Plano Numerico
- 1. PLANO NUMERICO Estudiante: Sabrina Querales CI:31.132.155
- 2. Marco de espacio bidimensional formado por dos rectas numéricas infinitas (el eje X, de modo horizontal, y el eje Y, de modo vertical) que se encuentran perpendicularmente en el origen (0,0). La ubicación de un punto (X,Y) dentro del plano se denomina coordenada numérica y se expresa como un par ordenado entre distancia y altura. DEFINICIÓN
- 3. A partir de conocer la ubicación de dos puntos en el plano cartesiano, es posible determinar la distancia que hay entre éstos. Cuando algún punto se encuentra en el eje de las x o de las abscisas o en una recta paralela a éste eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de las diferencia de sus abscisas. (x 2 – x 1 ). Distancia entre dos Puntos en el Plano Cartesiano La distancia entre los puntos (–4, 0) y (5, 0). Donde (-4) = x 1 ; 5 = x 2. Aplicando la fórmula es 5 – (–4) = 5 +4 = 9 unidades. Lo mismo sucede con el eje de las ordenadas, cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y (de las ordenadas) o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas. (y 2 – y 1 ). Ejemplo Si los puntos se encuentran en cualquier lugar del plano cartesiano, se calcula mediante la relación:
- 4. Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos P 1 (x 1 , y 1 ) y P 2 (x 2 , y 2 ) en el sistema de coordenadas, luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa P 1 P 2 y emplear el Teorema de Pitágoras Ejemplo
- 5. El punto medio es un punto que se ubica exactamente en la mitad de un segmento de línea que une a dos puntos. Por ejemplo, si es que tenemos dos puntos y los unimos con un segmento de línea, el punto medio se ubicará en la mitad de ese segmento y será equidistante a ambos puntos. Punto Medio La fórmula para el punto medio de un segmento es derivada usando las coordenadas de los puntos extremos del segmento. El punto medio es igual a la mitad de la suma de las coordenadas en x de los puntos y a la mitad de las coordenadas en y de los puntos. Fórmula para el punto medio de un segmento Entonces, si es que tenemos los puntos A y B con las coordenadas y , la fórmula del punto medio es: Fórmula del punto medio El punto medio será expresado como las coordenadas
- 6. , es decir, que dependa linealmente de y Para determinar un plano del espacio, se necesita conocer un punto y un par de vectores que formen una base, es decir, que sean linealmente independientes. Ecuaciones del Plano Numerico P Para que el punto pertenezca al plano el vector tiene que ser coplanario con los vectores y En coordenadas se expresa
- 7. Si operamos en la ecuación vectorial del plano llegamos a la igualdad: Ecuaciones Paramétricas Para que se verifique esta igualdad, se debe cumplir que:
- 8. a es la abscisa en el origen de la recta. b es la ordenada en el origen de la recta. Los valores de a y de b se se pueden obtener de la ecuación general. Si y = 0 resulta x = a. Si x = 0 resulta y = b. La ecuación segmentaria o canónica de la recta es la expresión de la recta en función de los segmentos que ésta determina sobre los ejes de coordenadas. Ecuación Segmentaria Una recta carece de la forma segmentaria en los siguientes casos: Recta paralela a OX, que tiene de ecuación y = n. Recta paralela a OY, que tiene de ecuación x = k. Recta que pasa por el origen, que tiene de ecuación y = mx. 1. 2. 3.
- 9. De manera formal, una circunferencia se define como el lugar geométrico de los puntos del plano equidistantes de otro, llamado centro de la circunferencia. Trazado de Circunferencia No debemos nunca confundir el concepto de círculo con el concepto de circunferencia, que en realidad una circunferencia es la curva que encierra a un círculo (la circunferencia es una curva, el círculo una superficie). Centro: punto central que está a la misma distancia de todos los puntos pertenecientes a la circunferencia. Radio: pedazo de recta que une el centro con cualquier punto perteneciente a la circunferencia. Cuerda: pedazo de recta que une dos puntos cualquiera de una circunferencia. Diámetro: mayor cuerda que une dos puntos de una circunferencia. Hay infinitos diámetros y todos pasan por el centro de la circunferencia. Recta secante: recta que corta dos puntos cualesquiera de una circunferencia. Recta tangente: recta que toca a la circunferencia en un solo punto y es perpendicular a un radio. Elementos básicos
- 10. Parábola Una parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo, llamado foco y de una recta fija del mismo plano llamada directriz. La parábola es una sección cónica , resultado de la intersección de un cono recto con un plano que corta a la base del mismo, oblicuo a su eje y paralelo a una generatriz g de la superficie cónica. El foco y la directriz determinan cómo va a ser la apariencia de la parábola (en el sentido de que «parecerá» más o menos abierta según sea la distancia entre F y la directriz). Todas las parábolas son semejantes. Su excentricidad es 1 en todos los casos. Solamente varía la escala.
- 11. Una de las aplicaciones físicas más importantes de la parábola es el movimiento parabólico. Este movimiento se caracteriza porque una partícula o cuerpo sólido lanzado en un campo gravitatorio recorre una trayectoria parabólica. parábola Una aplicación práctica de la parábola son las antenas parabólicas, en las que todas las rectas paralelas al eje de la cónica se reflejan en el foco de la misma. (Empleado en óptica, antenas de transmisión de radiofrecuencia, estufas domésticas parabólicas, captación de energía solar, etc.).
- 12. Es el lugar geométrico de los puntos P (x,y) del plano cartesiano cuya suma de distancias de los puntos, llamados focos: F1 y F2 es constante. Elipse Cuando la elipse tiene forma vertical: Cuando la elipse tiene forma horizontal:
- 13. Cuando la elipse tiene forma vertical: El eje focal está paralelo al eje de las abscisas (y, y1) Elipse Cuando la elipse tiene forma horizontal: El eje focal está paralelo al eje de las abscisas (x, x1) Fórmula canónica Ecuación general de la circunferencia
- 14. La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a los puntos fijos llamados focos es constante en valor absoluto. La Hipérbola En la gráfica anterior, esto significa que para cualquier punto de la hipérbola.
- 15. 1. Focos: Son los puntos fijos Elementos de la hipérbola 4. Centro: Es el punto de intersección de los ejes. 5. Vértices: Los puntos y 2. Eje focal, principal o real: Es la recta que pasa por los focos. 3. Eje secundario o imaginario: Es la mediatriz del segmento 6. Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la hipérbola a los focos: y 7.Distancia focal: Es el segmento de longitud 8. Eje mayor: Es el segmento de longitud b de longitud Los puntos y se obtienen como intersección del eje imaginario con la circunferencia que tiene por centro uno de los vértices y de radio . 9. Eje menor: Es el segmento