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- 1. República Bolivariana De Venezuela Ministerio Del Poder Popular Para La Educación Universidad Politécnica Territorial De Lara “Andrés Eloy Blanco” Barquisimeto – Edo Lara PLANO NÚMERICO INTEGRANTE: LUISA UTRERA CI: 26.580.462 SECCIÓN: HSL 0152
- 2. PLANO NUMERICO O CARTESIANO Definición De Plano Cartesiano Se conoce como plano cartesiano, coordenadas cartesianas o sistema cartesiano, a dos rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otra vertical, que se cortan en un punto llamado origen o punto cero. La finalidad del plano cartesiano es describir la posición o ubicación de un punto en el plano, la cual está representada por el sistema de coordenadas. El plano cartesiano también sirve para analizar matemáticamente figuras geométricas como la parábola, la hipérbole, la línea, la circunferencia y la elipse, las cuales forman parte de la geometría analítica. El nombre del plano cartesiano se debe al filósofo y matemático francés René Descartes, quien fue el creador de la geometría analítica y el primero en utilizar este sistema de coordenadas. Elementos del plano cartesiano Los elementos y características que conforman el plano cartesiano son los ejes coordenados, el origen, los cuadrantes y las coordenadas.
- 3. Ejes coordenados Se llaman ejes coordenados a las dos rectas perpendiculares que se interconectan en un punto del plano. Estas rectas reciben el nombre de abscisa y ordenada. Abscisa: el eje de las abscisas está dispuesto de manera horizontal y se identifica con la letra “x”. Ordenada: el eje de las ordenadas está orientado verticalmente y se representa con la letra “y”. Origen o punto 0 Se llama origen al punto en el que se intersecan los ejes “x” y “y”, punto al cual se le asigna el valor de cero (0). Por ese motivo, también se conoce como punto cero (punto 0). Cada eje representa una escala numérica que será positiva o negativa de acuerdo a su dirección respecto del origen.
- 4. Así, respecto del origen o punto 0, el segmento derecho del eje “x” es positivo, mientras que el izquierdo es negativo. Consecuentemente, el segmento ascendente del eje “y” es positivo, mientras que el segmento descendente es negativo. Cuadrantes del plano cartesiano Se llama cuadrantes a las cuatro áreas que se forman por la unión de las dos rectas perpendiculares. Los puntos del plano se describen dentro de estos cuadrantes. Los cuadrantes se enumeran tradicionalmente con números romanos: I, II, III y IV. Cuadrante I: la abscisa y la ordenada son positivas. Cuadrante II: la abscisa es negativa y la ordenada positiva. Cuadrante III: tanto la abscisa como la ordenada son negativas. Cuadrante IV: la abscisa es positiva y el ordenada negativa. Coordenadas del plano cartesiano Las coordenadas son los números que nos dan la ubicación del punto en el plano. Las coordenadas se forman asignando un determinado valor al eje “x” y otro valor al eje “y”. Esto se representa de la siguiente manera: P (x, y), donde: P = punto en el plano; x = eje de la abscisa (horizontal); y = eje de la ordenada (vertical).
- 5. Si queremos saber las coordenadas de un punto en el plano, trazamos una línea perpendicular desde el punto P hasta el eje “x” –a esta línea la llamaremos proyección (ortogonal) del punto P sobre el eje “x”. Seguidamente, trazamos otra línea desde el punto P hasta el eje “y” –es decir, una proyección del punto P sobre el eje “y”. En cada uno de los cruces de las proyecciones con ambos ejes, se refleja un número (positivo o negativo). Esos números son las coordenadas. Por ejemplo, En este ejemplo, las coordenadas de los puntos en cada cuadrante son: cuadrante I, P (2, 3); cuadrante II, P (-3, 1); cuadrante III, P (-3, -1) y cuadrante IV, P (3, -2). Si lo que queremos es saber la ubicación de un punto a partir de unas coordenadas previamente asignadas, entonces trazamos una línea perpendicular desde el número indicado de la abscisa, y otra desde el número de la ordenada. La intersección o cruce de ambas proyecciones nos da la ubicación espacial del punto.
- 6. Por ejemplo, En este ejemplo, P (3,4) nos da la ubicación precisa del punto en el cuadrante I del plano. El 3 pertenece al eje de las abscisas y el 4 (segmento derecho) al eje de las ordenadas (segmento ascendente). P (-3,-4) nos da la ubicación específica del punto en el cuadrante III del plano. El -3 pertenece al eje de las abscisas (segmento izquierdo) y el -4 al eje de las ordenadas (segmento descendente). Distancia entre dos puntos Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas. Ejemplo: La distancia entre los puntos (-4,0) y (5,0) es 4 + 5 = 9 unidades. Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas. Ahora si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por la relación:
- 7. Comprobar un triángulo isósceles (distancia entre 2 puntos) Ejemplo: Demostrar que los puntos: A(3, 8); B(-11, 3) y C(-8, -2) son vértices de un triángulo isósceles. Como AB = AC es diferente de BC; el triángulo es isósceles. Comprobar que es un triángulo rectángulo (distancia entre 2 puntos) Ejemplo: Demostrar que A(7,5), B(2,3) y C(6, -7) son vértices de un triángulo rectángulo.
- 8. El cuadrado de la hipotenusa (AC) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (AB y BC). Punto Medio El punto medio es un punto que se ubica exactamente en la mitad de un segmento de línea que une a dos puntos. Por ejemplo, si es que tenemos dos puntos y los unimos con un segmento de línea, el punto medio se ubicará en la mitad de ese segmento y será equidistante a ambos puntos. La fórmula del punto medio En una dimensión En una recta numérica, el número a la mitad entre x 1 y x 2 es Ejemplo 1: Encuentro el punto medio entre –1 y 4. Use la fórmula. El punto medio es (–1 + 4)/2 = 3/2 o 1,5.
- 9. Ejemplo 2: Si 0.5 es el punto medio de y la coordenada de P es -4, encuentre la coordenada de R . Use la fórmula. Se despeja −4 + 𝑥2 = 0.5𝑥2 𝑥2 = 1 + 4 𝑥2 = 5 Así, la coordenada de R es 5. En dos dimensiones Suponga que se le dan dos puntos en el plano ( x 1 , y 1 ) y ( x 2 , y 2 ), y se le pide encontrar el punto a la mitad entre ellos. Las coordenadas de este punto medio serán: Una forma fácil para pensar en esto es que la coordenada en x del punto medio es el promedio de las coordenadas en x de los dos puntos, y de la misma forma con la coordenada en y . Ejemplo 1: Encuentro el punto medio entre (–2, 5) y (7, 7). Use la fórmula. Las coordenadas del punto medio son:
- 10. Simplifica. Ejemplo 2: Si Q (2, -2) es el punto medio de y P tiene las coordenadas (-6, -6), encuentre las coordenadas de R . Use la formula para escribir y resolver las dos ecuaciones para las coordenadas de R . Primero, encuentre la coordenada en x . Luego, encuentre la coordenada en y . Así, las coordenadas de R son (10, 2).
- 11. En tres dimensiones En el espacio tridimensional, el punto medio entre ( x 1 , y 1 , z 1 ) y ( x 2 , y 2 , z 2 ) es La Circunferencia Es el conjunto de todos los puntos sobre un plano “α” que son equidistantes de un punto fijo sobre el plano. Al punto fijo se le llama centro y a la distancia de cualquier punto de ella al centro se llama radio
- 12. PARABOLA En matemáticas, una parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo (llamado foco) y de una recta fija (denominada directriz). Por lo tanto, cualquier punto de una parábola esta a la misma distancia de su foco y de su directriz. Además, en geometría la parábola es una de las secciones cónicas junto a la circunferencia, la elipse y la hipérbola. Es decir, una parábola se puede obtener a partir de un cono. En particular, la parábola es el resultado de cortar un cono con un plano con un ángulo de inclinación respecto al eje de revolución equivalente al ángulo de la generatriz del cono. En consecuencia, el plano que contiene la parábola es paralelo a la generatriz del cono.
- 13. Elementos de una parábola Las características de una parábola dependen de los siguientes elementos: Foco (F): es un punto fijo del interior de la parábola. La distancia de cualquier punto de la parábola al foco es igual a la distancia de ese mismo punto a la directriz de la parábola. Directriz (D): es una recta fija externa a la parábola. Un punto de la parábola tiene la misma distancia a la directriz que al foco de la parábola. Parámetro (p): es la distancia desde el foco hasta la directriz. Radio vector (R): es el segmento que une un punto de la parábola con el foco. Su valor coincide con la distancia del punto hasta la directriz. Eje (E): es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco y es el eje de simetría de la parábola, en la gráfica de abajo corresponde al eje de las ordenadas (eje Y). También se dice eje focal. Vértice (V): es el punto de intersección entre la parábola y su eje. Distancia focal: es la distancia entre el foco y el vértice, o entre la directriz y el vértice. Su valor siempre es igual a P/2. Ecuación reducida o canónica de la parábola Lo que diferencia la ecuación reducida o canónica de las otras ecuaciones parabólicas, es que el vértice de la parábola es el origen de coordenadas, es decir, el punto (0,0). La forma de la ecuación reducida de la parábola depende de si esta es horizontal o vertical. Fíjate en la siguiente representación gráfica donde se muestran las 4 posibles variantes:
- 14. Donde P es el parámetro característico de la parábola. Como se puede observar en la imagen anterior, cuando la variable x está elevada al cuadrado la parábola es vertical, en cambio, cuando la variable y está elevada al cuadrado la parábola es horizontal. Por otra parte, el sentido de las ramas de la parábola depende del signo de la ecuación. Ecuación ordinaria de la parábola Acabamos de ver cómo es la ecuación de la parábola cuando su vértice o centro corresponde al origen de coordenadas (la ecuación reducida o canónica), pero ¿cuál es la ecuación de la parábola si el vértice está fuera del origen? Cuando el vértice de la parábola es un punto cualquiera utilizamos la ecuación ordinaria de la parábola, cuya expresión es: Donde el centro o vértice de la parábola es el punto La ecuación anterior corresponde a la parábola que está orientada de manera vertical, o dicho con otras palabras, el eje focal de la parábola es paralelo al eje Y.
- 15. Análogamente, para definir una parábola orientada de manera horizontal (su eje focal es paralelo al eje X), debemos usar la siguiente variante de la ecuación ordinaria de la parábola: Donde, al igual que antes, el centro o vértice de la parábola es el punto Ecuación general de la parábola Hasta ahora todas las ecuaciones de las parábolas que hemos analizado sirven para expresar parábolas horizontales o verticales. Pero, evidentemente, una parábola también puede ser oblicua o inclinada. Pues para expresar este tipo de parábolas se usa la ecuación general de la parábola, cuya fórmula es la siguiente: La ecuación anterior se trata de una parábola si, y solo si, los coeficientes A y C no son simultáneamente nulos y, además, se cumple la siguiente condición: La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante, esto es,
- 16. La ecuación de una elipse en posición estándar toma la forma (1) A la ecuación (1) también se le conoce como la ecuación reducida de la elipse de eje horizontal, y si se le conoce como la ecuación reducida de la elipse de eje vertical. Además, si el centro de la elipse no es el origen, entonces la ecuación de una elipse toma la forma Donde el punto corresponde al centro de dicha elipse. Nuevamente, si la elipse se encuentra en posición horizontal, y si la elipse se encuentra en posición vertical. Elementos de la elipse 1-Focos: Son los puntos fijos y 2-Eje focal : Es la recta que pasa por los focos. 3-Eje secundario: Es la mediatriz del segmento 4-Centro: Es el punto de intersección de los ejes, usualmente denotado por 5-Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la elipse a los focos: y 6-Distancia focal: Es el segmento de longitud , donde es el valor de la semidistancia focal. 7-Vértices: Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes: y
- 17. 8-Eje mayor: Es el segmento de longitud , donde es el valor del semieje mayor. 9-Eje menor: Es el segmento de longitud , donde es el valor del semieje menor. 10-Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje mayor o al eje menor. 11-Centro de simetría: Coincide con el centro de la elipse, que es el punto de intersección de los ejes de simetría. La hipérbola La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a los puntos fijos llamados focos es constante en valor absoluto. En la gráfica anterior, esto significa que para cualquier punto de la hipérbola.
- 18. Elementos de la hipérbola 1 -Focos: Son los puntos fijos y . 2-Eje focal, principal o real: Es la recta que pasa por los focos. 3-Eje secundario o imaginario intersección de los ejes. 5-Vértices: Los puntos y son los puntos de intersección de la hipérbola con el eje focal. 6-Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la hipérbola a los focos: y . 7-Distancia focal: Es el segmento de longitud . 8-Eje mayor: Es el segmento de longitud . 9-Eje menor: Es el segmento de longitud . Los puntos y se obtienen como intersección del eje imaginario con la circunferencia que tiene por centro uno de los vértices y de radio . 10-Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje real o al eje imaginario. 11-Asintotas: Son las rectas de ecuaciones: 12-Relación entre los semiejes: ¿Qué es una cónica? Una superficie cónica esta engendrada por el giro de una recta , que llamamos generatriz, alrededor de otra recta , eje, con el cual se corta en un punto , vértice. = la generatriz = el eje = el vértice
- 19. Elementos de las cónicas Superficie - una superficie cónica de revolución está engendrada por la rotación de una recta alrededor de otra recta fija, llamada eje, a la que corta de modo oblicuo. Generatriz - la generatriz es una cualquiera de las rectas oblicuas. Vértice - el vértice es el punto central donde se cortan las generatrices. Hojas - las hojas son las dos partes en las que el vértice divide a la superficie cónica de revolución. Sección - se denomina sección cónica a la curva intersección de un cono con un plano que no pasa por su vértice. En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad y la inclinación del plano respecto del eje del cono , pueden obtenerse diferentes secciones cónicas. Elipse
- 20. La elipse es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuzo al eje, que no sea paralelo a la generatriz y que forme con el mismo un ángulo mayor que el que forman eje y generatriz. La elipse es una curva cerrada. Circunferencia La circunferencia es la sección producida por un plano perpendicular al eje. La circunferencia es un caso particular de elipse. Parábola
- 21. La parábola es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, siendo paralelo a la generatriz. La parábola es una curva abierta que se prolonga hasta el infinito. Hipérbola La hipérbola es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, formando con él un ángulo menor al que forman eje y generatriz, por lo que incide en las dos hojas de la superficie cónica. La hipérbola es una curva abierta que se prolonga indefinidamente y consta de dos ramas separadas.
- 22. EJERCICIO PROPUESTO PARA RESOLVER Ubicar los siguientes puntos en el plano cartesiano: A (8; 3) B (-5; -2) C (-6; 0)
- 23. BIBLIOGRAFIA https://www.geometriaanalitica.info/parabola-matematicas-definicion-ecuacion- ejemplos-ejercicios-resueltos-elementos/ https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/analitica/conica/elipse.html https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/analitica/conica/hiperbola.h tml https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/analitica/conica/conicas.htm l https://www.cecyt3.ipn.mx/ibiblioteca/mundodelasmatematicas/DistanciaEntreD osPuntos.html https://www.significados.com/plano-cartesiano/ https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/m idpoint-formula