x 4 18x 3 10x 2 7x 9
x 4 2x 2 6
3x 3
x2
2
x 3 Indicar el coeficiente del
e indicar el resto término lineal del cociente

a) 69 b) 62 c) 59
d) 57 e) 54 a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
13. Al efectuar la división
19. Aplicando el Método de Horner,
x 5 2x 4 x 2 3 efectuar la división e indicar
x 2 2x 1 coeficiente del el término
cúbico del cociente
Indicar la suma de coeficientes del 5x 4 2x 4 5x 3 6x 2 6x 1
residuo 4x 2 2x 1

a) 3 b) 4 c) 5 a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
d) 6 e) 7

14


COCIENTES NOTABLES CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE
PARA OBTENER UN C.N.
Definición.- Son aquellos cocientes que se
xm yn m n
pueden obtener en forma directa sin necesidad De: se debe cumplir: r;r Z+
xp yq p q
de efectuar la operación de división.
FORMULA DEL TÉRMINO GENERAL DE UN
xm ym
Condiciones que debe cumplir: C.N.
x y
Es una fórmula que nos permite encontrar un
Donde
término cualquiera en el desarrollo de los C.N.,
x; a bases iguales sin necesidad de conocer los demás.

m Z +; m 2 xn yn
De la división:
x y
CASOS
a) Si d(x) = x – y: . tk = xn–kyk–1 .
xm yn
1. Si: R = 0 q x cociente
x y

entero o exacto (C.N.) b) Si d(x) = x+y: . tk = (–1)k–1xn–kyk–1 .
xm yn R x Donde:
2. Si: R = 0 q x
x y x y
tk término del lugar k
cociente completo
x 1er. término del divisor.

También según la combinación de signos se y 2do. término del divisor.
puede analizar 4 casos.
n número de términos de q(x)
DEDUCCIÓN DE LOS COCIENTES
Ejemplos:
DIVISIÓN COCIENTES n Z+
x5 y5
x4 x 3y x 2y 2 xy 3 y 4 (C.N.)
INDICADA
x y

xn yn
=xn-1+xn-2y+xn-3y2+...+yn-1+; n (C.N.) x4 y4 2y 4
x y x3 x 2y xy 2 y3
x y x y
2y n (Cociente Completo)
xn yn =xn-1+xn-2y+xn-3y2+...+yn-1+ ; n
x y
x y x 12 y 12
(cociente completo) x6 x 6y 3 x 3y 6 y8 (C.N.)
x3 y3
xn 1
x n 2y x n 3y 2 ... y n 1 ; n impar C.N.
xn yn TAREA DE CLASE
2y n
x y xn x n 2y x n 3y 2 ... y n ; n par cociente completo
1 1

x y
1. Efectuar
x 5 32
y hallar la suma de coeficientes
xn 1
x n 2y x n 3y 2 ...ny n 1; n par C.N. x 2
xn yn
2y n del resultado
x y xn 1
x n 2y x n 3y 2 ... y n 1

x y
; n impar cociente completo

Rpta.

15

9. Hallar el valor de “P” para que:
xP 4 y6
2. Calcular el tercer término de: , sea C.N
x4 yP 4
84x 4 1
3x 1
Rpta.

Rpta.
10. Efectuar:
x 6 64y 6
e indicar el cuarto término
x 2y
3. Calcular el segundo término de
125x 3 27 Rpta.
5x 3

Rpta. 11. Cual es el tercer término en el cociente
4. Desarrollar x 10 32y 5
x 23 8
x 2 2y
E
x 12. Hallar el número de términos del
siguiente cociente notable:
5. Desarrollar
x 63 . y n
x 3 4 16
N xn . y7
x 1

Rpta. Rpta.

6. Si: 13. Efectuar:
xm 1 ym 1 x 3 64
, es C.. Hallar “m” x 4
x3 y2
Y dar la suma de los coeficientes del
cociente.
Rpta.

Rpta.

7. Hallar el término de lugar 34 en
x 48 y 48
14. Hallar el cuarto término de:
x y
x7 y7
x y
Rpta
8. Hallar el valor de “n” para que: Rpta.
xn 5 yn 2
sea Cociente Notable
x3 y2

15. Hallar el tercer término de:
Rpta.
x 4 4 16
x 2

16


Aprendiendo a resolver…..resolviendo a) 5 b) 6 c) 8
d) 9 e) 7
1. El número de términos que tendrá el
siguiente cociente notable:
m 4 a 12 n 4 a 3
; es:
ma 8 n a 9 6. Hallar el tercer término de:
x 155 y 93
x5 y3
a) 10 b) 12 c) 25
d) 15 e) 18

a) x6y140 b) x40y6 c) x140y6
140 8 140 10
d) x y e) x y

2. Efectuar: 7. Hallar el término central de:
64x 6
y 6
x 100 y 100
2x y x4 y4

y dar la suma de los coeficientes del
cociente a) x48y46 b) x46y48 c) x48y48
d) x6y48 e) x24y24

a) 13 b) 21 c) 31 8. Al efectuar la división:
d) 41 e) 51 x 2 20 1
x 3
El término independiente del cociente es:

3. Hallar el tercer término de:
81x 4 1 a) 10 b) 2 c) 1
3x 1 d) 4 e) 5
9. En el cociente notable:
2 4
xn ym
a) 2x b) 3x c) 3x
x3 y4
d) x4 e) 4x4
Se sabe que el desarrollo tiene 14 términos. El
4. hallar el cuarto término de: valor de (m + n) es:
x 5 5
32
x 3
a) 56 b) 42 c) 84
d) 89 e) 98

a) 8x – 40 b) 8x + 40
c) 8x – 20 d) 8x + 50
e) 8x – 30 10. Hallar el lugar que ocupa el término de grado
absoluto igual a 101 en el desarrollo de:
x 180 z 80
x9 z4

5. Hallar el valor de “P” para que:
a) 11 b) 13 c) 15
x p 5 a 11 d) 17 e) 19
x ap 5

Sea cociente notable
17

El menor exponente de x es 2 el factor
2
común es 3x
FACTORIZACIÓN
Luego
3x2 (2x – 5)
Definición.- Proceso inverso de la multiplicación
por medio del cual una expresión algebraica
3. Factorizar:
racional entera es presentada como el productos 3x2y + 6xy2 – 3x2y2
de dos o más factores algebraicos.

Factor Divisor: Un polinomio no constante es
factor de otro cuando lo divide exactamente, 2. Factor Común Polinomio
El factor común es un polinomio.
por lo cual también es llamado divisor.

Factor Primo Racional: Llamamos así a aquel Método de Agrupación
polinomio que no se puede descomponer en Se usa este método cuando el polinomio posee un
otros factores. Racionales dentro del mismo factor común de 2 a mas términos por lo general
campo. se encuentran luego de agrupar.
Ejemplo: Ejemplos:

El proceso
1. ax + bx + ay + by
2
(x + a) (x + b) = x + (a + b) x + ab

es una multiplicación. agrupando

En cambio el proceso
x(a+b) + y(a+b)
2
x + (a + b)x + ab = (a + b) (x +b)

es una factorización factor común

Donde:
Factorizando:
(x + a), (x + b), son factores primos. (a+b)(x+y)

MÉTODO DE FACTORIZACIÓN
2. 6ax + 3a + 1 + 2x
Factor Común Monomio
3a(2x + 1) + 1 + 2x
1. Común Monomio
Se determina el MCD de los coeficientes y se
toma la variable común con el menor Factor
exponente. común

Ejemplos: Factorizando:
1. Factorizar: (2x + 1)(3a + 1)

3 2
2. Factorizar 6x – 15x 2 2 2 2
3) xy + xz + yz + xy
Hallamos el M.C.D. de 6 y 15 es 3

18

2 2 2 2 2
xy + yz + xz + x y = y(xy + z ) + TAREA DE CLASE
2
x(z + xy)
= (xy + z2)(y + x) 1. Factorizar:
7x + 7y

Método de las Identidades
Rpta.
a) Trinomio Cuadrado Perfecto

2 2 2
a + 2ab +b = (a + b) 2. El factor común de x 2 – x2y es:
2 2 2
a - 2ab +b = (a - b)
Rpta.
Ejemplo:

1. Factorizar
3. Factorizar
16x2 + 40x + 25 24x3 – 16x2 + 8x

Raíz 4x 2(4x)(5) 5 = Rpta.
2
(4x + 5) 4. Factorizar:
18x3 + 6x2y + 4xy2 – 10xy

Rpta.
Doble producto Si es T.C.P.

b) Diferencia de Cuadrados
5. Al factorizar
16z3 + 20z2 + 4z4 + 12z5, se obtiene
a2 – b2 = (a + b)(a -b) 6. Factorizar:
Ejemplo: 1 1
x
5 5

1. Factorizar
Rpta.
4 2
x - 4b

2 4 2 2 2
Raíz x 2b x – 4b = (x + 2b)(x – 2b) 7. Factorizar:
–a – b + 2(a + b)

Método del Aspa Simple
Rpta.

Se utiliza para factorizar polinomios de la forma:

8. Si: x – y = 5 y m = 4. Hallar mx + my
2
ax + bx + c
Rpta.

19

Uno de los factores primos es:
9. Factorizar cada una de las expresiones:
a. 8x2 – 16x = ______________
a) x+2 b) x–c c) x–2
b. x3 + 3x2 – 5x =____________ d) c–x e) 2–x
c. m5 + x4 – m3 = ____________
d. 6y4 + y3 – 12y2 = __________ 3. Hallar la suma de los términos
2 3
e. 3x – 6x + 9x =___________ independientes de los factores primos
f. 4x y – 2x + 6x3y2 = _______
4 5 de:
2yz + 7y – 2z – 7

10. Factorizar cada uno de los polinomios:
a. 2(a+b)+x(a+b) = __________ a) 7 b) 8 c) 5
b. x2(a–1)–y2(a–1) = _________ d) 6 e) 1
c. 3b(2x+3)+2x+3 = ________ 4. ¿Cuántos factores primos tiene:
d. (a+b)x–(a+b)7–a–b = _____ mx – m – x + 1
e. x2+y2–5y(x2+y2) = ________

a) 1 b) 3 c) 2
d) 4 e) 5
11. Factorizar: 5. Al factorizar la siguiente expresión:
xz + yz + x + y mx – m – x + 1
Uno de los factores primos es:
12. Factorizar: a) (x+1) b) (m+1) c) (2x+1)
ab + bx + ay + xy d) (x–1) e) (2m+1)
6. La suma de los coeficientes de uno de los
factores primos de:
Rpta.
3ax – 3ay – 2bx + 2by; es:

13. Factorizar
a2b3 – a2 + 2b3 – 2 a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
7. El factor primo de mayor grado de:
Rpta.
2ax2 + 2ax + 2x – a2 – a – 1; es:
a) x2 + x + 1 b) a2 + a + 1
c) x2 + 1 d) a2 + 1
14. Factorizar: e) a3 + 1
2 2 2 2
6b x – 3x + 4b – 2 8. Hallar el producto de los términos
independientes de los factores primos de:
1
x2 3x 1
3x
Rpta.
a) 2 1 c) 3
b)
3
Aprendiendo a resolver…..resolviendo 2 e) 1
d)
3
1. Factorizar
(a2 + b2) (x + y) + (a2 + b2) 9. Uno de los factores primos de:
2n + 1 n+1 n+3 n 3
x + 3x +x – x + 3x - 3
(x – 3y) + (a2 + b2) (y – 2x)
Uno de los factores es:
2
a) (xn+1–3) b) (xn–3) c) (x4+3)
a) x(a + b) b) x (a + b) d) (xn+1) e) (xn–1)
c) x(a + b)2 d) –y(a2 + b2)
e) x(a2 – b2) 10. ¿Cuál es el factor primo de
mayor grado de:
2. Al factorizar la expresión: P = (x–8) (x–7) (x–6) + (x–7) (x–6) – (x–6)
x2 – 2x + cx – 2x

20

a) (x + y) b) (y – x)
2 2 2
a) (x–8) b) (x–6) c) (x–4) c) (a + b + c) d) (a – b - c)
d) (x–3)2 e) x3
e) (a – b + c)
11. Uno de los factores primos de:
xm+a – xm . yb + xa . yn – yn+b – xazp + zpyb
18. Después de factorizar señale el factor
Es:
a b a b b a común de 2do grado.
a) (x +y ) b) (x –y ) c) (x +y )
d) (x+y) e) (x–y)
N = kx2 – ky2 + px2 + py2
12. Señale un factor de:
2 2 2 2
a) (x + y ) b) (y – x )
2 2 2 2
P = ax + bx – ay - by c) (x - y ) d) (p + k )
a) a – b b) x + y c) a + b d) 1 e) (p2 – k2)
e) 2
13. Señale un factor de: 19. Factorizar:
(x + 1)(y -2) + 3x(x + 1)
4 6
N = 36x – 16y
a) (x + 1) b) (x - 1) Hallar la suma de sus factores primos:
c) (y - 2) d) (y + 2) e) 1
a) 10x2 b) 12x2
14. Señalar un factor de: c) 6x2 d) 8y3
nx + ny + x + y e) 12y3

a) (n - 1) b) (x - y) c) (x + y) d) x 20. Hallar la diferencia de los factores
e) y mínimos de:
15. Factorizar y señalar uno de los factores
4 6 6
de: 64x y – 36z
xy + wz – wy + xz
a) 12x2 y2 b) 12z3
2 3
a) (x + w) b) (w - x) c) 12x d) 12y
c) (y + z) d) (y - z) e) 12 x3y2
e) (z - y)
16. Señalar uno de los factores de: 21. Al factorizar la expresión, uno de los
xm – xp + xn + my – py + ny factores es:
2 2 2 2
P = (a x + 2abxy + b y )
a) (m - n + p) b) (m – n - p)
2
c) (m + n - p) d) (x - y) a) (ax + by) b) (ax + by)
e) (m + n) c) (ax - by) d) (ay - bx)
e) (ax - bx)
17. Después de factorizar. señalar uno de los 22. Factorizar e indicar uno de los factores de:
factores: N = x2 – 5x – 24
a) (x + 8) b) (2x + 3)
ax – ay – bx + by – cx + cy c) (x - 8) d) (x - 3)
e) (x - 1)
21


ALGEBRA

III Bimestre
MÍNIMO COMÚN NULTIPLO y MÁXIMO
COMÚN DIVISOR Solución

MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D)
72 96 120 2
36 48 60 2
Para calcular el M.C.D de dos o más
expresiones, se factorizan estas y el M.C.D 18 24 30 2

estará formado por los factores comunes, 9 12 15 2
elevados a su menor exponente, 9 6 15 2

9 3 15 3
Ejemplo 1:

3 1 5 3
Hallar el M.C.D de: 24a2b ; 18a3bx ;
30a4bx2
1 1 5 5
1 1 1
Resolución:
M.C.M = 25 . 32 . 5 = 1440
M.C.M = 1440 x4 y5 z7
24 18 30 2

12 9 15 3
TAREA DE CLASE
4 3 5 2.3=6 1. Hallar el M.C.D. de:
P(x) = x2 + 7x + 12
Entonces: M.C.D(24,18,30) = 6 a2b
Q(x) = x2 + x – 6

MÍNIMO COMÚN MULTIPLO (M.C.M)
Para calcular el M.C.M de dos o más Rpta.
expresiones se factorizan estas y el M.C.M
se formará con los factores comunes y no
comunes con su mayor exponente.

2. Hallar el M.C.D. de:
2
Ejemplo 1: P(x) = x + 4
3
3 4 4 2 2 3
Hallar el M.C.M de 72x y z ; 96x y x ; Q(x) = x – 8
120x4y5z7

22

3 2
Rpta. R(x) = x + 4x + 5x + 2

Rpta.

3. Hallar el M.C.D. de: 9. Hallar el M.C.M. de:
4 4 P(x) = x3 – 1
P(x,y) = x – y
2
Q(x) = ax + ax + a
Q(x,y) = 2x 2 – xy – y2
R(x) = x3 + 3x2 + 3x + 2

Rpta. Rpta.

4. Hallar el M.C.D. de: 10. Hallar el M.C.D. de:
P(x) = x3 – x2 + x – 1
P(x,y,z) = xz + yz + x + y
2
Q(x) = (x4 – 1)
Q(x,y,z) = x + xy + zy + xy

Rpta.
Rpta.
5. Hallar el M.C.M. de:
P(x) = x2 + 7x + 10
Q(x) = x2 + 6x + 5 A = z2x2 – 2x2 – 3z2 + 6
B = (z4 – 4) (x4 – 6x2 + 9)
Rpta.
Rpta.
A = m3 + p3
B = m2 + 2mp + p2
P(x) = x3 – 64
2
C = m + mp + mq + pq
Q(x) = x2 – 16
P = x2 – 2x – 15
Rpta. Q = x2 – 25
R = 4ax2 + 40ax + 100a

7. Hallar el M.C.D. y M.C.M. de: Rpta.
4 2 3
P(x,y,z) = 2x y z
Q(x,y,z)= 8x 2y6
5 7 4 14. Hallar el M.C.D. de:
R(x,y,z) = 6x y z 3 2
P(x) = x + x – 4x – 4
Q(x) = x3 + 3x2 + 2x
Rpta.

Rpta.

3 2
P(x) = x + 3x + 3x + 1
15. Hallar el M.C.D.:
Q(x) = x2 + x2 – x – 1 P(x) = x3 – 1

23

Q(x) = x4 + x2 + 1 P(x,y,z) = 12x y z
5 3 4

Q(x,y,z) = 4x4y2
6 4 3
Aprendiendo a resolver…..resolviendo Q(x,y,z) = 6x . y . z

2
P(x) = x + 5x – 24 a) 4x4y3; 12x6y4z4
3 4 4 6 4
2
Q(x) = x + 4x – 21 b) 4x y ; 12x y z
2 5 6
c) 4xy ; 12x y .z
d) 4x5y3; 12x6y3z2
a) x + 8 b) x + 7 c) x – 3 e) 4xy; 12xyz
d) x + 3 e) x + 1 8. Hallar el M.C.D. de:
P(x) = x3 + 6x2 + 12x + 8

2. Hallar el M.C.D. de: Q(x) = x3 + 2x2 – x – 2
2
P(x) = x – 9 3
R(x) = x + 4x + 5x + 2
2

Q(x) = x3 – 27 a) x – 2 b) x – 1 c) x + 3
a) x + 3 b) x – 3 c) x – 92 d) x + 2 e) x + 6
d) x + 9 e) 1
3 3
3. Hallar el M.C.D. de: P(x) = x – a
A(x,y) = x6 – y6 Q(x) = pz2 + pax + pa2
B(x,y) = x3 – y3 a) x2 + ax + a2 b) x2 – ax + a2
c) x2 + 2ax + a3 d) x2 + bx + 2
a) x + y b) x2 + x – y P(x) = x3 + x2 – x – 1
c) x – y d) x + 2y 4
Q(x) = (x – 1)
e) y – x
a) x + 1 b) x – 1 c) x4 + 1
d) x4 e) x2 – 1
P(x,y,z,) = xz + 3x + yz – 3y
FRACCIONES ALGEBRAICAS
Q(x,y,z) = xz + 2x + yz – 2y
Fracción algebraica.- Es toda expresión de la
forma:
a) x – y b) y + z c) x + y
d) z + y e) z + 1
P (X )
Numerador
Q (X )
Denominador
P(x) = x2 + 4x + 3
2
Q(x) = x + 6x + 9 Donde Q(x) ≠ 0
3 2
a) x + 7x + 15x + 9
3 2
b) x + 7x + 15x + 1 Simplificación de Fracciones algebraicas
3 2
c) x +x +3
d) x3 + 1
e) x–1 Una fracción algebraica es reducible (se puede
simplificar) si su numerador y su denominador se
6. Hallar el M.C.M. de: pueden dividir por un mismo factor.
P(x) = x3 – 125
Q(x) = x2 – 25 Ejemplo: 1
Dar como respuesta la suma de coeficientes:
a) 744 b) 644 c) –744 36 x 3 y 6 3x12 x.x 2 y 6 3x 2 3x 2
d) –644 e) 125 24 xy 8 2 x12 xy 6 . y 2 2 y2 2 y2

7. Hallar el M.C.D. y M.C.M. de:
24

11) Efectuar
Ejemplo: 2
5
P x 2
4 x 12 y 4( x 3 y) 4 x 1
2
2x 6 y 2( x 3 y) 2
12) Efectuar
TAREA DE CLASE 2 2
3(x y) (x y )
N
2(x y) 6x
01) Al simplificar la fracción
a3 1 Aprendiendo a resolver…..resolviendo
N
a3 2a 2
a 2
01) Simplificar
a 2 b2 c2 2ab
02) Al simplificar la fracción N
a2 c2 b2 2ac
3 x3 2
p (1 x2 ) 1 x A) a b B) a b c
1 x
a a b c

03) simplificar
C) a b c D) 2a b c
a b c 2b c a
x2 4x 12
N
x2 4x 4 E) 1
04) Efectuar 02) Simplificar
2
2
a 2
x 2x 1 2
16 x
N Q b
x2 x a
4x
b
A) a
a
05) Simplificar 4 x B) 2x
b b

1
a b C) a 4x D) a 4x
a b b
N
a b
1
a b E) b 4x
a
Efectuar
03) Efectuar
7 5 9
p 2 3
3x 2
8x 2x 4x
x2 x 2 x2 1

08) Efectuar A) 8 y B) 8 y C) 8 y
12 y 24 y 6y
4 2 x D) 8 y E) 8 y
N 2
x 1 x 1 x 1 y 48 y
09) Efectuar
04) Efectuar
a 2 3a 1 a a 2ab
N 2
2a 5a b a 2b a 2ab
10) Efectuar
A) a b B) a b C) a b
b a b
7
N x 1 a b
2x 3 D) E) 1
b

25

05) Efectuar E) 7a
2a b a2
b a b ab b2 11) Efectuar

A) b B)
a b C) a b a2 10a 24 a2 4a 3
a b 2b a a2 3a 18 a2 6a 9

D) a b E) 1 A) x(x y) B) x(x 2y)
b
Simplificar C) x(x 2y) D) x(x y)
a 2 3a 1 11a 12
N
2a 5a 10a E) x y
a a 1 Ejecutar
A) B) C) 0
2 2
D) a 1 E) 1
b 2 y3 ab3 y3
2 3ax 2 a2bx 2
07) Efectuar
x3 y4
2
p2q
5
B)
p7 4bx 4 B) 81a 2 y6
A)
pq2
3
x 2 y3
3 q 81a 4 y6 4bx 4
2 6 4
C) 81a b D) 81x
7
C) p
y 4 xy 4 y6
6
p7 p7 E) 4 y
A) B) C) p 81x 4
yq q y
7
D) p E) 1 FACTORIAL
y
08) Efectuar Definición:
n! = |n = n(n-1) (n-2) (n-3) ………….3.2.1
a2 10a 16 a2 10a 21
a2 9a 14 a2 2a 15

A) a 8 B) a 5 C) a 5
a 5 a 8 a 8 n! = se lee factorial de n, n
Por convención 0! = 1
D) a 5 E) a 8
a a
Leyes básicas
09) Efectuar
4a2 4a x2 y2  n! = n ( n-1)!
x2 2xy y2 8(a 1)
Ejemplo
A) a( x y) B) x y
2( x y) x y 8! = 8.7!
(x+3)! = (x+3) ( x+2)!
C) 2( x y) D) ax E) ay
a( x y) ay ax  si x! = n! x=n

10)Efectuar Ejemplo
(x-15)! = 24
2a 2 a a 3 a 2 5a (x-15)! = 4! x-15 =4
4 5 3 2 3 x=19

A) (7a 5) B) 7 a 5 si x! = 1 x=0 x =1

C) 5 7a D) 7 a 5

26


TAREA DE CLASE
01) Reducir
N = (12! -11!) 11!
01) Reducir
02) Si N! = 6, hallar “N”
10! 9!
03) Si (4 -2)! = 2 , hallar “n” N
10!
04) S (n-15)! = 120, hallar “n”
A) 10 B) 9 C) 11
D) 9! E) 10!
05) Simplificar
02) Si K! = 24, hallar K
n! (n 1)!
P A) 1 B) 2 C) 3
(n 1)!
D) 4 E) 5
06) Simplificar
03) Si (n-18)! = 720, hallar ´´n´´
(n 1)! (n 2)!
Q A)16 B) 18 C) 24
(n 2)! D) 12 E) 10

07) Hallar el valor de X en 04) Si (x+3)! = 5 040

x! (x 1)! Hallar “x”
8
(x 2)! A) 4 B) 5 C) 6

08) Hallar N D) 7 E) 8

n 3! 05) Simplificar
156
n 1! x! (x 1)!
Calcular Q 1
(x 1)!
10! 9! 11! A) 2x B) x+1 C) x-1
E
10! 11!
D) x E) 1
10) Hallar “x“ Simplificar
82! 81!
2x R 4
12 ! 40 320 80!
5
A) 7 B) 8 C) 9
11) Hallar “X”
D) 11 E) 12
x 4 !. x 6 !
20! 07) Simplificar
(x 4)! (x 5)!

12) Hallar “M” 98! 99! 100!
P
98! 99!
78!
M
76! 77! A) 98 B) 99 C) 100
D) 101 E) 102
13) Hallar “X”

x! x 1 ! 08) Hallar x 5 , sabiendo que
10!
x!
27

D) 1 E) 0

(x 2)!
1 5 RADICACIÓN
x2 3x 2
Sabemos que la raíz n-esima de x; denotado por
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
n
x es el numero “r” si se cumple que r n = x
Hallar “n”

1! 2! 3! 4!
n
x r rn x
N
0! 1! 2! 3!
A) 10 B) 11 C) 12
D) 13 E) 14 Clasificación Considerando su Naturaleza

10) Calcular
1) Racionales: Son aquellos en los cuales las
raíces son exactas.
78!
M
76! 77! Ejemplos:

A) 78 B) 76 C) 75 1) 9x2 3x
D) 77 E) 79
3
2) 8 x3 2x
11) Hallar “n”

02) Irracionales: Son aquellos en los cuales las
N 2! 2! 2!................. raíces son inexactas.

A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
Ejemplos:
12) Hallar “x” en
1) 7x
(x+6)! = 40 320 3
2) 14x 2
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E)5
03) Reales: Son aquellas cuyas raíces son pares
y los subradicales son positivos.
Hallar “X” en
Ejemplos:
(x+10)! = 3 628 800
1) 33
A) 2 B) 0 C) 7
D) 8 E) 1 2)
4
14x 2
14) Simplificar 04) Imaginarios: Son aquellos en los cuales los
índices son números pares y cuyos
subradicales son negativos.
n! 1
P
n(n 1) (n 2)! Ejemplos:

A) 0 B) 1 C) 3 1) 4x 2
D) 3 E) 4
2)
4
9x 8
15) Simplificar

n(n 1) 1 Clasificación Considerando su Especie
Q
n! (n 2)! 1) Homogéneos: Son aquellos radicales que
tiene el mismo índice.
A) 4 B) 6 C) 3

28

Ejemplos:
N 2a 8ax .5ab 2ax
1) 3 5y y 7 8z 09) Efectuar
33 2 33
2) 9a x y y 2b z N 8ab 24 x 2a 6 x

2) Heterogéneos: Son aquellos radicales que 10) Efectuar
tiene distinto índice 33 4
P a 16x y a3 2x
Ejemplos:
11) Efectuar
1) 3ab3 xy y 5a 4 xy N 3x .3 2a
3
2) x y 2 y 12) Efectuar
2
3) Semejantes: Dos o más radicales son Q 33 4a .5x 2x
semejantes si tienen el mismo índice y la
misma parte subradical, solo se diferencian 13) Efectuar
por los coeficientes. 3
4) Ejemplos: R 27 25x 93 x
5)
14) Efectuar
6) 1) 3ab 3 2 x y 5m3 2 x
1 N 643 9 x 5 16 3x 4
7) 2) x
2
4b 2
y 4b 2
3 15) Efectuar
Q 5
a 3b 4 16 ab 2
TAREA DE CLASE
01) Efectuar 16) Efectuar
2
N 3x x
N 2 27x3 3 12x3
17) Efectuar
48x3 3
P 4 x 2 3 2a 2
02) Efectuar
Aprendiendo a resolver……resolviendo
3 4 3 4
P 5a 16x 3a 54 x Efectuar
3
a 128 x 4 P 3xn x 1 6xn x 1
n
4x x 1
03) Efectuar
N 9x 27 4x 12 4 xn x 1 B) 5 xn x 1
A)
25 x 75 6x
n
x
n
1 D) 5 x x 1
C)
04) Efectuar E) 5x x 1
Q 12a 5b 8a 5b 7a 5b
02) Efectuar
05) Efectuar S a 8 x 3 y5 3a 18 x 3 y5
P 2a . 3a
5a 50 x 3 y5
06) Efectuar
2
Q 33 4a .53 2ab
2
A)
14ax 2xy
2 2
07) Efectuar B)
14a x 2xy
3
R 2 3x .a 5ax .3ab 2a 14ax 2xy
C)
08) Efectuar
29


D)
14x 2axy A) x
10
x
5
B) x
10 21
x
5
C) x
10 7 10
x
1010 1 10 7 11
E)
14ax xy D) x x E) x x

03) Efectúa 10) Dividir
2 33 5 2
N 5 25 x 75 5 16x 48 6x y 375 y 3xy3 3y

5 x 3 B) 10 x 3 2 2
A) A) 10 xy ` B) 10xy C) 10x y
4 x 3 D) 3 x 3 3 2
C) D) 10xy E) 10x y
E) x 3 11) Dividir
Efectuar 3 4 2
3 3 4
325 a b 16 ab
S 2 x .4 x
2
3 4 3 7 10 a a a
A) 8 x B) 8 x A) 10 B) 10 C) 210
b b b
5
C) 83 x D) 8 x
E) x a 2a
D) 210 E) 210
b2 b
05) Efectuar
N 2a 8ax .5ab 2ax 12) Desarrollar
43 4
3 3
x x
A)20 a bx B) 30 a bx
3 3
C) 40 a bx D) 50 a bx A) x17 x 4 B) x16 5 x
E) 25 a bx
3
C) x15 5 x D) x18 3 x
E) x 3 x
06) Efectuar
Q a 3 x .b 4
x 13) Desarrollar
3
x2 5 x3
7 2 12 5
A) ab x B) ab x
C) ab
12
x 11 D) ab12 x7 A) x
7
x
4
B) x7 5 x
15 6 C) x 7 5 x D) x7 5 x3
E) ab x
75 10
07) Efectuar E) x x
35 2 23 4
R x x .x x 14) desarrollar
4x.3 x
A) x5 x B) x5 15 x11 C) x 4 15 x10
6 15 13 2 15 9
D) x x E) x x A) 23 x
2
B) 23 x
4
C) 2
3
x
08) Efectuar D) 2 x E) x
4 3 2
T x x .x x 4
15) Desarrollar 16x8 3x²

A) x 6 6 x B) x 5 6 x C) x4 6 x5 8 8
5 11
A) 2x 3x ² B) 2x² 3x ²
5
D) x x E) x 8 8
C) 3x D) 2x x
09) Efectuar 8
E) 2x 8x
33 2 67 4
S x x .x x

30


8 15
T
TRANSFORMACIÓN DE RADICALES 5 3
DOBLES A SIMPLES
06. Simplificar
No todo radical doble podrá transformarse a una 15 10 2 1
suma o resta de radicales sencillos, podrá hacerse Z
con aquellos que cumplan ciertas condiciones o 10 2
requisitos.
07. Simplificar
M x y 2 x y y
Radicales de la forma. A B
Formula General
08.S simplificar
M a b 2 ab a
A C A C 09. Reducir
A B
2 2 17 2 30 1
Q
30 2
10. Simplificar
C A2 B
Ejemplo: N 5 2 6 2
Transformar a radicales simples:
11. Reducir
8 2 7
Q 3a 2a 2 2a
Calculamos C:

2 12. Reducir
C 82 2 7 64 28 36 6

Luego:
19 2 22 11
R
2 2
8 6 8 6
8 2 7 7 1 13. Simplificar
2 2
20 2 91 7
TAREA DE CLASE S
13
01. Simplificar

N 7 2 10 8 2 15 3
02. Simplificar
M 7 4 3 9 6 2 6 01) simplificar
S 12 2 35 16 2 55 11
03. Simplioficar
P 18 2 77 7 A) 3 B) 5 C) 7 D) 11
04. Simplificar E) 13

S 24 2 143 13 11 02) simplificar
18 2 77 7
05. Simplificar Q
11

31

A) 2 B) 3 C) 1 D) 5 E) 4 2
7 9 16 7
8 x x 2 x
03) simplificar
24 2 143
N 2 3
13 11 A) x B) x C) 1 D) x D) x

A) 1 B) 5 C) 7 D) 11 E) 9 13) Reducir
Q 4 2 3 1
04) simplificar
15 10 2 10 A) 2 B) 3 C) 5 D) 0 E) 1
Ñ
20 14) Reducir
N 6 2 5 1
A) 0 B) 6 C) 3 D) 1 E) 5

05) simplificar A) 2 B) 3 C) 5 D) 7
E) 1
k 8 15 5 3
15) Reducir
A) 2 B) 1 C) 0 D) 5 E) 4
06) simplificar A 11 2 10 10
2
k p 2 kp p
N A) 0 B) 1 C) 3 D) 8 E) 10
k
A) 2 B) -1 C) 3 D) 7 E) 1 RACIONALIZACIÓN
07) simplificar
Denominamos fracción irracional, a aquellas que
N 23 13 36 2 299 tienen en el denominador uno o mas radicales.
A) 8 B) 0 C) 1 D) 5 E) 4
Racionalizar una fracción es trasformarla en otra
08) reducir equivalente, eliminando los radicales del
Q 8 15 5 denominador.

A) 2 B) 3 C) 5
Factor Racionalizante (F. R). es otra expresión
D) 7 E) 10 irracional que multiplicada por el numerador y
09) simplificar denominador de una fracción permite que uno de

R 9 6 2 7 4 3 2 estos

A) 2 B) 3 C) 5 (El denominador) se transforme en una expresión
racional.
D) 6 E) 7
10) reducir Ejemplo:
2
5
N a3 a5 2 a8 a3 A) a B) Dado
7
El factor
5
5
a ` C) a D) 2a E) 1
Reducir racionalizante es 5 , luego:

S 19 2 22 11 2 2
7 5 7 5
a) 0 b) 1 c) 2 d)3 e) 44 5 5 5

12) simplificar

32

Casos que se presentan:
Rpta.:

03) Racionalizar:
1) Cuando el denominador es una raíz
4
cuadrada basta multiplicar los dos términos
5
de la fracción por dicha raíz.
Rpta.:

04) Racionalizar:
Ejemplo:
x 3
3a 3a x 3a x
2
2 x 2 x x 2x
Rpta.:

05) Racionalizar:
2) Cuando el denominador presenta radicales
de cualquier índice con radicandos monomios. 3
Usaremos el factor racionalizante (FR) 5
Rpta.:
Ejemplo: 06) Racionalizar:
4
Racionalizar: 9
5
x2 y3
2 3
Hallamos el factor racionalizante de la siguiente
manera: Rpta.:

07) Racionalizar:

5
x2 y3 F.R. 5
x5 2
y5 3 5
x3 y 2 12
5 6
Luego: Rpta.:

4 4 5
x 3 y2 45 x 3 y 2 08) Racionalizar:
5
x 2 y3 5
x 2 y3 5
x 3y2 x.y 4
11 2

TAREA DE CLASE Rpta.:

09) Racionalizar:
01) Racionalizar:
2
2
3 x
3
Rpta.:
Rpta.:
10) Racionalizar:

02) Racionalizar: 3ab
1 5 x 2a
Rpta.:
2 Racionalizar:

33

3
3 11
4 20) Racionalizar:
6
114
Rpta.:
Rpta.:
12) Racionalizar:
5
01) Efectuar:
5
x2
Rpta.: 2 2 3
N
3 2
13) Racionalizar:

6 2 3 4 3
a) b)
3 3
5
x3 y 2
c) 4 3 d) 3
Rpta.:
e) 2 3
14) Racionalizar:

02) Simplificar:
5
6
32 9
P 3
Rpta.:
3

15) Racionalizar: a) 5 3 b) 4 3

1 c) 3 d) 1
3
x e) 2 3
Rpta.:
03) Simplificar:
16) Racionalizar:
5 56 81
2 Q 6
9 3
5
x
a) 1 b) 0
Rpta.:
c) -1 d) 81
3 e) 4
17) Racionalizar:
10 3
2 04) Simplificar:

Rpta.: 3 310 128
N 10
6
1 8 2
18) Racionalizar:
5
2 a) 3 b) 10
8
10
Rpta.: c) 3 d) 6

1 e) 1
19) Racionalizar:
6
3 05) Simplificar:

Rpta.:

34

09) Simplificar:
4 2 2
M .11
11 2 11 2 2 5
Q 5
5 5
a) 2 2 b) 3 3
c) 4 2 d) 5 2 a) 4 b) 5
e) 1
5
2x c) 4 5 d)
06) Simplificar: Q 2
5
x2 e)1
5 3 5 2 10) Simplificar:
a) 2 x B) 2 x
5 4 2 1
c) 2 x d) x Z 21 7 3
7 3
05) Simplificar
a) 7 3 b) 6 7
N 4a 2 12a 9
a) 2a – 3 b) 2a + 4 c) 7 6 d) 7
c) 2a + 3 d) 2a - 5
e) 7 6
e) 2a + 5
06) Simplificar 11) Simplificar:

2
N 18a 2 24a 8 6 8
Q 4 3
6 8
a) 3a 2 2 b) 3a 2 3
a) 7 b) 14
c) 3a 2 5 d) 3a 2 6
c) 21 d) 28

e) 3a 2 8 e) 1

07) Simplificar: 12) Simplificar:

5
31 1 1
1 16 Z 6 2 3
N 5 2 3
2 2
a) 3 3 b) 3 2
5
a) 5
2 b) 231
c) 3 5 d) 3 2 3
5
c) 31 d) 0
e) 3 3 2
e) 1
13) Simplificar:

6 7 5
2
08) Simplificar: N xy R 2 35
5
x3 y 2 7 5

a) 5
x2 y3 b) 65 x2 y3 a) 9 b) 10

c) 11 d) 12
5 2 2
c) 5 x y d) 4 xy3
e) 13

e) 35 xy
35


ALGEBRA

IV Bimestre
1ro Sin alterar las soluciones de una ecuación,
se puede añadir o quitar una misma
ECUACIONES I cantidad a sus dos miembros.

Consideremos primero los siguientes conceptos:
Ejemplo:
Resolver 3x – 5 = 7
I) Igualdad (=).- Son dos expresiones
3x – 5 + 5 = 7 + 5
aritméticos o algebraicas, que gozan del
mismo valor. 3x = 12

Ejemplos:
1) una docena = 12 unidades
2do Sin alterar las soluciones de una ecuación,
2) 9 + 4 = 16 – 3 3) 5x = 20
se puede multiplicar o dividir por una
misma cantidad a ambos miembros.
II) Identidad ( ).- Es una igualdad por si misma
evidente.
Ejemplo:
Ejemplos:
Resolver 4x + 1 = 21
1) 8 8 2) 5k 5k 3) y + 7 y+7 2(4x + 1) = 21 . 2 ~ 8x + 2 = 42

III) Ecuación.- Es una igualdad de expresiones de Ecuaciones de Primer Grado con una Incógnita
las cuales una encierra cantidades
Toda ecuación de Primer Grado con una
desconocidas (incógnitas), a las cuales le
incógnita, puede reducirse a la forma:
corresponden unos valores condicionados,
pero determinados. ax + b = 0

Por ejemplo:
2x = 10 Donde: x : incógnita
Las cantidades desconocidas están
ayb : coeficientes (a y b R)
expresados por medio de letras, generalmente
las ultimas del alfabeto, como lo son: x, y, z, Despejando a incógnita "x" se tendrá: a.x = -b

etc. Ejemplo : Resolver la ecuación:

Principios Generales de las ecuaciones 3x + 1 = x + 17

Solución

36

3x + 1 = x – 17; transponemos términos, Rpta. El número es 2
cambiando de signo
Planteo de un problema: Por plantear un
3x – x = 17 – 1; reducimos términos semejantes. problema se entiende a acomodar todos sus
términos conocidos y desconocidos con
16
2x ; Despejamos "x"; dividendo los respecto a la incógnita, de tal suerte que
2
obtenga una ecuación, expresando fielmente el
miembros entre el coeficiente de "x"
sentido del problema dado.
x = 16 x = 8 (valor de la raíz)
2
Ejemplo: ¿Cuál es el numero cuyos
b 5
x
a 3
aumentando en 3 es igual a sus disminuido
4
a) Resolución de Problemas utilizando
en 4?
Ecuaciones de Primer grado con una
Incógnita Raciocinio: El numero buscado es "x"

Problema: Problema es la investigación de 2x 3x
+3 = -4
términos desconocidos por medio de los 5 4
conocidos.
2x 3x
Resolver un problema: Quiere decir: Hallar Planteo 3 4 ; transponemos
5 4
el valor de la incógnita, hallar una igualdad la
términos
cual se desarrollada, satisfaga al valor de la
incógnita. Y así toda clase de ecuación es un 2x 3x 4.2 x 5.3x 8x 15x
4 3 7 7
5 4 5.4 20
expresión más sencilla de un problema
-7 x -7.20 x = 20
dando por ejemplo la siguiente ecuación: 3x +
Rpta.: El número buscado es 20
5 = 11; puede ser expresión algebraica de
este problema.

TAREA DE CLASE
¿Cuál es el numero cuyo triple, aumentado en
5 sea igual a 11?
01) Resolver la ecuación:
- Luego el número desconocido es "x"
3x + 1 = x + 17
- Cuyo triple es: 3x
- Aumentando en 5 es: 3x + 5
02) Resolver:
- Es igual a 11; o sea: 3x + 5 = 11

5x + 3 = 2x + 15
Resolviendo la ecuación:
3x + 5 = 11 ; tenemos que:

6 (x + 1)(x + 2) – x(x + 5) = 6
3x = 11 – 5 = 6 x= =2 x=2
3 04) Resolver:

5x – {6x + 8- (x + 1) } = -2x + 1
37

05) Resolver:
01) Hallar "x" en:
5x
15 – (2x - 1) = 8 – (2 – 3x) 4 x 12
7
a) 16 b) 28
06) Resolver: c) 20 d) 30
e) 18
2x + 1 = 4(x - 6)
02) Resolver:
07) Resolver:
5(2x - 4) = 2(3x + 4)
7 – 3(x + 1) = x – 3 (x - 1)
a) 3 b) 5
c) 7 d) 9
08) Resolver: e) 11

5x – 2(x - 6) = 2x + 2(x - 1) 03) Resolver:

09) Resolver: 8x + 2(x + 1) = 7(x – 2) + 3(x + 1) + 13

5 – (2x – 1) = 9 – (2 + 3x)
a) –2 b) 4
c) 3 d) -1
10) Resolver: e) indeterminado

(3x + 2) + (x + 1)=(2x + 4) + (x + 3) 04) Hallar el valor de "x" en la siguiente
ecuación:

11) Resolver:
x 3 x 5
6 2 2 3
3(5x + 1) – 2(6x + 3) = 2(x - 1)

a) 1/2 b) 1/4
12) Resolver: c) –1/4 d) –1/2
e) 1
(5x + 4)–(3x + 1)=(4x + 2)–(3x - 7)
05) Hallar el valor de "x" en:
13) Hallar el conjunto solución de:
8x 1 5x
2
x 27
3 2 4
x 3
4
a) 9 b) 8
14) Resolver:
c) 7 d) 6
e) 5
x 3x
1 06) Hallar "x" en:
2 6
15) Hallar "x"
x x 5
2 3 6
15 x 1
x 2
a) 0 b) -1
c) 1 d) 2
e) 6

38


07) Resolver: 12) Hallar el valor de:

(6x + 7)(5x - 4) = 6(5x2 - 1) x
x
x
9
2 4

a) 1 b) 2
a) 10 b) 11
c) 3 d) 4
c) 12 d) 14
e) -2 e) 16

08) Resolver: 13) Hallar el valor de "x" en:

7x 3x 2x x 13
2 x 19 5 3
3 7 15 3 3
Dar como respuesta x
6
a) -15 b) -25
c) -35 d) -45
a) 14 b) 42 e) -55
c) 7 d) 2
e) 1
09) Hallar el valor de "x" en:
14) Hallar "x" en
5 2 95
2x 3x 2x 2 x 3 x 1 x
1
4 2 6

a) 12 b) 13
c) 14 d) 15 a) 1/5 b) 2/5
e) 16 c) 3/5 d) 4/5
e) 1

10) Hallar el valor de: 15) Hallar "x"

9 2 6 3 7x
1 7
5x 13 3 x 2
2x 3 x 1 x 3

a) 6 b) 7
c) 8 d) 9 a) 1 b) 2
e) 10 c) 3 d) 4
e) 5

11) Resolver:

x 2x 10 x
2
3 5 15

a) 16 b) 20
c) 25 d) 30
e) 32

39

3x 4y 18
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 5x 4y 2
El siguiente es un sistema de ecuaciones:

Donde los coeficientes de “y” son 4 y -
2x y 1 ....... (1)
5x y 13........( 2) 4; respectivamente.

Este sistema esta conformado por 2 3. En seguida sumamos miembro a

ecuaciones con 2 incógnitas. Resolver un miembro ambas ecuaciones;

sistema significa encontrar; valores de las eliminándose los términos con

incógnitas que las satisfagan incógnitas “y”

simultáneamente. 4. La ecuación que resulta solo tiene a
“x”, como incógnita, lo cual
En nuestro ejemplo; al resolver el sistema; tales procedemos a despejar.
valores de las incógnitas son: 5. El valor de “x”; hallado en el paso

x=2 e y = -3 anterior se reemplaza en cualquiera
de las ecuaciones del sistema; de
METODOS PARA HALLAR LA SOLUCIÓN donde despejamos ahora “y”.
COMÚN

Ejemplos: Resolver el sistema:
I. MÉTODO DE REDUCCIÓN.-

Procedimiento a seguir: x 2y 17 ......... (1)
x y 1 .......... (2)
1. Preparamos las ecuaciones del
sistema; eliminando signos de Solución: Si multiplicamos (2) por 2,
colección; reduciendo términos tendremos los términos en y con
semejantes; suprimiendo coeficientes opuestos:
denominadores y transponiendo
términos; hasta que el sistema tenga 2x – 2y = -2 …… (3)
la siguiente forma:

Sumamos miembro a miembro las
ax by c ......... (1)
dx ey f ......... (2) ecuaciones (1) y (3)

Donde x e y son las únicas incógnitas x 2y 17
y a, b, c , d, e y f son los coeficientes. 2x 2y 2
3x 0 15
2. Aplicando las propiedades de
ecuaciones; hacemos que los Despejamos x de la nueva ecuación:
coeficientes de la incógnita que se
x 5
desea eliminar; sean números opuesto
en ambas ecuaciones. Por ejemplo; Reemplazamos el valor de x obtenido en

luego de aplicar las propiedades de cualquiera de las ecuaciones del

ecuaciones el sistema debe quedar sistema:

así:
40

x 2y 17 08) Resolver la ecuación
5 2y 17 y 6 2x + 9y = -38 ….. (1)
x – 9y = 35 ….. (2)

Rpta.:
Respuesta: La solución común que satisface al
sistema es x = 5 e y = 6 09) 5a - 3b = 7 …… (1)
7a + 3b = 17 ….. (2)
TAREA DE CLASE Rpta.:

10) x + 2y = 15
01) Resolver el sistema: x – 2y = -5
Rpta.:
x y
y 13 ........ (1)
3 3 11) Resolver la ecuación:
2x 18 3 y ......... (2) x + 2y = 15
x – 2y = -7
Rpta.:
Rpta.:
02) x + y = 6 ……. (1)
x – y = 2 ……. (2)
12) 7m – 2n + 34 = 0 ….. (1)
Hallar “x + 2y” 5m + 3n + 11 = 0 ….. (2)

Rpta.: Rpta.:

03) Resolver el sistema:
2x – y = 0 ……. (1)
3x + y = 5 ……. (2) 5(x + y) + 3(y – x) = 32 … (1)
(x – y) / 3 = -4 / 3 … (2)
Rpta.:
Rpta.:

5m – t = 16 14) (7y – x) + 1(x – 1) = -25 (1)
2m – 3t = 9 (2y – x) + 7(y – 1) = -31 (2)

Rpta.: Rpta.:
05) Resolver: el sistema:
2(a – b) + 5(a + b) = 13 … (1)
7a + 2 – b = 2a + b + 3 …. (2)
4(x + 1) – 5(y + 2) = -12 ….. (1)
Rpta.: 5(x – 1) + 4(y – 2) = -5 ….. (2)
Rpta.:
x y
y x 8 …. (1)
3 3
2x = y – x + 15 …. (2) 16) Resolver el sistema:
Rpta.:
x 4y 12 ........ (1)
07) x 1 y 1 7 …. (1) 5x 3y 26 ......... ( 2)
(y 22)
0,5 1 ..... (2) Calcule: (x + y)2
x

¿Hallar “x + 3y”?

Rpta.:

41

09) Resolver:
Aprendiendo a resolver……resolviendo x y
y x 8 ….. (1)
5 5
01) Resolver el sistema: 2x – y = 40 ….. (2)

(2x 1) 3y ........ (1) a) x = 25 ; y = 15
b) x = 20 ; y = 15
x 7y 9 ......... ( 2)
c) x = 30 ; y = 10
d) x = 15 ; y = 10
Hallar “(2x + y)”:
e) x = 25 , y = 10
a) -3 b) -5 c) -6 d) -2 e) 3
10) 7 – [(2y – 3) + 4(x – 1)] = 22
02) Resolver: [5(x + 2) – 3(y – 2)] – 8 = x
x y Hallar (x + y)
y x 8
3 3 a) -3/5 b) 4
2x = y – x + 15 c) -2/5 d) 1/5
e) 2/3
Hallar x + 3y
11) Resolver:
a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17
3[x – 4y] + 7[2x – y] = 0
03) Resolver: a + 7b = 15 14x – 3x = 4
3a – 7b = -11
Hallar: x – y + y
Hallar: b/a
a) 80/3 b) 215/6 c) 76 d) 90/2 e) 76/125
3 5
a) 4 b) c) d) 2 e) 3 12) Resolver:
2 2
04) Resolver: 3x x2 3y 2
, si: x2 = 6x
2
2x + 9y = -38 2x 6x 7
x – 9y = 35 7 1
a) x ; y b) x = 3 ; y = 6/4
18 2
Hallar “x + y” c) x = 5 ; y = 6/4 d) x = 3 ; y = 1/19
a) -6 b) -7 c) -9 d) -8 e) -5
9 3
e) x ; y
a 14 5b 4 2
05)
2a 3b 11
13) Resolver:
Del sistema de ecuaciones, hallar “a – 2b” 1
a) 32 b) 28 c) 35 d) 21e) 30 30x [ x 3 y 7] 3
2
22x 3( x y ) 4
(x 2y ) (2x y) 8
06) , hallar: (x + y)
x 1 [y 2x ] 1 Hallar: x + y
a) 4 b) 3 c) 2 d) 5 e) 6 1 1 1
a) b) -3 c) 5 d) e)
07) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones: 3 2 2
3x – 2[(x – 1) – (y – 1)] = 18 7m 2n 34 0
x + y = 10 5m 3n 11 0
a) x=2;y=6
b) x=4;y=6 Hallar m + n
c) x=2;y=8
d) x=5;y=5 a) -5 b) -4 c) -3 d) -2 e) -1
e) x=3;y=6
15) Resolver:
08) x = 5 + 3y ..…. (1)
7x – 39 = 9y …… (2) 5( x y) 3( y x) 32
(x y) / 3 4/3
Hallar “x + y”
a) 20/3 b) 19/3 c) 21/3 d) 18/3 Hallar “x + 3y”
e) 22/3 a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16

42

ECUACIONES II
x2 ( x 1 x 2 )x x1x 2 0
    

ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Suma de Pr oducto
Raices de raices
Conocida también como ecuación cuadrática y
que tiene la forma general:
TEOREMA:
ax2 bx c 0 ; a 0
Sean las ecuaciones:
2 2
Ejemplos: 2x + x + 1 = 0; x + 2 = 0 ax2 + bx + c = 0 ……… (1) ;
a 0
PROPIEDADES
mx2 + nx + p = 0 ……. (2) ;
I. ANÁLISIS DE SUS RAÍCES m 0

2 Estas ecuaciones serán equivalentes, es decir
Sea: ax + bx + c = 0 ; a 0 tienen el mismo C.S. si se cumple:
Se define el discriminante ( ):
a b c
b2 4ac ; a, b, c R
m n p
er
1 CASO
2 raíces reales e iguales
0 TAREA DE CLASE
o raíz múltiple (SOLUCION UNICA)
Resolver las siguientes ecuaciones:

Ejemplo: 4x2 – 4x + 1 = 0
1 01) x2 + 6 = 5x
2
= (-4) – 4(4)(1) = 0 C.S.
2
02) 6x2 + 19x + 10 = 0
do
2 CASO
0 2 raíces reales e diferentes
1
03) ( x 1)( x 2) 3
Ejemplo: x2 – 4x – 12 = 0 10
C.S. = {6 ; -2}
04) (x – a + 2)(x – a + 3) = 42
= 16 – 4(1)(-12) > 0

3er CASO 05) (x + 1)2 + (x + 2)2 = (x + 3)2
0 2 raíces complejas imaginaria y conjugadas
, s

06) (x + a)2 – b2 = 0
II. OPERACIONES BÁSICAS CON LAS
RAÍCES
07) (2x – 1)(2x – 3) = 63
Sea: ax2 + bx +c = 0 ; a 0
2 2 2
08) (3x – 1) + (3x – 2) = 9x
SUMA DE RAÍCES:
b
x1 x2 09) 3(3x – 2) = (x + 4)(4 – x)
a
10) 9x + 1 = 3(x2 – 5) – (x– 3)(x– 2)
PRODUCTO DE RAÍCES: 2
11) (z – 16)(z + 2) = 25(z + 2)
c
x1 x 2
a 1
12) 2 – 3y = (y – 4)(y + 4)
DIFERENCIA DE RAÍCES: 3

( x1 x 2 )2 ( x1 x 2 )2 4x1x 2 2x a x 2x
13)
3 x a 4a
Reconstrucción de la ecuación de 2do
grado a partir de sus raíces:

43

Encuentre la suma y el producto de la raíces de
2
las siguientes ecuaciones: 04) x + 15x = -56

a) {-8 ; -7} b) {-3 ; -6}
14) x2 – 6x – 7 = 0 c) {-2 ; 5} d) {-8 ; 7}
e) {7 ; -6}
2 2 2 2
15) x + 7 + 10 = 0 05) (5x – 2) – (3x + 1) = x + 60

a) {19 ; 5}
16) 5x2 – 15x + 40 = 0
b) 19 ; 13
2 4
19
c) ;3
* Encuentra la ecuación que dio origen a: 15
19 19
d) ;
17) x1 + x2 = 5 ; x 1x2 = 6 8 5
e) N.A.
18) x1 + x2 = 11 ; x1x2 = 10
x2 x 3
06)
5 2 10
19) x1 – x2 = 5 ; x 1x2 = 150
1 3 1
a) ; b) ;3
20) x1 + x2 = -1 ; x1 – x2 = 5 2 2 2
c) {1 ; 2} d) {-1 ; 23}
Aprendiendo a resolver……resolviendo e) N.A.

07) (x–5)2 – (x– 6)2 = (2x–3)2 – 118
Resolver las siguientes ecuaciones:
7 7
01) 3x2 + 2 = 5x a) ;7 b) ;2
2 4

2 7 7 7
a) ;1 b) 1 ; 2 c) 3; d) ;
3 2 4 2
e) N.A.
2 2
c) ;1 d) ;2 08) 4x2 + 3x = 22
5 3
1 2 7
e) ; a) {-7 ; 2} b) ;2
3 3 2
7 1 11
2
c) ; d) ;2
02) 6x = x + 222 4 2 4
11
7 7 e) ;4
a) 6; b) 4; 2
3 8
37 7 * Encontrar la suma y el producto de las raíces
c) 6; d) 3; de:
6 6
7 2
e) 6; 09) 3x – 5x + 4 = 0
6
5 4
a) S ;P
3 3
03) 8x + 5 = 36x2
5 3
b) S ;P
3 2 4
a) 1 ; b) 1 ; 5 c) S = 5 ; P = 3
2 2 18
d) S = 5 ; P = ¾
1 2 5 1 e) N.A.
c) ; d) ;
2 3 18 18
10) 2x2 – 6x + 18 = 0
e) N.A.

44

a) S=3;P=8 a<b ; “a es menor que b”, si (a – b) es
b) S = 4 ; P = -9
negativa.
c) S=3;P=9
d) S = -3 ; P = -9
e) N.A.
Ejemplos:
* Encontrar la ecuación que dio origen a:
(1) 7 > 4 es correcto ya que 7 – 4 = 3
11) x1 + x2 = 3 ; x1x2 = 4 (2) 5 > -3 es correcto ya que 5 – (-3) = 8
2
a) x – 3x + 4 = 0
2
b) 2x – 3x + 8 = 0 Tipos de Desigualdad
2
c) x + 3x – 4 = 0
d) x2 – 3x – 4 = 0
1. Desigualdad Absolutas
e) N.A.

12) x1 + x2 = -5 ; x1x2 = 25 Son aquellas que son indiscutiblemente
2 ciertas.
a) x – 5x + 25 = 0
b) x2 + 5x + 25 = 0
c) x2 – 3x + 15 = 0 Ejemplos: (1) 10 > 0 (2) -8 < 1
d) x2 – 3x + 25 = 0 o también:
e) N.A.
Son aquellas que se verifican para
13) x1 + x2 = -2 ; x1 – x2 = 4
cualquier número racional que le
2
a) x + 2x – 3 = 0 asignemos a sus variables.
b) 6x2 + 3x – 2 = 0
c) x2 + x – 2 = 0
d) 3x2 + 5x + 2 = 0 Ejemplos: (1) x2 0 (2) (x + 1)2
e) N.A.
+5 0
5 1
14) x1 + x2 = ; x1x2 =
12 6
2. Desigualdad Relativas
2
a) 3x + 5x + 2 = 0
b) 6x2 + 3x – 2 = 0
2 Son aquellas que se verifican o satisface solo
c) 12x + 5x – 2 = 0
2
d) 3x + 5x + 2 = 0 para ciertos valores de sus variables. Estos
e) N.A.
reciben también el nombre de inecuaciones:
13 21 Ejemplos:
15) x1 + x2 = ; x1x2 =
2 2

a) 2x2 – 13x – 21 = 0 (1) x+3>7 Si x recibe e valor 2;
b) 2x2 – 3x + 1 = 0 tendríamos 2 + 3 > 7 ó 5 >
c) 2x2 – 3x – 21 = 0
d) 2x2 – 13x + 11 = 0 7, lo cual no es cierto. En
e) N.A. este caso; x puede admitir
solo valores mayores que

INECUACIONES 4. Entonces: x + 3 > 7 es
una inecuación cuya
solución es x > 4.
Desigualdad: Sean 2 números a y b Q, tal que
a b. Desigualdad es una relación entre a y b que
Propiedades de la Desigualdad.-
se representa así:

a>b ; “a es mayor que b”, si (a – b) es 1. Siendo una cantidad mayor que otra y esta
positiva. mayor que una tercera; entonces la primera

45

cantidad será mayor que la tercera
(PRINCIPIO DE TRANSITIVIDAD) Es decir: Si a > b y m > 0
Entonces: am > bm
Es decir: Si a > b y b > c; entonces: a > c
Veamos algunos ejemplos:
Ejemplo: (1) Dado la desigualdad entonces:
Si 15 > 6 y 6 > 2; entonces 15 > 2 5 > 3 y además; m = 8
5x8>3x8
2. Si una cantidad es mayor que otra; entonces 40 > 24
esta será menor que la primera. ¡Verdadero!
5. Si multiplicamos a ambos miembros de una
Es decir: Si a > b; entonces b < a desigualdad por una misma cantidad negativa;
el sentido de la desigualdad. SE ALTERA
Ejemplo:
(1) Si 18 > 10; entonces 10 < 18 Es decir: Si a > b y m < 0
(2) Si 2 < x; entonces x > 2 Entonces: am < bm

3. Si ambos miembros de una desigualdad se le Ejemplo: Dado la desigualdad
suma o resta una misma cantidad el sentido 7 > 2 y m = -4
de la desigualdad NO SE ALTERA 7(-4) < 2(-4)

Si: a > b y m Q ¡Se invierte el sentido!
Entonces: a + m > b + m -28 < -8

Ejemplos: (1) Dado la desigualdad 6. Si dividimos a ambos miembros de una
6>2 desigualdad por una misma cantidad m
Adicionemos 5 a positiva; el sentido de la desigualdad NO SE
6+5>2+5 ALTERA. Si dicha cantidad m es negativa el
Cada miembro sentido de la desigualdad. ¡SE ALTERA!
11 > 7 ¡Cierto!
Es decir: Si a > b y m > 0
(2) Dado la desigualdad a b
Entonces:
3 > -9 m m
Restemos 4 a cada
miembro 3 – 4 > -9 – 4 Ejemplo:

-1 > -13 Si: 30 > 18 y m = 6

¡Cierto! 30 18
Entonces: ó5>3
6 6

4. Si multiplicamos a ambos miembros de una Además: Si a > b y m < 0
a b
desigualdad por una misma cantidad positiva; Entonces:
m m
el sentido de la desigualdad no se altera.

46

Ejemplo:
Hallar A B
Si 12 > 6 y m = -2 Rpta.:

12 6 11) Del problema anterior, hallar A B
Entonces ó -6 < -3
2 2
Rpta.:

12) Resolver: –x + 2 < 3x – 9
TAREA DE CLASE
Rpta.:
01) Si a + 3 0. Calcular el mínimo valor de (a +
5) 13) Determinar el mayor valor entero que verifica:

Rpta.: x 17 x 28
2
28 17
02) Si x 3 ; 9 calcular el máximo valor entero
de “x” Rpta.:

Rpta.: Aprendiendo a resolver……resolviendo
01) Calcular la suma de los números enteros (x)
03) Calcular la suma de los números enteros (x), tal que:
tal que: 2 x 7
2 x 7
a) 27 b) 22
Rpta.: c) 23 d) 25
e) 29
04) Resolver la inecuación:
x + 8 < 3x + 4 02) Resolver:
5x + 13 16 + 2x
Rpta.:
a) x 1 b) x 2
05) Resolver la inecuación: c) x 1 d) x < 2
2x + 4 > 5x – 8 e) x > 1
Rpta.: 03) Hallar el mayor valor de “x” que verifica:
4x – 56 16 – 2x
06) Resolver la inecuación:
3x + 7x – 5 < 5x + 20
a) 11 b) 12
c) 14 d) 16
Rpta.:
e) 18
07) Dar el intervalo de variación de (6x – 5), si: x
04) Si x 2 ; 3 , entonces (x + 5) pertenece al
2 ; 8] intervalo:
Rpta.:
a) 1 ; 2] b) [2 ; 8
c) [3 ; 8 d) 7 ; 8
08) Dar el intervalo de variación de (-3x + 2), si x e) [7 ; 8]
2 ; 8]
05) Si x [2; 5]. Calcular el mínimo valor de (x –
Rpta.:
3)
3 a) 0 b) -1
09) Dar el intervalo de variación de: , si x
x 2 c) 2 d) 1
2;8 e) 3

Rpta.: 06) Si (x + 3) [3 ; 7]. Calcular el máximo valor de
“x”
10) Sean:
a) 4 b) 3
A = {x R / -2 < x 15} c) 2 d) 1
e) 0
B = {x R / -5 x < 10}
47

07) Resolver: 14) Hallar m + 2n, si el conjunto solución de la
inecuación cuadrática en x:
2x 4 3 2x 6
8 2 7 4 2
x + mx + n < 0, es: C.S. = 13
;

a) x > 13 b) x < 13
a) 4 b) -6
c) x > -14 d) x < -14
c) 6 d) -8
e) x > 0
e) 8
08) Si “x” es un número entero y además 5 < x <
7, calcular (x + 3)
15) Resolver:
a) 7 b) 9
2
c) 11 d) 13 x +x+3>0
e) 15
a) R b) Z
09) Si: x -1 ; 2 3x – 5 > 2x – 4, por lo c) N d) Z–
tanto x pertenece al intervalo: e) Q

a) -2 ; 1 b) -1 ; 2
c) [2 ; 4 d) 1 ; 2
e) N.A.
INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON
10) Resolver: UNA INCÓGNITA
(x + 1)2 + 3 > 0
Una inecuación de segundo grado con una incógnita
a) 0 b) {0 ; 1} es aquella desigualdad condicional que reducida a su
c) R– d) R+ más simple expresión tiene la forma:
e) R ax2 bx c 0 ó ax2 bx c 0
11) Si x [-2 ; 3], hallar: a + b, si a 2–3x b
Donde los coeficientes a, b y c son números reales;
a) 1 b) 2 siendo a 0. Es recomendable que a sea siempre
c) -1 d) -2 positivo, pero si fuera negativo, se multiplica ambos
e) 3 miembros por -1 para hacerlo positivo, con lo cual se
cambia el sentido de la desigualdad.
12) Resolver:
1ra Propiedad para completar cuadrados:
2[x2 – 7x + 12] < [x2 – 4x + 3]
Si x2 < a entonces a x a
a) 7 ; 3 b) 3 ; 5 Ejemplos:
c) 3 ; 7 d) 10 ; 12
e) * Si x2 < 16 16 x 16
-4 < x < 4
13) Resolver: * Si x2 81 81 x 81
2 2 -9 x 9
(x – 3) (x + 1) – (x + 3) (x - 1) < 0
25 25 25
a) R b) 0 ; 3 * Si x2 x
49 49 49
c) [0 ; 3] d) R– 0 ; 3 5 5
e) x
7 7
2da Propiedad

Si x2 > a; entonces x a x a
Ejemplos:

* Si x2 > 64 x 64 x 64
x > 8 v x < -8
* Si x2 > 3 x 3 x 3

36 36 36
* Si x2 x x
100 100 100
6 6
x x
10 10

48

3 3
x x
5 5 Aprendiendo a resolver……resolviendo

TAREA DE CLASE
Resolver: 14) Resolver:
2
2 x – 3x – 4 < 0
01) x + 4x > 5

Rpta.: Rpta.:

15) Resolver:
02) x2 + 6x > 0 2
x – 2x – 2 0
Rpta.: Rpta.:
2
16) x – 6x + 9 0
2
03) x + 8x > 33
Rpta.:
Rpta.:
17) Resolver:
2
(x – 4)2 > 0
04) x – 10x < -9
Rpta.:
Rpta.:
18) Resolver:
05) x2 + 2x – 63 < 0 (3x – 1)2 0
Rpta.:
Rpta

06) -x2 + 5x + 4 < 0
19) Si x [-2 ; 3], hallar: a + b, si a 2–3x
Rpta.: b
07) 2x2 – x – 3 0 a) 1 b) 2
Rpta.: c) -1 d) -2
e) 3

08) 3x2 – 2x – 8 0 20) Resolver:
2[x2 – 7x + 12] < [x2 – 4x + 3]
Rpta.:
a) 7 ; 3 b) 3 ; 5
c) 3 ; 7 d) 10 ; 12
09) 2x(x – 3) < 5 e)
Rpta.: 21) Resolver:
2 2
10) (x + 3)2 – 3x > 8 (x – 3) (x + 1) – (x + 3) (x - 1) < 0

Rpta.: a) R b) 0 ; 3
c) [0 ; 3] d) R– 0 ; 3
e)
11) (x + 5) (3x – 2) x

Rpta.: 22) Hallar m + 2n, si el conjunto solución de la
inecuación cuadrática en x:
12) 4x(x – 5) 12
x2 + mx + n < 0, es: C.S. = 13
;
Rpta.:
a) 4 b) -6
c) 6 d) -8
e) 8

23) Resolver:

x2 + x + 3 > 0

49

x = 4 v x = -4 C.S. =
a) R b) Z C.S. = {-4 ; 4}
–
c) N d) Z
e) Q
3.- | x  2 |
 x
 0 ( x 2  x
   x )
2
  x
( ) ( ) 2 0 x 1
24) Si “x” es un número entero y además 5 < x
x < 7, calcular (x + 3) C.S. =
a) 7 b) 9
c) 11 d) 13 INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
e) 15

25) Si: x -1 ; 2 3x – 5 > 2x – 4, por |x| a a 0 a x a
lo tanto x pertenece al intervalo: |x| a x a x a
a) -2 ; 1 b) -1 ; 2 |x| |a| x2 a2
c) [2 ; 4 d) 1 ; 2
e) N.A.
Ejemplos: Resolver:
26) Resolver:
(x + 1)2 + 3 > 0 |x| < 4
-4 < x < 4 -4 0 4
a) 0 b) {0 ; 1} C.S. = -4 ; 4
c) R– d) R+
e) R TAREA DE CLASE
01) Resolver: |3x – 5| = 8
VALOR ABSOLUTO
Rpta.:
Definición: El valor absoluto de un número real x
es aquel número positivo denotado por |x| y 02) Resolver: |x| =
definido así:
x ; x 0
Rpta.:
| x |
x ; x 0
03) Resolver: |x – 2| = |3x + 1|
TEROREMAS: x R
Rpta.:
1) |x| 0
2) |x| = |-x| 04) Resolver: |3x + 7| = |2x – 5|
3) |xy| = |x| |y|
x | x | Rpta.:
4) ;y 0
y | y |
05) Resolver: |3x| = 18
5) |x|2 = x2
6) x2 | x| Rpta.:
n n| x | 06) Resolver: |x + 5| = 20
7) x
n n
8) |x | = |x| Rpta.:
|x + y| |x| + |y| (Desigualdad triangular
Ejemplos: 07) Resolver: |x2 + x – 5| = x2 + 5

|9| = |-9| = 9 Rpta.:
|x (x – 1)| = |x| |x – 1| 2
|3(x2 – 4)| = |3| |x2 – 4| = 3|x2 – 4| 08) Resolver: |x + 6x + 9| = 0
2 2
|x| = 9 x = 9 x = 3 v x = -3
3 3| 8 | Rpta.:
8 2

09) Resolver: |2x + 1| = 5x + 3
ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
Rpta.:
|x| a a 0 (x a x a)
|x| |a| x a x a 10) Resolver: |2x2–2x + 5| = |x2 + 2|

Ejemplos: Resolver: Rpta.:

1.- |x| = 4 2. | x| 7
50


2
2 05) Resolver: ||x – x| – x| = x
11) Resolver: |x – 1| = –x

Rpta.: a) {1 ; 2} b) {0 ; 1} c) {0 ; 1 ; 3} d) {-1 ; 2}
e) {-1 ; 2 ; 3}
12) Resolver: |x| > 3
06) Resolver: |2x + 8| = x + 4
Rpta.:
a) {0} b) {-2} c) {-4} d) {-3} e) {-8}
13) Resolver: |x2 + x – 20| > -2 07) Resolver: |x – 1| = |2x + 1|
Rpta.: a) {-2 ; 0} b) {1 ; 0} c) {-2 ; 2} d) {-3 ; 0}
e) {-2 ; 1}
14) Resolver: |5x + 3| < 8

Rpta.: 08) Resolver: |||x| – 2| + 1| = 4

15) Resolver: |6x – 5| > 1 a) {1 ; -1} b) {2 ; -2} c) {5 ; -5} d) {3 ; -5}
e) {5 ; -3}
Rpta.:
2
09) Resolver: |2x – 3| 4x + 3
16) Resolver: |2x – 1| < x + 1
a) x [0 ; 3] b) x 0;3 c) x 0 ; 2]
Rpta.: d) x [0 ; 2] e) x [0 ; 8]
17) Resolver: |x–2|2– 2|x–2|–15 < 0 10) Resolver: |x – 5| < 4
Rpta.: a) x 1;8 b) x [4 ; 8 c) x 1 ; 9]
d) x [1 ; 8 e) N.A.
18) Resolver: |x + 2| > 2x – 3
11) Resolver: |x2 – 1| < 2
Rpta.:
a) 3 ; 3
19) Resolver: |3x – 1| < 5x – 3
b) 2 ; 3
Rpta.: c) 3 ; 2
20) Resolver: |x + 3| < |3x – 4| d) 3 ; 5
e) N.A.
Rpta.: 12) Resolver: x2 4x 5x 1

Aprendiendo a resolver……resolviendo a) x - ; 1/2 1/2 ; +
b) x - ; 1/12 1/2 ; +
01) Resolver: |6x – 7| = 5 c) x - ;1 1;+
d) x - ;2 3;+
a) {2 ; 1/3} b) {-2 ; 1} c) {3 ; 1/3} e) N.A.
d) {2 ; -1/3} e) {4 ; -1/3} 2
13) Resolver: |2x + 3x – 15| > -1
02) Resolver: |3x – 2| = x
a) 1 ; 2 b) [2 ; +
a) {-1 ; 2} b) {1 ; 1/3} c) {1 ; 1/2} d) {1 ; 2} c) [3 ; + d) R
e) {1 ; -1/2} e) 1 ; 3
14) Resolver: |2x2 – 3| 4x + 3
03) Resolver: |2x + 5| = |3x – 2|

a) {-1/2 ; 5} b) {7 ; -3/5} a) x - ;0 [3 ; +
c) {-2 ; 5} d) {7 ; -3} b) x [3/4 ; 5] [3 ; +
e) {-7 ; 3/5} c) x [-3/2 ; 0] [5 ; +
d) x [-3/4 ; 0] [3 ; +
04) Resolver: |4x – 9| = |5x + 2| e) x [-3/4 ; 0] [2 ; +

a) {7/9 ; -11} b) {9/7 ; 11}
c) {-13 ; 7} d) {7 ; -11}
e) {7/8 ; -11}

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ALGEBRA 2º

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