Capitulo 3 funciones de varias variables

CAPITULO III

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.

1.1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES.
3.1.1 Definición de función de n variables.- Una magnitud variable W se denomina
función uniforme de n variables
si a cada conjunto de n-uplas ordenadas
(
) del campo dado, le corresponde un valor único y determinado de W.
Las Variables
se denominan Variables independientes o dominio y W variable
dependiente o Codominio.
Las notaciones matemáticas más usadas para nombrar esta dependencia son:
(

)

(

)

De la misma manera que podemos evaluar la función y = f(x) en cualquier valor que toma
(
) en cualquier punto
x en su dominio, evaluamos la función
(
) del campo de existencia así: Si
(
) y el punto es
(
)
)
(
)etc.
entonces (
Ejemplos:
1. Encontrar la dependencia funcional del volumen del cono, en función de su generatriz
x y del radio de la base y.

√
(

.

).

√𝑥

𝑦

Figura 99.
2. Hallar la dependencia funcional del volumen de un paralelepípedo en función de sus
lados.

.
).

(

Figura 100.
3. Determinar la dependencia funcional del espacio en función del tiempo y la velocidad
inicial.
.
(

).

4. Como será la dependencia funcional del área de un triangulo en función de sus lados.
)(

√(

)(

).

.
(

).
Figura 101.
(

5. Hallar

(

)

), si

(

)

.

Solución:
(

)

(

.
)

6. Determinar
Solución:
(

)

.
(

)

(

)

(

)

(

)

si

(

)

.

)

(

( )

( )

(

(

(

)

)

(

)

)(

(

)

.

(

)

.

.

)

7. Calcular los valores que toma la función
parábola
, y graficar la función ( )

(

)

en los puntos de la

(

).

Solución:
Los puntos de la parábola son de la forma (
(
)
.

), por lo que calculamos

Gráfico:

Figura 102.
8. Encontrar (

), si

(

)

.

Solución:
Sustituimos
reemplazando en la función tenemos:
(

)

(

)
(

)

(

)(
(

)

(

)

(

)

(

)
(

(

)

(

)

(

)

), volviendo a variables originales tenemos:
)

(

)

(

).

1.1.2 Concepto de dominio o campo de existencia de la función.Es el conjunto de n-uplas ordenadas que toman como valor las variables independientes
para que la función exista, de allí su nombre campo de existencia de la función, éste
puede estar definido en la recta numérica R1, en un plano R2, en el espacio R3 o en forma
general en Rn, dependiendo del número de variables independientes.
Ejemplos:
Hallar analítica y gráficamente el dominio de las siguientes funciones:
1.

√

.

Solución:
Condición:
entonces el dominio es:
{(
)
}, esto quiere decir que son todos los puntos (
están dentro de la circunferencia
incluida la línea de frontera.

) que

Gráficamente (figura 103).
𝑥

Figura 103.
2.

𝑥

𝑦

𝑦

Figura 104.

.

√

Solución:
Condición:
{(
)
) que
están dentro de la circunferencia
excluyendo la línea de frontera.
3.

(

).

Solución:
Condición:
{(
)
están sobre la recta

excluyendo la línea de frontera.

) que


y = -x

Figura 105.
4.

√

√

Figura 106.

.

Solución:
Cuando tenemos una diferencia o suma de funciones, para encontrar su campo de
existencia, debemos encontrar el dominio de cada sumando y luego hallar el
conjunto intersección de estos dominios.
Condiciones:
para
lo que el dominio es:

√

por

{

}

√

Para

y el dominio es:

{

}

Encontrando la intersección de los dominios tenemos:
{(
)
}, lo que significa que es el cuadrado
limitado por las rectas
y
incluida las líneas de frontera.

5.

√(

)(

).

Solución:
Condiciones: para
por lo que el dominio es
{(
)
}. Lo que significa que son todos los puntos (
) que
están fuera de la circunferencia
Para

y el dominio es:
}. Esto significa que son todos los puntos (

{(
)
interiores a la circunferencia

)

Encontrando la intersección de los dominios tenemos:
{(
)
}, lo que significa que es el anillo
circular limitado entre
incluidas las líneas de
frontera.

𝑥

𝑥

𝑦

𝑦

𝑎

𝑎

Figura 107.
√

6.

√

√ .

Solución:
Condiciones:
Para

√

.

Para

√

.

Para
.
√
{(
)
Dominio:
3
octante de R .
Gráficamente (figura):

} lo que significa el primer

𝑥

Figura 108.
√

7.

𝑦

𝑧

Figura 109.

.

Solución:
Condición:
{(
)
(
) dentro de la esfera

entonces el dominio es
} lo que significa que son todos los puntos

Gráficamente (figura ):
1.1.3 Definición de Codominio.Es el conjunto de valores que toma la variable dependiente W y se lo determina haciendo
un análisis de la función, o también después de realizado el grafico, observando que
espacio ocupa la variable independiente en los ejes coordenados.
Ejemplos:
Vamos a determinar los Codominios de los ejemplos anteriores así:
El Codominio es [

Del ejemplo 1.
Del 2.

]

Del 3.

]

Del 4.

[

].

].

Del 5.
Del 6.

[.

[

Del 7.

[

[.
].

].

3.1.4 Gráfico de la Función.- Es la representación en un plano de referencia del par
) así: Si la función tiene una sola variable independiente
ordenado (

( ), el par ordenado es (
) y su gráfico se representa en el plano R2, si son dos
(
), el par ordenado (D,cod) se transforma en una
variables independientes
) y su representación se lo hace en el espacio R3 y así
Triana ordenada (
sucesivamente, en general la representación de las n-adas ordenadas se lo hace en el
espacio Rn+1.
Pero es importante tomar en cuenta que la representación gráfica como máximo
podemos hacerla de una Triana ordenada, que se lo dibuja en el espacio R3 dando su
figura un volumen, razón por la cual de aquí en adelante daremos mayor énfasis en su
(
), lógicamente sin
análisis a la función de dos variables independientes o sea
olvidarse de las de mayor número de variables.
Como advertimos anteriormente vamos a realizar gráficos de superficies
(
), para lo cual vamos a utilizar el procedimiento de trazas en los diferentes
planos, su representación es en R3, pero también hay la posibilidad de representar la
misma superficie en R2 por medio de curvas de nivel, cuyas ecuaciones son de
(
). A fin de ilustrar la aplicación de las curvas de nivel, vamos a suponer
la forma
que la temperatura en cualquier punto de una placa metálica plana está dada por la
(
). Por tanto, las curvas de nivel con ecuaciones de la forma
función
(
)
, donde k es una constante que depende del Codominio, son curvas donde la
temperatura es constante. Estas curvas de nivel se denominan isotermas. Otra aplicación,
si V voltios proporcionan el potencial eléctrico en cualquier punto denotado por la
(
), las curvas de nivel en este caso se los llama curvas equipotenciales,
función
conocidas así por que el potencial eléctrico en cada una de éstas curvas es el mismo.
Ejemplos:
1. Realizar el gráfico y las curvas de nivel de la función de 2 variables

.

Solución:
Determinamos las trazas:
Plano “xy”, z = k si
(un punto en el origen), y si
sección transversal paralelo al plano “xy”, que son circunferencias
, donde se incrementa el radio a medida que | | aumenta.
Plano “xz”, y = 0

(son parábolas, se abren hacia arriba).

Plano “yz”, x = 0

(son parábolas, se abren hacia arriba).

nos da la
de la forma

Gráfico en R3 (Paraboloide de revolución).

Traza plano “xy” 𝑥
Traza plano “yz”

𝑧

𝑦

𝑘

𝑦

Traza plano “xz” 𝑧

𝑥

Figura 110.

Figura 111.

Gráfico en R2.
Para graficar la superficie en curvas de nivel, lo que hacemos es cambiar a la variable
dependiente por una constante “K”, donde “K” toma valores que deben estar dentro del
conjunto del Codominio.
(

En nuestro ejemplo tenemos:
obtenemos el gráfico en curvas de nivel (figura 111).
1. Dibujar el gráfico y las curvas de nivel de la función

)

.

Solución:
Determinamos las trazas:
(
) (es una parábola), y si
Plano “xy”, z = k si
nos da la
sección transversal paralelo al plano “xy”, en esta caso son parábolas de la forma
y que tiene su vértice en la recta
.
Plano “xz”, y = 0

(la traza es una parábola).

Plano “yz”, x = 0

(el gráfico es una recta).

Gráfico en R3 (figura 112).



Figura 112.

Figura 112a.

Grafico en R2 (figura 112a).
En este ejemplo la ecuación para graficar las curvas de nivel es:
valores de

donde

1. Dibujar la superficie y las curvas de nivel de la función:

(figura 112).

Solución:
En los ejemplos 3, 4 y 5, graficamos utilizando el programa para computadora
Scientific WorkPlace.

Figura 113.
2. Dibujar la superficie y sus curvas de nivel de la función:

|

| (figura 114).

Figura 114.

3. Dibujar la superficie y sus curvas de nivel de la función:

(

) (figura 115).

Figura 115.

1.2

LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE MAS DE UNA
VARIABLE.

Como la definición de límite implica la distancia entre dos puntos es necesario
hacer un breve recuento de lo que se trata.
1.2.1

Definición de distancia entre dos puntos en Rn.
) y
(
) son dos puntos de Rn, entonces la
Si (
‖, está definida por:
distancia entre P y A, denotada por ‖
‖
‖ √(
)
(
)
(
) . El símbolo ‖
representa un número no negativo y se lee como “la distancia entre P y A”.
Los casos particulares para R, R2 y R3 se transforma, respectivamente en:

‖

‖

‖

‖(

|

)

|

(

‖(

)‖

)

)

√(

(

)‖

(

)

)

√(

(

)

(

) .

Ejemplos:
Hallar la distancia entre los puntos que se dan a continuación.
1.

.
Solución:
‖

‖
(

2.

|

|

)

|

(

)

)|

|

|

).

√(

(

Solución:
‖

‖
(√

3.

)

(

(

)

)

)

(

√

√

√(

.

√

).

√

Solución:
‖

√(√

‖
(

4.

)

√ )
(

(

)

√

√

.

).

Solución:
‖

‖

)

√(
(

5.

)

√(

)

(

(
)

(

)

(

(

)

)

√

).

Solución:
‖

‖

√(

(

6.

)

)
(

(

)
).

(

)

√

√

.

Solución:
‖

‖

√(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

)

√(
‖
1.2.2

‖

(

)

√

)

(

)

(

)

√

√ .

Definición de límite de una función de n variables.- El número L recibe el nombre
(
) cuando el punto (
)
de límite de una función
) exceptuando posiblemente el punto A, si para
tiende al punto (
‖
‖
cualquier
existe un
tal, que cuando
, se verifica la
)
|
desigualdad | (
. Matemáticamente se denota por:
(

1.2.3

(

) (

)

(

)

(

)

Definición de límite de una función de dos variables.- El número L recibe el
(
) cuando el punto (
) tiende al
nombre de límite de una función
) exceptuando posiblemente el punto A, si para cualquier
punto (
)
(
)
existe un
tal, que cuando
√(
)
|
desigualdad | (
. Matemáticamente se denota por:
(

) (

)

(

)

(

, se verifica la

)

En palabras entendibles, la definición quiere decir que los valores de la
) se aproximan al límite L conforme el punto (
) tiende al punto
función (
(
) si el valor absoluto de la diferencia entre (
) y L puede hacerse
arbitrariamente tan pequeña como se quiera, pero sin llegar lógicamente al punto
(
). En la definición nada se dice acerca del valor de la función en el
), es decir, no es necesario que la función este definida allí, para que
punto(
) exista.
( ) (
) (
Ejemplos:
1. Utilizando la definición de límite, demostrar que
Solución:
Debemos demostrar que para cualquier
√(

)

(

)

|(

De la desigualdad del triangulo tenemos:
|
| |

(

) (

)(

)

existe un

tal que:

)

(1)

|

|

|

|

|

|

Debido a que:
|
|
que:

)

√(

)

√(

(

(

)

|

|

)

√(

|

y

)

|

(

|

|

Esta proposición muestra que una elección adecuada para
. Con esta
)

√(
|

(
(

|

)|

|
(

|

|

|

|

)

|

.

De este modo, se ha probado que para cualquier

se elige

que la proposición (1) sea verdadera. Así se demuestra que
.
2. Utilizando la definición de límite, demostrar que
Solución:
Debemos demostrar que para cualquier
)

√(

(

)

(

)

√(

)

√(

)(

) (

)

√(
|

|

)

y

|

|

|

|

|

√(

)

(

) , se deduce

|

)

|

|

|

se tiene el siguiente argumento:
)
|

)

(2)

|

|

)

(

)(

tal que:

Esta proposición muestra que una elección adecuada para
. Con esta

a fin de

) (

)

|(

(

(

(

existe un

De la desigualdad del triangulo tenemos:
|
| |
Debido a que:
|
|
que:

, esto es,

)
|

)

es

se tiene el siguiente argumento:

|

| (

) , se deduce

|

|

|

|

|

|
es

, esto es,

| (

)

(

)|

(

|

)

|

De este modo, se ha probado que para cualquier

.
se elige

la proposición (2) sea verdadera. Así se demuestra que

(

) (

a fin de que
)(

)

.

Para poder calcular límites con dos variables, lo que hacemos es generalizar los
teoremas de límites en una variable sin tener cuidado de caer en algún error, a excepción
de los límites que tienen indeterminaciones que no se pueden levantar, en estos casos es
necesario recurrir a otras definiciones que los mencionaremos más adelante.
Ejemplos:
Aplicando los teoremas de límites, resolver los siguientes ejemplos de límites con dos
variables.
1.

(

) (

)(

).

)

Solución:
(

2.

) (

)(

(

) (

)

( )

( )( )

( )

.

.

Solución:
(

3.

) (

)

(

(

) (

)

(

(

)

)

[

(

(

)(

)

(

)

.

).

)

) (

(

) (

)

Solución:
(

) (

[

(

) (

(

4.

(

)

(

)(

)

) (

Solución:

)(

) .

) (

)

]

]

)

[

(

) (

)(

)]

(

)(

)

(

) (

)(

)

(

) (

)

(

) (

)

(

5.

) (

) (

entonces:
(

(
(

)

(

) (

)

)

(

√

√

√

√

)

)

)
(

(

) (

(

) (

(

)

)

)

)

(

)

.

Solución:
(

) (
(

(

)

) (
)(√

)(
√

)(
)

(
)(√

(√
) (

) (

√
)(
(

)

√

)(√
)(√

) (

)(

)

√
√
)(√

)
√

)

(el límite no existe)

( )

Para continuar con el estudio de límites de funciones de dos variables, es necesario
presentar los siguientes conceptos.
1.2.4

1.2.5

Definición de punto de acumulación.- Un punto P0 es un punto de acumulación
) contiene un
de un conjunto S de puntos de Rn, si todo intervalo abierto (
número infinito de puntos de S.
Definición del límite de una función de dos variables a través de un conjunto
especifico.- Sea f una función definida en un conjunto de puntos S en R2 , y sea
(
) un punto de acumulación de S. Entonces el límite de (
) conforme
(
) tiende a (
) en S es L, denotado por:
(
)
(

[(

Si para cualquier
Donde (

) (
)

)

]

, sin importar que tan pequeño sea, exista un
‖(
) (
)‖
| (
)
|
) pertenece a S.

tal que

En algunos casos el límite de la definición anterior se transforma en el límite
de una sola variable.

1.2.6

Teorema
Supongamos que la función f está definida para todos los puntos de un
), exceptuando posiblemente en (
) y
intervalo abierto centrado en (
que
(
)
(

) (

)

Entonces, si S es cualquier conjunto de puntos de R2 que tiene a (
como punto de acumulación,
(
)
(

[(

) (
)

)

)

]

Existe y siempre tiene el valor de L.
)
Demostración
Como
, entonces, por la definición
( ) (
) (
3.2.3, para cualquier
existe un
tal que
‖(
) (
)‖
| (
)
|
) debido al requisito de
la proposición será verdadera si además se restringe (
que éste pertenezca a un conjunto S, donde S es cualquier conjunto de puntos
) como un punto de acumulación .
que tenga a (
,
(

) (
[( )

)

(

)

]

) se aproxima a
Y L no depende del conjunto S a través del cual (
(
). Esto demuestra el teorema.
También debemos tener en cuenta que si la función tiene límites diferentes
) se aproxima a (
), a través de conjuntos diferentes que
conforme (
tienen el mismo punto de acumulación, este límite no existe.
Ejemplos:
1. Demostrar que el límite de (

)

cuando (

√

)

(

) existe.

Solución:
Para demostrar vamos a considerar dos conjuntos S que tengan el mismo punto de
acumulación ( ), S1 la recta
y S2 la parábola
.
Con S1
(

) (

Con S2

.
)

(

)
.

(

)

√

(

)

√

.

(

) (

)

(

)

(

En consecuencia como:
)
( ) ( ) (
[(

)

(
[(

]


)

) (
)

√

)
]

(

(

)

(

)

)

)

.

)

√(

, el límite existe.

cuando (

)

(

) existe.

Solución:
Para demostrar vamos a considerar dos conjuntos S que contengan al mismo
punto de acumulación ( )en forma más general, S1 la recta
y S2 la
parábola
.
Con S1
(

.

) (

)

(

)

(

(

(

)

Con S2

(

)

(

(

)

(

)

)

)

(

)

.

) (

)

(

)

(

)

(
(

)

(

)

)
( ) ( ) (
[(

)

)

]

(
[(


(

) (
)

)
]

)

(

(

)

)

cuando (

)

(

)


)

(

) existe.

Solución:
), S1 la recta
punto de acumulación (
y S2 la parábola
. Como
podemos observar este procedimiento también se puede aplicarle en caso de la
indeterminación
Con S1
(

) (

.
.

)

(

)

(

)

(

)

(
(

)
)

(
Con S2
(

(

)

)

(

)

.

) (

(

)

)

(

(
(

)

)

(

)

(

)

)
( ) (
) (
[(

)

( ) (
[( )

]


(

)
]

)

)

)

(

)


cuando (

)

(

) no existe.

Solución:
punto de acumulación ( ), S1 la recta
y S2 la parábola
.
Con S1
(

.

) (

(

)

)

(

)

Con S2
(

(
(

)

)

(

)

(

)

.

(

)

.

) (

)

(

)

(

)

(
(

)
( ) ( ) (
[(

)

]


)
(

)

(
[(

) (
)

)

(

)
]

(

)

)

(

)

), el límite no existe.

cuando (

)

(

) no existe.

Solución:
punto de acumulación ( ), S1 la recta
y S2 la parábola
.
Con S1

.

(

) (

(

)

)

(

)

Con S2
(

(
(

(

(

)

)

(

)

.

)

.

) (

)

(

)

(

)

(
(

[(

)

)

(

)

(

(
[(

]

)

(

)

)
( ) ( ) (

1.2.7

)

) (
)

)
]

)

(

(

)

), el límite no existe.

Definición de continuidad de una función de n variables.- La función f de n
variables es continua en un punto A de Rn ,si y sólo si satisface las tres
condiciones:
( )
I.
.
( )
II.
( )
( )
III.
Si una o más de estas tres condiciones no se cumplen para el punto A, entonces se
dice que f es discontinua en A.

1.2.8

Definición de continuidad de una función de dos variables.- La función de 2
(
) es continua en un punto (
) de R2 ,si y sólo si satisface
variables
las tres condiciones:
(
)
I.
.
)
II.
( ) (
) (
III.

(

(

) (

)

(

)

(

)

), pero
Si una función f de dos variables es discontinua en un punto (
)
, se dice que f tiene una discontinuidad removible o
) (
) (

eliminable, en este caso debemos redefinir la función f de modo que
(

) (

)

(

)

(

)

Si esta discontinuidad no es eliminable, se denomina discontinuidad esencial.
Ejemplos:

1. Determinar si la función g es continua en (
(

)

) si
(

{

(

)
)

(
(

)
)

Solución:
Lo que debemos hacer es verificar las condiciones.
( )
I.
existe, se cumple esta condición.
) ( ) (
)
II.
Cuando (
, entonces debemos calcular el
(

) (

Con S1
(

.
) (

(

)

Con S2
(

.

)

)

(

)

(

(

)

.
) (

(

)

)
( ) ( ) (
[(

)

)

(
[(

]

) (
)

)

)
]

(

(

)

.

), el límite no existe. La condición

no se cumple.
En conclusión, como no se cumple la condición dos, la función g es
discontinua en el punto ( ) y la discontinuidad es esencial.
(

2. Determinar si la función

)

es continua en (

).

Solución:
Lo que debemos hacer es verificar las condiciones.
( ) no está definida, por tanto no cumple esta condición.
I.
II.

(

) (

, encontrándose su valor en el ejemplo 3, por lo que

)

cumple la condición.
En conclusión, como no se cumple la condición uno pero si la dos, existe
discontinuidad eliminable y debemos redefinir la función, de tal manera que se
transforme en continua y quedaría así:
(

)

{

(
(

)
)

(
(

)
)

√

3. Determinar los puntos de discontinuidad de la función

.

Solución:
Los puntos de discontinuidad son aquellos puntos donde la función no existe, es
decir es lo contrario del dominio.
(

Condición:
origen de coordenadas.
4. Hallar los puntos de discontinuidad de la función
Solución:
Condición:
están en la circunferencia

1.3

.

. Entonces los puntos de discontinuidad
.

5. Encontrar los puntos de discontinuidad de la función
Solución:
Condición:
en la recta

) o el

.

. Por lo que los puntos de discontinuidad están
.

DERIVADAS PARCIALES.

Se llaman derivadas parciales, porque al aplicar el proceso de diferenciación a una
función de n variables se lo hace por partes, es decir mientras una de ellas varía las otras
permanecen constantes, transformándose así en la derivación de funciones de una sola
variable, por lo que para realizar la operación podemos utilizar todas las reglas de
diferenciación en una dimensión.
1.3.1

Definición de derivada parcial de una función de n variables.
) un punto en Rn, y sea f una función de n variables
Sea (
. Entonces la derivada parcial de f con respecto a
es la función,
denotada por
, tal que su valor de función en cualquier punto P de su dominio
de f está definida por:
(
)
(
)
(
)
Si el límite existe.

En caso particular, si la función f es de tres variables x, y y z, entonces las
derivadas parciales de f están definidas por:
(
(

(

)

)

(

)

(

)

)

(

)

(

(

)

)

(

)

Si la función f fuera de dos variables x, e y, entonces sus derivadas parciales
estarían definidas por:

(

(

(

)

)

(

)

(

)

)

(

)

Obviamente si los límites existen.
También existen otras formas de denotar matemáticamente estas derivadas
(
) tenemos:
parciales así, si la función es
Para la derivada parcial respecto a x.
(

)

(

)

(

)

)

(

)

(

)

Para la derivada parcial respecto a y.
(

De manera análoga se denota si la función es de tres o más variables. Vale aclarar
que la notación de derivada parcial

no puede considerarse como un cociente de

puesto que ninguno de estos símbolos tiene significado por separado.

y

Ejemplos:
1. Utilizando la definición de derivada parcial, hallar
.

(

) y

(

) de la función

Solución:
(

)

(

)

(

(

)

)

(

)

(
(

(

)

(

)

)
)

(
(

)

)

(

)

(

)
(

(

)

)

(

2. Por medio de la definición de derivada parcial, determinar
(
).
función
Solución:
(

)

(

[(

)

(

)

)

]

(

)

)

(

) y

(

) de la

(

(

(

(

)

(

(

[

)

(

)

(

(

)

)]

)

)

(

)

[(

)

)]

)

(

(
(

)

)

)

(

)

(

)

)

)

)]

)

Solución:
)

)

)

3. Aplicando la definición de derivada parcial, determinar
(
).
función

(

)

(

(

(

)

)

(

(

(

(

(

(

(

(

(

)

[

[

)

(

)

(

)

)

)

(
(

)

(

)

]

(

)

(

) y

(

) de la

[

]

[

[

(

)

[

(

)

(

) ]

(

(

[
(

[

(

)

)

(

)

(

]

(

]

(

)

)

)

]

)

(

[

(

(

]

)

)

)

]
)

⁄

Como las derivadas parciales son funciones, es posible determinarlas en cualquier
) de su dominio.
punto (
4. Encontrar el
( )
(

valor de las
)
(
).

Solución:
(

)

(

)

.
.

(

)

(

)

.
.

derivadas

parciales

del

ejemplo

3,

si

(

)

(

)

.
.

(

)

(

.

)

5. Mediante las reglas de diferenciación, encontrar todas las derivadas parciales de las
siguientes funciones:
a)

.
Solución:
(

( )

(

( )

b)

.

)

.

)

.

√

Solución:
√
√

(√

√

(

√
(

)

)

.

⁄

)

√

√
(
√

(

)

⁄

)

√

√

c)

.

Solución:
√

√

√

√

.

(

)

⁄

.

d)

.
Solución:
.
| |

e)

| |

.

( ) .
Solución:
( )

( )

( )

( )

f)

.

( )

( )

.

( ) ( ) .

.
Solución:
.
( )
( )
( )

g) Demostrar, que
Solución:

( ).

( )

( )

( )

( )
si

(

( )
( ).
).

(

)

(

1.3.2

.

(

(

)
)

. Reemplazando en la ecuación tenemos.

(

)

)

Interpretación geométrica de las derivadas parciales.

La interpretación geométrica de las derivadas parciales de una función de dos
variables, es semejante a la de una función de una sola variable.
El gráfico de una función f de dos variables es una superficie, que tiene como
(
). Si y se considera como constante es decir
ecuación
, entonces
(
) es una ecuación de la traza de esta superficie en el plano
. La curva
puede representarse mediante las dos ecuaciones
(

)

Debido a que la curva es la intersección de estas dos superficies. Entonces la
derivada parcial respecto a x es la pendiente de la recta tangente a la curva representada
(
)) del plano
por las ecuaciones (1) en el punto (
(figura 116).
De manera análoga, la derivada parcial respecto a y representa la pendiente de la
recta tangente a la curva que tiene las ecuaciones
(
En el punto

del plano

(figura 117).

)

Figura 116.

Figura 117.

Ejemplo:
1. Determine la pendiente de la recta tangente a la curva de intersección de la superficie
√

, con el plano y = 2 en el punto (

√ )(figura 118).

Solución:
Hallamos la derivada de la función respecto a x.
.

√

Calculamos está derivada en el punto (
|

(

√

√ )
𝑧

√

√

𝑥

√ ).
√

𝑦

Figura 118.

.

1.4

DIFERENCIABILIDAD Y DIFERENCIAL TOTAL.

Para poder definir la Diferenciabilidad de funciones de más de una variable, es
necesario hacerle por medio de una ecuación que involucra el incremento de una función.
Por lo que a continuación vamos primero a ver una representación del incremento de una
función de una variable, que nos permitirá entender con mayor facilidad los conceptos
que presentaremos más adelante.
Recordando que si f es una función diferenciable de x y y = f(x), entonces
( )
Donde
cuando |

y

son los incrementos de x y y,

| es pequeño y si

depende de

,

(

y

)

( ),

difiere de f´(x) por un número pequeño que

, el cual se denota por . Así.
( )

Donde

es una función de
( )

. De esta ecuación se obtiene

, donde

es una función de

y

.

De lo indicado anteriormente se deduce que si la función f es diferenciable en x0,
( ), está determinado por:
entonces el incremento de f en x0, denotado por
( )

(

)

1.4.1

Definición de incremento de una función de n variables.- Si f es una función de
las n variables
, y ̅ es el punto ( ̅ ̅
̅ ), entonces el
̅ está definido por:
incremento de f en
( ̅)
( ̅
( ̅ ) (1)
̅ ̅
̅
̅
̅ )

1.4.2

Definición de función diferenciable de n variables.- Si f es una función de las n
variables
, y el incremento de f en ̅ puede escribirse como
( ̅)

( ̅)

( ̅)

( ̅)
(2).

Donde
(

)

, conforme
(
).

Entonces se dice que f es diferenciable en ̅ .
1.4.3

Definición de la diferencial total de una función de n variables.- Si f es una
función de las n variables
, y f es diferenciable en P, entonces la
diferencial total de f es la función df que tiene valores de función determinados
por:
(
)
( )
( )
( )
( )
Por definición, las diferenciales de las variables independientes, coinciden
con sus incrementos es decir,
además si se considera
(

) y usamos la notación

, la diferencial total podemos expresarle

como:

También podemos definir ala diferencial total de una función f, como la parte
principal del incremento total (formula (2)), lineal respecto a los incrementos de
las variables
, existiendo una diferencia entre los dos, de un
)
(
)
(
) .
infinitésimo de orden superior a
√(
Si la función es de dos variables independientes tenemos:
1.4.4 Definición de incremento de una función de dos variables.- Si f es una función de
), denotado
las variables x y y, entonces el incremento de f en el punto (
), está definido por:
por (
(
)
(
)
(
)

(𝑥

𝑦

𝑥 𝑦

(𝑥

𝑦 ))

𝑓(𝑥

𝑦 𝑓(𝑥

𝑥 𝑦
𝑓(𝑥

(𝑥

𝑥 𝑦

𝑦) 𝑓(𝑥
𝑓(𝑥

𝑦 )

𝑦 )
𝑦 )

𝑓(𝑥

(𝑥

Figura 119.

𝑦))

𝑦

)

(𝑥

𝑥 𝑦

𝑥 𝑦

𝑦 )

𝑦)

1.4.5

Definición de función diferenciable de dos variables.- .- Si f es una función de las
), puede
variables x y y, entonces el incremento de f en el punto (
escribirse como
(
)
(
)
(
)
Donde
y
(
) (

1.4.6

son funciones de
y
, tales que
), entonces f es diferenciable en (

conforme
).

Según esta definición, podemos concluir que la condición suficiente para que una
función sea diferenciable en punto determinado, es que la función sea continua
en el mismo, y la condición necesaria es que las derivadas parciales estén
definidas en dicho punto.
Definición de la diferencial total de una función de dos variables.- Si f es una
), entonces la
función de las variables x y y, y si f es diferenciable en (
diferencial total de f es la función df que tiene valores de función determinado por
(
Si la función es

)
(

(

)

), además hacemos

definiciones y también utilizando la notación

(

)
y

según

para notar las derivadas

parciales, la diferencial total podemos expresarle de la siguiente manera

De una manera análoga se puede definir todos estos conceptos para una función
(
), la diferencial total se determina por la
de 3 variables así si
fórmula.

Como se puede observar en las definiciones de incremento total y diferencial
total, la diferencia de los dos es muy pequeña, por lo que es suficiente en los
ejemplos de aplicación encontrar la diferencial total en vez del incremento total,
sin temor a encontrar valores inadecuados.
Ejemplos:
)
1. Para la función (
, hallar el incremento total y la diferencial total en el
punto ( ); compararlos entre sí, sí:

)

)

.

Solución:
a. Encontramos el incremento total.
(

)

(

)

(

)

(

) (

(

(

)

(
)

) )(

)

)

)

(

)

(

)

.

(

)

tenemos:

)

(

(
(

Para los valores (
(

)

)

Para los valores (
(

)

tenemos:

)

(

.

(

)

)

.

b. Hallamos la diferencial total.
(

)

Para los valores (
( )

)

.
.
.

Para los valores (
( )

)

tenemos:
.
.

En conclusión podríamos decir que mientras más altos son los incrementos,
mayor será la diferencia entre el incremento y la diferencial total.
2. Hallar los diferenciales totales en los siguientes ejemplos.
a)

.

b)
(
(

[
√

c)

| |

)

)

].

.

√

√

(

√

.

√

d)

| |

) .
(

)

(

)

(

)

(

)
(

(

)

[

(

)

(

+
)

)

(

(

)
)

]

Ejemplos de aplicación de la diferencial total:
1. La altura de un cono es
, el radio de su base
volumen de dicho cono si H disminuye 5 mm y R aumenta 2mm.

. ¿Como variará el

Solución:
Como sabemos la diferencial total es una razón de cambio, cualquiera sea la
dependencia funcional. Por lo que en el ejemplo debemos encontrar el diferencial
total y evaluarlo con los datos, ese valor es la solución.
Datos:
.
.
.
.

Figura 120.

(

).

El valor con los datos es:
(

(

))

(

)

2. Una caja cerrada, cuyas dimensiones exteriores son de 15 cm, 10cm, y 8 cm, está
hecha de madera contrachapada de 3 mm de espesor. Determinar el área aproximada
del material que se gasto.
Solución:
Datos:
.
.
.

Figura 121.

(

)

(

El valor con los datos es:
(
)

)

(

)

(

)

.

(

)

.

.
3. Calcular aproximadamente

.

Solución:
Definimos la función como
. El número que se busca puede considerarse como
el valor incrementado de esta función cuando x = 1, y = 3,
.
El valor inicial de la función es
.
( )
De donde:

( )

( )

( )

.
4. Calcular aproximadamente √(

)

(

) .

Solución:
Definimos la función como
√
. El número que se busca puede considerarse
como el valor incrementado de esta función cuando x = 4, y = 3,
√

. El valor inicial de la función es

√

(

√

) (

)

(

.

)

De donde:
√(

)

(

)
√(

1.5

)

.

DERIVACION DE FUNCIONES COMPUESTAS.

Llamada también regla de la cadena, recordando con la notación de Leibniz la derivación
de una función compuesta para una función de una variable tenemos: Si y es una función
de u y

existe, y si u es una función de x y

existe, entonces y es una función de x y

existe y está definida por:

1.5.1

(
) es una función
Caso de una sola variable independiente.- Si
diferenciable de los argumentos x e y, que son, a su vez, funciones diferenciables
( )
( ), la derivada de la función compuesta
de una variable t:
[ ( ) ( )] se puede calcular por la formula:
( )
Esta fórmula podemos encontrarla utilizando el diagrama del árbol, este
procedimiento es importante en caso no se pueda memorizar la expresión, lo que
debe saber es como realizar el mismo.
Pasos a seguir:
 Para las primeras ramas, debemos tomar en
cuenta el número de variables independientes
que tiene la función. En este caso z es función de

x e y, por lo que tenemos que hacer dos ramas
desde z, una hacia x y otra hacia y en las que
ubicamos las respectivas derivadas parciales.
 A su vez, para formar las segundas ramas,
tenemos que tener en cuenta el número de
variables de las que dependan x e y, en este tema
tanto x como y dependen de una sola variable que
es t, por lo que trazamos ramas desde estas a t, y
colocamos las derivadas totales respectivas, por
tratarse de funciones de una sola variable.
 Con el fin de obtener la ecuación para
Figura 122.

1.5.2

, se

considera los caminos a lo largo de las ramas de z
a t. Se tiene dos de tales caminos, cada uno con
un par de ramas. Sume los productos de la
derivada parcial por la total, asociadas con las
ramas de cada camino.

Caso de dos variables independientes.- Si u es una función diferenciable de x e y,
(
), donde
definida por
( ) y
( ) y todas las derivadas
parciales existen, entonces
las derivadas de la función compuesta
[ ( ) ( )] se pueden calcular por medio de las siguientes
expresiones:

(2).

Figura 123.
Siguiendo los pasos del párrafo anterior se hace el diagrama del árbol, y luego
obtenemos las expresiones para determinar

(figura 123).

De manera análoga se determinan para una función de tres variables.
Caso de una variable:

( )
Caso de dos variables:

(4)

Ejemplos:
En los siguientes ejemplos, calcule las derivadas indicadas por medio de dos métodos:
a) Utilice la regla de la cadena; b) Formando primero la función compuesta.
1. Hallar

, si

√

donde

√

.

Solución:
a) Utilizando la regla de la cadena.
Encontramos las derivadas parciales y totales, ponemos todas en función de t y
luego reemplazamos en la expresión (1).

√

√

√

√

√
⁄

√

√√

√
⁄

(

√

.

√√
) ⁄

√√

.

√

:

√√
√√

√√

((
(

) ⁄

(

√√
) ⁄

(
(

(

) ⁄

√√

)

)
).
) ⁄

b) Formando primero la función compuesta.
Formamos la función compuesta y luego derivamos.

√

.

.

( )

√

(

)

√√

((

2. Hallar

)

⁄

(
(

√√

) ⁄ )

)
) ⁄

.

)
.
) ⁄

(

√√

.

⁄
(

(

) ⁄

(

√√

, si

donde

.

Solución:
c) Utilizando la regla de la cadena.
Encontramos las derivadas parciales y totales, ponemos todas en función de t y
luego reemplazamos en la expresión (3).
.
(

)

(

)
.
:
(

(

)

)[

(
]

)
.

d) Formando primero la función compuesta.
( )

(

)

.

.

(

)[

3. Hallar

]

, si

.

donde

.

Solución:
e) Utilizando la regla de la cadena.
Encontramos las derivadas parciales, ponemos todas en función de r y s y luego
reemplazamos en las expresiones (4).
(

).
(

)

.
:
(

)

(

(

) (

)

)

.

(

)

.

f) Formando primero la función compuesta.
(
(

4. Hallar

)

(

) (

)

, si

(

(
)

)
)

(
; donde

Solución:
a) Utilizando la regla de la cadena.

(

) .
.

)

.
.

Encontramos las derivadas parciales, ponemos todas en función de t y luego
reemplazamos en la expresión (2).
.
( )

( )
.
:
.
.
b) Formando primero la función compuesta.
(

)

()

.

.
5. Encontrar

si

, donde

( ).

Solución:
.
( )

( )

( ( ) ( )

( )
( )

)

( )
( )

( ) ( )
( ( ) ( )

( )

).

( )

.

6. Determinar

(

) donde

)

si

.

;

Solución:
(

)

(

(

)

(

)

.

1.6

DERIVADAS DE FUNCIONES IMPLICITAS.

1.6.1

Caso de una variable independiente.- Si f es una función diferenciable de la
variable x, tal que y = f (x) y f está definida implícitamente por la ecuación
(
)
(
)
, y si F es diferenciable, y además
entonces la derivada
se calcula por la fórmula:
(
(

1.6.2

)
( )
)

Caso de dos variables independientes.- Si f es una función diferenciable de las
variable x e y, tal que z = f (x,y) y f está definida implícitamente por la ecuación
(
)
(
)
, y si F es diferenciable, y además
entonces las
derivada parciales

se calcula por las fórmulas:

(
(
Otro procedimiento para hallar
diferenciando la ecuación (

(
)
)
( )
)
(
)
las derivadas de la función z es el siguiente:
)
, obtenemos:

De donde podemos determinar dz, y por consiguiente
Ejemplos:
1. Hallar

de la función implícita

.

Solución:
Formamos la función F y encontramos sus derivadas parciales.

(

)
(
(

)
)

.

Utilizando la fórmula (1).
.
Para encontrar la segunda derivada, procedemos normalmente como en el cálculo de
una variable.
(

(

)(

(

)(

)

)(

)

(
(

(

)(

(

)

(

(

(

)(

)

(

(

))

)

)

(

)(

(

)

(

))

(
) (

)
)

)

)(

(

(

)

(

)

√

√

.

√

√

))

)

(

))

).

).

.

√

(

)

)

si y está determinada por la función

√

)

)

Solución:
(

)

)

) (

2. Determinar

(

(

(

(

)

)

(

(

(

)(

)) (

(

(

(

) (

.

.

Utilizando la fórmula (1).

.

3. Hallar

, si la función z de las variables x e y se da por la ecuación:
.

Solución:
1er procedimiento, utilizando definición 3.6.2.
(
)
(
)
(
)
(
)
.
Utilizando la fórmula (2) tenemos:

2do procedimiento. Diferenciamos ambos lados de la ecuación dada.

(

)

(

)
(

(
)

)
(

)

Comparándole con la formula de la diferencial total, podemos, vemos que:

4. La función z viene dado por la ecuación
para el sistema de valores x = -1, y = 0 y z = 1.
Solución:

. Hallar

(

)
(
(
(

)
)
)

Utilizando la fórmula (2) tenemos:

|
(

1.7

|
(

)

)

DERIVADAS DIRECCIONALES Y GRADIENTES.

A continuación vamos a generalizar la definición de derivada parcial, con el fin de
obtener una tasa de variación respecto a cualquier dirección, este procedimiento se
conoce como la derivada direccional.
1.7.1

Definición de derivada direccional de una función de dos variables.- Sea f una
función de dos variables x e y. Si U es el vector unitario
,
entonces la derivada direccional de U, denotada por
, está definida por:
(

)

(

)

(

)

Si este límite existe (figura 124).

Figura 124.
Observando la definición podemos concluir que la derivada direccional, es
como un conjunto universo de las derivadas parciales. Así si U = i, el
, si reemplazamos en la definición 3.6.1 tenemos:

(

(

)

)

(

)

(

)

(

)

Que es la derivada parcial de f respecto a x.
U = j,
el
tenemos:
(

, si reemplazamos en la definición 3.6.1

(

)

)

(

)

(

)

(

)

Que no es que la derivada parcial de f respecto a y.
De este modo,
son casos especiales de la derivada direccional en
las direcciones de los vectores unitarios i y j, respectivamente.
Si la función f es una función diferenciable en x e y, y
, entonces la derivada direccional se puede calcular por medio de la
fórmula:
(

)

(

)

(

)

( )

De acuerdo a la fórmula (A), podemos ver que a la derivada direccional le
podemos expresar como producto punto de dos vectores, un vector que contenga
las derivadas parciales y el otro el vector unitario U así:
(

)

(
(

)

)

〈

〈
(

)

(
(

)
)〉 〈

(

)〉 〈

〉
〉

El vector que contiene las derivadas parciales es muy importante, se
denomina vector gradiente o gradiente de la función f, y no es más que el vector,
cuyas proyecciones sobre los ejes de coordenadas son las correspondientes
derivadas parciales de dicha función, se denota como , y se lee como “del f”, en
ocasiones también se emplea la abreviación grad f.

1.7.2

Definición del gradiente de una función de dos variables.- Si f es una función de
dos variables x e y, y
existen, entonces el gradiente de f, denotado por
, está definido por:
(

)

(

)

(

)

Como el gradiente también es una función, podemos evaluarle en cualquier
) y luego proceder a representarle en el plano “xy”, su punto inicial
punto (
).
será el punto (
De la definición 3.6.2, la ecuación (A) se puede escribir como:
(

)

(

)

( )

Esta fórmula es la más conveniente, al momento de calcular la derivada
direccional.
Otros conceptos importantes podemos determinar, partiendo de la
definición de ángulo entre vectores.
), y el ángulo entre el vector unitario U y el
Si tenemos el punto (
vector gradiente
es en radianes, el ángulo entre ellos se calcula por:
(
‖ ‖‖

Si

)

(

)‖

(

Como
(

)

(

)
‖

(

(

)

‖

(

‖

(

)‖

)

)‖

, el vector U y
(

)

tiene la misma dirección entonces:
)‖

(

)

‖

(

)‖.

En palabras, la derivada direccional es igual al módulo del gradiente y será
el valor máximo, o la máxima tasa de variación de f que se obtenga en el
).
punto (
Si

, el vector U y

tiene direcciones opuestas entonces:

(

)

‖

(

)‖

(

)

‖

(

)‖.

En este caso la derivada direccional es igual a menos el valor absoluto del
gradiente, el valor es el mínimo o también la tasa de variación minina de f que se
).
obtenga en el punto (
Si

, el vector U y
(

)

‖

(

son perpendiculares entonces:

)‖

(

)

.

En este caso la derivada direccional es igual cero.
De una manera análoga se define a la derivada direccional y gradiente de
una función de tres variables.
Fórmula para encontrar la derivada direccional:
(

)

(

)

(

Donde
U, que está definido por:

)

(

)

( )

son los cosenos directores del vector unitario

Una relación importante entre los cosenos directores que debemos tener
en cuenta es:
(II).
Expresión para determinar el gradiente:
(

)

(

)

(

)

(

)

( )

Ejemplos:
1. Utilizando la definición, encontrar la derivada direccional de la función (
en la dirección del vector unitario
Solución:
(

)

(

√

)

(

)

√

)

(

(

)

√

)

(

)

√
( √

)

√
2. Utilizando la definición, encontrar la derivada direccional de la función (

)

en la dirección del vector unitario
.
Solución:
√

Como

(

(

(

)

(

(

)

)

)

(

√

)

)

(

(

)

)

√

√

(

)

√

3. Determinar la derivada de la función
la dirección que va desde éste al punto (

√

.
en el punto (

), en

).

Solución:
Encontramos el vector unitario entre los dos puntos.
〈

〉
‖〈

〉‖

〈
√

〉

〈
√

〉

P1=(1,2); P2=(4,6)

Aplicando la fórmula (A) encontramos la derivada direccional.

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

(

)

(

)

(

)

(

(

)

(

)

)

(

)

(

)

Hacer gráfico
4. Encontrar la derivada de la función
en el punto (
dirección que forma ángulos iguales con todos los ejes de coordenadas.

) en la

Solución:
Encontramos el vector unitario.
La condición nos dice que tienen que formar ángulos iguales con los ejes de
( ).
coordenadas es decir que
Tenemos:
√
√

√

.

√

Aplicando la fórmula (D) encontramos la derivada direccional.
(

)

(

(

)

)

(

√

√

)

√

√

(

)

√

√

√

.

5. Hallar la derivada direccional utilizando la fórmula (B) de la función
√
en el punto ( ) en la dirección de la bisectriz del primer ángulo coordenado.
Solución:
Determinamos el vector unitario.
Por la condición del ejemplo el ángulo es
√

√

Encontramos el gradiente en el punto (
(

)

(

)

(

(45°).

)

).

(

)

(

)

(

)

Calculamos le derivada direccional con la fórmula (B).
(

)

〈

√

√

〉 〈

√

〉

√

√

6. Calcule el valor de la derivada direccional en el punto (
(

)

en dirección de

), de la función

√

√

√

.

Solución:
Hallamos el gradiente en el punto (
(

)

(

).
)

(

)
)

(
(

)

(

( )

( )

(

( )

( )
(

)

(

( ))

(

( )

( )

( ))

( )) .

(

)

(

)

(

)

)

Encontramos la derivada direccional con un alcance a la fórmula (B).
(

)

〈

√

√

√

〉 〈

〉

√

.

7. Determinar y construir el gradiente de la función
Solución:
(

)

(

)

Gráfico.

(

)

(
.

)

).

en el punto (

).

Figura 125.
8. Hallar la magnitud y la dirección del gradiente en el punto (

Solución:
(

)

(

(

)

(

)
(

(

)

)

(

(

), si

).

)
)

(

)

)

Encontramos el módulo.
‖

(

)‖

‖

(

)‖

√

(

)

√

.

Dirección del gradiente.
〈

〉

9. La densidad en cualquier punto de una placa rectangular situada en el plano xy es
(

) kilogramos por metro cuadrado, donde

(

a) La tasa de variación de la densidad en el punto (
unitario

)

√

Calcular:

) en la dirección del vector

.

b) Determine la dirección y la intensidad (módulo) de la máxima tasa de variación de
en ( ).
Solución:
a) Encontramos la derivada direccional en ese punto.

(

)

〈

√

(

)

〈

√

(

)

〉 〈

〉 〈

√

√

√

√
√

)

(

〉

〈

√

〉 〈

〉

Kilogramo por metro.

b) Hallamos el gradiente en el punto (
(

〉

√

).

)

√

√

Encontramos el módulo que es la intensidad máxima pedida.
(

‖

√( )

)‖

√

( )

Kilogramos por metro.

Determinamos la dirección, para que la intensidad sea máxima la dirección debe
ser la misma que la del gradiente.
|

⁄
⁄

|

| |

) volts, y se define por
10. En cualquier punto del plano xy el potencial eléctrico es (
(
)
. La distancia se mide en pies. a) Calcule la tasa de variación del
potencial en el punto (

) en la dirección del vector unitario

. Y

b) La dirección y la intensidad (o módulo) de la máxima tasa de variación de V en
(

)

Solución:
a) Encontramos la derivada direccional en ese punto.
(

)

〈

√

〉 〈

〉

(

)

(

〈

√

〉 〈

〉

)

〉 〈

〉

).

)

(

√

Volt por pie.

c) Hallamos el gradiente en el punto (
(

〈

)

Encontramos el módulo que es la intensidad máxima pedida.
‖

(

)‖

√

(

)

Volts por pie.

Determinamos la dirección, para que la intensidad sea máxima la dirección
debe ser la misma que la del gradiente.
|

| |

|

O

.

1.8

DERIVADAS Y DIFERENCIALES DE ÓRDENES SUPERIORES.

1.8.1

Derivadas parciales de órdenes superiores.- Si f es una función de dos variables,
por lo general las derivadas parciales de primer orden también van a ser funciones
de dos variables, y si las derivadas parciales de estas funciones existen, se
denominan segundas derivadas parciales de f. En contraste,
reciben
el nombre de primeras derivadas parciales de f. Existen cuatro segundas
derivadas parciales de una función de dos variables, análogamente se determinan
las derivadas parciales de orden superior al segundo.
Si f es una función de dos variables x e y, las segundas derivadas parciales se
denotan por:
(

)

Las cuales expresan la segunda derivada parcial de f que se obtiene al
derivar parcialmente f con respecto a x y después derivar parcialmente el
resultado respecto a y.
Las notaciones:
(

)

(

)

Expresan la segunda derivada parcial de f que se obtiene al derivar
parcialmente dos veces con respecto a x
y dos veces respecto a y
respectivamente, análogamente se designan a las derivadas de orden superior al
segundo.
Si las derivadas parciales que hay que calcular son continuas, el resultado de
la derivación sucesiva no depende del orden de dicha derivación.
Como una aplicación de las derivadas parciales de orden superior al uno,
tenemos al grupo de ecuaciones de la física matemática, que ligan fenómenos
físicos importantes con modelos matemáticos, dentro de estas podemos citar a las
ecuaciones de Laplace en dos y tres variables, vibraciones de la cuerda,
conducción calorífica, etc.
1.8.2

Diferenciales de órdenes superiores.- Recibe el nombre de diferencial de segundo
orden de una función f de dos variables x e y, la diferencial de la diferencial de
primer orden de dicha función:
(
)
))
( (
Análogamente se determinan
superior al segundo, por ejemplo:
(

las diferenciales de la función f de orden

)

(

(

))

Y en general,
(

)

(

(

))

(
), donde x e y son variables independientes y la función f tiene
Si
derivadas parciales continuas de segundo grado, la diferencial de 2 do orden de la
función z se calcula por la fórmula
( )

En general, cuando existen las correspondientes derivadas se verifica la
fórmula simbólica
(

)

Que formalmente se desarrolla según la ley binomial.
(
), donde los argumentos x e y son a su vez funciones de una o
Si
varias variables independientes tendremos:
( )
Si x e y son variables independientes,
hace equivalente a la fórmula (1).

y la fórmula (2) se

Ejemplos:
1. Hallar

(

, si

).

Solución:
Encontramos las primeras derivadas parciales.
.

Determinamos las segundas derivadas parciales.
(

)

(

(

(

(

)

(

)
)

)

)

2. Determinar todas las derivadas parciales de 2do orden de la función
Solución:
Hallamos las primeras derivadas parciales.

.

Encontramos las segundas derivadas parciales.

(

3. Evaluar

)

(

)

(

)

si

(

(

)

)

(

) (

) .

Solución:
Determinamos las primeras derivadas.
(

)

(

)

(

)

(

) (

Hallamos las segundas derivadas y la evaluamos en el punto (
(
)
(
)(
)
(
)
( )
(
)
(
)
(
)
( )
(

)

(

)(
(

4. Demostrar, que

) (
)

)

(

(

), si

(

)

)

)
).
(

(

)

)

.

Solución:
Encontramos las primeras derivadas parciales.
(
)
.
(

)

( )

Hallamos las segundas derivadas parciales.
(
)
( )
(

)

( )

(

)
(

( )).

(
)

(

( ))

Comparando:
(

)

(

)

5. Demostrar, que la función

(

( ))
, satisface a la ecuación de Laplace

Solución:
Hallamos las primeras derivadas parciales.
.

.

(

)

(

)

Reemplazamos en la ecuación:

(

)

(

)

Cuando una función satisface la ecuación de Laplace, a esta ese le conoce como
función armónica.
6. Demostrar, que todas las derivadas parciales cruzadas que se manifiestan en una
función de tres variables independientes, son iguales si
.
Solución:
Determinamos las primeras derivadas parciales.
.
.

.

.

Realizamos las comparaciones.

7. Hallar los diferenciales totales de 1° y 2° órdenes de la función:

Solución:
1er procedimiento. Encontramos todas las derivadas parciales que se necesitan para
rellenar las fórmulas.

Reemplazando en las fórmulas de
(
)
(

tenemos:
)

(

)

2° procedimiento. Diferenciando dos veces tenemos.

(

)

(

)

.

Volviendo a diferenciar y recordando que dx y dy no dependen de x e y.
(

)
(

)
(
(

8. Determinar

(

, si

)
)

)
(

)
(

)

Solución:
(

).

(

)
(

[

)

.

].
(

[
]

(

)
)

[
]
[
].
er
9. Determinar la diferencial de 3 orden, utilizando la fórmula simbólica de la siguiente
función:

Solución:
Desarrollamos la fórmula para n = 3.
(

)

Encontramos todas las derivadas parciales para rellenar la fórmula.

10. La ecuación de Laplace en R3 es:

Pruebe que la función (

)

(

⁄

)

satisface a la ecuación.

Solución:
Encontramos todas las derivadas parciales para sustituir en la fórmula.
) ⁄

(

(

⁄

)

(

)

⁄

(

⁄

(

(

) ⁄ ]

[(

)

)
)

) ⁄

(

) ⁄

(

(

⁄

)

(

)
)

[(

⁄

⁄

(

)

⁄

(

(

]

)
)

) ⁄

(

) ⁄

(

(

⁄

)

(

)

⁄

(

⁄

(

(

) ⁄ ]

[(

)

)
)

) ⁄

(

Reemplazamos en la ecuación dada.

(

) ⁄

(

) ⁄

(

(

) ⁄

) ⁄

Como conclusión podemos decir que esta función es una función armónica.

1.9

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES.

1.9.1

Planos tangentes y rectas normales a una superficie.

) tiene derivadas parciales continuas, y que S:
Supongamos que (
(
)
es una de las superficies de nivel de f, y que x = x(t), y = y(t), z = z(t) es una
curva diferenciable en S que pase por el punto P0 en S. entonces,
( ( )

( ) ( ))

Para cada valor de t. Derivando ambos lados de esta ecuación respecto a t y
aplicando la regla de la cadena al primer miembro, resulta
( ( )

( ) ( ))

( )

O sea

Donde v es el vector velocidad de la curva. En consecuencia, el gradiente es
perpendicular al vector velocidad de toda curva diferenciable en S que pase por P0 (figura
126). Por tanto,
es perpendicular a la recta tangente de toda curva diferenciable en S
que pase por P0. Estas rectas pertenecen, pues, a un solo plano, este plano que pasa por
P0 y es normal a
es el plano tangente a S en P0.

1.9.2

Figura 126.
)
Definición de plano tangente.- Si una ecuación de una superficie S es (
, F es diferenciable y Fx, Fy, y Fz no son todas cero en el punto P0 de S, entonces
el plano tangente de S en el punto P0, es el plano que pasa por P0 y tiene a
como un vector normal.
Una ecuación para determinar el plano tangente es:

(

)(

)

(

)(

)

(

)(

)

( )

La ecuación vectorial del plano tangente en función del gradiente que tiene
como punto inicial P0 es:
(
) [(
)
(
)
(
)
] ( )
1.9.3

Definición de recta normal a una superficie.- La recta normal a una superficie S
en un punto P0 de S es la recta que pasa por P0 y tiene como un conjunto de
números directores a las componentes de cualquier vector normal a S en P0.
)
De esta definición, si una ecuación de una superficie S es (
entonces las ecuaciones simétricas de la recta normal de S en P0 son:

(

)

(

)

(

)

( )

Debido a que los denominadores son los componentes de
).
cual es un vector normal a S en (
O también en forma paramétrica:
(
)
(

) el

( )

)

(

(

)

Ejemplos:
Escríbanse las ecuaciones del plano tangente y de la recta normal a la superficie de
nivel dada en el punto P0 de los siguientes ejemplos:
(

1.

)

Solución:
Hallamos primero el vector gradiente en P0.
(
)
(
)
(
)
(

)

(
(
(

)
)
)

.

Según ecuación (2) el plano tangente a la superficie en P0 es
〈
〉〈
〉

Por (4) la normal a la superficie en P0 es

2. (

)

(

)

Solución:
Encontramos el vector gradiente en P0.
(
)
(
(
)
(
(
)
(

)

)
)

(
(
(

)
)
)

.

〈
〉〈
〉


(

3.

)

Solución:
Encontramos las derivadas parciales en P0.
(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)


4.

(

)

Solución:
(
)
Formamos la función
y luego procedemos como los ejercicios
anteriores.
Encontramos las derivadas parciales en P0.
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
) (
)


5. Dada la superficie
paralelos al plano

, trazar a ella planos tangentes que sean

Solución:
Encontramos las derivadas parciales, y las evaluamos en (
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)

Por ser planos paralelos:

)

6. Demostrar, que la ecuación del plano tangente a la superficie central de 2° orden
(

En su punto

) tiene la forma

Solución:
Encontramos las derivadas parciales, y las evaluamos en (
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)

)

(
)
(
)
(
)

Tenemos:

7. Hallar la tangente a la curva C en el punto (
las superficies

), siendo C la curva donde se cortan

Solución:
). Por tanto,
La tangente es normal tanto
como a
en (
X
será un vector paralelo a la recta. Para escribir las ecuaciones de la recta, utilizamos las
). Tenemos:
componentes de v y las coordenadas de (
(

)
(

(
)

(

Por tanto:

|

|

)
)

Entonces la recta tangente es:
0
.
8. Demostrar que las esferas
(

)

)
Son tangentes en el punto (
Solución:
Para que dos superficies sean tangentes en un punto, el gradiente de una de ellas
debe ser igual a la otra gradiente multiplicada por un escalar así:
(

)

(

)

En nuestro ejemplo tenemos:
(
)
(
)
(
)
En conclusión diríamos:
Como observamos aquí
es decir
superficies si son tangentes en ese punto (figura 127).
𝑥

𝑦

𝑧

(

(𝑥

)

(
(
(

)
)

), por tanto estas dos

)

𝑦

𝑧

Figura 127.
1.9.4

Extremos de funciones de dos variables.

Una de las aplicaciones importantes de la derivada de una función de una sola
variable estaba relacionada con los valores extremos de una función, los cuales nos
llevaron a una gran variedad de aplicaciones. En este tema vamos a extender la teoría a
funciones de dos variables, y se observara que el procedimiento es similar. En este
procedimiento estará involucradas las primeras y segundas derivadas parciales, a partir de
las cuales se determinarán los valores máximos y mínimos relativos de una función, luego
se incluyeran los valores extremos relativos como posibles extremos absolutos. Para

iniciar vamos a mencionar las definiciones de extremos relativos y absolutos de una
función de dos variables.
1.9.5

Definición de extremos absolutos de funciones de dos variables.

i.

Se dice que la función f de dos variables tiene un valor máximo absoluto en su
(
) en D tal que
dominio D del plano xy si existe algún punto
(
)
(
) para todos los puntos (
) de D.
) es el valor máximo absoluto de f en D.
En tal caso, (

ii.

Se dice que la función f de dos variables tiene un valor mínimo absoluto en su
(
) en D tal que
dominio D del plano xy si existe algún punto
(
)
(
) de D.
) es el valor mínimo absoluto de f en D.
En tal caso, (

1.9.6

Definición de extremos relativos de funciones de dos variables.

i.

Se dice que la función f de dos variables tiene un valor máximo relativo en el
(
) si existe un intervalo abierto en el plano xy tal que
punto
(
)
(
) en el intervalo.

ii.

Se dice que la función f de dos variables tiene un valor mínimo relativo en el punto
(
) si existe un intervalo abierto en el plano xy tal
que
(
)
(
) en el intervalo.

Figura 128
La función

1.9.7

√

tiene muchos máximos y mínimos relativos.

Análisis de los valores extremos.

1. Hallar puntos críticos y puntos frontera.

(
) alcanza un valor máximo y
Como sabemos, una función continua
un mínimo absolutos en cualquier región R. cerrada y acotada en que está
definida. Además, estos y cualesquiera otros máximos y mínimos relativos sólo
pueden darse en
1) Puntos de frontera de R
2) Puntos interiores de R en los que
, o puntos donde
no
exista. A los cuales les llamamos puntos críticos o estacionarios de f.
Normalmente sólo hay unos cuantos puntos de este tipo, de manera que
podemos calcular f en todos ellos y elegir los valores mayor y menor. Si lo que
deseamos es hallar el máximo y el mínimo absolutos, no se requiere otro
criterio.
2. Buscar puntos críticos si no hay puntos frontera.
(
) definida en una región R sin puntos frontera (como el
Una función
interior de un disco, de un triángulo o de un rectángulo, un cuadrante menos los
ejes o todo el plano) puede carecer de máximos y mínimos relativos en R. Sin
embargo, de tenerlos, deben encontrarse en puntos de R donde
,o
bien donde una o ambas derivadas no exista (como ocurre con
√
en
( )). Este concepto lo deducimos de la aplicación geométrica de las derivadas
parciales, ya que estas son la pendiente de la recta tangente a la curva de la
), donde
intersección de un plano constante con la superficie en un punto (
éstas son rectas horizontales que tienen pendiente igual a cero (figura129).
𝜕𝑦
𝜕𝑥

𝜕𝑓
𝜕𝑦

𝑧
𝑧

𝑓(𝑥

𝑦)

𝑓(𝑥 𝑦 )

Figura 129.

3. Criterio de la segunda derivada.
Este criterio puede aplicarse en los puntos interiores en que
donde las derivadas de primer y segundo orden son continuas.

y

) no garantiza que f
El hecho de que
en un punto interior de (
tenga en él un valor extremo. Sin embargo, existe un criterio de la segunda
). Este
derivada que puede ayudar a identificar el comportamiento de f en (
criterio es el siguiente:
(

)

(

)

Entonces

1) Si
en este punto si

en (
0

), la función f tiene un máximo relativo

2) Si
en este punto si

en (
0

), la función f tiene un mínimo relativo

3) Si
(

en (

), la función f tiene un punto de silla en

.
.

).

4) Este criterio no es claro ni concluyente cuando
en
(
), lo cual indica que debemos continuar el estudio para determinar el
comportamiento de f en éste punto.
A La expresión
se le conoce con el nombre de
discriminante de f, una manera de poder recordar esta expresión es
poniéndole en forma de determinante:
|
O poniendo en la forma
(
)

|

, donde:
(
)

(

).

Ejemplos:
1. Determínese los valores extremos de la función
(
)

(

)

Solución:
La función está definida y es diferenciable para todo x e y, por tanto, sólo tiene valores
extremos en los puntos donde se anulan las primeras derivadas parciales
simultáneamente así:
(

)

Resolviendo el sistema.
( )
( )

( )

(

)

( )

) que puede tomar un valor
Por tanto la función tiene sólo un punto crítico en (
extremo, por medio del discriminante comprobamos esto.
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
Entonces el discriminante es:
(

) (

)

Y con la combinación
, el punto (
máximo que toma f en el punto es:
(
)

𝑓(𝑥 𝑦)

𝑥𝑦

𝑥
𝑦
𝑥
Figura130.

) es un máximo relativo. El valor

𝑦
Figura 131.

2. Determine los valores máximos y mínimos absolutos de
(
)
En la placa triangular del primer cuadrante acotada por las rectas x = 0, y = 0, y = 9 – x.
Solución:
Los únicos lugares donde f puede tener estos valores son los puntos en la frontera del
triángulo (figura 131) y en los punto interiores a él, donde
En los puntos interiores:
( )
En donde:

(

)

1) En el segmento OA, y = 0. La función

( )
(

)

(
)
( )
Puede considerarse como una función de x definida en el intervalo cerrado
.
Sus valores extremos pueden darse en los puntos extremos.
( )
( )
Y en los puntos interiores donde
(

)
(
(

El único punto interior en el que
( )
2) En el segmento OB, x = 0 y
(

)

)
)

(

es x = 1, donde

)

Por la simetría de f en x e y, y según el análisis que hemos hecho, podemos
asegurar que en este segmento las posibilidades son
(

)

(

)

(

)

3) Ya hemos indicado los valores de f en los puntos extremos de AB, así que sólo
quedan por ver los puntos interiores de este segmento. Con
(

)

(

)

(

(

)

Encontrando la derivada e igualando a cero
(
Obtenemos

En este valor de x, y será:

)

)

(

)

Y la función tomará el valor:
(

)

( )

( )

( )

( )

4) Realizamos el resumen de valores y sacamos las conclusiones.

El valor máximo es 4, valor que toma f en (
( )
alcanzado en ( )

). El mínimo es - 61,

3. Encontrar los máximos, mínimos y puntos de silla de las siguientes superficies.
Calcúlense los valores de la función en estos puntos.
a)
Solución:
La función está definida y es diferenciable para todo x e y, por tanto, sólo tiene
valores extremos en los puntos donde se anulan las primeras derivadas parciales
simultáneamente.
(
)
( )
(
)
( )
( ) ( )
( )

( )

( )

(

)

√

De donde los puntos críticos son: ( ) ( √ √ ) (√
√ )
Encontramos las segundas derivadas parciales, y calculamos
discriminante en cada uno de los puntos para ver su comportamiento.
(

)

(

( √ √ )
(

(√
)

( √ √ )
(
)
( √ √ )
Determinamos los discriminantes:
Punto ( )

)

(

√ )
)

( √ √ )
( )
(√

√ )

el

Conclusión, este punto es punto de silla.
Punto ( √ √ )
Conclusión, en este punto hay un extremo relativo, como
punto es un mínimo.
Punto (√

el

√ )

el
punto es un mínimo. Esta superficie tiene dos puntos mínimos y un punto de silla.
Observar figura 132.
|
(

Punto de silla.

Punto mínimo. |

Punto mínimo. |

(

)

)

( √ √

(√

√ )

(

√

( √ √ ) Punto mínimo

b)
Solución:

𝑥

𝑥𝑦

𝑦

𝑥

𝑦

)

) Punto de silla.

(√

𝑧

)

( √ √

( √ √ )

Figura 132.

) Punto mínimo

La función está definida y es diferenciable para todo x e y, por tanto, sólo tiene
valores extremos en los puntos donde se anulan las primeras derivadas parciales
simultáneamente.
(

)
(

( )
( )

)

( )
( )

(

)

)
De donde los puntos críticos son: ( ) (
Encontramos las segundas derivadas parciales, y calculamos
discriminante en cada uno de los puntos para ver su comportamiento.
(
(

)
)

(

(
(

)

)

(

)
(

)
(

)

(

)

el

)

Determinamos los discriminantes:
Punto ( )
Conclusión, este punto es punto de silla.
Punto (

)

punto es un mínimo.
Valores de la función.
Punto de silla.

|
(

Punto mínimo. |

(

)

)

(

)

(

)

Esta superficie tiene un punto mínimo y un punto de silla. Observar figura 133.
(

) Punto de silla.

el

(

) Punto mínimo.

Figura 133.
4. Determine los valores máximos y mínimos absolutos de
(
)
(
)
En la región acotada por la parábola
y la recta y = 4.
Solución:
Los únicos lugares donde f puede tener estos valores son los puntos en la frontera de
la región (figura 134a) y en los punto interiores a ella, donde
En los puntos interiores:
( )
En donde:

(

( )

( )

( )

(

)

)

1) En la recta y = 4. La función
(

)
( )
.
(
)
( )
(

)

El único punto interior en el que

(

)

es x =

, donde

(

)

(

)

2) En la parábola

. La función
(
)
(
)
.
(
)
( )
(
)
(
)
)
Los puntos interiores en el que (
son ( ) ( )
(
)
( )
(
)
(
)
Realizamos el resumen de valores y sacamos las conclusiones.

El valor máximo es 20, valor que toma f en (
alcanzado en (

𝑓 ( 𝑥 𝑦)

𝑥

,

)

𝑥𝑦

Figura 134.

1.9.8

). El mínimo es

Figura 134a.

Extremos condicionados.
), en el caso más
Se llama extremo condicionado de una función (
simple, al máximo y mínimo de esta función, alcanzado con la condición de que

)
estos argumentos estén ligados o condicionados por la ecuación (
(que
se llama ecuación de enlace). Para encontrar el extremo condicionado de la
), con la ecuación de enlace
(
)
función (
utilizamos el
procedimiento llamado Multiplicadores de Lagrange. Procedimiento que
enunciaremos a continuación.
Análogamente se hallan los extremos condicionados de las funciones de
tres y más variables cuando existen una o más ecuaciones de enlace (cuyo número
debe ser menor que el de las variables). En este caso, hay que incluir en la función
de Lagrange tantos multiplicadores indeterminados como ecuaciones de enlace
haya.
Procedimiento:
1) Definimos la función auxiliar F (función de Lagrange) de las tres variables x, y y
. ( es un multiplicador de Lagrange constante e indeterminado)
(
)
(
)
(
)
2) Consideramos el sistema de ecuaciones que se forma al igualar a cero las tres
primeras derivadas parciales de F.
(
)
)
{ (
(
)
3) Resolvemos el sistema de ecuaciones del paso 2, para determinar los puntos
críticos de F.
4) Entre las primeras dos coordenadas de los puntos críticos de F, obtenidos en el
paso 3, se encuentran los valores de x e y que proporcionan los extremos
relativos deseados.
Ejemplos:
1. Determinar los extremos condicionado de la función

, si

Solución:
1) Definimos la función de Lagrange.
(

)

2) Formamos el sistema de ecuaciones.

(

)

.

(

)

( )

(

)

( )

(

{

)

( )

3) Resolvemos el sistema anterior.
( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )
(

( )

( )
)

(

)

(
), son los únicos puntos posibles para los cuales z
4) Los puntos ( )
tiene un extremo relativo. Entonces
|
(

|

)

(

)

Por lo que el mínimo relativo de z es – 5 y el máximo relativo 5.

𝑧

𝑥

Figura 135.

𝑦
Figura 135a.

2. Hallar los extremos condicionados de la función

, si

Solución:
(

)

(

)

(
)
(
)
{
(
)

( )
( )
( )

( )

( )–

( )

( )

( )
(
(

)
)

( )
( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ).

√

( )

√

( )

√

(
4) Los puntos (

)

)

(

√

(

), son los únicos puntos

posibles para los cuales z tiene un extremo relativo. entonces

|
(

√

|
(

)

Por lo que el mínimo relativo de z es

)

√

√
)

y el máximo relativo

√

.

𝑧

𝑐𝑜𝑠 𝑥

𝑐𝑜𝑠 𝑦

𝑦

Figura 136.

𝑥

𝜋

Figura 136a.

3. Encontrar los extremos condicionados de la función
(
)

, si

y

(

)

(

)

(

)

(

( )

(
(

)
)

( )
( )

(
(

{

)

)
)

( )
( )

√

3) Resolviendo el sistema anterior.
( )( )( )

( )

( ) √

(
(

)(

(

)√
)

(

√

(
)√

)

(

)(

)
(

)√
√

)

( )
( )
√
(7) Ecuación que tendrá raíces extrañas, datos que no sirven para nuestro análisis.
( )

( )

( )

( )
(

( )
)

( )

( )

( )

) , es el único punto posible para el cual u tiene un extremo
4) El punto (
relativo. Entonces
|
(

)

Por lo que el máximo relativo de u es .

𝑥

𝑦
𝑦

1.9.9

𝑧

Figura 137.
Problemas de aplicación sobre máximos y mínimos absolutos.
Como sabemos el cálculo diferencial es una poderosa herramienta para
resolver problemas que exigen maximizar o minimizar una función. A continuación
citaremos un procedimiento sencillo para poder encontrar su solución.
Procedimiento:
1) Cuando sea posible, dibújese una figura para ilustrar el problema, inclúyase las
partes importantes del mismo. Téngase en cuenta que letras representan
constantes y cuales representan variables.
2) Defínase la ecuación de la cantidad que va a ser maximizada o minimizada (a
esta se le conoce como la función objetivo). Es importante expresarla en
términos de dos variables independientes. Esto puede requerir algo de
manipulación algebraica o la utilización de las condiciones del ejemplo.
3) Encuentre los puntos críticos aplicando la teoría de máximos y mínimos de
funciones.
4) Por lo general en estos problemas, fácilmente podemos determinar cual valor
es máximo y cual mínimo, y cuando no es posible nos valemos del criterio de
la segunda derivada.
5) Determinamos el valor máximo o mínimo pedido en el problema.

Ejemplos:

1. Encuentre las dimensiones relativas de una caja rectangular, sin tapa que tiene un
volumen V dado, si se desea emplear la mínima cantidad de material en su
elaboración.
Solución:
1) Realizamos la figura.

Figura 138.
2) Definimos la función objetivo, en este caso será el área de la caja S en unidades
cuadradas.
( )
Como podemos observar, la función definida es de tres variables
independientes, por lo que será necesario recurrir a la condición extra del
problema para ponerlo en función de dos variables solamente, la condición en este
caso nos dice que el volumen de la caya V es constante, por lo que luego de
definirlo, despejamos z como función de x, y y V, para reemplazarlo en la función
objetivo.
( )
( )

( )
(

)

(

)

(

)

3) Encontramos los puntos críticos.
Hallamos las derivadas parciales y les igualamos a cero, formando el sistema.
( )
( )

Resolvemos el sistema formado por (3) y (4).
( ) ( )
( )

( )

√

( )

( )

( )
( )

√

Entonces el punto crítico es:
(√

√

)

4) En este problema podemos fácilmente deducir que el valor encontrado es el
solicitado, pues es el único. Para comprobar vamos a utilizar el criterio de la
segunda derivada.

(√

)

(√

)

Formamos el discriminante.
(

)

Como V tiene un valor positivo diferente de cero, concluimos que el
discriminante es mayor a cero, condición necesaria para la existencia de extremos
y como

, el punto crítico representa un mínimo.

Encontramos el valor de la profundidad z.
( )

( )

√

( )

(√ )
5) En conclusión la caja debe tener base cuadrada y una profundidad del medio de la
longitud de uno de sus lados, el área mínima de material a usar en la construcción
será:

√

√

√

√

√

√

(√

)

2. Hay que dividir el número 12 en tres sumandos no negativos de manera que el
producto de estos sea máximo.
Solución:
1) Realizamos el gráfico haciendo un análisis del sentido del problema, por lo que la
) debemos examinarle dentro del triángulo cerrado
función (
(figura 139). Luego definimos los sumandos del número 12.

Figura 139.
Sumandos del número 12: x, y, 12 – x – y (1).
2) Definimos la función objetivo. Según la condición del problema tenemos:
(

)

(

)( )

3) Encontramos los puntos críticos.
Hallamos las derivadas parciales y les igualamos a cero, formando el sistema.
(

)

(

)

( )

(

)

(

)

( )

Resolvemos el sistema formado por (3) y (4).
De (3)
( )
( )
De (4)
( )

( ) (

)
( )
( )
Entonces los puntos críticos son:

( )

( ) (
)
4) En este problema podemos fácilmente deducir que el valor que nos conviene es el
). Para comprobar vamos a utilizar el criterio de la segunda derivada.
punto (
Encontramos las segundas derivadas.
(
)
( )
(
)
( )
(
)
( )
Formamos el discriminante.
(

)

(

)

(

(

))

(

) (

)

Como el discriminante es mayor a cero, condición necesaria para la
( )
existencia de extremos y como
, el punto crítico representa un
máximo.
5) En conclusión los sumandos del número 12 son:
4, 4 y 4. Y como en el
) 0, este máximo, será el máximo absoluto de dicha
contorno del triángulo (
función. Por lo que el producto máximo es:

) de una placa de metal es
3. La temperatura en un punto (
.
Una hormiga camina sobre la placa alrededor del círculo de radio 5 con centro en el
origen. ¿Cuáles son las temperaturas mayor y menor que encuentra la hormiga?
Solución:
Este problema de aplicación se resuelve, aplicando la teoría de los extremos
condicionados.
(

)

(

)

(

( )

(
{

)
)

( )

(

)

( )

( )

( )

(

)(

)

(

( )
( )

( )(
( )

( )

( )

( )

)

)(

)

( )
√ ( )

√ ( ).
√ ( )

( )

( )

( )

√ ( )

( )

( )

( )

( √ )

( )

( )

( )

(

(

√ )

(

)

( √ )

(

)

√
√ )
√

[ ( √

√

) ]

[ (√

√

) ]

4) Los puntos ( √
(√ √ ), son los únicos puntos posibles para
√ )
los cuales z tiene un extremo relativo. entonces
|

( √

|

√ )

(√

Por lo que el mínimo relativo de z es
en los puntos ( √

máximo relativo

√ )

en los puntos

(√

√ ), y el

√ ).

4. Se trata de montar un radiotelescopio en un planeta recién descubierto. Para
minimizar la interferencia se desea emplazarlo donde el campo magnético del planeta
sea más débil. El planeta es esférico, con un radio de 6 unidades (figura 140). La fuerza
)
del campo magnético viene dada por (
basado en un
sistema de coordenadas cuyo origen está en el centro del planeta. ¿Dónde habrá que
ubicar el radiotelescopio?
Solución:
Este problema de aplicación se resuelve, utilizando la teoría de los extremos
condicionados.
(

)

(
)
(
)

(

)

( )
( )

(
{

)

( )

(

)

( )

( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )

( )

( )

( )

( )

( )
( )

( )
( ) (

( )

)

( )
) (

(

( ).
)

)
(
), son los únicos puntos posibles para los cuales
4) Los puntos (
M tiene un extremo relativo. entonces
|

(

|
(

)

)

Como podemos ver en el ejemplo en los dos puntos tenemos el mismo valor de M.
Por lo que para concluir, diríamos que cualquiera de los dos puntos es bueno para
la ubicación del radiotelescopio.
z

y
x

𝑥

𝑦

Figura 140.

𝑧

1.10 PROBLEMAS PROPUESTOS.
1.10.1 Determinar y representar los campos de existencia de las siguientes funciones.
1.
2.

√

√ .
(

3.
)

4.

√

√

√

5.
6.

)(

√(
√

(

)

8.
(

15. Hallar (

√

(

13.

) (

)

(

)

(

√

)

16. Encontrar el valor de la función
17. Determinar (
18. Hallar ( ), si

(

) si
( )

√

)

√

14.

).

(

)

en los puntos de la circunferencia

)
(

)

1.10.2 Realizar las gráficas y las curvas de nivel de las siguientes funciones.
1.
2.
3.

(

4.
5.

.
√

.

)
| |

| |

6.

1.10.3 Evaluar los siguientes límites.
1.

(

) (

)

2.

(

) (

)

( )

7.
√

3.

(

) (

4.

(

) (

5.

(

) (

6.

(

) (

)

) (

)

(

) (

)

(

) (

)

11.

)

(

10.

)

) (

9.

)

(

8.

√

(

) (

)

√

√|

|

12.

(

) (

)

.
.

)

1.10.4 Encontrar los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones.
1.
2.

√

)

)

12.

.

9.

(

√

11.

)

√

7.

(

10.

3.
4.

(

)

5.
6.

√

7. Determinar si es continua la función
(

)

{

√

8. Determine en las funciones, si la discontinuidad es removible o esencial. Si la
discontinuidad es removible, redefina la función, de forma que se transforme en
continua en el punto ( )
a)

(

)

b)

(

)

c)

(

)

d)

(

)

(

)

1.10.5 Problemas sobre derivadas parciales.
1. Utilizando la definición, calcular las derivadas parciales de las siguientes funciones.
)
)
(
)
a) (
e) (
)
(
)
f) (
) √
b) (
)
(
)
g) (
)
c) (
d)

(

)

√

2. Aplicando los teoremas de derivación común, encuentre las derivadas parciales de las
funciones.
(

a)
b)
c)

(

)
⁄

f)
( )

k) Demostrar, que

.

h)

(

i)

√
(

√

g)

( )

d)
e)

).

( ) .

j)

)
, si

).

l) El área de un trapecio de bases A, B y de altura H es igual a

(

)

. Hallar

y mediante un dibujo, esclarecer su sentido geométrico.
3. Calcule las derivadas parciales indicadas.
a)

(

)

b)

(

)

c)

(

)

√

d)
(

e)

)

f)
g)

(

) (

)

h)

.
.

4. Demostrar, que la función

)

√(

(

) (a y b constantes) satisface a

la ecuación de Laplace
–

5. Comprobar, que la función

√

(

)

(a y b constantes) satisface la

ecuación del calor
6. Demostrar, que la función (

)

(

)

satisface a la ecuación

de la vibración de la cuerda
7. Determine la pendiente de la recta tangente a la curva de intersección de la superficie
con el plano x = 1 en el punto ( √
). Interprete
está pendiente como una derivada parcial.
8. Encuentre la pendiente de la recta tangente a la curva de intersección de las
). Encuentre la
superficies
con el plano y = 2 en el punto (
ecuación de la tangente.
1.10.6 Problemas sobre diferenciales totales.
1. Hallar las diferenciales de primero y segundo orden de las siguientes funciones.

a)

e)
√

b)

f)

(

)

√

c)
√

d)

2. Encontrar las diferenciales totales del orden indicado en los siguientes ejercicios.
(

a)
b)
c)
d)
e)
f)

)
(

(

(

)

)

)

3. Sustituyendo el incremento de la función por el diferencial calcular aproximadamente.
a)
b)
)

c) √(
d)

(
√

)
√

(

)

4. ¿Cuánto variará la diagonal y el área de un rectángulo de lados a = 9m y b = 12m, si el
primer lado se disminuye en 3mm y el segundo aumenta 7mm?
5. El ángulo central de un sector circular
disminuyo 1.5°. ¿Cuánto hay que aumentar
al radio del sector
, para que su área permanezca constante?
6. Un recipiente en forma de cilindro circular recto, cuyas dimensiones exteriores son radio
igual a 15cm y altura 25cm, está hecho de un plancha de de pulgada de espesor. Calcular
el volumen exacto y aproximado del material que se gasto en su construcción.
7. La resistencia R producida por otras dos en paralelo de x e y ohms puede calcularse
mediante la fórmula

. ¿En qué porcentaje aproximado cambiará R si x crece de 25

a 25.2 ohms, e y decrece de 30 a 20.9 ohms?
8. Supongamos que
y que x, y, z pueden medirse con errores máximos
posibles

, respectivamente. Estimase el error máximo posible

cometido al calcular u a partir de los valores x = 3, y = ln 3, z = .
1.10.7 Problemas sobre la regla de la cadena, derivadas direccionales y gradientes.
1. Determine la derivada parcial indicada por medio de dos métodos: a) utilice la regla de la
cadena; b) sustituya x e y antes de derivar.
a)
b)
c)
(

d)

)

e)
2. Encuentre la derivada total

mediante dos métodos: a) utilice la regla de la cadena; b)

realice la sustitución de x e y antes de derivar.
a)
b)
c)
d)

√

3. Demostrar, que si

(

), donde

Y

, entonces,

4. Hallar

, si

, donde

5. Hallar

(

si

) donde

6. Se introduce agua en un tanque que tiene forma de cilindro circular recto a una tasa de
⁄

El tanque se ensancha de modo que, aún cuando conserva su forma cilíndrica

su radio se incrementa a una tasa de 0.18 cm/min. ¿Qué tan rápido sube la superficie del
agua cuando el radio es de 1.5 m y el volumen del agua en el tanque es
?
7. Una cantidad de gas obedece a la ley del gas ideal con k = 1.2, y el gas está encerrado en un
recipiente que se calienta a una tasa de 4° K/min. Si en el instante en que la temperatura es
de 310° K, la presión es de 5 atm y decrece a la tasa de 0.1 atm/min, calcule la tasa de
variación del volumen en este instante.
8. Una pared de retención forma un ángulo de 120° con el suelo. Una escalera de 7 m de
longitud esta recargada contra la pared y su parte superior se desliza hacia abajo sobre la
pared a un tasa de 75 cm/sg. ¿Qué tan rápido varía el área del triángulo formado por la
escalera, la pared y el piso cuando la escalera forma un ángulo de 30° con el suelo?
9. Aplicando la definición encontrar la derivada direccional de la función f en la dirección que
se indica.
a)
b)

(
(

)
)

c)

(

)

d)

(

)

e)

(

√
.

)

10. Halle el valor de la derivada direccional en el punto
a)

(

)

b)

(

)

c)

(

)

d)

(

)

e)

(

)

para la función en la dirección de U.
(
(

√
(
(
(

)
)

(

11. Encuentre el gradiente de la función.

√

)

√

)
)

)
√

(

)
(

)

a)

(

)

b)

(

)

c)

(

)

d)
e)

(
(

√
)
)

(

)

12. Calcule la gradiente y la tasa de variación de la función, en la dirección de U en P.
a)

(

)

(

b)

(

)

c)

(

)

d)

(

)

(

√

√

)

√

)
(

)
(

)

√

√

√

)
13. Dibuje un mapa de contornos que muestre las curvas de nivel de la función (
,
( ) cuyo punto
para
. También muestre la representación de
inicial es ( )
)
14. Construir un mapa de contornos que muestre las curvas de nivel de la función (
) cuyo punto
, para 8, 4, 0, -4 y -8. También muestre la representación de (
)
inicial es (
15. Hallar la derivada de la función
en el punto ( ), en la dirección
)
que va desde éste al punto (
), en la
16. Encuentre la derivada de la función
en el punto (
)
dirección que va desde éste al punto (
)
17. Calcule la derivada direccional de la función
en el punto (
en la dirección que forma ángulos iguales con todos los ejes de coordenadas.
18. Determine la dirección a partir del punto ( ) para el cual el valor de f permanece
constante si (

)

( ).

19. Hallar la derivada de la función
en el punto ( ) en la dirección que
forma un ángulo con la dirección positiva del eje “x”. ¿En qué dirección esta derivada: a)
alcanza el valor máximo; b) alcanza el valor mínimo; c) es igual a 0.
20. Una ecuación de la superficie de una montaña es
donde la distancia
se mide en metros, el eje “x” apunta hacia el este y el eje y hacia el norte. Una alpinista se
). a) ¿Cuál es la dirección de máxima
encuentra en el punto que corresponde a (
inclinación? b) Si la alpinista se desplaza en la dirección este, ¿ella asciende o desciende, y a

que tasa? c) Si la alpinista se desplaza en la dirección suroeste, ¿ella asciende o desciende, y
a que tasa? d) ¿En qué dirección recorre la alpinista una curva de nivel?

1.10.8 Problemas sobre derivadas implícitas.
1. Determinar

, de las siguientes funciones dadas en forma implícita.
(

a)
b)
c)
d)

(

)

)

2. Halle

de las siguientes funciones dadas en forma implícita.

a)
b)
c)
d)

(

)

3. Calcular
4. Determinar dz y
para el sistema de valores x =2, y = 0 y z = 1, si z es una función de
las variables x e y determinada por la ecuación

1.10.9 Problemas sobre aplicaciones de las derivadas parciales.
1. Escribir las ecuaciones de los planos tangentes y de las rectas normales a las siguientes
superficies en los puntos que se indican.
(
(
(

a)
b)
c)
d)

(

)
(

e)
f)
g)

)
)
)

⁄

⁄

)

⁄

(
(

)
).

(

h)
i)

⁄

⁄

)
(

( )

j)

)

(

)

2. ¿En qué puntos del elipsoide
3.
4.

5.

6.
7.
8.

la normal ángulos iguales con los ejes

coordenados?
Hallar en la superficie
, los puntos en los que los
planos tangentes son paralelos a los planos coordenados.
Si las superficies
, se intersecan en una curva,
determine las ecuaciones de la recta tangente a la curva en el punto de intersección
(
).
Si las superficies
, se intersecan en una curva,
determine las ecuaciones de la recta tangente a la curva en el punto de intersección
(
).
(
)
(
) son
Pruebe que las esferas
)
tangentes en el punto(
Demuestre que las superficies
son tangentes en el
)
punto (
Se dice que dos superficies son perpendiculares en un punto de intersección P0 si los
vectores normales a las superficies en P0 son ortogonales. Demuestre que en el punto
(
) la superficie
es perpendicular a cada miembro de la familia
(
)
de superficies

9. Encuentre los extremos relativos y los puntos de silla si existen, de las siguientes funciones.
a)
b)

(
(

)
)

c)

(

)

d)

(

)

e)
f)
g)

)
(

)(

(

(

)

√
.
(

)

)

√

√

h)
i)
j)

(

)

10. Determine los extremos condicionados de las funciones.
a)
(

b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)

)

(

)

11. Obtenga los extremos absolutos de la función cuyo dominio es la región acotada y cerrada R
del plano xy.
a)
b)

(

R esta acotada por:
y el eje x.
R es la región limitada por la circunferencia (

)

c)
(

)(

)(

)

)

es la región acotada por el cuadrado cuyos vértices son
(
)

12. Determine los tres números positivos cuya suma sea 36 de modo que su producto sea el
mayor posible.
13. Obtenga tres números positivos cuyo producto sea 36 de manera que su suma sea la más
pequeña posible.
14. Encuentre los puntos de la curva de intersección del elipsoide
el
plano
que estén más cerca del origen, y calcule la distancia mínima.
15. Suponga que t horas después de la inyección de s miligramos de adrenalina la respuesta es
(
) donde a es una constante positiva. ¿Qué valores de s y t
R unidades, y
producirán la respuesta máxima?
16. Se construye una caja rectangular cerrada con un volumen de 500 cm3 empleando tres
tipos de materiales. El costo del material para el fondo y la tapa es de $ 0,09 por cada
centímetro cuadrado, el costo del material para el frente y la parte posterior es de $0.07
por centímetro cuadrado. Calcule las dimensiones de la caja de modo que el costo de los
materiales sea el mínimo.
)
17. La temperatura T en grados en cualquier punto (
la esfera de radio 9, está dado
por
. Calcule los puntos de la esfera donde la temperatura es la máxima y
también los puntos donde es mínima. Además determine la temperatura en estos puntos.

18. Un trozo de alambre de L unidades de longitud se corta en tres partes, una parte se dobla
en forma de circunferencia, otra se dobla en forma de cuadrado y la tercera parte en forma
de triángulo equilátero. ¿Cómo debe cortarse el alambre para que a) el área combinada de
las tres figuras sea la mínima posible, y b) el área combinada sea máxima.
19. Determine la distancia mayor y menor desde el origen a la curva de intersección de las
superficies
20. Los puntos M y N están situados en diferentes medios ópticos, separados el uno del otro
por una línea recta (figura 141). La velocidad de propagación de la luz en el primer medio es
v1, en el segundo, a v2. Aplicando el principio de “Fermat”, según el cual el rayo luminoso se
propaga a lo largo de la línea MON, para cuyo recorrido necesita el mínimo de tiempo,
deducir la ley de refracción del rayo de luz.

Figura 141.

𝑅(𝑥
𝑄(𝑥

𝑦

)
𝜃 𝑦

𝑠𝑒𝑛 𝜃)

Capitulo 3 funciones de varias variables

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