Matematica 2.21
- 1. República Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria Universidad Politécnica Territorial “Andrés Eloy Blanco” Barquisimeto-Estado Lara MATEMATICA Dominga Marina Rodríguez CI.7414745 Sección: PNFCI0100 Marzo-2021
- 2. Plano numérico Se conoce como plano cartesiano, coordenadas cartesianas o sistema cartesiano, a dos rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otra vertical, que se cortan en un punto llamado origen o punto cero. La finalidad del plano cartesiano es describir la posición o ubicación de un punto en el plano, la cual está representada por el sistema de coordenadas. El plano cartesiano también sirve para analizar matemáticamente figuras geométricas como la parábola, la hipérbole, la línea, la circunferencia y la elipse, las cuales forman parte de la geometría analítica.
- 4. El nombre del plano cartesiano se debe al filósofo y matemático francés René Descartes, quien fue el creador de la geometría analítica y el primero en utilizar este sistema de coordenadas Partes del plano cartesiano Los elementos y características que conforman el plano cartesiano son los ejes coordenados, el origen, los cuadrantes y las coordenadas. A continuación, te explicamos cada uno.
- 5. Se llaman ejes coordenados a las dos rectas perpendiculares que se interconectan en un punto del plano. Estas rectas reciben el nombre de abscisa y ordenada. Abscisa: el eje de las abscisas está dispuesto de manera horizontal y se identifica con la letra “x”. Ordenada: el eje de las ordenadas está orientado verticalmente y se representa con la letra “y”
- 6. Se llama origen al punto en el que se intersecan los ejes “x” y “y”, punto al cual se le asigna el valor de cero (0). Por ese motivo, también se conoce como punto cero (punto 0) n. Cada eje representa una escala numérica que será positiva o negativa de acuerdo a su dirección respecto del origen. Así, respecto del origen o punto 0, el segmento derecho del eje “x” es segmento ascendente del eje “y” es positivo, mientras que el segmento descendente es negativo Se llama cuadrantes a las cuatro áreas que se forman por la unión de las dos rectas perpendiculares. Los puntos del plano se describen dentro de estos cuadrantes. Los cuadrantes se enumeran tradicionalmente con números romanos: I, II, III y IV.
- 7. Cuadrante I: la abscisa y la ordenada son positivas. Cuadrante II: la abscisa es negativa y la ordenada positiva. Cuadrante III: tanto la abscisa como la ordenada son negativas. Cuadrante IV: la abscisa es positiva y el ordenada negativa. También te puede interesar: Geometría analítica. Coordenadas del plano cartesiano Las coordenadas son los números que nos dan la ubicación del punto en el plano. Las coordenadas se forman asignando un determinado valor al eje “x” y otro valor al eje “y”. Esto se representa de la siguiente manera: P (x, y), donde: P = punto en el plano; x = eje de la abscisa (horizontal); y = eje de la ordenada (vertical). Si queremos saber las coordenadas de un punto en el plano, trazamos una línea perpendicular desde el punto P hasta el eje “x” –a esta línea la llamaremos proyección (ortogonal) del punto P sobre el eje “x” Seguidamente, trazamos otra línea desde el punto P hasta el eje “y” –es decir, una proyección del punto P sobre el eje “y”. En cada uno de los cruces de las proyecciones con ambos ejes, se refleja un número (positivo o negativo). Esos números son las coordenadas. Por ejemplo:
- 8. En este ejemplo, las coordenadas de los puntos en cada cuadrante son: Cuadrante I, P (2, 3); Cuadrante, P (-3, 1); Cuadrante III, P (-3, -1) y Cuadrante IV, P (3, -2).
- 9. Si lo que queremos es saber la ubicación de un punto a partir de unas coordenadas previamente asignadas, entonces trazamos una línea perpendicular desde el número indicado de la abscisa, y otra desde el número de la ordenada. La intersección o cruce de ambas proyecciones nos da la ubicación espacial del punto. Por ejemplo: En este ejemplo, P (3,4) nos da la ubicación precisa del punto en el cuadrante I del plano. El 3 pertenece al eje de las abscisas y el 4 (segmento derecho) al eje de las ordenadas (segmento ascendente). Funciones en un plano cartesiano Una función representada como: f(x)=y es una operación para obtener de un variable independiente (dominio) las variables dependientes (contra dominio). Por ejemplo: f(x)=3x
- 10. Función de x Dominio Contra dominio f(2)=3x 2 6 f(3)=3x 3 9 f(4)=3x 4 12 Relación del dominio y el contra dominio es biunívoca, lo que La significa que tiene solo dos puntos correctos. Para encontrar la función en un plano cartesiano se debe primero tabular, o sea, ordenar los puntos en una tabla las parejas encontradas para posicionarlas o ubicarlas después en el plano cartesiano. X Y Coordenada 2 3 (2,3) -4 2 (-4,2) 6 -1 (6,-1)
- 11. Distancia La distancia entre dos puntos del espacio nucleído equivale a la longitud del segmento de la recta que los une, expresado numéricamente. En espacios más complejos, como los definidos en la geometría no euclidiana, el «camino más corto» entre dos puntos es un segmento recto con curvatura llamada geodésica. En física, la distancia es una magnitud escalar, que se expresa en unidades de longitud Punto medio en matemática, es el punto que se encuentra a la misma distancia de otros dos puntos cualquiera o extremos de un segmento. Más generalmente punto equidistante en matemática, es el punto que se encuentra a la misma distancia de dos elementos geométricos, ya sean puntos, segmentos, rectas, etc. Si es un segmento, el punto medio es el que lo divide en dos partes iguales. En ese caso, el punto medio es único y equidista de los extremos del segmento. Por cumplir esta última condición, pertenece a la mediatriz del segmento.
- 12. Ecuaciones y trazados de circunferencias La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro (recordar que estamos hablando del Plano Cartesiano y es respecto a éste que trabajamos). Determinación de una circunferencia Una circunferencia queda determinada cuando conocemos: a) Tres puntos de la misma, equidistantes del centro. b) El centro y el radio. c) El centro y un punto en ella. d) El centro y una recta tangente a la circunferencia. También podemos decir que la circunferencia es la línea formada por todos los puntos que están a la misma distancia de otro punto, llamado centro. Esta propiedad es la clave para hallar la expresión analítica de una circunferencia (la ecuación de la circunferencia). Entonces, entrando en el terreno de la Geometría Analítica, (dentro del Plano Cartesiano) diremos que —para cualquier punto, P (x, y),
- 13. De una circunferencia cuyo centro es el punto C (a, b) y con radio r ─, la ecuación ordinaria es (X ─ a) 2 + (y ─ b) 2 = r 2 ¿Qué significa esto? En el contexto de la Geometría Analítica significa que una circunferencia graficada con un centro definido (coordenadas) en el Plano Cartesiano y con radio conocido la podemos “ver” como gráfico y también la podemos “transformar” o expresar como una ecuación matemática. Así la vemos Así podemos expresarla Donde: (d) Distancia CP = r y Fórmula que elevada al cuadrado nos da (x ─ a) 2 + (y ─ b) 2 = r 2 También se usa como (x ─ h) 2 + (y ─ k) 2 = r 2
- 14. Recordar siempre que en esta fórmula la x y la y serán las coordenadas de cualquier punto (P) sobre la circunferencia, equidistante del centro un radio (r). Y que la a y la b (o la h y la k, según se use) corresponderán a las coordenadas del centro de la circunferencia C(a, b) Parábolas Si el corte lo hacemos, de forma oblicua al eje del cono pero paralela a la generatriz del mismo obtenemos una parábola: Si el plano corta oblicuamente al eje del cono y a todas sus generatrices, sin pasar por el vértice, la sección que obtenemos es una elipse. Elipses
- 15. Mantenemos la misma cartulina amarilla y la sección resultante en azul: Si el plano corta oblicuamente al eje del cono y a todas sus generatrices, sin pasar por el vértice, la sección que obtenemos es una elipse. Mantenemos la misma cartulina amarilla y la sección resultante en azul: Si el corte lo hacemos, de forma oblicua al eje del cono pero paralela a la generatriz del mismo obtenemos una parábola:
- 16. Hipérbola Si el plano corta a las generatrices en ambos lados del vértice del cono, obtenemos una hipérbola.
- 17. Si te fijas en la figura siguiente, a las cónicas podemos clasificarlas teniendo en cuenta el ángulo que forman el plano con el eje del cono Si el plano es perpendicular al eje, tenemos una sección circular cuyo contorno es la circunferencia. Si el ángulo que forma el plano con la base es menor que el ángulo que forma el plano con la generatriz, tenemos que la sección será una elipse. Si el plano es paralelo a la generatriz tenemos la parábola. Si el ángulo que forma el plano con la base es mayor del que forma con la generatriz, tenemos la hipérbola. Cuanto acabas de leer lo tienes representado a continuación:
- 18. LAS CÓNICAS DESDE EL PUNTO DE VISTA DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA Fueron los griegos quienes “inventaron” la geometría. La palabra geometría significa medir la tierra. La acción de medir la tierra la tenían que repetir cada vez que el río Nilo se inundaba y borraba las señales y límites anteriores. De esta práctica surgieron fórmulas de distintas figuras geométricas para el cálculo de superficies y volúmenes. Tiene que transcurrir mucho tiempo, hasta el siglo XVII en que René Descartes aborda la resolución de problemas geométricos haciendo aplicación del álgebra con la ayuda especial de las coordenadas cartesianas. Este es el comienzo del estudio de la geometría en el que para la resolución de los problemas geométricos no sólo se necesitan regla y compás sino que examinándolos, analizándolos, reducirlos a expresiones y ecuaciones algebraicas para su inmediata resolución A esta Geometría la conocemos como Geometría Analítica. A continuación pasamos a estudiar separadamente cada una de las superficies planas que hemos obtenido por la intersección de planos y conos.
- 19. Las ecuaciones de cada cónica las mostramos en forma canónica o reducida. El significado de canónico lo aceptamos como lo que es propio de cada figura. También haremos mención de cada ecuación en su forma general.