Distancia del plano numérico.docx
- 1. Presentación Plano numérico Nombre: óscar arroyo Sección:0134
- 2. Distancia del plano numérico : A partir de conocer la ubicación de dos puntos en el plano cartesiano, es posible determinar la distancia que hay entre éstos. Cuando algún punto se encuentra en el eje de las x o de las abscisas o en una recta paralela a éste eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de las diferencia de sus abscisas. (x 2 – x 1 ). Ejemplo: La distancia entre los puntos (–4, 0) y (5, 0). Donde (-4) = x 1 ; 5 = x 2. Aplicando la fórmula es 5 – (–4) = 5 +4 = 9 unidades. Lo mismo sucede con el eje de las ordenadas, cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y (de las ordenadas) o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas. (y 2 – y 1 ). Si los puntos se encuentran en cualquier lugar del plano cartesiano, se calcula mediante la relación: Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos P 1 (x 1 , y 1 ) y P 2 (x 2 , y 2 ) en el sistema de coordenadas, luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa P 1 P 2 y emplear el Teorema de Pitágoras. Punto Medio : El punto medio es un punto que se ubica exactamente en la mitad de un segmento de línea que une a dos puntos. Por ejemplo, si es que tenemos dos puntos y los unimos con un segmento de línea, el punto medio se ubicará en la mitad de ese segmento y será equidistante a ambos puntos.
- 3. En el siguiente diagrama tenemos los puntos A y B, los cuales están unidos por un segmento. El punto C es el punto medio, ya que está exactamente en la mitad del segmento. Para calcular la ubicación del punto medio, simplemente tenemos que medir la longitud del segmento y dividir por 2. Un punto medio puede ser calculado solo cuando tenemos a un segmento que une a dos puntos, ya que tiene una ubicación definida. El punto medio no puede ser calculado para una línea o un rayo, ya que una línea tiene dos extremos que se extienden indefinidamente y un rayo tiene un extremo que se extiende indefinidamente. Fórmula para el punto medio de un segmento La fórmula para el punto medio de un segmento es derivada usando las coordenadas de los puntos extremos del segmento. El punto medio es igual a la mitad de la suma de las coordenadas en x de los puntos y a la mitad de las coordenadas en y de los puntos. Entonces, si es que tenemos los puntos A y B con las coordenadas A=(x_{1}, y_{1})A=(x1,y1) y B=(x_{2}, y_{2})B=(x2,y2), la fórmula del punto medio es: Fórmula del punto medio M=left( frac{x_{1}+x_{2}}{2}+frac{y_{1}+y_{2}}{2}right)M=(2x1+x2+2y1+y2) El punto medio será expresado como las coordenadas M=(x_{3}, y_{3})M=(x3,y3 ). Ecuaciones y trazado de circunferencias : En esta sección aprenderás a representar vectorialmente a todos los puntos que pertenezcan a un plano llamado .
- 4. Para esto, necesitamos a un punto fijo del plano y a dos vectores con direcciones distintas y llamados vectores directores. Los vectores y se denominan directores, ya que son los encargados de establecer las direcciones para generar a los puntos del plano , dichos vectores se consideran en el plano. La construcción de la ecuación vectorial es la siguiente: Consideremos a como un punto de referencia del plano Consideramos a un vector en el plano que comienza en y termina en , dicho vector se puede construir de la siguiente manera Ahora, como y también pertenecen a y no tienen la misma dirección, es posible encontrar a escalares y respectivamente, tales que sea posible crear a los vectores y cuya suma sea , es decir:
- 5. Entonces con esta igualdad ya es posible comenzar a desarrollar: es decir: llegando a la ecuación en su forma vectorial de los elementos del plano :
- 6. Parábolas: En general, la parábola es una curva plana, sin centro, abierta y simétrica respecto a un eje. Al igual que las otras cónicas, en un principio los griegos de la antigüedad la estudiaron en el contexto geométrico como sección de un cono. La geometría analítica la define como lugar geométrico, esto es, un conjunto de puntos que satisfacen una propiedad geométrica definida en términos de distancias. Una de las principales aplicaciones de la parábola se basa en su propiedad reflexiva, la cual consiste en que cuando una onda (sonora o electromagnética) viaja paralela al eje de una superficie parabólica y choca con esta, se refleja hacia el foco y, viceversa, si a partir del foco de una superficie parabólica se emite una onda, cuando choca con la superficie se refleja paralelamente al eje. Esta propiedad se aplica en la construcción de reflectores y antenas. También es importante que los proyectiles, sometidos a la acción de la fuerza de gravedad, sigan una trayectoria parabólica. Elipses : La elipse es una de las cónicas que se ha estudiado desde la época de los griegos, ha sido útil para explicar la trayectoria de los planetas y en el diseño de habitaciones con características acústicas excepcionales. Cuando un cono recto es intersecado con un plano no paralelo a la generatriz del cono ni perpendicular a su base, el resultado es una Elipse, este hecho, ya era conocido por los griegos y fue estudiado por Apolonio. Cuando el plano es paralelo se forma una circunferencia y este caso merece un tratamiento especial.
- 7. Hipérbola: La hipérbola es una curva plana, abierta, con dos ramas; se define como el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancias a otros dos fijos, llamados focos, es constante e igual a 2a = AB, la longitud del eje real. Tiene dos ejes perpendiculares que se cortan en el punto medio O, centro de la curva. El eje mayor AB se llama eje real y se representa por 2a; el eje menor se representa por 2b y se llama imaginario porque no tiene puntos comunes con la curva. Los focos están en el eje real. La distancia focal se representa por 2c. Entre a, b y c existe la relación c2 = a2 + b2. La hipérbola es simétrica respecto de los dos ejes y, por lo tanto respecto del
- 8. centro O. Las rectas que unen un punto M de la curva con dos focos, se llaman radios vectores r y r' y por definición se verifica: r - r' = 2a. La circunferencia principal de la hipérbola es la que tiene por centro O y radio 2a. Se define como el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas por los focos a cada una de las tangentes. Las circunferencias focales tienen por centro los focos y radio a. La hipérbola, como la elipse, se puede definir como el lugar geométrico de los centros de circunferencias que pasan por un foco y son tangentes a las circunferencias focales del otro foco. Las asíntotas de la hipérbola son las tangentes a la curva en los puntos del infinito. Estas asíntotas son simétricas respecto de los ejes y pasan por el centro de la curva. Representar gráficamente las ecuaciones de las cónicas: Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a todas las curvas resultantes de las diferentes intersecciones entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas propiamente dichas. Se clasifican en cuatro tipos: elipse, parábola, hipérbola y circunferencia. La primera definición conocida de sección cónica surge en la Antigua Grecia, cerca del año 340 a.C (Menecmo) donde las definieron como secciones «de un cono circular recto».1 Los nombres de hipérbola, parábola y elipse se deben a Apolonio de Perge. Actualmente, las secciones cónicas pueden definirse de varias maneras; estas definiciones provienen de las diversas ramas de la matemática: como la geometría analítica, la geometría proyectiva, etc. En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad (α) y la inclinación del plano respecto del eje del cono (β), pueden obtenerse diferentes secciones cónicas, a saber: β < α : Hipérbola (naranja) β = α : Parábola (azulado) β > α : Elipse (verde) β = 90º: Circunferencia (un caso particular de elipse) (rojo) Y β= 180º : Triangular