Rango y nulidad de una matriz
- 1. RANGO Y NULIDAD DE UNA MATRIZ Lic YOLVI ADRIANA CORDOBA BUITRAGO
- 2. DEFINICION DE ESPACIO RENGLON Y ESPACIO COLUMNA Sea A una matriz de mxn. 1.El espacio renglón de A es el subespacio de 𝑅 𝑛 generado por los vectores renglón de A. 2.El espacio columna de A es el subespacio de𝑅 𝑚 generado por los vectores columna de A.
- 3. EJEMPLO 1
- 4. TEOREMA 1: Las matrices equivalentes por renglones tienen el mismo espacio renglón Si una matriz A mxn es equivalente por renglones a una matriz B mxn, entonces el espacio renglón de A es igual al espacio renglón de B. Lo anterior significa qu el espacio renglon de una matriz no se modifica por la aplicación de operaciones elementales en los renglones.
- 5. TEOREMA 2:Base para el espacio renglón de una matriz Si una matriz A es equivalente por renglones a una matriz B que está en forma escalonada, entonces los vectores renglón de B diferentes de cero forman una base del espacio renglón de A. EJEMPLO 2
- 7. EJEMPLO 3
- 8. EJEMPLO 4
- 9. TEOREMA 3:Los espacios de los renglones y las columnas tienen iguales dimensiones Si A es una matriz mxn ,entonces el espacio del renglón y el espacio de la columna de A tienen la misma dimensión
- 10. DEFINICION DEL RANGO DE UNA MATRIZ La dimensión del espacio renglón (o columna) de una matriz A se llama rango de A y se denota por rango de (A).
- 11. TEOREMA 4:Soluciones de un sistema homogéneo Si A es una matriz de mxn entonces el conjunto de todas las soluciones del sistema homogéneo de ecuaciones lineales Ax=0 es un subespacio de 𝑅 𝑛 . OBSERVACION El espacio solución de Ax=0 también se denomina espacio nulo de la matriz A . Además,la dimensión del espacio solución se denomina NULIDAD de A.
- 12. EJEMPLO
- 14. TEOREMA:DIMENSIÓN DEL ESPACIO SOLUCION Si A es una matriz de mxn con rango r, entonces la dimensión del espacio solución de Ax=0 es n-r. En conclusión: Rango + nulidad =n
- 15. EJEMPLO 7
- 16. TEOREMA:SOLUCIONES DE UN SISTEMA LINEAL NO HOMOGENEO SI Xp es una solución particular del sistema no homogéneo, entonces toda solución de este sistema puede escribirse en la forma X=Xp+Xh donde Xh es una solución del sistema homogéneo Ax=0 correspondiente.
- 18. ejemplos:
- 19. Teorema :Numero de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales
- 20. ejemplo