DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
- 1. República Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular para la Educación I. U. P “Santiago Mariño” Extensión Barcelona Matemática III Bachiller: Stefany Marcano C.I : v-27.823.547 Profesor: Pedro Beltrán Barcelona, 12 de julio del 2019
- 2. En el cálculo de una sola variable las funciones que mapean los números reales R a R, a veces llamadas "funciones reales de una variable", lo que significa que la "entrada" es un número real único y la "salida" es también un número real único. Las funciones de varias variables, lo que significa varias variables de entrada, funciones f: Rn → R tratan principalmente con n = 2 y, en menor medida, n = 3 Una función f: R2 → R asigna un par de valores (x, y) a un solo número real. El sistema de coordenadas tridimensional que ya hemos utilizado es una forma conveniente de visualizar tales funciones: sobre cada punto (x, y) en el plano xy, graficamos el punto (x, y, z), donde, por supuesto, z = f ( x, y). Introducción
- 3. Límite y continuidad de una función en el Espacio R3 Límite escalar Límite en un punto de una función real de variable real y = f (x) de la forma: f :D⊂ IR→IR donde D=(a,b) es un intervalo abierto. En este contexto se dice que dado x0 ∈D∪ {a,b} el límite de la función y = f (x), cuando x tiende a 0 x , es L si ∀ε > 0 existe δ > 0 tal que ∀x ∈D con 0 x ≠ x y tal que | − |< δ 0 x x se tenga que | f (x) − L |< ε . Se destaca que esta definición de límite está basada en la idea “topológica” de proximidad, entre los valores de la variable x con 0 x y los de la función f (x) con L. También es valioso darse cuenta de que esta definición no proporciona ningún método para calcular el límite de una función en un punto. La definición sirve, no obstante, para verificar si dicho límite tiene un valor de terminado. Se debe destacar que en el límite de una función en un punto 0 x no influye el valor ( ) 0 f x de la función en dicho punto.
- 4. Para extender este concepto a un campo escalar es necesario ampliar la idea de proximidad en el conjunto IR al espacio 𝐼𝑅 𝑛 . Para ello se introduce la definición de bola abierta en n (que equivale al concepto de entrono de un punto en IR.
- 12. No existe
- 14. Continuidad
- 17. Derivación de funciones de varias variables (en el Espacio R3 ).
- 19. Derivadas parciales de segundo orden. Sea una función de dos variables z = f(x, y). En principio tenemos cuatro (22) derivadas de segundo orden: Estas derivadas vienen definidas de la siguiente manera: Se trata de derivar respecto de x la derivada Se trata de derivar respecto a x la derivada Se trata de derivar respecto a y la derivada Se trata de derivar respecto a y la derivada Ejemplo: Las derivadas son llamadas "derivadas mixtas"
- 20. Teorema de Schwarz relativo a las derivadas mixtas. Sea un punto P(a, b) en el que la función z = f(x, y) se encuentre definida. El teorema de Schwarz dice: "Es suficiente que las derivadas existan en una cierta bola del punto P, y que la derivada segunda de f con respecto a xy sea continua en este punto, para que tengamos: Es decir, que las derivadas mixtas sean iguales en los puntos de esa bola". En general, las condiciones de este teorema se cumplen (salvo para algunos puntos excepcionales), por lo que nosotros siempre consideraremos iguales a estas derivadas cruzadas. A veces, es conveniente expresar las derivadas segundas de z=f(x,y) como una matriz 2x2 : En este caso los elementos que se encuentren en posición simétrica respecto a la diagonal principal son iguales. En otras palabras, estas matrices son simétricas. Para el caso de una función de tres variables w = f(x, y, z), el número de derivadas segundas es 9 , esto es (32), que las podríamos expresar así Coincidiendo cada pareja situada en posición simétrica (respecto de la diagonal principal).
- 21. Derivadas parciales Sea una función de dos variables z = f(x, y), se definen las derivadas parciales: Para la derivada de z "respecto de x" consideramos a la variable "y" como si fuera una constante, mientras que al hacer la derivada de z "respecto de y" consideramos a la variable "x" como si fuera constante. Veamos, como ejemplo, las dos derivadas parciales de la función Para ello recordemos que la derivada de la función z = eu es: z’ = u’ . eu , siendo u en nuestro caso: x2 + y2 , entonces la derivada de u respecto x es 2x (con la y constante), mientras que la derivada de u respecto y es 2y (con la x constante). Así tenemos: Otras formas de expresar la derivada de la función z = f(x,y) con respecto a x son: Mientras que para expresar la derivada de la función z = f(x,y) con respecto a y:
- 22. Esta definición de derivada se extiende a funciones de tres o más variables, por ejemplo, para una función de tres variables w = f(x,y,z) sus tres derivadas parciales son: En cada una de ellas se consideran constantes los dos parametros distintos a los que se realiza la derivada. Diferencial de una función de varias variables. Sea una función de dos variables z = f(x, y), se define la diferencial de esta función como: Geométricamente hay que interpretar las diferenciales como "incrementos infinitesimales". Como ejemplo, expresemos la diferencial de la función: ya que hemos realizado anteriormente las dos derivadas parciales: Tanto en las derivadas como en las diferenciales, se suele hablar de valores en un punto P(a, b), para ello se sustituye en ellas el valor de x por a, y el valor de y por b. Por ejemplo, las derivadas y la diferencial en el punto P(1, 2) se calculan sustituyendo x=1, y=2.
- 23. Diferencial total La diferencial total de una función real de diversas variables reales corresponde a una combinación lineal de diferenciales cuyos componentes (coeficientes) son los del gradiente de la función. Formalmente el diferencial total de una función es una 1-forma o forma pfaffiana y puede ser tratada rigurosamente como un elemento de un espacio vectorial de dimensión n, donde n es el número de variables dependientes de la función. Por ejemplo, si una función diferenciable entonces el diferencial total de z es: En cálculo vectorial, la diferencial total de una función se puede representar de la siguiente manera: donde f es una función
- 25. Gradientes
- 29. Divergencia
- 31. Rotor
- 34. Plano tangente
- 37. Recta normal
- 39. El término integral para funciones en múltiples variables es mucho más diverso que ese para funciones en una variable. La integral indefinida de una variable corresponde. en el caso multidimensional, la integración de un campo vectorial, en lugar de ciertos. Las integrales (reales o impropias) ocurren integrales de rango, integrales de curva y integrales de superficie. Una derivada parcial de una función de diversas variables, es la derivada respecto a cada una de esas variables manteniendo las otras como constantes. Las derivadas parciales son útiles en cálculo vectorial, geometría diferencial, funciones analíticas, física, matemática, etc. Conclusión
- 40. ANEXOS
- 42. Bibliografía Matematicas.unex.es. 06. Recuperado de: http://matematicas.unex.es/~fsanchez/calculoII/06.pdf Cartagena99. Apuntes Tema 5. Recuperado de: http://www.cartagena99.com/recursos/alumnos/apuntes/Apuntes_Tema_5.pdf Portal.uah.es. VariasVariables, Límites y continuidad. Recuperado de: https://portal.uah.es/portal/page/portal/GP_EPD/PG-MA-ASIG/PG-ASIG- 32395/TAB40335/VariasVariables02L%EDmites%20y%20continuidad.pdf Ehu.eus. Funciones. Recuperado de: http://www.ehu.eus/juancarlos.gorostizaga/apoyo/funciones_vv.htm Academia.edu. Plano tangente y recta normal. Recuperado de: https://www.academia.edu/11468228/6_6_PLANO_TANGENTE_Y_RECTA_NORMAL Ugr.es. Fund-Mat02. Recuperado de: https://www.ugr.es/~rpaya/documentos/Teleco/Fund-Mat02.pdf Es.wikipedia.org. Diferencial total. Recuperado de: https://es.wikipedia.org/wiki/Diferencial_total