Derivacion y limites de una funcion 1
- 2. INTRODUCCIÓN La presente publicación ha sido elaborada con el propósito de contribuir y facilitar el aprendizaje de los distintos temas de cálculo diferencial e integral de funciones reales de varias variables. Al principio de cada tema se presenta un resumen de las definiciones, teoremas y propiedades más importantes que se requieren para la resolución de los ejercicios y problemas. En la solución de los problemas se ha tratado de utilizar un lenguaje sencillo, claro y preciso que facilite la comprensión de conceptos, propiedades y teoremas importantes, y que además propicie la adquisición de las destrezas necesarias para realizar cálculos con precisión.
- 3. Concepto de Limite de una Función La expresión límite de una función se utiliza en el cálculo diferencial matemático y refiere a la cercanía entre un valor y un punto. Por ejemplo: si una función f tiene un límite X en un punto t, quiere decir que el valor de f puede ser todo lo cercano a X que se desee, con puntos suficientemente cercanos a t, pero distintos. El limite de una función f(x), cuando 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑎 𝑐 𝑒𝑠 𝐿 𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑝𝑎 𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝜖>0, 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑢𝑛 𝛿>0 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑥 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑑𝑜 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛, 𝑠𝑖 0< | 𝑥−𝑐|<𝛿 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 | 𝑓(𝑥)−𝐿|<𝜖.
- 4. En cálculo, el teorema del emparedado es un teorema usado en la determinación del límite de una función. Este teorema enuncia que si dos funciones tienden al mismo límite en un punto, cualquier otra función que pueda ser acotada entre las dos anteriores tendrá el mismo límite en el punto. 𝑔 𝑥 ≤ 𝑓 𝑥 ≤ ℎ 𝑥 . 𝑆𝑢𝑝𝑜𝑛𝑔𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑡𝑎𝑚𝑏𝑖𝑒é𝑛 𝑞𝑢𝑒: lim 𝑥→𝑎 𝑔 𝑥 = lim 𝑥→𝑎 ℎ 𝑥 = 𝐿. Entonces: lim 𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 = 𝐿 Enunciado:
- 5. En matemáticas, una función continua es aquella para la cual, intuitivamente, para puntos cercanos del dominio se producen pequeñas variaciones en los valores de la función; aunque en rigor, en un espacio métrico como en variable real, significa lo contrario, que pequeñas variaciones de la función implican que deben estar cercanos los puntos. Si la función no es continua, se dice que es discontinua
- 6. TEOREMAS Para facilitar la obtención del límite de una función sin tener que recurrir cada vez a la definición Epsilon--Delta se establecen los siguientes teoremas. Los teoremas se numeran consecutivamente para facilitar una futura referencia. Teorema de límite1: Si k es una constante y a un número cualquiera, entonces Teorema de límite2: Para cualquier número dado a,
- 7. Teorema de límite3: Si m y b son dos constantes cualesquiera, entonces Teorema de límite 4: Teorema de límite 5:
- 8. Teorema de límite 6: Si f es un polinomio y a es un número real, entonces Teorema de límite7: Si q es una función racional y a pertenece al dominio de q, entonces Teorema de límite 8:
- 9. EJEMPLOS
- 10. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN El concepto de derivada de una función matemática se halla íntimamente relacionado con la noción de límite. Así, la derivada se entiende como la variación que experimenta la función de forma instantánea, es decir, entre cada dos puntos de su dominio suficientemente próximos entre sí. En general, las funciones elementales que tratamos en Cálculo poseen derivada en todos sus puntos (salvo quizás en algunos puntos específicos de los que luego hablaremos), por eso dada una función y = f(x) , diremos que su derivada es la función y ' = f '(x).
- 12. Propiedades de las derivadas. Sean k: una constante, f : una función, g: otra función. Entonces se dan las siguientes propiedades:
- 13. EJEMPLO 1: Hallar la derivada de la función: y = sin x . cos x Respuesta: Conocemos las derivadas (sin x) ' = cos x, (cos x) ' = -sin x, por lo tanto por la propiedad III tenemos: y' = (sin x . cos x)' = cos x . cos x + sin x . (- sin x) = = cos² x - sin² x EJEMPLO 2: Hallar la derivada de la función: Respuesta: Conocemos las derivadas (x²)' = 2x, (sin x) ' = cos x, por lo tanto, por la propiedad IV tenemos:
- 14. Al igual que con las funciones de una variable, un incremento dx y dy en las variables independientes produce un cambio z en la variable dependiente z ∆z = f (x + dx , y + dy) - f (x ,y) Diferencial total
- 15. f(x, y) = x + y xo = 1 Yo = 1 f(1, 1) = 2dx = 0.5 dy = 0.6 f(1.5, 1.6) = 3.1 deltaz = f(xo + dx, yo + dy) - f(xo, yo) = 1.1 EJEMPLO
- 16. GRADIENTE El gradiente de una función fff, que se denota como ∇f, es la colección de todas las derivadas parciales en forma de vector.
- 17. DIVERGENCIA La divergencia de un campo vectorial mide la diferencia entre el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie que encierra un elemento de volumen dV . Si el volumen elegido solamente contiene fuentes o sumideros de un campo, entonces su divergencia es siempre distinta de cero.
- 18. La divergencia de un campo vectorial en un punto es un campo escalar, que se define como el flujo del campo vectorial por unidad de volumen conforme el volumen alrededor del punto tiende a cero, para el caso del campo magnético la divergencia viene dada por la ecuación
- 19. Rotacional Se entiende por rotacional al operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto. También se define como la circulación del vector sobre un camino cerrado del borde de un área con dirección normal a ella misma cuando el área tiende a cero
- 20. RECTA TANGENTE Se define la recta tangente a una función en un punto de abscisa x=a como aquella recta que pasa por (a,f(a)) y tiene por pendiente la derivada de la función en el punto, f'(a). Su expresión es: y−f(a)=f'(a)⋅(x−a)
- 21. RECTA NORMAL Se define la recta normal a una función en un punto de abscisa x=a como aquella recta que es perpendicular a la recta tangente en ese punto. Por tanto, pasa por (a,f(a)) y tiene por pendiente -1/f'(a). Su expresión es: y−f(a)=−1f'(a)⋅(x−a)
- 22. Demostración Siguiendo un procedimiento análogo al de la recta tangente tenemos: La pendiente de la recta normal en x=a es m=-1/f'(a) La recta 'toca' a la función en el punto, es decir, pasa por (a,f(a)). Sustituyendo en la ecuación genérica de la recta x por a, e y por f(a), nos queda f(a)=m·a+n Sustituyendo la ecuación de 1 en 2, obtenemos: y=−1f'(a) ⋅x+f(a)−f'(a)⋅a y−f(a)=−1f'(a)⋅(x−a)
- 27. CONCLUSIONES El estudio de las matemáticas es un factor muy importante para el desarrollo de la vida, ya que los cálculos matemáticos están presentes en cada momento de nuestra vida. Esta ciencia se encuentra divida en varias ramas como lo es: la aritmética, el álgebra, la trigonometría, la geometría, el cálculo diferencial e integral, etc. El cálculo integral, es el proceso de integración o anti derivación, es muy común en la ingeniería y en la matemática en general y se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución >>>
- 28. >>> En conclusión vemos como el calculo nos enseña muchas cosas pero no solo en números si no también en la vida diaria los integrales o derivabas es un tema muy extenso que nos ayuda a resolver problemas que involucran magnitudes cuyos valores medios se suelen definir indirectamente como razones entre valores de otras magnitudes, como la velocidad media, la aceleración media.
- 29. B I B L O G R A F I A 1. https://www.youtube.com/watch?v=X2rqH5sS9a0&t=331s 2. https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_continua 3. https://www.calculo.jcbmat.com/id301.htm 4. http://www.ehu.eus/juancarlos.gorostizaga/apoyo/derivadas.htm 5. http://www3.uacj.mx/CGTI/CDTE/JPM/Documents/IIT/sterraza/mate 2016/varvaria/varvaria_total.html