Límite y continuidad de una función

República Bolivariana de Venezuela
Instituto Universitario Politécnico
“Santiago Mariño”
Sede Barcelona
Límite y continuidad de una función
Bachiller:
Jorge Villalobos
C.I.: 27.330.949
Fecha, Marzo de 2019

Introducción
Cuando empezó a desarrollarse el Cálculo, la mayor parte de las funciones con
las que se trabajaba eran continuas, y por lo tanto no se sentía la necesidad de
penetrar en el significado exacto de continuidad. Fue ya entrado el siglo XVIII
que se presentaron algunas funciones discontinuas en conexión con distintas
clases de problemas físicos. En particular, los trabajos de J.B.J. Fourier (1758-
1830) sobre la Teoría del calor, obligaron a los matemáticos de principios de
siglo XIX a examinar cuidadosamente el significado de los conceptos de
función y continuidad.
A pesar de que el significado de la palabra "continuo" parece intuitivamente
clara a todo el mundo, no es fácil imaginarse cuál sería una buena definición de
esta idea. Un diccionario popular da la siguiente definición de continuidad:
Continuidad: Cualidad o condición de ser continuo.
Continuo: Que tiene continuidad entre las partes.
Intentar aprender el significado de continuidad únicamente a partir de estas dos
definiciones, es lo mismo que intentar aprender chino con sólo un diccionario
chino.
Una definición matemática satisfactoria de continuidad,
expresada enteramente por medio de las propiedades del sistema de los
números reales, fue formulada por primera vez en 1821 por
el matemático francés Agustín-Louis Cauchy (1789-1857)". (Apóstol, 1977,
156)
Antes de dar la definición de continuidad de una función en un punto, veremos
el comportamiento de algunas funciones que no son continuas.
Uno de los análisis bases para una función es estudiar su continuidad y los
valores en el que posiblemente ésta no exista. Por lo tanto, estudiar a la
función en entornos reducidos de estos valores y observando el
comportamiento de ella misma, es lo que llamamos límites de una función.

Límite y continuidad de una función
Aunque la descripción precisa del concepto de límite no es un objetivo de este
curso, sí que es necesario tener una idea del concepto de límite de una fución
en un punto. El límite de una función en un valor determinado de x es igual a un
número al que tiende la función cuando la variable tiende a dicho valor (pero
nunca llega a serlo). Si el límite de una función f en un valor a es igual a b, se
escribe de esta manera:
lim ⁡ x → a f ( x ) = b
Es sencillo visualizar este hecho dibujando la función, el punto al que tiende la
función y un punto cualquiera, como puede verse en el siguiente ejemplo, en el
que se muestra el límite cuando x tiene a − 1 de la
función f ( x ) = 2 x 3 + 4 x 2 − 4 x −2 : si desplazamos lentamente la
coordenada x de este punto (C, en rojo) hacia el valor deseado (en ese
caso, − 1 ), el valor de f(x) (el punto D) debe desplazarse hacia el valor de la
función en ese punto (F):
Es fácil comprobar cómo, en este caso, el valor del límite cuando x tiende
a −1−1 es igual al valor de la función en dicho punto, esto es, 4. Es decir,
limx→−1f(x)=4lim⁡x→−1f(x)=4
En casos como éste, se dice que la función es continua en dicho punto porque
el valor del límite tiende al valor de la función en el punto. Es decir, una función
es continua en el punto a, si se cumple que:
limx→af(x)=f(a)lim⁡x→af(x)=f(a)
Además, se dice que una función es continua si lo es en todos y cada uno de
los valores de su dominio. Los puntos en los que una función no es continua se
denominan discontinuidades de la función. Es sencillo detectarlos, ya que son
puntos en los que la gráfica se "rompe". Dicho de otra manera, una función es
continua si puede dibujarse de un solo trazo. Así, la función del ejemplo
anterior es, evidentemente, continua.
Ejemplos:
1.-
Como es una función racional, el dominio es todos los reales excepto los
valores para los que se anula en denominador (no se puede dividir entre 0), es
decir, el dominio es

Y la función es continua en todos su dominio, es decir, en
Gráfica
Notemos que el punto donde se anula el denominador la función crece (o
decrece) hacia infinito. Esto se debe a que cada vez el denominador es más
pequeño y, por tanto, el cociente es cada vez mayor (o menor, si el
denominador es negativo).
limx→2−f(x)=−∞limx→2−f(x)=−∞
limx→2+f(x)=+∞
2.-
Puesto que es una función racional, el dominio es todos los reales excepto
donde se anula en denominador, es decir, excepto los puntos que cumplen
Por tanto, el dominio es
La función es continua en todo su dominio.

Gráfica
Cuando x se aproxima a los puntos donde el denominador se anula, crece (o
decrece):
limx→−3−f(x)=+∞limx→−3−f(x)=+∞
limx→−3+f(x)=−∞limx→−3+f(x)=−∞
limx→3−f(x)=−∞limx→3−f(x)=−∞
limx→3+f(x)=+∞
Derivación de funciones de varias variables.
En este apartado se presentan los conceptos básicos que aparecen en la
derivación de funciones de varias variables. La idea es establecer un método
para estudiar sus variaciones y también definir el concepto de diferenciabilidad.
Por último, se presenta la forma de resolver algunos problemas de
optimización, en varias variables, sencillos.
Derivadas parciales.
Antes de comenzar con la derivación de funciones de varias variables conviene
recordar este concepto en el contexto de las funciones reales de una variable
real. Así, dada una función de la forma f :I⊂ IR→IR , donde I⊂ IR es un intervalo
abierto, y x0 ∈ I un punto de dicho intervalo, se define la derivada de f en 0 x
como el límite:
f′(x0) = 𝑙𝑖𝑚 → 0
𝑓( 𝑥0+ ℎ) − 𝑓(𝑥0)
ℎ
Derivada parcial de una función de varias variables.
Sea una función de dos variables z = f(x, y), se definen las derivadas
parciales:

Para la derivada de z "respecto de x" consideramos a la variable "y" como si
fuera una constante, mientras que al hacer la derivada de z "respecto de y"
consideramos a la variable "x" como si fuera constante.
Veamos, como ejemplo, las dos derivadas parciales de la función: :
Para ello recordemos que la derivada de la función z = eu
es: z’ = u’ . eu
,
siendo u en nuestro caso: x2 + y2 , entonces la derivada de u respecto x es
2x (con la y constante), mientras que la derivada de u respecto y es 2y (con
la x constante). Así tenemos:
Otras formas de expresar la derivada de la función z = f(x,y) con respecto
a x son:
mientras que para expresar la derivada de la función z = f(x,y) con respecto
a y :
Esta definición de derivada se extiende a funciones de tres o más variables,
por ejemplo, para una función de tres variables w = f(x,y,z) sus tres derivadas
parciales son:
en cada una de ellas se consideran constantes los dos parametros distintos a
los que se realiza la derivada.

Diferencial de una función de varias variables.
Sea una función de dos variables z = f(x, y), se define la diferencial de esta
función como:
Geométricamente hay que interpretar las diferenciales como "incrementos
infinitesimales".
Como ejemplo, expresemos la diferencial de la función: , ya que
hemos realizado anteriormente las dos derivadas parciales:
Tanto en las derivadas como en las diferenciales, se suele hablar de valores
en un punto P(a, b), para ello se sustituye en ellas el valor de x por a, y el valor
de y por b. Por ejemplo, las derivadas y la diferencial en el punto P(1, 2) se
calculan sustituyendo x=1, y=2.
Para la función las derivadas en el punto P(1, 2) son:
y la diferencial en ese punto:
Derivadas parciales de segundo orden.
Sea una función de dos variables z = f(x, y). En principio tenemos cuatro (22)
derivadas de segundo orden:
(se debe leer "derivada segunda de z respecto de x dos veces", "derivada
segunda de z respecto de x-y", etc.)
Estas derivadas vienen definidas de la siguiente manera:

Se trata de derivar respecto de x la derivada .
Se trata de derivar respecto a x la derivada .
Se trata de derivar respecto a y la derivada .
Se trata de derivar respecto a y la derivada .
Siguiendo con nuestro ejemplo, calculemos estas derivadas para la
función :
Las derivadas son llamadas "derivadas mixtas", obsérvese en el
ejemplo cómo estas derivadas son iguales, lo cual no es una coincidencia sino
el resultado de un teorema que vamos a pasar a ver.
Teorema de Schwarz relativo a las derivadas mixtas.
Sea un punto P(a, b) en el que la función z = f(x, y) se encuentre definida. El
teorema de Schwarz dice: "Es suficiente que las derivadas existan
en una cierta bola del punto P, y que la derivada segunda de f con respecto
a xy sea continua en este punto, para que tengamos:
es decir, que las derivadas mixtas sean iguales en los puntos de esa bola".
En general, las condiciones de este teorema se cumplen (salvo para algunos
puntos excepcionales), por lo que nosotros siempre consideraremos iguales a
estas derivadas cruzadas.

A veces, es conveniente expresar las derivadas segundas de z=f(x,y) como
una matriz 2 2 :
En este caso los elementos que se encuentren en posición simétrica
respecto a la diagonal principal son iguales. En otras palabras, estas matrices
son simétricas. Para el caso de una función de tres variables w = f(x, y, z), el
número de derivadas segundas es 9 , esto es (32), que las podríamos expresar
así:
coincidiendo cada pareja situada en posición simétrica (respecto de la diagonal
principal).
Diferencial segunda de una función z = f(x,y).
Sea z = f(x,y) una función de dos variables. Entonces la diferencial segunda
de z, d2
z, es la diferencial de la diferencial, esto es, d(dz), la cual se puede
expresar así:
que teniendo en cuenta la igualdad (en general) de las derivadas mixtas, puede
expresarse:
En nuestro ejemplo tendríamos:
* Podemos hallar la diferencial de z = f(x,y) en un punto específico, digámos
P(a,b), sin más que sustituir las x por a, y las y por b.

Hallemos, para la función z de nuestro ejemplo, la diferencial de z en el punto
P(1,2):
Extremos de una función z = f(x,y) (método de la diferencial segunda).
Sea una función z = f(x, y), sea un
punto Po(a,b) que es un extremo local de la
función (en la imagen un "mínimo local"),
entonces:
Si para los puntos P(x,y) de un entorno
de Po se tiene:
f(x,y) – f(a,b) < 0 , el punto es máximo
f(x,y) – f(a,b) > 0 , el punto es mínimo.
* Condiciones necesarias:
Fijándonos en el gráfico adjunto, es fácil observar que para que Po sea
extremo también lo ha de ser para las secciones transversales a los ejes X e Y,
(imaginad que en la superficie de la gráfica adjunta realizamos cortes de
cuchillo transversales a los ejes X e Y), entonces se debe cumplir:
{1}
Si ahora expresamos los dos primeros términos del desarrollo de Taylor
de f(x,y) en un entorno del punto Po(a,b), y teniendo en cuenta que las dos
derivadas primeras se anulan en este punto, tenemos:
siendo h = x – a, k = y – b, por otra parte las derivadas segundas de f(x,y) se
expresan en un punto intermedio , pero como el tipo de
funciones que utilizamos son tales que sus derivadas segundas no varían
mucho de un punto a otro próximo podemos cambiar este punto por el punto
vecino Po(a,b). Entonces se tiene:

Además si consideramos a h = (x-a) ser una cantidad muy pequeña, lo
podemos sustituir por dx, de la misma manera podemos sustituir k = (y-
b) por dy. Entonces:
que teniendo en cuenta la expresión de la diferencial segunda de f, podemos
asegurar que lo que hay dentro del corchete es la diferencial de la función z =
f(x,y). Entonces el signo de f(x,y) – f(a,b) es el mismo que el de d2
z en el
punto Po(a, b).
Ahora bien, la expresión de la diferencial de la función z = f(x,y) en el
punto Po(a,b):
corresponde con lo que en Álgebra se llama forma cuadrática, cuyo
comportamiento es el siguiente:
Por lo tanto, podremos hacer el estudio de máximos y mínimos locales de la
forma:
Ejemplo. Hallemos los extremos locales (máximos y mínimos) de la función
de dos variables:

z = f(x, y) = 2 x3
+ 2 y3
– x2
– y2
– 2 xy
Para ello, en primer lugar determinamos aquellos puntos que cumplen la
doble condición necesaria para ser extremo local {1} :
o lo que es lo mismo:
Se resuelve este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, y su solución
nos indica los dos puntos posibles de ser extremos locales:
Ahora para determinar si estos puntos son máximos o mínimos, primeramente
hallamos las derivadas segundas de la función:
ahora expresamos d2
z para cada punto de arriba.
I) Para el punto (0,0):
Por lo que la función z=f(x,y) presenta en el punto (0,0) un casi-maximo.
Téngase en cuenta que dx puede ser igual a -dy, y por tanto d2z puede hacerse
0.
II) Para el punto (2/3, 2/3):
Por lo tanto la función z=f(x,y) presenta en el punto (2/3, 2/3) presenta un
mínimo cuyo valor es z=-(16/27).
Estudio de máximos y mínimos mediante el Hessiano.
Otra forma, algo menos efectiva, de estudiar los máximos y mínimos locales de
una función de n variables, es la utilización del Hessiano.

Sea una función de n variables, , se llama Hessiano de esta
función al determinante:
O más concretamente se habla del "Hessiano de la función f en el
punto ":
en el que cada derivada segunda de f está realizada en el punto P.
A partir de este determinante hessiano se elimina la ultima fila y la ultima
columna, con lo que se obtiene el "hessiano reducido", D1 . Entonces, de forma
general, la manera de operar es la siguiente:
A) En primer lugar, hallamos los puntos que cumplen la condición necesaria
de extremo (sus derivadas primeras son todas nulas), resolviendo el sistema:
B) Para cada uno de estos puntos P que cumplen la condición necesaria
hallamos el hessiano y el hessiano reducido, .
Entonces, lo que puede decirse de P está expresado en la siguiente tabla:

en el caso de que alguno de estos hessianos sea nulo ese punto queda
indeterminado y habría que utilizar el método de la diferencial visto en la
cuestión anterior.
Para el caso de una función de dos variables z = f(x,y), estos hessianos se
reducen a los siguientes:
Para el ejemplo anterior de la función z = f(x, y) = 2 x3
+ 2 y3
– x2
– y2
– 2 xy ,
podemos operar así:
Primeramente hallaríamos los puntos que cumplen la condición necesaria de
extremo, de la misma manera que se ha visto antes. Estos dos puntos
son: . Y a continuación hacemos el estudio de los hessianos para
cada uno de estos dos puntos.
a) Para el punto (2/3, 2/3):
Se trata del caso 1-b) de la tabla de arriba, lo cual nos indica que en este
punto la función tiene un mínimo local.
b) Para el punto (0,0):
que se trata de un caso indeterminado, por lo que no podemos asegurar nada
respecto del punto (0,0) mediante este método.

Derivación de una función compuesta.
Sea una función de n variables, z = f(u, v, ...), a su vez, supongamos que
esas variables dependen de otras m variables u=u(x,y...), v=v(x,y,..)... . Es
decir, tengamos:
De una manera simbólica expresaremos esta dependencia lineal entre las
variables así:
En ultima instancia la función z depende de las x, y,... . Vamos a expresar las
derivadas de la función z con respecto a esas variables, que siguen la misma
pauta multiplicativa de las funciones de una variable:
Para establecer estas derivadas nosotros debemos guiarnos por el esquema
de la dependencia lineal.
Veamos algunos ejemplos:
Ejemplo 1: Sea la función , donde a su vez, u, v son funciones
de las variables x, y de la forma:

Vamos a hallar las derivadas parciales de z con respecto a x, y con respecto
a y.
Para ello fijémonos, primeramente, en la dependencia lineal de la función z:
De aquí que podamos expresar las derivadas parciales de z como:
Ahora hacemos directamente cada una de las derivadas de ambos miembros
de la derecha, y obtenemos:
Ejemplo 2: Sea la función z(u, v) = u2
+ v2
, siendo u, v tales que:
y a su vez, siendo t, p tales que: . Hallemos las derivadas
de z respecto de x, y.

Bien, en consonancia con el enunciado, la dependencia de la función z con
respecto a las variables ultimas x,y es la siguiente:
En el fondo tenemos la función z como dependiente de las variables x, y. Por
tanto, las dos derivadas primeras se expresarán:
Derivadas de una función compuesta (ordenes superiores).
Sea una función de varias variables z = f(u, v, ...), a su vez, supongamos que
esas variables dependen de otras variables u=u(x,y...), v=v(x,y,..)... , según una
cierta dependencia lineal. Vamos a ver ahora cómo establecer las derivadas
segundas, terceras, etc.
Para ello debe tenerse en cuenta el siguiente lema: "Las derivadas de una
función tienen la misma dependencia lineal que la función. Esto significa que el
esquema que utilizamos para una cierta función z=f(u, v, ...) es valido para
cada derivada, de cualquier orden".
Aclarémoslo mediante un ejemplo.
Sea la función z = 5 x2
y – y2
, donde las variables x, y se encuentran
expresadas como dependientes de las coordenadas polares:

Vamos a hallar las derivadas segundas de z con respecto a las variables r, j.
La dependencia lineal de la función z con respecto a estas dos variables es:
Entonces, las derivadas primeras de z son:
Para hallar las derivadas segundas de z hay que derivar estas derivadas
primeras, para ello debemos: (1) dejarlas solamente con las variables x,
y; (2) considerar el lema anterior.
(1). De las relaciones entre las variables (x, y) y las (r,j) fácilmente se deduce:
que sustituyendo en las derivadas nos queda:
(2). Con las derivadas así expresadas, ya podemos comprender que estas son
funciones de (x,y) que a su vez siguen siendo funciones de (r,j), es decir, la
dependencia de cada una de ellas es la misma que la de z (tal como dice el
lema):

Y siguiendo estos esquemas tendremos para las derivadas segundas:
Ahora sustituimos en los miembros de la derecha, dentro de los paréntesis,
las expresiones correspondientes de la derivada primera. Por ejemplo, vamos a
hacer la última de ellas:
y ahora derivamos estos paréntesis y también sustituimos el valor de las
derivadas con respecto de j.
es decir,
Cambio de variables en expresiones diferenciables.
Caso I. Una función de una variable.
Supongamos que tenemos una expresión matemática E (normalmente
supondremos una ecuación diferencial) en la forma:
Hagamos ahora un cambio de variable, en la forma x = x(t), con el propósito
de transformar la ecuación de arriba, mediante la nueva variable t.

No sólo debemos cambiar la variable x de la ecuación, mediante x(t), sino que
debemos cambiar las derivadas dy/dx, d2
y/dx2
, ..., que deberán ser
transformadas en dy/dt, d2
y/dt2
, ...
Al final la expresión matemática de arriba quedará en la forma:
En este caso la dependencia lineal de la función y(t) es:
por tanto la derivada de y respecto de x se expresará:
donde se ha tenido en cuenta la siguiente propiedad:
Una vez obtenida la primera derivada, obtendremos la derivada segunda sin
más que derivar la primera. Es decir:
Ahora sustituiríamos dentro del paréntesis del miembro de la derecha el valor
obtenido para dy/dx y derivaríamos directamente.
Veámoslo mediante un ejemplo:
Ejemplo. Consideremos la ecuación diferencial:
Veamos cómo queda transformada esta ecuación cuando realizamos el
cambio de coordenada:
x = Ln t

Solución: Nosotros aquí podemos despejar fácilmente[1] la variable t: t =
ex
, y ahora considerar la dependencia lineal:
entonces podemos expresar la primera derivada de y:
En cuanto a la segunda derivada quedaría sin más:
y ahora téngase en cuenta que en el paréntesis hay un producto, cuya derivada
es:
por lo tanto:
Sustituimos estas derivadas en la ecuación y nos queda:
finalmente simplificamos y obtenemos la ecuación ya transformada.
[Nota 1] No hay gran inconveniente en el caso de que t no pueda ser
despejada como t(x) pues en este caso haríamos dx/dt y tendríamos en cuenta
la propiedad ya citada:

En nuestro ejemplo, supongamos que de x = Ln t no pudieramos despejar t :
Entonces haríamos:
y como dx/dt = 1/t nos quedaría dx/dt = t dy/dx, o sea, lo mismo que ántes.
Caso II. Una función de dos variables:
Supongamos que tenemos una expresión matemática E (normalmente
supondremos una ecuación diferencial) en la forma:
Si ahora hacemos un cambio de variables, pasando de las variables x, y a
las u, v, en la forma:
se trata de transformar esta expresión matemática (o ecuación diferencial) E
que tenemos.
Entonces nos encontramos con la dependencia lineal [2]:
[Nota 2]: Siempre que sea posible despejar u, v en la forma u(x,y), v(x,y),
aunque tampoco es gran problema la imposibilidad de despejarlas.
De aquí que las derivadas primeras puedan ser expresadas:

de donde podemos realizar de manera sencilla las cuatro derivadas:
Y por tanto, ya tendríamos unas expresiones para las derivadas primeras, a
continuación las derivadas segundas se obtendrían derivando adecuadamente
estas derivadas primeras, tal como vamos a ver en el ejemplo siguiente:
Ejemplo: Sea la ecuación diferencial:
Obtengamos la ecuación diferencial transformada según el cambio de
coordenadas:
Respuesta: Ya nos han dado u(x,y), v(x,y), evitándonos la tarea de tener que
despejar u,v. Ahora si consideramos a z como función de estas nuevas
variables u, v, podemos expresar la dependencia lineal en la forma:
y teniendo en cuenta que:
y teniendo presente que x-y = ev
podemos expresar:

Ahora obtenemos las derivadas segundas derivando estas primeras, teniendo
en cuenta que :
o sea, para la derivada con respecto a "x dos veces":
y para la derivada con respecto a "y dos veces":
finalmente, las sustituimos en la ecuación, y simplificamos:
Ejemplos:
Sea entonces la función:
Derivemos entonces, en este caso nuestra función z, se derivará de las 2
formas: respecto a “x”, y después respecto a “y”, cabe mencionar que, el orden
de la derivación no importa, por lo que vamos a derivar primeramente
respecto a “x”.

Si nos damos cuenta se derivó normalmente a x² , y a la variable “y” no la
tocamos porque es una constante pero al final dónde tenemos “5y” ahí si afecto
puesto que la derivada de una constante es cero.
Como resultado tenemos:
 Derivada parcial de “z” respecto a “x”
 Derivada parcial de “z” respecto a “y”
Ahora veamos la siguiente derivada, pero ahora respecto a “y”.
Resultado:
En este caso, la respuesta está clara; la derivada se ha hecho tomando como
una constante la otra variable.
Ejemplo 2. Encontrar las derivadas parciales de primer orden z = (x³- y²) ‾ ¹
Solución:
Veamos otro ejemplo.
En este caso tenemos una función con un exponente negativo arriba, esto hace
que nosotros tomemos la decisión de hacer la derivada por la regla de la
cadena es decir aplicar aquella fórmula del cálculo diferencial que dice:
Dónde U es una función y n el exponente.
Entonces aplicándolo en nuestra función, y haciéndolo primero respecto a la
variable “x” tenemos:

Luego tenemos
Acomodando …
Ahora debemos hacer lo mismo pero con respecto a la otra variable “y”, si
observamos bien; nos damos cuenta que el proceso de la regla de la cadena
sigue siendo la misma, que solamente el factor que cambia es la derivación
de la función que tiene el exponente.
Luego
Resultado:
Veamos el siguiente ejemplo.
Ejemplo 3. Encontrar las derivadas parciales de primer orden z (x,y) = x² – y² +
2xy + 5
Solución:
Encontramos la derivada parcial de “z” respecto a “x”, para ello asumimos que
“y” es constante. Entonces obtenemos:

Del mismo modo, encontramos la derivada parcial de “z” respecto a “y” y
asumimos que “x” es constante. Entonces obtenemos:
Resultado:
Ejemplo 4. Encontrar las derivadas parciales de primer orden z = x^(y)
Solución:
La función a derivar parcialmente es la siguiente:
Primeramente encontramos la derivada parcial de “z” respecto a “x”, por lo que
consideramos a “y” constante. Haciendo esto nos encontramos con la derivada
de una potencia. Entonces aplicamos:
A continuación, encontramos la derivada parcial de “z” respecto a “y”, por lo
que consideramos a “x” constante. Por lo que tendremos una derivada
exponencial, pues una constante está elevada a una función. Entonces esto
nos da:
Resultado:

Ejemplo 5. Encontrar las derivadas parciales de primer orden z = cos² (3x –
y²)
Solución:
Para resolver la derivada parcial trigonométrica, es importante que tengamos
en cuenta la siguiente igualdad:
Son exactamente lo mismo, por lo que la derivación parcial se realizará como
una potencia.
Luego
y finalmente ordenando:
Sigue siendo una derivada de una potencia, lógicamente solo cambia en la
derivación respecto a “y”.
Luego
Multiplicando y ordenando

Conclusión
El concepto de derivada es importante comprender y derivar fórmulas, que a su
vez tienen una importante aplicación en cualquier campo de trabajo y la ciencia
en general. El propósito principal de un derivado es optimizar los sistemas que
se expresan por las funciones más o menos complejo. Además, es habitual
encontrar la derivada de aplicar los valores máximos y mínimos de ciertas
expresiones matemáticas. Finalmente, los derivados son útiles para la
búsqueda de los intervalos de aumento o disminución del valor de interés cada
vez que se puede expresar por funciones.
Un derivado puede ser considerado como la clave para realizar cálculos
matemáticos en la carrera de Administración de Empresas, ya que tiene
múltiples aplicaciones y son muy útiles en la solución de diversos problemas de
la economía, su uso es muy útil para nosotros los estudiantes aprendan las
aplicaciones y desarrollar conceptos importantes tales como la tasa de cambio,
la marginación, la optimización, etc.
Derivados aplicados a la carrera de Administración de Empresas, se ha
convertido en una herramienta muy importante porque por la naturaleza misma
nos permite hacer cálculos marginales, es decir, el cálculo de la tasa de cambio
cuando se añade unitario total adicional, independientemente de la cantidad
monetaria que se examina: costo, los ingresos , el beneficio o la producción. De
hecho, la funciones de costos, ingresos, ganancias o producciones marginales
son las derivadas de funciones de costos, ingresos, ganancias, la producción
total.
Por derivadas parciales, mejor dicho, estimar las tasas de cambio de una
variable independiente de f (x, y) son las derivadas parciales con respecto a x o
y, manteniendo la otra fija. En consecuencia se puede aplicar las técnicas
como los derivados direccionales, gradientes y diferencial.
El concepto de derivada es importante comprender y derivar fórmulas, que a su
vez tienen una importante aplicación en cualquier campo de trabajo y la ciencia
en general. El propósito principal de un derivado es optimizar los sistemas que
se expresan por las funciones más o menos complejo. Además, es habitual
encontrar la derivada de aplicar los valores máximos y mínimos de ciertas
expresiones matemáticas. Finalmente, los derivados son útiles para la
búsqueda de los intervalos de aumento o disminución del valor de interés cada
vez que se puede expresar por funciones.
Un derivado puede ser considerado como la clave para realizar cálculos
matemáticos en la carrera de Administración de Empresas, ya que tiene
múltiples aplicaciones y son muy útiles en la solución de diversos problemas de

la economía, su uso es muy útil para nosotros los estudiantes aprendan las
aplicaciones y desarrollar conceptos importantes tales como la tasa de cambio,
la marginación, la optimización, etc.
Derivados aplicados a la carrera de Administración de Empresas, se ha
convertido en una herramienta muy importante porque por la naturaleza misma
nos permite hacer cálculos marginales, es decir, el cálculo de la tasa de cambio
cuando se añade unitario total adicional, independientemente de la cantidad
monetaria que se examina: costo, los ingresos , el beneficio o la producción. De
hecho, la funciones de costos, ingresos, ganancias o producciones marginales
son las derivadas de funciones de costos, ingresos, ganancias, la producción
total.
Por derivadas parciales, mejor dicho, estimar las tasas de cambio de una
variable independiente de f (x, y) son las derivadas parciales con respecto a x o
y, manteniendo la otra fija. En consecuencia se puede aplicar las técnicas
como los derivados direccionales, gradientes y diferencial.

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