Sistema de coordenadas
- 1. SISTEMA DE COORDENADAS. Un sistema de coordenadas es un método que usa uno o más números, llamados coordenadas, para establecer inequívocamente la posición de un punto o de un objeto geométrico en el espacio. Las coordenadas se expresan en forma de tuplas ordenadas, dos coordenadas forman una dupla, tres un trío, cuatro una cuádrupla, y así sucesivamente; el que sean ordenadas significa que el orden en que se escriben las coordenadas es muy importante, ya que escribirlas con un ordenamiento diferente hará referencia a otra ubicación, es más, muchas veces se identifica a las coordenadas por su ubicación en la tupla ordenada. TIPOS DE SISTEMA DE COORDENADAS ° Sistema de coordenadas cartesianas: Las coordenadas cartesianas son las más utilizadas, este tipo de coordenadas se ubican en un plano cartesiano al que están asociados los ejes ‘x’, ‘y’ y ‘z’. Todos los ejes coordenados deben estar escalados bajo el mismo criterio y ser perpendiculares entre sí, estos ejes pueden conformar un sistema bidimensional o tridimensional dependiendo de si está formado por dos o tres ejes. ° Sistema de coordenadas polares: Las coordenadas polares son un sistema de coordenadas bidimensionales, en este sistema la ubicación de un punto en el espacio está determinada por un ángulo y una distancia (magnitud) El sistema de referencia está compuesto por un único punto “O” del plano, al que se denomina origen o polo, y una recta que pasa por este punto, llamada eje polar (equivalente al eje “x” en el sistema cartesiano). Así, todo punto “P” del plano tendrá la forma de par ordenado (r,θ), donde “r” –llamada coordenada radial o radio vector- es la distancia de “P” al origen y TETA –llamada coordenada angular o ángulo polar- es el ángulo formado entre el eje polar y la recta OP; como convención se ha establecido que θ crece en sentido anti horario y decrece en sentido horario y que el origen está ubicado en el (0,0°).
- 2. ° Sistema de coordenadas esféricas: Las coordenadas polares son un sistema de coordenadas tridimensional basado en la misma idea que las coordenadas polares, en este sistema la ubicación de un punto en el espacio están determinada por una distancia y dos ángulos. El sistema de referencia está compuesto por tres ejes perpendiculares entre sí y un punto “O”, denominado origen, que corresponde al punto de intersección de los tres ejes. De esta forma un punto “P” queda representado por el trio ordenado (r, θ, φ), donde “r” es la distancia de “P” al origen, “θ” -colatitud- es el ángulo formado entre el eje “z” y la recta “OP” y “φ” – azimut- es el ángulo formado entre el eje “x” y la proyección de la recta “OP” en el plano x-y. ° Sistema de coordenadas cilíndricas: Las coordenadas cilíndricas son un sistema de coordenadas tridimensional en el que la ubicación de un punto en el espacio está determinada por una distancia, una altura y un ángulo. El sistema de referencia está compuesto por tres ejes perpendiculares entre sí y un punto “O”, denominado origen, que corresponde al punto de intersección de los tres ejes. De esta forma un punto “P” queda representado por el trio ordenado (ρ, φ, z), donde “ρ” – coordenada radial- es la distancia de “P” al eje “z”, “φ” –coordenada acimutal- es el ángulo formado entre el eje “x” y “RO” y “z” – coordenada vertical- es la distancia desde “P” al plano “x”-“y”. ° Sistema de coordenadas esféricas: Al igual que las coordenadas cilíndricas, el sistema de coordenadas esféricas se usan en espacios euclidianos tridimensionales. Este sistema de coordenadas esféricas está formado por tres ejes mutuamente ortogonales que se cortan en el origen. La primera coordenada es la distancia entre el origen y el punto, siendo las otras dos los ángulos que es necesario girar para alcanzar la posición del punto. ° Coordenadas geográficas: Este tipo de coordenadas cartográficas, subtipo de las coordenadas esféricas, se usa para definir puntos sobre una superficie esférica. Hay varios tipos de coordenadas geográficas. El sistema más clásico y conocido es el que emplea la latitud y la longitud, que pueden
- 3. mostrarse en los siguientes formatos: DD --- Decimal Degree (Grados Polares): ej. 49.500-123.500 DM --- Degree:Minute (Grados:Minutos): ej. 49:30.0-123:30.0 DMS -- Degree:Minute:Second (Grados:Minutos:Segundos): ej. 49:30:00-123:30:00 También se puede definir las coordenadas de un punto de la superficie de la Tierra, utilizando una proyección cartográfica. El sistema de coordenadas cartográficas proyectadas más habitual es el sistema de coordenadas UTM. ° ORIGEN DE COORDENADAS. El origen de coordenadas es el punto de referencia de un sistema de coordenadas. En este punto, el valor de todas las coordenadas del sistema es nulo. Sin embargo, en algunos sistemas de coordenadas no es necesario establecer nulas todas las coordenadas. Por ejemplo, en un sistema de coordenadas esféricas es suficiente con establecer el radio nulo (P = 0), siendo indiferentes los valores de latitud y longitud. ° CAMBIOS DE COORDENADAS. Frecuentemente, querremos representar un punto o un vector en una base a su equivalente en otra base. Esto supone cambiar de un sistema de coordenadas a otro. Digamos que tenemos dos bases: |y|, cada vector en la primera base se puede representar en términos de la segunda base, y viceversa. Esta representación incluye componentes escalares resultando en el siguiente sistema de definiciones, u1 = a11 v1 + a12 v2 u2 = a21 v1 + a22 v2 Describimos el conjunto de los componentes escalares como una matriz; esto es, ( a11 a12 ) M = ( a21 a22 ) Usando matrices, obtenemos la siguiente expresión:
- 4. ( u1 ) ( a11 a12 ) ( v1 ) (u2 ) = ( a21 a22 ) ( v2 ) Para poder cambiar la representación de |a| debemos calcular la inversa de la matriz, M, de los componentes escalares. En general, representamos cualquier vector, v, en la base de esta manera, en forma matricial, ( v1 ) v = ( vx vy ) ( v2 ) Para representar v en la base de, acabaremos invirtiendo la matriz, M. Si u es la nueva representación del mismo vector, v, entonces la expresión es la siguiente, ( u1 ) u = ( ux uy ) ( u2 ) Para llevar a cabo la conversión, queremos averiguar los valores de ( ux, uy ). Realizamos los siguientes pasos para ello, ( u1 ) ( v1 ) ( ux uy ) ( u2 ) = ( vx vy ) ( v2 ) Sustituimos la base por su definición, ( a11 a12 ) ( v1 ) ( v1 ) ( ux uy ) ( a21 a22 ) ( v2 ) = ( vx vy ) ( v2 ) Como la matriz de la base multiplica ambos lados de la igualación, la eliminamos. Ahora tenemos lo siguiente: ( a11 a12 ) ( ux uy ) ( a21 a22 ) = ( vx vy ) Como conocemos la matriz, M, y el vector, v, necesitamos despejar la matriz del lado izquierdo de la igualdad, para determinar los valores desconocidos que representa el vector, u. Esto es, u M = v u M M-1 = v M-1 u I = v M-1
- 5. u = v M-1 La ecuación final es la siguiente, que se basa en calcular la inversa de la matriz, M, ( a11 a12 )-1 u = v ( a21 a22 ) Este cambio de bases no varía el origen y por tanto podemos usarlo para describir rotaciones y cambios de escala de una base en términos de otra base. Sin embargo, para realizar una traslación del origen o un cambio de marco, no se puede representar de esta forma. Antes de ver este cambio de marco, veamos un ejemplo de un cambio de coordenadas. Angélica Villarroel CI: 26.897.344
- 6. u = v M-1 La ecuación final es la siguiente, que se basa en calcular la inversa de la matriz, M, ( a11 a12 )-1 u = v ( a21 a22 ) Este cambio de bases no varía el origen y por tanto podemos usarlo para describir rotaciones y cambios de escala de una base en términos de otra base. Sin embargo, para realizar una traslación del origen o un cambio de marco, no se puede representar de esta forma. Antes de ver este cambio de marco, veamos un ejemplo de un cambio de coordenadas. Angélica Villarroel CI: 26.897.344