Funciones de Varias Variables

Introduccion
El modelo matemático adecuado para expresar
una variable en función de otras variables es la
función de varias variables. Igual que ocurría
con las funciones de una variable, algunas de
las herramientas asociadas a este modelo nos
permiten abordar y expresar muchos aspectos
interesantes de la relación existente. Nos
centraremos en las herramientas mas sencillas:
curvas de nivel y la geometría en el espacio.
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¿Qué son las coordenadas?
> Las coordenadas son grupos de números que
describen una posición: posición a lo largo de
una línea, en una superficie o en el espacio.
> Así en el eje de los números reales, x=4 se
indica de la siguiente manera:
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¿Para que sirven las coordenadas?
> Además de su uso en matemáticas, la utilidad
cotidiana de las coordenadas cartesianas suele
ser localizar sitios en los mapas. Los planos
suelen estar divididos en sectores con ejes
horizontales y verticales. El mapa puede ser de
unas pocas calles, una ciudad o del globo
terráqueo entero. Así se puede saber dónde vive
un amigo, dónde te encuentras en la visita a una
ciudad o dónde está la atracción a la que quieres
ir.
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Sistema de Coordenadas
Es un conjunto de valores que permiten definir
unívocamente la posición de cualquier punto de un
espacio geométrico respecto de un punto
denominado origen. El conjunto de ejes, puntos o
planos que confluyen en el origen y a partir de los
cuales se calculan las coordenadas de cualquier
punto constituyen lo que se denomina sistema de
referencia.
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Coordenadas Cartesianas
“Son llamadas así en honor al
matemático francés René
Descartes que desarrolló su
conocida geometría analítica y que
utilizaba como eje central de la
misma a lo que se conoce como
origen de coordenadas.”
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Coordenadas Cartesianas
Sistema de referencia que se utiliza para localizar y
colocar un punto concreto en un espacio
determinado, tomando como referencia lo que son
los ejes X, Y y Z.
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“La coordenada X se
llama abscisa y la
coordenada Y recibe
el nombre de
ordenada.”

> En el sistema de coordenadas cilíndricas un
punto P del espacio se representa por un trío
ordenado (r, θ, z), tal que:
> (r, θ) es una representación polar de la
proyección de P en el plano XY.
> z es la distancia de (r, θ) a P.
> r puede tomar los valores desde 0 a ∞. Los
valores de q estarán entre 0 y 2π.
Coordenadas Cilíndricas
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El nombre de
coordenadas cilíndricas
se origina del hecho de
que la gráfica r = c es un
cilindro circular recto.
Las coordenadas
cilíndricas se utilizan
con frecuencia en
aquellos problemas
reales en los que existe
un eje de simetría.
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Coordenadas Esféricas
> Las coordenadas esféricas son un sistema de
coordenadas tridimensional basado en la misma idea
que las coordenadas polares, en este sistema la
ubicación de un punto en el espacio está determinada
por una distancia y dos ángulos.
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Coordenadas Esféricas
El sistema de referencia está compuesto por tres ejes
perpendiculares entre sí y un punto «O», denominado
origen, que corresponde al punto de intersección de los
tres ejes. De esta forma un punto «P» queda representado
por el trió ordenado (r, θ, φ), donde «r» es la distancia de
«P» al origen, «θ» -colatitud- es el ángulo formado entre
el eje «z» y la recta «OP» y «φ» – azimut- es el ángulo
formado entre el eje «x» y la proyección de la recta «OP»
en el plano x-y.
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Transformación entre los diferentes sistemas de
coordenadas.
Una transformación es una operación por la cual una
relación, expresión o figura se cambia por otra siguiendo
una ley dada. Analíticamente la ley se expresa mediante
una o más ecuaciones llamadas "ecuaciones de
transformación". Es importante elegir un sistema de
coordenadas, o referencia, adecuado con el objetivo que
el proceso de resolución sea lo más rápido posible. Ello
se realiza mediante la transformación de ejes
coordenados cuyo proceso está en dos movimientos,
rotación y traslación.
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Formulas para la transformación de
coordenadas.
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Cilíndricas a
cartesianas
Esféricas a
cartesianas
Cartesianas a
cilíndricas
Cartesianas a
esféricas
x= r cosθ x= ρ senϕ cosθ r= (x2+y2)1/2 ρ= (x2+y2+z2)1/2
y= r senθ y= ρ senϕ senθ θ=arctg(y/x) ϕ=arccos(z/(x2+y
2+z2)1/2)
z= z z= ρ cosθ z= z θ=arctg(y/x)

Mapa de Contorno
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Un mapa de contorno traduce la variación de z respecto
de x e y gracias al espaciado entre las curvas de nivel.
Una separación grande entre las curvas significa que z
var´ıa lentamente, mientras que curvas de nivel muy
juntas quieren decir que z cambia muy deprisa.

Simetría
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Se denomina simetría a la correspondencia exacta que se
registra en la disposición regular de las partes o puntos
que conforman un cuerpo o figura, considerado con
relación a un centro, eje o plano.

Tipos de Simetrías
> Simetría esférica: es aquella que ocurre bajo cualquier tipo de
rotación.
> Simetría axial (también llamada rotacional, radial o cilíndrica): es
aquella que ocurre a partir de un eje, lo que significa que cualquier
giro producido a partir de ese eje no conduce a ningún cambio de
posición en el espacio.
> Simetría reflectiva o especular: es aquella definida por la
existencia de un único plano donde una mitad es el reflejo de la otra.
> Simetría de traslación o traslacional: es aquella que se verifica en
un objeto o figura cuando este se repite a una distancia siempre
idéntica del eje y a lo largo de una línea que puede estar colocada
en cualquier posición y que puede ser infinita.
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Las funciones de varias variables
son funciones como cualquier otra, cumplen la
misma definición de función; una relación. La
diferencia es que una variable dependiente
estará regida por más de
una variables independiente. Es muy común
trabajar con funciones de tres variables,
generalmente llamadas z = f(x,y).

Como las funciones de una variable, funciones de
varias variables se pueden representar en forma
numérica (por medio de una tabla de valores), en
forma algebraica (por medio de una formula), y
en forma gráfica (por medio de una gráfica).

Dominio de funciones de varias
variables
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Definiremos el dominio de una función de varias
variables f(x1,x2,x3,…,xn) como el conjunto de puntos
(x1,x2,x3,…,xn) para los que la función está definida.

Geometría del espacio
> Rama de la geometría que se ocupa de las
propiedades y medidas de figuras geométricas
en el espacio tridimensional. Entre estas
figuras, también llamadas sólidos, se
encuentran el cono, el cubo, el cilindro,
la pirámide, la esfera y el prisma.
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Superficie esférica
> Es la superficie engendrada por una
circunferencia que gira sobre su diámetro. La
esfera también se puede describir como el
conjunto de puntos en el espacio
tridimensional que equidistan a un punto,
llamado centro.
> Esfera
> Es la región del espacio que se encuentra en
el interior de una superficie esférica.
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Características
> Fórmula para calcular el área de esfera:
> Elementos de la Esfera:
> Fórmula para calcular el volumen de la esfera:
> Circunferencias en una esfera:
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Superficie cilíndrica
> Son superficies generadas por una
recta, cuando se desplaza a través de
una curva plana, manteniéndose
siempre paralela a sí misma.
> A dicha recta se la llama generatriz de
la superficie y a la curva, directriz.
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Área y volumen de un cilindro
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Paraboloide
> Es la superficie que se ha creado al
deslizar una parábola vertical con
la concavidad hacia abajo, a lo largo de
la otra, perpendicular a la primera; las
secciones horizontales son elipses
mientras que las verticales son
parábolas.
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Elipsoide
> Es una superficie curva cerrada cuyas tres
secciones ortogonales principales son elípticas,
es decir, son originadas por planos que
contienen dos ejes cartesianos.
> El volumen de un elipsoide está dado por la
ecuación:
> V= 4/3 * π*a*b*c
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Hiperboloide
> El hiperboloide es una superficie engendrada
por el desplazamiento de una elipse de manera
que los extremos de sus ejes principales se
mueven uniformemente sobre dos hipérbolas
dispuestas ortogonalmente entre sí. Cuenta con
tres ejes y tres planos de simetría, que
concurren en el centro de simetría del
hiperboloide
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Recomendaciones
> https://youtu.be/mNh-0nMN3Tw
> https://youtu.be/Fi2vFA23-ls
> https://youtu.be/XkKXfu3PDw8
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Conclusión
> La importancia de la utilización de las funciones de
varias variables radica en que gracias a ellas
podemos describir cualquier variación o cambio de
una cantidad. Es necesaria para explicar diferentes
procesos económicos como por ejemplo los costos y
ganancias que demandan determinados productos.
> Así mismo; la geometría en el espacio, las curvas de
nivel y los sistemas de coordenadas nos permiten
graficar de manera sencilla, las formulaciones que
queremos expresar.
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Bibliografía
https://navarrof.orgfree.com/Docencia/MatematicasIV/UT1/sistemas_de
_coordenadas.htm
https://definicion.de/coordenada/
https://sites.google.com/site/maritareas/unidad-1/sistemas-cordenados
https://navarrof.orgfree.com/Docencia/MatematicasIV/UT1/sistemas_de
_coordenadas.htm
https://www.cartagena99.com/recursos/alumnos/apuntes/DYCRE_1_T1
_MaEm_U4L01.pdf
https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/geometria/espa
cio/elementos-de-la-esfera.html
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