Sistemas de coordenas
- 1. República Bolivariana de Venezuela Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño” Sede Barcelona Sistema de coordenadas Profesor: Pedro Beltran Bachiller: Jorge Villalobos C.I.: 27.330.949 Fecha, Marzo de 2019
- 2. Introducción El electromagnetismo clásico se describe mediante campos vectoriales, esto es, vectores que tienen un valor diferente en cada punto del espacio. Las ecuaciones de Maxwell se describen de forma idónea mediante el llamado espaciotiempo de Minkowski, en el cual las tres dimensiones espaciales y el tiempo aparecen unidas en un solo sistema de referencia. No obstante, para los contenidos de este curso es suficiente con la descripción tradicional en la que por un lado tenemos un espacio tridimensional y por otro una línea temporal. Por ello, un paso previo a la definición de campo vectorial es la caracterización del propio espacio. Supondremos igualmente un espacio tridimensional euclídeo. Por ello, en cada punto del espacio podemos definir un sistema de referencia con origen en dicho punto y formado por tres ejes ortogonales que se extienden indefinidamente, conservando su perpendicularidad. El espacio se compone de puntos y para describir los puntos y distinguirlos unos de otros necesitamos ponerle un nombre a cada uno. Un sistema de nombres que identifica de forma individual a cada punto del espacio se denomina un sistema de coordenadas. Existen infinitos posibles sistemas de coordenadas. Sin embargo, para que un sistema de coordenadas sea útil para el cálculo, debe cumplir una serie de requisitos: Las coordenadas deben ser funciones numéricas de la posición. En el espacio tridimensional ordinario, una terna de coordenadas debe corresponder de forma unívoca a un punto. En la medida de lo posible, cada punto debe venir representado por una sola terna de coordenadas. Las coordenadas deben ser funciones continuas y derivables de la posición, de forma que si un punto viene representado por la terna , un punto , infinitamente próximo, vendrá representado por Aun con esas limitaciones, el número de sistemas posibles sigue siendo infinito. Sin embargo, solo un subconjunto de ellos (los denominados sistemas ortogonales) cumple algunas propiedades adicionales que simplifican numerosos cálculos. Y dentro de las coordenadas ortogonales, tres sistemas destacan por su
- 3. sencillez: las coordenadas cartesianas, las cilíndricas y las esféricas. En lo que sigue, nos limitaremos a considerar exclusivamente estos tres sistemas.
- 4. Coordenadas cartesianas Las coordenadas cartesianas o coordenadas rectangulares (sistema cartesiano) son un tipo de coordenadas ortogonales usadas en espacios euclídeos, para la representación gráfica de una relación matemática (funciones matemáticas y ecuaciones de geometría analítica), o del movimiento o posición en física, caracterizadas por tener como referencia ejes ortogonales entre sí que concurren en el punto origen. En las coordenadas cartesianas se determinan las coordenadas al origen como la longitud de cada una de las proyecciones ortogonales de un punto dado sobre cada uno de los ejes. La denominación de 'cartesiano' se introdujo en honor de René Descartes, quien las utilizó por primera vez de manera formal. El sistema en sí es un sistema bidimensional, que se denomina plano cartesiano. El punto de intersección de las rectas, por definición, considera como el punto cero de las rectas y se conoce como origen de coordenadas. Al eje verticales o de las abscisas se le asigna los números reales de las equis ("y':); y al eje vertical o de las ordenadas se le asignan los números reales de las yes ("y"). Al cortarse las dos rectas, dividen al plano en cuatro regiones o zonas, que se conocen con el nombre de cuadrantes: Primer cuadrante "I": Región superior derecha Segundo cuadrante "II": Región superior izquierda Tercer cuadrante "III": Región inferior izquierda Cuarto cuadrante "IB": Región inferior derecha El plano cartesiano se utiliza para asignarle una ubicación a cualquier punto en el plano. En la gráfica se indica el punto +2 en las abscisas y +3 en las ordenadas. El conjunto (2 , 3) se denomina "par ordenado" y del mismo modo se pueden ubicar otros puntos. Las coordenadas cartesianas se usan por ejemplo para definir un sistema cartesiano o sistema de referencia respecto ya sea a un solo eje (línea recta), respecto a dos ejes (un plano) o respecto a tres ejes (en el espacio), perpendiculares entre sí (plano y espacio), que se cortan en un punto llamado origen de coordenadas. En el plano, las coordenadas cartesianas se denominan abscisa y ordenada. La abscisa es la coordenada horizontal y se representa habitualmente por la letra x, mientras que la ordenada es la coordenada vertical y se representa por la y.
- 5. Se denominan coordenadas cartesianas en honor a René Descartes (1596-1650), el célebre filósofo y matemático francés que quiso fundamentar su pensamiento filosófico en el método de tomar un «punto de partida» evidente sobre el que edificaría todo el conocimiento. Como creador de la geometría analítica, Descartes también comenzó tomando un «punto de partida» en esta disciplina, el sistema de referencia cartesiano, para poder representar la geometría plana, que usa solo dos rectas perpendiculares entre sí que se cortan en un punto denominado «origen de coordenadas».
- 6. Coordenadas cilíndricas El sistema de coordenadas cilíndricas es muy conveniente en aquellos casos en que se tratan problemas que tienen simetría de tipo cilíndrico o azimutal. Se trata de una versión en tres dimensiones de las coordenadas polares de la geometría analítica plana. Un punto en coordenadas cilíndricas se representa por (ρ,φ, ), donde: ρ: Coordenada radial, definida como la distancia del punto al eje , o bien la longitud de la proyección del radiovector sobre el plano φ: Coordenada azimutal, definida como el ángulo que forma con el eje la proyección del radiovector sobre el plano . : Coordenada vertical o altura, definida como la distancia, con signo, desde el punto P al plano .
- 7. Los rangos de variación de las tres coordenadas son La coordenada azimutal φ se hace variar en ocasiones desde -π a +π. La coordenada radial es siempre positiva. Si reduciendo el valor de ρ llega a alcanzarse el valor 0, a partir de ahí, ρ vuelve a aumentar, pero φ aumenta o disminuye en π radianes. Las líneas coordenadas son aquéllas que se obtienen variando una de las coordenadas y manteniendo fijas las otras dos. Para las coordenadas cilíndricas, éstas son: Líneas coordenadas ρ: Semirrectas horizontales partiendo del eje . Líneas coordenadas φ: Circunferencias horizontales. Líneas coordenadas : Rectas verticales. Las superficies coordenadas son aquellas que se obtienen fijado sucesivamente cada una de las coordenadas de un punto. Para este sistema son: Superficies ρ=cte.: Semiplanos verticales. Superficies φ=cte.: Cilindros rectos verticales. Superficies =cte.: Planos horizontales. Las líneas y superficies coordenadas de este sistema son perpendiculares dos a dos en cada punto. Por ello, éste es un sistema ortogonal.
- 8. Coordenadas esféricas El sistema de coordenadas esféricas se basa en la misma idea que las coordenadas polares y se utiliza para determinar la posición espacial de un punto mediante una distancia y dos ángulos. En consecuencia, un punto P queda representado por un conjunto de tres magnitudes: el radio , el ángulo polar o colatitud θ y el azimut φ. Algunos autores utilizan la latitud, en lugar de colatitud, en cuyo caso su margen es de -90° a 90° (de -π/2 a π/2 radianes), siendo el cero el plano XY. También puede variar la medida del azimut, según se mida el ángulo en sentido reloj o contrarreloj, y de 0° a 360° (0 a 2π en radianes) o de -180° a +180° (-π a π). Se debe tener en cuenta qué convención utiliza un autor determinado.
- 9. La mayoría de los físicos, ingenieros y matemáticos no norteamericanos escriben: φ ,el azimut : de 0° a 360° θ ,la colatitud : de 0° a 180° Esta es la convención que se sigue en este artículo. En el sistema internacional, los rangos de variación de las tres coordenadas son: La coordenada radial es siempre positiva. Si reduciendo el valor de llega a alcanzarse el valor 0, a partir de ahí, ; vuelve a aumentar, pero θ pasa a valer π-θ y φ aumenta o disminuye en π radianes. Las líneas coordenadas son aquellas que se obtienen variando una de las coordenadas y manteniendo fijas las otras dos. Para las coordenadas esféricas, estas son: Líneas coordenadas : Semirrectas radiales partiendo del origen de coordenadas. Líneas coordenadas θ: Semicírculos verticales (meridianos) Líneas coordenadas φ: Circunferencias horizontales (paralelos).
- 10. Las superficies coordenadas son aquellas que se obtienen fijando sucesivamente cada una de las coordenadas de un punto. Para este sistema son: Superficies =cte.: Esferas con centro en el origen de coordenadas. Superficies θ=cte.: Conos rectos con vértice en el origen. Superficies φ=cte.: Semiplanos verticales. Las líneas y superficies coordenadas de este sistema son perpendiculares dos a dos en cada punto. Por ello, éste es un sistema ortogonal. Funciones de varias variables Una función es una relación entre dos conjuntos donde a cada elemento del primer conjunto le corresponde un solo elemento del segundo conjunto. Esta es la definición matemática de una función. Existen funciones comunes que poseen una variable independiente (x) que cambia libremente sin depender de ningún parámetro y una variable dependiente (y) que cambia respecto a x. El cambio que sufre y está definido por una expresión algebraica que funge como regla. Se puede entender a una función como una máquina por la que entra algo y sale algo diferente, procesado:
- 11. La imagen anterior lo ilustra perfectamente. La función genera resultados para y = f(x) dependiendo el valor que tome x. En el mundo real, estas funciones describen fenómenos que dependen de solo una variable. Por ejemplo, en cinemática, la rama de la física que estudia el movimiento sin preocuparse por las causas que lo provocan, la posición de un objeto se define por funciones que varían respecto al tiempo t. Son funciones de una única variable dependiente. Sin embargo, existen fenómenos de la naturaleza cuyo comportamiento no depende únicamente de un solo factor. Estas son funciones de varias variables. Las funciones de varias variables son funciones como cualquier otra, cumplen la misma definición de función; una relación. La diferencia es que una variable dependiente estará regida por más de una variables independiente. Es muy común trabajar con funciones de tres variables, generalmente llamadas z = f(x,y). La idea de relación es más compleja puesto que el valor de z depende no solo del valor de x o de y, sino de puntos coordenados a los que les corresponde un valor de z.
- 12. Casi por impulso, se tiende a graficar una función para observar su comportamiento y entenderlo con más claridad. Las funciones de varias variables no están exentas de ello. El problema es que no todas las funciones de varias variables se pueden graficar. De hecho, el máximo número de variables que permite graficar es de tres variables. ¿Por qué? Pues porque dimensionalmente no se pueden observar más de tres variables interactuando entre sí, o al menos no gráficamente. Un ejemplo de como se ve una función de tres variables es el siguiente: Sí, un paraboloide es una función de tres variables. Varias superficies tridimencionales son funciones de tres variables. Los planos, paraboloides, etcétera. Pero, no todas las gráficas en tercera dimensión son funciones. ¿Cómo saberlo? Aplicando la prueba de la recta vertical. Tanto en funciones de dos variables como de tres, la recta vertical sirve para demostrar que una gráfica no es función. Una esfera, por ejemplo, no es función puesto que no pasa dicha prueba; esto significa que a un mismo punto coordenados (x, y) le corresponden dos valores de z. Rompe con la definición de función.
- 13. Rango y dominio Las funciones de varias variables también se someten a un rango y dominio, tal y como ocurre en funciones de dos variables. Sin embargo, la idea es la misma. El dominio es el conjunto de valores que puede tomar el argumento de la función sin que esta se indefina. El rango es el conjunto de valores reales que toma la función z en función del dominio. El proceso para encontrar el dominio es similar a el caso de funciones de dos variables, pero ahora se debe encontrar en función de la relación entre las variables del argumento. Es decir, el dominio depende de como interactuan estas variables. Por ejemplo: Esta función es muy simple. El dominio es el conjunto de valores de x y de y tal que ambas variables pueden tomar cualquier valor de los números reales, puesto que la función f jamás se indefinirá. La manera formal de escribirlo es: De tal manera que el rango de la función es el conjunto de valores toma f o z, que en realidad son todos los reales, pues nunca se indefine:
- 14. En funciones de varias variables, es posible graficar el dominio. Esto da una idea de los valores que toman x y y en un plano, en el caso de una función de tres variables. Para la función anterior, el gráfico del dominio es el siguiente: Lo anterior se entiende como que un tapiz de puntos. Todos los valores de x y de y son permitidos, y es por eso que se marca todo el plano cartesiano, en dos dimensiones solamente. Para el siguiente ejemplo de función: Esta función es algo más compleja. Existe una raíz que afecta al argumento. El método para encontrar dominios no es siempre el mismo. En este caso, se sabe
- 15. que argumento de una raíz cuadrada no puede ser negativo, por lo que el dominio queda de la siguiente forma: Es bastante simple de anotar para cualquier caso. Este dominio es el conjunto de puntos que simplemente no indefinen a la función f. La imagen se encuentra evaluando a la función desde el punto en que comienza a definirse y el punto donde se alcanza el valor máximo de f, si es que lo hay: Valor máximo Valor mínimo Ahora se escribe la imagen:
- 16. El dominio gráfico de la función se haya encontrando una gráfica bidimensional que sirva de frontera para la indefinición y evaluando un punto por dentro y otro por fuera y así determinar que región indefinie a f y cual no. Esta función resulta ser una semiesfera que abarca al eje z positivo. La circunferencia que describe a la mitad es justamente la frontera del dominio. El último dominio que se puede graficar es el de una función de cuatro variables. En estos caso, el dominio es una gráfica tridimensional. Por ejemplo:
- 17. El dominio se encuentra de la misma forma. Aunque la función tenga tres variables en su argumento, existe un conjunto de valores que probablemente indefinan a f. La raíz cuadrada del denominador no puede ser igual a 0. Así mismo, su argumento no puede ser negativo. Por la conjunción de ambas condiciones se tiene que el dominio es: La gráfica del dominio está en tres dimensiones:
- 18. El gráfico es pues una esfera. Es importante notar que la superficie está punteada pues solo el "contenido" es parte del dominio. Si las variables del argumento de la función tomaran valores de un punto de la superficie, f se indefiniría. Superficie esférica Una superficie esférica es una superficie de revolución formada por el conjunto de todos los puntos del espacio que equidistan de un punto llamado centro. Para los puntos cuya distancia es menor que la longitud del radio, se dice que forman el interior de la superficie esférica. La unión del interior y la superficie esférica se llama bola cerrada en topología, o esfera, como en geometría elemental del espacio.1Obviamente, la esfera es un sólido geométrico. La esfera, como sólido de revolución, se genera haciendo girar una superficie semicircular alrededor de su diámetro (Euclides, L. XI, def. 14). Esfera proviene del término griego σφαῖρα, sphaîra, que significa pelota (para jugar). Coloquialmente hablando, se emplea la palabra bola, para describir al cuerpo delimitado por una esfera. Como superficie La esfera (superficie esférica) es el conjunto de los puntos del espacio tridimensional que tienen la misma distancia a un punto fijo denominado centro; tanto el segmento que une un punto con el centro, como la longitud del segmento, se denomina radio. En este caso se genera al rotar una semicircunferencia , usando como eje de rotación su diámetro. Este concepto se usa al definir la esfera en geometría analítica del espacio. Como sólido La esfera (sólido esférico) es el conjunto de puntos del espacio tridimensional que están, respecto del centro, a una distancia igual o menor que la longitud de su radio. Este concepto coincide con la definición de bola cerrada en el análisis real de ℝ3. Se genera al rotar un semicírculo, teniendo como eje de rotación su diámetro. En esta situación, topológicamente, se puede hablar de frontera( Fr) el conjunto de puntos de la esfera de distancia igual al radio; interior ( Int), el conjunto de puntos de distancia menor que el radio; exterior (Ext), el conjunto de puntos de distancia mayor que el radio. Cumpliéndose que estos tres conjuntos forman una partición del espacio, de modo que son disjuntos dos a dos y la unión de los tres es el mismo espacio.
- 19. Propiedades Cualquier segmento que contiene el centro de la esfera y sus extremos están en la superficie esférica, es un diámetro. Cualquier sección plana de una esfera es un círculo. Cualquier sección que pasa por el centro de una esfera es un círculo mayor, y si la sección no pasa por el centro es un círculo menor. Si se da un círculo de una esfera, los extremos del diámetro perpendicular a aquel se llaman polos de dicho círculo. Superficie cilíndrica Las superficies cilíndricas son superficies generadas por una recta, cuando se desplaza a través de una curva plana, manteniéndose siempre paralela a sí misma. A dicha recta se la llama generatriz de la superficie y a la curva, directriz.
- 20. La ecuación de una superficie cilíndrica de directriz G y generatriz d (paralela a u → (u1, u2, u3) y que corta a la directriz en P0(x0, y0, z0)) se obtiene reemplazando en la ecuación de la curva directriz las coordenadas de P0, despejadas de la ecuación de d. Entonces, si las ecuaciones de G y d son: despejando las coordenadas de P0 y reemplazándolas en la ecuación de G se obtiene: Eliminando t de las ecuaciones anteriores se obtiene la ecuación de la superficie cilíndrica.
- 21. Paraboloide En la Geometría analítica, un paraboloide es una cuádrica, un tipo de superficie tridimensional que se describe mediante ecuaciones cuya forma canónica es del tipo: Los paraboloides pueden ser elípticos o hiperbólicos, según sea que sus términos cuadráticos (los que contienen variables elevadas al cuadrado, aquí indicadas como x e y) tengan igual o distinto signo, respectivamente. Paraboloide hiperbólico Superficie que ilustra un paraboloide hiperbólico Un paraboloide será hiperbólico cuando los términos cuadráticos de su ecuación canónica sean de signo contrario: El paraboloide hiperbólico es una superficie doblemente reglada por lo que se puede construir a partir de rectas. Por su apariencia, también se lo denomina superficie de silla de montar.
- 22. Paraboloide elíptico Horno solar cuya superficie reflectora es un paraboloide de revolución. Un paraboloide será elíptico cuando los términos cuadráticos de su ecuación canónica sean del mismo signo: Si además es a = b, el paraboloide elíptico será un paraboloide de revolución, que es la superficie resultante de girar una parábola en torno a su eje de simetría. Las antenas parabólicas son paraboloides de revolución, y tienen la propiedad de reflejar los rayos paralelos entrantes hacia su foco, punto donde se ubica el receptor. Elipsoide. Un elipsoide es una superficie curva cerrada cuyas tres secciones ortogonales principales son elípticas, es decir, son originadas por planos que contienen dos ejes cartesianos. En matemática, es una cuádrica análoga a la elipse, pero en tres dimensiones. Un elipsoide se obtiene al «deformar» una esfera, mediante una transformación homológica, en la dirección de sus tres diámetros ortogonales. Ecuación cartesiana de un elipsoide La ecuación de un elipsoide con centro en el origen de coordenadas y ejes coincidentes con los cartesianos, es: 𝑥² 𝑎² + 𝑦2 𝑏² + 𝑧2 𝑐² = 1 donde a, b y c son las longitudes de los semiejes del elipsoide respecto de los ejes x, y , z; son números reales positivos y determinan la forma del elipsoide. Si dos
- 23. de estos semiejes son iguales, el elipsoide es un esferoide; si los tres son iguales, se trata de una esfera. Otras características La intersección de un elipsoide con un plano suele ser una elipse. También puede ser una circunferencia. Se puede definir un elipsoide en espacios de más de tres dimensiones. Hiperboloide. La hiperboloide es la superficie de revolución generada por la rotación de una hipérbola alrededor de uno de sus dos ejes de simetría. Dependiendo del eje elegido, el hiperboloide puede ser de una o dos hojas. Para entenderlo mejor, se considera a continuación el caso de la hipérbola de referencia, cuya ecuación es , en el sistema de coordenadas (ver el esquema siguiente). La revolución alrededor del eje de simetría rojo genera un hiperboloide conexo, mientras que la rotación alrededor del eje azul, que atraviesa dos veces la hipérbola, da un hiperboloide de dos hojas. Hiperboloide de una hoja.
- 24. Hiperboloide de dos hojas. Si el centro de simetría es C(0, 0, 0), y el eje del hiperboloide es el eje z, entonces la ecuación del hiperboloide de una hoja es: y la ecuación del hiperboloide de dos hojas es: Si el centro fuera C(x0, y0, z0), entonces las ecuaciones se escribirían: Características de los hiperboloides Hiperboloide de una hoja Sea el hiperboloide de una hoja de ecuación: El hiperboloide de una hoja es simétrico respecto al origen de coordenadas. El hiperboloide de una hoja es simétrico respecto a los ejes de coordenadas.
- 25. El hiperboloide de una hoja es simétrico respecto a los planos coordenados. Las secciones con planos paralelos a los coordenados y al eje del hiperboloide son hipérbolas. El hiperboloide de una hoja se extiende infinitamente. Una ecuación paramétrica de este hiperboloide de una hoja es es: Hiperboloide de dos hojas Sea el hiperboloide de dos hojas de ecuación: El hiperboloide de dos hojas es simétrico respecto al origen de coordenadas. El hiperboloide de dos hojas es simétrico respecto a los ejes de coordenadas. El hiperboloide de dos hojas es simétrico respecto a los planos coordenados. Las secciones con planos paralelos a los coordenados y al eje del hiperboloide son hipérbolas. El hiperboloide de dos hojas se extiende en -∞ ≤ x ≤ ∞; -∞ ≤ y ≤ ∞; |z| ≥ c. Una ecuación paramétrica de este hiperboloide de dos hojas es: Ejemplos Ejemplo 1. Analizar la superficie de ecuación: Ge) x2 - y2 + z2 = 1 ü Es un hiperboloide de una hoja ü El hiperboloide corta a los ejes de coordenadas en los siguientes puntos:
- 26. eje x: A1(-1, 0, 0), A2(1, 0, 0) eje y: el hiperboloide no corta al eje y eje z: C1(0, 0, -1), C2(0, 0, 1) ü Las secciones con planos paralelos a los coordenados son: con planos paralelos al x - y (z = k): hipérbolas de la forma: Ge) x2 - y2 = 1 - k2, z = k en las que k puede asumir cualquier valor real y que cambian de eje focal en z = ± 1. con planos paralelos al x - z (y = k): circunferencias de la forma: Ge) x2 + z2 = 1 + k2, y = k en las que k puede asumir cualquier valor real. con planos paralelos al z - y (x = k): hipérbolas de la forma: Ge) - y2 + z2 = 1 - k2, x = k en las que k puede asumir cualquier valor real y que cambian de eje focal en x = ± 1. ü El gráfico de este hiperboloide de una hoja es: Ejemplo 2. Analizar la superficie de ecuación: Ge) x2 - y2 - z2 = 1
- 27. ü Es un hiperboloide de dos hojas ü El hiperboloide corta a los ejes de coordenadas en los siguientes puntos: eje x: A1(-1, 0, 0), A2(1, 0, 0) eje y: el hiperboloide no corta al eje y eje z: el hiperboloide no corta al eje z ü Las secciones con planos paralelos a los coordenados son: con planos paralelos al x - y (z = k): hipérbolas de la forma: Ge) x2 - y2 = 1 + k2, z = k en las que k puede asumir cualquier valor real. con planos paralelos al x - z (y = k): hipérbolas de la forma: Ge) x2 + z2 = 1 + k2, y = k en las que k puede asumir cualquier valor real. con planos paralelos al z - y (x = k): circunferencias de la forma: Ge) y2 + z2 = -1 + k2, x = k en las que k puede asumir cualquier valor real tal que |k| ≥ 1. ü El gráfico de este hiperboloide de dos hojas es:
- 28. Conclusión La ubicación de puntos en un plano cartesianos resulta de gran utilidad para el estudio de diferentes fenómenos naturales y sociales para los cuales se hace necesario presentar e interpretar información procesada en gráficas. Asimismo determinar puntos simétricos respecto a un punto te será muy útil en la ubicación de puntos en mapas, dibujos, juegos, entre otras situaciones de la vida. De lo anterior se concluye que para determinar las coordenadas de un punto o localizarlo en el plano cartesiano, se encuentran unidades correspondientes en el eje de las x hacia la derecha o hacia la izquierda y luego las unidades del eje de las y hacia arriba o hacia abajo, según sean positivas o negativas, respectivamente. El plano cartesiano tiene una característica fundamental y es que como todo plano, sólo posee dos dimensiones: alto y largo, pero no posee profundidad. Es por esto que el plano cartesiano es considerado un sistem bidimensional, porque precisamente posee dos dimensiones, en contraposición con los objetos tridimensionales que poseen tres dimensiones (alto, largo y profundidad). Quien por primera vez diseñó un plano cartesiano fue René Un plano cartesiano es un sistema bidimensional (por sistema bidimensional se entiende aquello que tiene dos dimensiones, por ejemplo, alto y largo, pero no profundidad), donde se encuentran coordenadas cartesianas, que corresponden a un tipo de coordenadas denominadas ortogonales (mediante este término se denomina la característica general de perpendicularidad). Este plano cartesiano se constituye como un espacio euclídeo, y donde pueden ser representadas funciones, a partir de gráficos, como las que se utilizan en geometría analítica o en física. Dentro del plano cartesiano, las coordenadas utilizan como referencia unos ejes denominados ortogonales, y estos ejes se cortan entre sí en un punto de origen. De este modo, las coordenadas cartesianas responden y se definen de acuerdo a la distancia respecto del origen que poseen las proyecciones ortogonales, de acuerdo a los ejes. Estos planos se denominan cartesianos por el nombre de quien los desarrolló por primera vez: René Descartes. Decíamos antes que los planos cartesianos son sistemas bidimensionales y que el punto donde ambas se cortan, se denomina punto cero, u origen del sistema. En el plano cartesiano, encontraremos dos ejes: uno de ellos está ubicado de manera horizontal y se denomina “eje de las abscisas”, asignándole la referencia de la letra X. Por otra parte, encontramos un
- 29. eje vertical, denominado “eje de las ordenadas”, y al cual se le otorga referencia mediante la letra Y. Cortando entonces ambas rectas, el plano cartesiano resulta dividido en cuatro regiones, conocidas como cuadrantes: el primer cuadran te (I), se ubica en la región superior derecha; el segundo cuadrante (II), se ubicará en la región superior izquierda; el tercer cuadrante (III), lo encontraremos ubicado en la región inferior izquierda; mientras que al cuatro cuadrante (IV), lo ubicaremos en la región inferior derecha. (Tal como lo podemos observar en la imagen de este artículo). Dentro de este plano cartesiano que nos quedó conformado podemos ubicar y asignarle una ubicación dentro del espacio a cualquier punto que pueda ubicarse en dicho plano. Para denominar a un punto, se lo hace mediante la designación de un “par ordenado”, por ejemplo: 4,5; indicará que el punto se encuentra en la intersección de +4 del eje de abscisas y +5 del eje de ordenadas. Estos puntos quedan representados de manera gráfica a partir del corte perpendicular entre las dos rectas que se trazan en los cuadrantes del plano cartesiano que correspondan con el fin de ubicar en el espacio al punto representado por el par ordenado.