PLANO NUMERICO.pdf
- 1. UNIVERSIDAD POLITÉCNICATERRITORIAL DEL ESTADO LARAANDRÉS ELOY BLANCO PLANO NÚMERICO PEDRO PRINCIPAL 21,009,171 SECCION: DE0212
- 2. PLANO NÚMERICO O PLANOCARTESIANO. Se conoce como plano cartesiano, coordenadas cartesianas o sistema cartesiano, a dos rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otra vertical, que se cortan en un punto llamado origen o punto cero. La finalidad del plano cartesiano es describir la posición o ubicación de un punto en el plano, la cual está representada por el sistema de coordenadas.
- 3. ELEMENTOS DEL PLANO CARTESIANO. Los elementos y características que conforman el plano cartesiano son los ejes coordenados, el origen, los cuadrantes y las coordenadas. A continuación, te explicamos cada uno. EJES COODRDENADOS. Se llaman ejes coordenados a las dos rectas perpendiculares que se interconectan en un punto del plano. Estas rectas reciben el nombre de abscisa y ordenada. Abscisa: el eje de las abscisas está dispuesto de manera horizontal y se identifica con la letra “x”. Ordenada: el eje de las ordenadas está orientado verticalmente y se representa con la letra “y”.
- 4. ORIGEN O PUNTO 0. Se llama origen al punto en el que se intersecan los ejes “x” y “y”, punto al cual se le asigna el valor de cero (0). Por ese motivo, también se conoce como punto cero (punto 0). Cada eje representa una escala numérica que será positiva o negativa de acuerdo a su dirección respecto del origen. Así, respecto del origen o punto 0, el segmento derecho del eje “x” es positivo, mientras que el izquierdo es negativo. Consecuentemente, el segmento ascendente del eje “y” es positivo, mientras que el segmento descendente es negativo.
- 5. CUADRANTES DEL PLANO CARTESIANO. Se llama cuadrantes a las cuatro áreas que se forman por la unión de las dos rectas perpendiculares. Los puntos del plano se describen dentro de estos cuadrantes. Los cuadrantes se enumeran tradicionalmente con números romanos: I, II, III y IV. Cuadrante I: la abscisa y la ordenada son positivas. Cuadrante II: la abscisa es negativa y la ordenada positiva. Cuadrante III: tanto la abscisa como la ordenada son negativas. Cuadrante IV: la abscisa es positiva y el ordenada negativa.
- 6. COORDENADAS DEL PLANO CARTESIANO Las coordenadas son los números que nos dan la ubicación del punto en el plano. Las coordenadas se forman asignando un determinado valor al eje “x” y otro valor al eje “y”. Esto se representa de la siguiente manera: P (x, y), donde: •P = punto en el plano; •x = eje de la abscisa (horizontal); •y = eje de la ordenada (vertical). Si queremos saber las coordenadas de un punto en el plano, trazamos una línea perpendicular desde el punto P hasta el eje “x” –a esta línea la llamaremos proyección (ortogonal) del punto P sobre el eje “x”. Seguidamente, trazamos otra línea desde el punto P hasta el eje “y” –es decir, una proyección del punto P sobre el eje “y”. En cada uno de los cruces de las proyecciones con ambos ejes, se refleja un número (positivo o negativo). Esos números son las coordenadas. Por ejemplo: En este ejemplo, las coordenadas de los puntos en cada cuadrante son: cuadrante I, P (2, 3); cuadrante II, P (-3, 1); cuadrante III, P (-3, -1) y cuadrante IV, P (3, -2).
- 7. Si lo que queremos es saber la ubicación de un punto a partir de unas coordenadas previamente asignadas, entonces trazamos una línea perpendicular desde el número indicado de la abscisa, y otra desde el número de la ordenada. La intersección o cruce de ambas proyecciones nos da la ubicación espacial del punto. Por ejemplo, En este ejemplo,P (3,4) nosda la ubicación precisa del punto en el cuadranteI del plano.El 3 pertenece al eje de las abscisas y el 4 (segmento derecho)al eje de las ordenadas(segmento ascendente). P (-3,-4) nos da la ubicación específica del punto en el cuadranteIII del plano.El -3 pertenece al eje de las abscisas (segmento izquierdo) y el -4 al eje de las ordenadas (segmento descendente).
- 8. FUNCIONES EN UN PLANO CARTESIANO Una función representada como: f(x)=y es una operación para obtener de un variable independiente (dominio) las variables dependientes (contra dominio). Por ejemplo: f(x)=3x Función de x Dominio Contra dominio f(2)=3x 2 6 f(3)=3x 3 9 f(4)=3x 4 12 La relación del dominio y el contra dominio es biunívoca, lo que significa que tiene solo dos puntos correctos. Para encontrar la función en un plano cartesiano se debe primero tabular, o sea, ordenar los puntos en una tabla las parejas encontradas para posicionarlas o ubicarlas después en el plano cartesiano. X Y Coordenada 2 3 (2,3) -4 2 (-4,2) 6 -1 (6,-1)
- 9. La distancia de un punto, P, a un plano, π, es la menor de la distancia desde el punto a los infinitos puntos del plano. Esta distancia corresponde a la perpendicular trazada desde el punto al plano. Ejemplo Hallar la distancia del punto P(3, 1, −2) a los planos
- 10. DISTANCIA ENTRE PLANOS PARALELOS Para calcular la distancia entre dos planos paralelos, se halla la distancia de un punto cualquiera de uno de ellos al otro. También se puede calcular de esta otra forma:
- 11. Ejemplo Calcular la distancia entre los planos Los dos planos son paralelos. Transformamos la ecuación del segundo plano para que los dos planos tengan el mismo vector normal.
- 12. Punto medio en matemática, es el punto que se encuentra a la misma distancia de otros dos puntos cualquiera o extremos de un segmento. Más generalmente punto equidistante en matemática, es el punto que se encuentra a la misma distancia de dos elementos geométricos, ya sean puntos, segmentos, rectas, etc. Si es un segmento, el punto medio es el que lo divide en dos partes iguales. En ese caso, el punto medio es único y equidista de los extremos del segmento. Por cumplir esta última condición, pertenece a la mediatriz del segmento. En el siguiente diagrama tenemos los puntos A y B, los cuales están unidos por un segmento. El punto C es el punto medio, ya que está exactamente en la mitad del segmento. Para calcular la ubicación del punto medio, simplemente tenemos que medir la longitud del segmento y dividir por 2. Un punto medio puede ser calculado solo cuando tenemos a un segmento que une a dos puntos, ya que tiene una ubicación definida. El punto medio no puede ser calculado para una línea o un rayo, ya que una línea tiene dos extremos que se extienden indefinidamente y un rayo tiene un extremo que se extiende indefinidamente.
- 13. FÓRMULA PARA EL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO La fórmula para el punto medio de un segmento es derivada usando las coordenadas de los puntos extremos del segmento. El punto medio es igual a la mitad de la suma de las coordenadas en x de los puntos y a la mitad de las coordenadas en y de los puntos.
- 14. Todos conocen las circunferencias, saben que pueden trazarse con un compás. Les resultará natural la siguiente definición: La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. CIRCUNFERENCIA Ahora vamos a deducir partiendo de esta definición, cuál es la expresión de una circunferencia. Consideremos el siguiente esquema:
- 15. La parábola es una de las conocidas secciones cónicas, y la cual resulta de cortar un cono recto con un plano cuyo ángulo de inclinación respecto al eje de revolución del cono sea igual al presentado por su generatriz. Lo anterior puede ser descrito de la siguiente manera: La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano, P , que equidistan de un punto fijo, F , llamado foco y de una recta fija, d llamada directriz. ELEMENTOS DE LA PARÁBOLA 1Foco:Es el punto fijo F. 2Directriz:Es la recta fija d. 3Parámetro:Es la distanciadelfoco a la directriz,se designa por la letra p. 4Eje: Es la recta perpendiculara la directriz que pasa por elfoco. 5Vértice: Es el punto de intersección dela parábola con su eje. 6Radio vector:Es un segmento que une un punto cualquierade la parábola con elfoco
- 19. La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. ELEMENTOS DE LA ELIPSE • Focos Son los puntos fijos F y F'. • Eje focal Es la recta que pasa por los focos. • Eje secundario Es la mediatriz del segmento FF'. • Centro Es el punto de intersección de los ejes. • Radios vectores Son los segmentos que van desde un punto de la elipse a los focos: PF y PF' • Distancia focal Es el segmento Explicaciones y ejemplos de elipses - 3 de longitud 2c, c es el valor de la semidistancia focal. • Vértices Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes: A, A', B y B'. • Eje mayor Es el segmento Explicaciones y ejemplos de elipses - 4 de longitud 2a, a es el valor del semieje mayor. • Eje menor Es el segmento Explicaciones y ejemplos de elipses - 5 de longitud 2b, b es el valor del semieje menor. • Ejes de simetría Son las rectas que contienen al eje mayor o al eje menor. • Centro de simetría Coincide con el centro de la elipse, que es el punto de intersección de los ejes de simetría.
- 20. RELACIÓN ENTRE LA DISTANCIA FOCAL Y LOS SEMIEJES Excentricidad de la elipse La excentricidad es un número que mide el mayor o menor achatamiento de la elipse. Y es igual al cociente entre su semidistancia focal y su semieje mayor.
- 21. La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a los puntos fijos llamados focos es constante en valor absoluto.
- 22. ELEMENTOS DE LA HIPÉRBOLA