Dist. normal
- 1. Universidad Nacional Experimental “Francisco de Miranda” Dpto. de Física y Matemática Unidad Curricular: Estadística Tema V Distribución de Probabilidad Normal Profa. Ing. Maryorys Polanco Coro, julio de 2013
- 2. Contenido Introducción. Tema V. Distribución de Probabilidad Teorema Central del Límite. Área de distribución normal. Aproximación de la Binomial a la Normal. Solución de problemas. Normal
- 3. Tema V. Distribución de Probabilidad Normal Introducción 휇 Algunas características: 휎 La curva es simétrica alrededor de un eje vertical a través de la media 휇 La curva se aproxima al eje horizontal de forma asintótica, conforme nos alejamos de la muestra. El área total bajo la curva y sobre el eje horizontal es 1.
- 4. Tema V. Distribución de Probabilidad Normal La función de densidad de probabilidad de una v.a normal x, con media 휇 y varianza 휎2 es, 푓(푥: 휇, 휎)= (푥−휇)2 2휎2 con - ∞ <x<∞ 1 2휋휎2 푒− y su función de distribución acumulativa es, 퐹(푥: 휇, 휎)= 1 2휋휎2 (푥−휇)2 2휎2 푑푥 푥 푒− Walpole, 2007. -∞
- 5. Tema V. Distribución de Probabilidad Normal Teorema del Limite Central Definición: Sea 푥 la media de una m.a. de tamaño n tomada de una población con distribución desconocida y media 휇 y varianza 휎2 definidas , entonces la forma límite de la distribución de z = 푥 −휇 휎 푛 , conforme 푛 → ∞ es la distribución normal estándar 푛 푧: 0,1 . Esto es, lim 푛→∞ 푃 푎 ≤ 푥 − 휇 휎 푛 ≤ 푏 = 1 2휋 푏 푒− 푎 푧2 2 푑푧 Es decir, la variable aleatoria Z es asintóticamenteS npioegrmel,a l 2009
- 6. Tema V. Distribución de Probabilidad Teorema del Limite Central Para n = 1, 2,…., n tenemos 푆푛 = 푋1 + 푋2 + ⋯ + 푋푛. Ahora 푋1, 푋2, … , 푋푛, tienen cada una media 휇 푦 푣푎푟푖푎푛푧푎 휎2. Asi, 퐸(푆푛) = 퐸(푋1) + 퐸(푋2) + ⋯ + 퐸(푋푛 ) = 푛휇 푉푎푟 푆푛 = 푉푎푟 푋1 + 푉푎푟 푋2 + ⋯ + 푉푎푟 푋푛 = 푛휎2 La variable aleatoria estandarizada correspondiente a 푆푛 es 푆푛 ∗ = 푆푛 − 푛휇 휎 푛 Normal
- 7. Tema V. Distribución de Probabilidad Normal Teorema del Limite Central La función generadora de momento para 푆푛 es 퐸 푒푡푆푛 = 퐸 푒푡(푆푛−푛휇)/휎 푛 퐸 푒푡푆푛 = 퐸 푒푡(푋1−휇)/휎 푛푒푡(푋2−휇)/휎 푛 … 푒푡(푋푛−휇)/휎 푛 = 퐸 푒 푡 푋1−휇 휎 푛 퐸 푒 푡 푋2−휇 휎 푛 ⋯ 퐸 푒 푡 푋푛−휇 휎 푛 = 퐸 푒 푡 푋1−휇 휎 푛 푛 Expansión de Taylor n=2 퐸 푒 푡 푋1−휇 휎 푛 = 퐸[1 + 푡 푋1 − 휇 휎 푛 + 푡2 푋1 − 휇 2 2휎2푛 + ⋯
- 8. Tema V. Distribución de Probabilidad Normal Teorema del Limite Central = 퐸 1 + 푡 휎 푛 퐸 푋1 − 휇 + 푡2 2휎2푛 퐸(푋2 − 휇)2⋯ = 1 + 푡 휎 푛 0 + 푡2 2휎2푛 휎2 + ⋯ = 1 + 푡2 2푛 + ⋯ 퐸 푒푡푆푛 = (1 + 푡2 2푛 + ⋯ )푛 Como el limite 푛 → ∞ es 푒 푡2 2 , lo cual es la función generadora de momentos de la distribución normal estandarizada, la variable 푆푛 converge en distribución a una v.a. n(Z;0,1)
- 9. Tema V. Distribución de Probabilidad Áreas de la Distribución normal El área bajo la curva normal es igual a 1. Esto por, P(−∞ < 푥 < ∞)= 1 2휋휎2 (푥−휇)2 ∞ 푒− 2휎2 푑푥 = 1 -∞ Normal
- 10. P(푥1 ≤ 푥 ≤ 푥2)= Tema V. Distribución de Probabilidad 푥2 푒− 1 2휋휎2 푥1 푥−휇 2 2휎2 푑푥 푃(푥1 ≤ 푥 ≤ 푥2) 푥1 푥2 Normal
- 11. Tema V. Distribución de Probabilidad Normal Sea Z una v. a. definida por la relación Z = 푥−휇 휎 con 휇 = 0 푦 휎 = 1. Siempre que X tome un valor x, el valor correspondiente de z será el dado por la relación anterior. En consecuencia podemos escribir, P(푥1 ≤ 푥 ≤ 푥2)= P(푧1 ≤ 푍 ≤ 푧2)= 1 2휋 푧2 푒− 푧1 푧 2 2 푑푥 A la distribución de la v.a. normal con 휇 = 0 푦 휎 = 1 se le conoce como Distribución Normal Estándar.
- 12. Tema V. Distribución de Probabilidad Normal Aproximación de la Binomial a la Normal La distribución normal es una buena aproximación para una distribución discreta cuando esta adquiere una forma de campana. Debido a que su F se tabula muy fácilmente.
- 13. Tema V. Distribución de Probabilidad Normal Aproximación de la Binomial a la Normal Definición: Si x es una v. a. binomial con 휇 = 푛푝 푦 휎 = 푛푝푞 entonces la forma límite de la distribución de la variable Z = 푥 − 푛푝 푛푝푞 Conforme 푛 → ∞ es la distribución normal estándar 푛 푧: 0,1
- 14. Tema V. Distribución de Probabilidad Normal Esta aproximación puede escribirse la siguiente forma: lim 푛→∞ 푃 푎 ≤ 푥 − 푛푝 푛푝푞 ≤ 푏 = 1 2휋 푏 푒− 푎 푧2 2 푑푧 Esto quiere decir que la v. a. Z es asintóticamente normal. Spiegel, 2009 Cuando se aproxima una distribución discreta a una continua es preciso usar la corrección de continuidad x ± 0,5
- 15. Tema V. Distribución de Probabilidad Normal Solución de Problemas 1. El volumen de llenado de una maquina automatizada utilizada para llenar latas de una bebida carbonatada tiene una distribución normal con 휇 = 12,4 onzas líquidas y una 휎 = 0,1 onzas líquidas. a. Calcule la probabilidad de que el volumen de llenado sea menor a 12 onzas. b. Si se desechan todas las latas con menos de 12,1 onzas y mas de 12,6 onzas, calcule la proporción de latas que se desecharía. c. Determine las especificaciones simétricas alrededor de la media que incluyen el 95%de las latas.
- 16. Tema V. Distribución de Probabilidad Solución de Problemas 2. Evalúe la 푃(1 ≤ 푥 ≤ 4) para un variable binomial con n=15 y p=0,2 a. A través de la distribución binomial b. Usando la aproximación a la distribución normal. Normal
- 17. Tema V. Distribución de Probabilidad Normal Solución de Problemas 3. El peso de los frutos del melón de una siembra en la península de Paraguaná es una v. a. distribuida normalmente. Calcule el tamaño de muestra aleatoria que debe seleccionarse para que con una probabilidad de 98,42% su media difiera de la media poblacional en 1/3휎 o menos.