Plano numérico.docx............................
- 1. República bolivariana de Venezuela Ministerio del poder popular para la edición Universidad politécnica territorial Andrés Eloy Blanco Barquisimeto-Edo Lara Plano numérico Intregrantes: Orlandi Bravo 28388727 Elianny Robertis 28220738
- 2. Plano numérico: Se conoce como plano cartesiano, coordenadas cartesianas o sistema cartesiano, a dos rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otra vertical, que se cortan en un punto llamado origen o punto cero. La finalidad del plano cartesiano es describir la posición o ubicación de un punto en el plano, la cual está representada por el sistema de coordenadas. El plano cartesiano también sirve para analizar matemáticamente figuras geométricas como la parábola, la hipérbole, la línea, la circunferencia y la elipse, las cuales forman parte de la geometría analítica. El nombre del plano cartesiano se debe al filósofo y matemático francés René Descartes, quien fue el creador de la geometría analítica y el primero en utilizar este sistema de coordenadas. Elementos del plano cartesiano Los elementos y características que conforman el plano cartesiano son los ejes coordenados, el origen, los cuadrantes y las coordenadas. A continuación, te explicamos cada uno Ejes coordenados Se llaman ejes coordenados a las dos rectas perpendiculares que se conectan en un punto del plano. Estas rectas reciben el nombre de abscisa y ordenada. Abscisa: el eje de las abscisas está dispuesto de manera horizontal y se identifica con la letra “x”. Ordenada: el eje de las ordenadas está orientado verticalmente y se representa con la letra “y”.
- 3. Origen o punto 0 Se llama origen al punto en el que se intersecan los ejes “x” e “y”, punto al cual se le asigna el valor de cero (0). Por ese motivo, también se conoce como punto cero (punto 0). Cada eje representa una escala numérica que será positiva o negativa de acuerdo a su dirección respecto del origen. Así, respecto del origen o punto 0, el segmento derecho del eje “x” es positivo, mientras que el izquierdo es negativo. Consecuentemente, el segmento ascendente del eje “y” es positivo, mientras que el segmento descendente es negativo. Cuadrantes del plano cartesiano Se llama cuadrantes a las cuatro áreas que se forman por la unión de las dos rectas perpendiculares. Los puntos del plano se describen dentro de estos cuadrantes. Los cuadrantes se enumeran tradicionalmente con números romanos: I, II, III y IV. Cuadrante I: la abscisa y la ordenada son positivas. Cuadrante II: la abscisa es negativa y la ordenada positiva. Cuadrante III: tanto la abscisa como la ordenada son negativas. Cuadrante IV: la abscisa es positiva y la ordenada negativa. También te puede interesar: Geometría analítica. Coordenadas del plano cartesiano Las coordenadas son los números que nos dan la ubicación del punto en el plano. Las coordenadas se forman asignando un determinado valor al eje “x” y otro valor al eje “y”. Esto se representa de la siguiente manera: P (x, y), donde: P = punto en el plano; x = eje de la abscisa (horizontal); y = eje de la ordenada (vertical).
- 4. Si queremos saber las coordenadas de un punto en el plano, trazamos una línea perpendicular desde el punto P hasta el eje “x” –a esta línea la llamaremos proyección (ortogonal) del punto P sobre el eje “x”. Seguidamente, trazamos otra línea desde el punto P hasta el eje “y” –es decir, una proyección del punto P sobre el eje “y”. En cada uno de los cruces de las proyecciones con ambos ejes, se refleja un número (positivo o negativo). Esos números son las coordenadas. Por ejemplo, En este ejemplo, las coordenadas de los puntos en cada cuadrante son: cuadrante I, P (2, 3); cuadrante II, P (-3, 1); cuadrante III, P (-3, -1) y cuadrante IV, P (3, -2). Si lo que queremos es saber la ubicación de un punto a partir de unas coordenadas previamente asignadas, entonces trazamos una línea perpendicular desde el número indicado de la abscisa, y otra desde el número de la ordenada. La intersección o cruce de ambas proyecciones nos da la ubicación espacial del punto. Por ejemplo, En este ejemplo, P (3,4) nos da la ubicación precisa del punto en el cuadrante I del plano. El 3 pertenece al eje de las abscisas y el 4 (segmento derecho) al eje de las ordenadas (segmento ascendente). P (-3,-4) nos da la ubicación específica del punto en el cuadrante III del plano. El -3 pertenece al eje de las abscisas (segmento izquierdo) y el -4 al eje de las ordenadas (segmento descendente). Funciones en un plano cartesiano Una función representada como: f(x)=y es una operación para obtener de un variable independiente (dominio) las variables dependientes (contra dominio). Por ejemplo: f(x)=3x
- 5. Función de x Dominio Contra dominio f(2)=3x 2 6 f(3)=3x 3 9 f(4)=3x 4 12 La relación del dominio y el contra dominio es biunívoca, lo que significa que tiene solo dos puntos correctos. Para encontrar la función en un plano cartesiano se debe primero tabular, o sea, ordenar los puntos en una tabla las parejas encontradas para posicionarlas o ubicarlas después en el plano cartesiano. X Y Coordenada 2 3 (2,3) -4 2 (-4,2) 6 -1 (6,-1) Punto medio y sus coordenadas El punto medio, es el punto que se encuentra a la misma distancia de otros dos puntos cualquiera o extremos de un segmento. Si es un segmento, el punto medio es el que lo divide en dos partes iguales. Sean y los extremos de un segmento, el punto medio del segmento viene dado por: Ejemplos para el cálculo del punto medio 1 Dados los puntos y , hallar las coordenadas del punto medio del segmento que determinan.
- 6. Utilizando la formula de las coordenadas del punto medio tendremos entonces 2Las coordenadas de los vértices consecutivos de un paralelogramo son y . Las coordenadas del centro son . Hallar las coordenadas de los vértices y . Observemos que es el punto medio entre los vértices y , pero también es el punto medio entre los vértices y . Al ser punto medio debe cumplir con la formula de las coordenadas del punto medio, utilizaremos esta para calcular los vértices restantes. Vértice C: Entonces Por lo tanto Es decir, el vértice C es . Vértice D:
- 7. entonces Por lo tanto y de aquí tendremos que . Ecuaciones Es una igualdad algebraica en la cual aparecen letras (incógnitas) con valor desconocido. El grado de una ecuación viene dado por el exponente mayor de la incógnita. Solucionar una ecuación es determinar el valor o valores de las incógnitas que transformen la ecuación en una identidad. Trazado de un arco de circunferencia que pasa por tres puntos. Se trata de hacer pasar un arco de circunferencia, o bien una circunferencia completa, por tres puntos (no alineados) que se tienen como datos. OPERACIONES: 1. Se unen los tres puntos, dos a dos, por ejemplo A-B y B-C. 2. Se trazan las mediatrices de los segmentos AB y BC. 3. El punto O, donde se cortan las dos mediatrices, es el centro del arco solicitado. Desde este punto se traza el arco o la circunferencia que deberá pasar por los tres puntos.
- 8. Circunferencia que pasa por tres puntos no alineados 4.1.2. Determinar el centro de un arco de circunferencia OPERACIONES: 1. Se toman tres puntos A, B y C cualesquiera a partir del arco dado. 2. Se unen los tres puntos, dos a dos, por ejemplo A-B y B-C. 3. Se trazan las mediatrices de los segmentos AB y BC. El centro del arco (O) está situado donde se cortan las mediatrices. Búsqueda del centro en un arco cualquiera de circunferencia 4.1.3. Trazado del Arco capaz. Se trata de determinar el arco capaz del ángulo a para el segmento dado. OPERACIONES:
- 9. 1. Se traza el segmento AB y se halla su mediatriz. 2. Sobre el segmento se construye el ángulo a. 3. En el punto A, se traza una perpendicular a r (lado del ángulo construido), corta a la mediatriz en O. 4. Haciendo centro en O (centro del arco capaz), se traza el arco que pase por A y B. Ángulo situado en el segmento Construcción del Arco Capaz Mayor detalle 4.1.4. Construcción de un arco de gran radio Se trata de construir un arco de gran radio conociendo la cuerda AB y la flecha CD. OPERACIONES:
- 10. 1. Por D (extremo de la flecha) se traza una paralela a la cuerda AB. 2. Por los extremos de la cuerda AB, se trazan perpendiculares a la misma. 3. Se une el punto D con A y B, y se levantan perpendiculares a DA y DB en los puntos A y B. 4. Se dividen los segmentos AC, CB, AE, BF, DM y DN en igual número de partes y se numeran. 5. Se une D con 1′, 2′, y 3′; y 3, 2 y 1 con 3», 2» y 1». La intersección de estos puntos dan la mitad del arco. 6. Se realiza la misma operación en la otra mitad y se traza el arco por los puntos obtenidos. Parábola es la sección cónica de excentricidad igual a 1,1 resultante de cortar un cono recto con un plano cuyo ángulo de inclinación respecto al eje de revolución del cono sea igual al presentado por su generatriz. El plano resultará por lo tanto paralelo a dicha recta.
- 11. Elipse es una curva plana, simple1 y cerrada con dos ejes de simetría que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.2 Una elipse que gira alrededor de su eje menor genera un esferoide achatado, mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado. La elipse es también la imagen afín de una circunferencia Hipérbola Es una curva abierta de dos ramas, obtenida cortando un cono recto mediante un plano no necesariamente paralelo al eje de simetría, y con ángulo menor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.
- 12. Representar gráficamente las ecuaciones de las cónicas Las ecuaciones de las cónicas se pueden representar gráficamente de la siguiente manera: 1. Para una circunferencia con ecuación $x^2 + y^2 = r^2, donde $r es el radio, la gráfica es un círculo. 2. Para una elipse con ecuación x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1, donde $ay $b son las longitudes de los semiejes, la gráfica es una elipse. 3. Para una hipérbola con ecuación x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1, donde $ay $b son las longitudes de los semiejes, la gráfica es una hipérbola. 4. Para una parábola con ecuación $y = ax^2 + bx + c, la gráfica es una parábola. Estas son las representaciones gráficas básicas de las ecuaciones de las cónicas.