Dif finitas
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El documento presenta definiciones y métodos para resolver ecuaciones en diferencias lineales de primer y segundo orden con coeficientes constantes. Explica que una ecuación en diferencias es una expresión que involucra valores de una sucesión en diferentes períodos de tiempo. Luego, detalla los pasos para encontrar la solución general y particular de ecuaciones lineales de primer orden, como determinar los parámetros basados en condiciones iniciales. Igualmente, explica cómo resolver ecuaciones lineales de segundo orden obteniendo la ecuación característica y sus raíces para hallar
Dif finitas
- 1. Cap´ıtulo 1 Ecuaciones En Diferencias Definici´on 1.1 Llamamos ecuaci´on en diferencias a una expresi´on del tipo F(xt+n, xt+n−1, xt+n−2, · · ·, xt+1, xt, t) = 0. (1.1) Una soluci´on de la misma, es toda sucesi´on x que la cumpla. El conjunto de todas las soluciones recibe el nombre de soluci´on general. Esta soluci´on general presenta cierto n´umero de par´ametros, que pueden determinarse a partir de las condiciones iniciales. Definici´on 1.2 Llamamos orden de la ecuaci´on, a la diferencia entre el mayor y el menor de los ´ındices que afectan a x. La expresi´on 3xt+4 − xt = 5, es una ecuaci´on en diferencias de orden (t+4)-t=4, o de cuarto orden. 1.1. Ecuaciones lineales de primer orden Definici´on 1.3 Una ecuaci´on en diferencias lineal de primer orden puede expresarse de la forma: p2(t)xt+1 + p1(t)xt = q(t), (1.2) donde pi(t)6= 0; i = 1; 2 y q(t) son funciones en la variable discreta t. Si la sucesi´on q(t) es cero, entonces la ecuaci´on lineal recibe el nombre de ecuaci´on homog´enea asociada a (1.2). Cuando las funciones p1(t) y p2(t) son constantes, se dice que la ecuaci´on lineal (1.2) es de coeficientes constantes. 1.1.1. Soluci´on de Ecuaciones lineales de primer orden de coeficientes constantes. Dada la ecuaci´on: p2xt+1 + p1xt = q(t), (1.3) donde p1 y p2 son valores que no dependen de t. 1
- 2. M´etodos Matem´aticos Para Econom´ıa J. Walter Ysique Quesqu´en 1. Si q(t) = 0. La soluci´on est´a dada por xt = A− p1 p2t , donde A es un valor que se halla considerando las condiciones iniciales que se dan para xt. t + xp 2. Si qt6= 0. La soluci´on est´a dada por xt = xh t soluc. homog´enea y xp t , donde xh t soluci´on particular. Si q(t) = K , para K valor constante. -Si p2 + p16= 0. Se propone como soluci´on particular xp t = μ, se reemplaza en la ecuaci´on (1.3) y se deduce el valor de μ. -Si p = p2 = −p1. Se propone como soluci´on particular xp t = μt, se reemplaza en la ecuaci´on (1.3) y se deduce el valor de μ. Si q(t) = Bdt , donde B y d son constantes dadas. -Si p2d + p16= 0. Se propone como soluci´on xp t = μdt, se reemplaza en la ecuaci´on (1.3) y se deduce el valor de μ. -Si p2d + p1 = 0. Se propone como soluci´on xp t = μtdt, se reemplaza en la ecuaci´on (1.3) y se deduce el valor de μ. Si q(t) = a1t + a0, para a1, a0 constantes. -Si p2 + p16= 0. Se propone como soluci´on xp t =
- 3. t + , se reemplaza en la ecuaci´on (1.3) y se deduce el valor de y
- 4. . –Si p2 + p1 = 0. Se propone como soluci´on xp t = t(
- 5. t + ), se reemplaza en la ecuaci´on (1.3) y se deduce el valor de y
- 6. . 1.2. Ecuaciones lineales de segundo orden. 1.2.1. Ecuaciones lineales de segundo orden de coeficientes constantes. Ecuaci´on de la forma: p2xt+2 + p1xt+1 + p0xt = q(t), (1.4) donde: p2, p1, p0 constantes, p2, p06= 0; q(t) puede ser una constante, un polinomio, una expresi´on exponencial, etc. 1.2.2. Soluci´on de ecuaciones lineales de segundo orden de coeficientes constantes. 1. Cuando q(t) = 0. La ecuaci´on: p2xt+2 + p1xt+1 + p0xt = 0, (1.5) 2
- 7. M´etodos Matem´aticos Para Econom´ıa J. Walter Ysique Quesqu´en admitir´a la soluci´on xt = t si p2t+2 + p1t+1 + p0t = t(p22 + p1 + p0) = 0, es decir: P() = a22 + a1 + a0 = 0. (1.6) La ecuaci´on (1.6) recibe el nombre de ecuaci´on caracter´ıstica de la ecuaci´on en diferencias. Sean 1 y 2 las ra´ıces de P() = 0. Entonces: (a) Si 16= 2: xt = C1t 1 + C2t 2 , donde C1 y C2 son constantes. (b) Si 1 = 2 = : xt = C1t + C2tt , donde C1 y C2 son constantes. 2. Adem´as, si q(t)6= 0. Es necesario hallar la soluci´on particular xp t , de tal manera que la soluci´on de la ecuaci´on (1.4) queda como: t + xp xt = xh t . (1.7) (a) Si q(t) = K, una constante: • Si 16= 1 y 26= 1, entonces se propone como soluci´on particular: xp t = μ , donde μ es una constante. • Si 1 = 1 y 26= 1, entonces se propone como soluci´on particular: xp t = μt, (note que 1 = 1 equivale a: p2 + p1 + p0 = 0). • Si 1 = 2 = 1, es decir, 1 es ra´ız de P() = 0 con multiplicidad 2; entonces se propone como soluci´on particular: xp t = μt2, (note que 1 = 1 equivale a: p2 + p1 + p0 = 0). (b) Si q(t) es un polinomio de grado n, entonces ensayamos con un polinomio del mismo grado. Si el = 1 es ra´ız de la ecuaci´on caracter´ıstica P() = 0, tomaremos un polinomio de grado n+1, si adem´as tiene grado de multiplicidad , probaremos con un polinomio de grado n + . (c) Si q(t) = t, entonces se propone como soluci´on particular xht =
- 8. t. Si es ra´ız de la ecuaci´on caracter´ıstica P() = 0, se propone como soluci´on particular xh t =
- 9. t t, donde es la multiplicidad de . 3
- 10. M´etodos Matem´aticos Para Econom´ıa J. Walter Ysique Quesqu´en Ejercicios: 1. Resolver: a) 3xt+1 + 2xt + 16 = 0 b) xt+1 = −xt + t Hallar l´ım t!+1 xt donde exista. 2. Resolver: a) xt+2 + 2xt+1 − 3xt = 0 b) xt+2 − 14xt − 2 = 0 Hallar l´ım t!+1 xt donde exista. 3. Sea Yt la renta nacional, It la inversi´on total y St el ahorro total, todo en el per´ıodo t. Suponga que el ahorro es proporcional a la renta y la inversi´on es proporcional a la variaci´on de la renta, de modo que se tiene el modelo St = Yt, It =
- 11. (Yt − Yt−1), St = It, para cada t = 1, 2, · · · . Asumiendo que
- 12. , hallar Yt. 4. Dado el siguiente modelo de ajuste de precios: Qd,t = −
- 13. Pt, ,
- 14. 0 Qs,t = − + Pt, , 0 Pt+1 = Pt + j(Qd,t − Qs,t), j 0. Si 1
- 15. + j 2
- 16. + , hallar l´ım t!+1 Pt y describir el tipo de comportaiento de Pt. *****Revisar m´as ejercicios de los diferentes casos***** 4