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- 1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN UNIVERSITARIA UNIVERSIDAD POLITECNICA TERRITORIAL DEL ESTADO LARA ANDRES ELOY BLANCO PLANO NUMERICO Ángel Escobar-30.395.666 Sección D.E 0212
- 2. A instancias de las matemáticas, el plano cartesiano es un sistema de referencias que se encuentra conformado por dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical, que se cortan en un determinado punto. A la horizontal se la llama eje de las abscisas o de las x y al vertical eje de las coordenadas o de las yes, en tanto, el punto en el cual se cortarán se denomina origen. La principal función o finalidad de este plano será el de describir la posición de puntos, los cuales se encontrarán representados por sus coordenadas o pares ordenados. Las coordenadas se formarán asociando un valor del eje x y otro del eje y. En tanto, para localizar los puntos en el plano cartesiano se deberá tener en cuenta lo siguiente… para localizar las abscisas o valor de las x, se contarán las unidades correspondientes en dirección derecha, si son positivas y en dirección izquierda, si son negativas, partiendo del punto de origen que es el 0. Y luego, desde donde se localizó el valor de x, se procederá a contar las unidades correspondientes hacia arriba en caso de ser positivas, hacia abajo, en caso de ser negativas y de esta manera se localiza cualquier punto dada las coordenadas. La distancia que separa el lugar desde donde nosotros nos hayamos, hasta por ejemplo el lugar al cual nos queremos dirigir, que, supongamos queda a cuatro cuadras al norte y seis al oeste, puede ser plasmada a través de un plano cartesiano, tomando como origen del plano aquel en el cual nos encontramos nosotros. El origen de la denominación de plano cartesiano como tal se ha efectuado en honor al reconocido matemático y filósofo francés del siglo XVII René Descartes, por haber promovido la necesidad de tomar un punto de partida sobre el cual edificar todo el conocimiento. Introducción
- 3. Distancia La definición de distancia entre dos puntos es la recta imaginaria que los une en el espacio, marcando el menor trayecto entre ambos. Esto puede darse también en el plano cartesiano o simplemente sobre la superficie terrestre. De acuerdo a cada caso, su cálculo es diferente. Con referencia al plano cartesiano, el mismo se utiliza como un sistema de referencia para ubicar puntos en un plano. Y es a través de la ubicación de las coordenadas de dos puntos, que se puede calcular justamente la distancia entre ellos. De manera que cuando los dos puntos: –se hallan sobre el eje x (correspondiente a las abscisas) o en una recta paralela a este eje, la distancia es el valor absoluto de la diferencia de sus abscisas (x2 – x1) -se hallan sobre el eje y (de las ordenadas) o en una recta que está paralela a dicho eje. En tanto la distancia es el valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas (y1 – y2). Si los puntos se hallan en cualquier otro lugar del sistema de coordenadas, la distancia entonces, queda establecida por la relación: Otra manera de calcularla es aplicando el Teorema de Pitágoras cuya fórmula es: a2 + b2 = c2. Su enunciado es. En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Para esto se debe ubicar cada punto en su respectiva coordenada por ejemplo: P1 (x1, y1 y P2 (x2, y2) y luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa P1 P2 y allí aplicar el teorema. En cuanto al cálculo de la distancia entre dos puntos terrestres, se calcula por la fórmula del Haversine o del semiverseno que es una ecuación astronómica que permite calcular la distancia de círculo máximo entre dos puntos del globo terráqueo sabiendo su longitud y su latitud. A través de esta ley de seversenos se relacionan los lados y ángulos de los triángulos esféricos. En cuanto al origen etimológico de esta construcción, todas sus palabras provienen del latín: “Distancia” deriva de distantia, distantiae, sustantivo que se forma a partir de distans, distantis. Este es el participio presente del verbo disto, distas, distare cuyo significado es estar alejado, distar. Verbo constituido por el prefijo dis- que señala divergencia, separación múltiple. Al que se le suma el verbo sto, stas, stare, steti, statum que significa estar de pie, estar inmóvil. Por su parte, a la base se le suma el sufijo -nt- que señala al agente más el sufijo -ia que indica cualidad. “Entre” surge de la preposición inter. “Dos” deriva del numeral duo, duae, duo “Punto” nace de punctum, puncti, sustantivo que proviene de punctus, puncta, punctum. Este es el participio del verbo pungo, pungis, pungere, pupugi, punctum con el concepto de picar, punzar.
- 4. Ejercicios
- 5. 1 Dados los puntos hallar las coordenadas del punto medio del segmento que determinan. Utilizando la formula de las coordenadas del punto medio tendremos Ejemplos para el calculo del punto medio Punto Medio Punto medio y sus coordenadas El punto medio, es el punto que se encuentra a la misma distancia de otros dos puntos cualquiera o extremos de un segmento. Si es un segmento, el punto medio es el que lo divide en dos partes iguales. Sean y los extremos de un segmento, el punto medio del segmento viene dado por: y Utilizando la formula de las coordenadas del punto medio tendremos entonces 2 Las coordenadas de los vértices consecutivos de un paralelogramo son A (1, 0, 0) y B(0, 1, 0). Las coordenadas del centro M son M(0, 0, 1). Hallar las coordenadas de los vértices
- 6. Observemos que M es el punto medio entre los vértices A y C, pero también es el punto medio entre los vértices B y D. Al ser punto medio debe cumplir con la formula de las coordenadas del punto medio, utilizaremos esta para calcular los vértices restantes. Vértice C: entonces Por lo tanto es decir, el vértice C es Vértice D: entonces y de aquí tendremos que
- 7. Consideramos como (Circunferencia con centro fuera del origen) aquel escenario donde la representación analítica de dicha, se encuentra vinculada con el hecho de una (Ecuación ordinaria (No-canónica)). Dicho de otro modo es aquella circunferencia el cual su centro se encuentra en otro lugar que no sea el origen de un (Sistema de coordenadas). En un sistema de coordenadas cartesianas x-y, la circunferencia con centro en el punto (h, k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación. (x-h)² + (y-k)² =r², donde (h,k) es el centro y r es el radio. ecuación general de la circunferencia En un sistema de coordenadas cartesianas x-y, la circunferencia con centro en el punto (h, k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación. (x-h)² + (y-k)² =r², donde (h,k) es el centro y r es el radio. Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de otro punto fijo llamado centro. La circunferencia es una línea curvacerrada cuyos puntos están todos a la misma distancia de un punto fijo llamado centro.
- 8. Es una ecuación de dos variables x e y tal que los coeficientes de x2 y de y2 son iguales, y no tiene término en xy . El centro y el radio se pueden calcular de la siguiente manera: Ecuación general de la circunferencia La ecuación general de la circunferencia es:
- 9. Casos particulares de ecuación de la circunferencia Si el centro de la circunferencia coincide con el origen de coordenadas: Ejemplos: 1) Hallar la ecuación general de la circunferencia que tiene de radio 2 y de centro (1, -3) . 2) Calcular el centro y el radio de la circunferencia de ecuación x2 + y2 - 10x + 8y + 25 = 0 .
- 10. una parábola (del griego παραβολή) es la sección cónica de excentricidad igual a 1, resultante de cortar un cono recto con un plano cuyo ángulo de inclinación respecto al eje de revolución del cono sea igual al presentado por su generatriz. El plano resultará por lo tanto paralelo a dicha recta. El siguiente gráfico muestra una «parábola acostada»: Existen también las parábolas rotadas. Por ejemplo Definición de parábola Dados un punto F (foco) y una recta r (directriz), se denomina parábola al conjunto de puntos del plano que equidistan del foco y de la directriz.Simbólicamente: Observen que estamos definiendo la parábola como un conjunto de puntos que verifican cierta propiedad geométrica, no como la gráfica de una función cuadrática (que es como ustedes la conocían hasta ahora). El eje focal es el eje perpendicular a la directriz que pasa por el foco. Es el eje de simetría de la parábola.
- 11. elipses Una elipse es una curva plana, simple y cerrada con dos ejes de simetría que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.Una elipse que gira alrededor de su eje menor genera un esferoide achatado, mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado. La elipse es también la imagen afín de una circunferencia. Elementos de la elipse: 1. Focos: Son los puntos fijos F y F'. 2. Eje focal: Es la recta que pasa por los focos. 3. Eje secundario: Es la mediatriz del segmento FF'. 4. Centro: Es el punto de intersección de los ejes. 5. Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la elipse a los focos: PF y PF'. 6. Distancia focal: Es el segmento segmento de longitud 2c, c es el valor de la semidistancia focal. 7. Vértices: Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes: A, A', B y B'. 8. Eje mayor: Es el segmento segmento de longitud 2a, a es el valor del semieje mayor. 9. Eje menor: Es el segmento segmento de longitud 2b, b es el valor del semieje menor. 10. Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje mayor o al eje menor. 11. Centro de simetría: Coincide con el centro de la elipse, que es el punto de intersección de los ejes de simetría.
- 12. Elementos de la hipérbola 1 Focos: Son los puntos fijos F y F'. 2Eje focal, principal o real: Es la recta que pasa por los focos. 3Eje secundario o imaginario: Es la mediatriz del segmento FF'. 4Centro: Es el punto de intersección de los ejes. 5Vértices: Los puntos A y A' son los puntos de intersección de la hipérbola con el eje focal. 6Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la hipérbola a los focos: PF y PF'. 7Distancia focal: Es el segmento overline{FF}' de longitud 2c. 8Eje mayor: Es el segmento overline{AA'} de longitud 2a. 9Eje menor: Es el segmento oveline{BB'} de longitud 2b. Los puntos B y B' se obtienen como intersección del eje imaginario con la circunferencia que tiene por centro uno de los vértices y de radio c. 10Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje real o al eje imaginario. 11Asintotas: Son las rectas de ecuaciones: 12Relación entre los semiejes: c^2=a^2+b^2 hipérbola La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a los puntos fijos llamados focos es constante en valor absoluto. La hipérbola es una curva abierta de dos ramas, cuya definición matemática es la siguiente: En geometría analítica, una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano que cumplen la siguiente condición: el valor absoluto de la diferencia de las distancias desde un punto cualquiera de la hipérbola hasta dos puntos fijos (llamados focos) debe ser constante. Además, el valor de la resta de esas dos distancias siempre es equivalente a la distancia entre los dos vértices de la hipérbola.
- 13. REPRESENTACIÓN GRAFICA Y USO DE CURVAS CANÓNICAS Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a todas las curvas resultantes de las diferentes intersecciones entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas propiamente dichas. Se clasifican en cuatro tipos: elipse, parábola, hipérbola y circunferencia. La primera definición conocida de sección cónica surge en la Antigua Grecia, cerca del año 340 a.C (Menecmo) donde las definieron como secciones «de un cono circular recto».1 Los nombres de hipérbola, parábola y elipse se deben a Apolonio de Perge. Actualmente, las secciones cónicas pueden definirse de varias maneras; estas definiciones provienen de las diversas ramas de la matemática: como la geometría analítica, la geometría proyectiva, etc. En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad (α) y la inclinación del plano respecto del eje del cono (β), pueden obtenerse diferentes secciones cónicas, a saber: β < α : Hipérbola (naranja) β = α : Parábola (azulado) β > α : Elipse (verde) β = 90º: Circunferencia (un caso particular de elipse) (rojo) Y β= 180º : Triangular Si el plano pasa por el vértice del cono, se puede comprobar que: Cuando β > α la intersección es un único punto (el vértice). Cuando β = α la intersección es una recta generatriz del cono (el plano será tangente al cono). Cuando β < α la intersección vendrá dada por dos rectas que se cortan en el vértice. Cuando β = 90º El ángulo formado por las rectas irá aumentando a medida β disminuye,cuando el plano contenga al eje del cono (β = 0).
- 14. Una superficie cónica esta engendrada por el giro de una recta g, que llamamos generatriz, alrededor de otra recta e, eje, con el cual se corta en un punto V, vértice. g = la generatriz e = el eje V = el vértice Elementos de las cónicas Superficie - una superficie cónica de revolución está engendrada por la rotación de una recta alrededor de otra recta fija, llamada eje, a la que corta de modo oblicuo. Generatriz - la generatriz es una cualquiera de las rectas oblicuas. Vértice - el vértice es el punto central donde se cortan las generatrices. Hojas - las hojas son las dos partes en las que el vértice divide a la superficie cónica de revolución. Sección - se denomina sección cónica a la curva intersección de un cono con un plano que no pasa por su vértice. En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad (alpha ) y la inclinación del plano respecto del eje del cono (beta ), pueden obtenerse diferentes secciones cónicas.