Funciones de varias variables
- 1. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Bachiller: Tutor: Thania Sardiña CI 27437637 Pedro Beltrán INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO ´´SANTIAGO MARIÑO´´ Noviembre, 2020.
- 2. INTRODUCCIÓN •Las gráficas cartesianas son representaciones de datos, generalmente numéricos, a través de sistemas lineales, superficiales o simbólicos para descubrir la relación que guardan estos datos entre sí. •La esencia de la matemática radica en los cálculos que se pueden desarrollar mediante las gráficas, cualquiera que sea su tipo o la operación que la originó. De esta manera puede trascender a complejas operaciones cuando se aplica en la vida diaria de las personas que ocupan resolver operaciones numéricas fácilmente obtenidos durante investigaciones, pruebas o resultados porcentuales de votaciones. Por eso es común para nosotros ver una de ellas en cualquier ámbito
- 3. SISTEMAS DE COORDENADAS • Coordenadas cartesianas • Coordenadas cilíndricas • Coordenadas esféricas
- 4. COORDENADAS CARTESIANAS Coordenadas cartesianas es el nombre que se da al sistema para localizar un punto en el espacio. Un sistema de coordenadas cartesianas está formado por dos rectas perpendiculares graduadas a las que llamamos ejes de coordenadas. Se suele nombrar como X el eje horizontal e Y al eje vertical. Estos dos ejes se cortan en un punto al que se le denomina origen de coordenadas, O Otro nombre que reciben los ejes de coordenadas es el de abscisas para el eje X (horizontal), y ordenadas para el eje Y (vertical).
- 5. ¿CÓMO LOCALIZAR UN PUNTO EN UN PLANO CARTESIANO? Si queremos localizar algo en un plano necesitamos: Una medida horizontal: izquierda- derecha. A la que llamamos X. Una medida vertical: arriba- abajo. A la que llamamos Y.
- 6. ¿CÓMO LOCALIZAR UN PUNTO EN UN PLANO CARTESIANO? Un punto de referencia desde el que empezar a medir: el origen. Lo llamamos origen de coordenadas, O. Llamamos origen de coordenadas al punto O, donde está el planeta verde en la imagen de arriba, porque es el punto del que parten las líneas que marcan los dos ejes de coordenadas
- 7. ¿PARA QUE SIRVEN LAS COORDENADAS CARTESIANAS? la utilidad cotidiana de las coordenadas cartesianas suele ser localizar sitios en los mapas. Los planos suelen estar divididos en sectores con ejes horizontales y verticales. El mapa puede ser de unas pocas calles, una ciudad o del globo terráqueo entero. Otro contexto en el que encontramos frecuentemente planos y coordenadas es cuando ponemos el GPS GPS se geolocaliza utilizando satélites sobre la superficie de la tierra. Los valores que utiliza el GPS son los de la latitud y la longitud.
- 8. CUADRANTES En el sistema de coordenadas cartesianas en dos dimensiones (plano) los ejes (X e Y) se cortan perpendicularmente en el origen (O). Dividen al plano en 4 regiones:
- 9. CUADRANTES Primer cuadrante En él las coordenadas X e Y siempre son números positivos. •X positiva significa que la posición está a la derecha del origen. •Y positiva que está por encima del origen. •Así que, en este cuadrante, (X,Y) son positivos. Podemos escribirlo de manera abreviada (+,+). Segundo cuadrante En este cuadrante aparece la primera coordenada negativa. De la misma manera los valores negativos indican las posiciones hacia la izquierda o hacia abajo del origen de los ejes X e Y. X negativa indica que la posición está a la izquierda del origen. Y positiva que está por encima del origen. De esta manera (X,Y) son (-,+).
- 10. CUADRANTES Tercer cuadrante •X negativa indica que la posición está a la izquierda del origen. •Y positiva que está por encima del origen. •De esta manera (X,Y) son (-,+). Cuarto cuadrante •El último cuadrante está a la derecha y por debajo del origen. Los valores de X e Y serán positivo y negativo respectivamente. •X positiva indica que la posición está a la derecha del origen. •Y negativa que está por debajo del origen. •Por tanto (X,Y) son (+,-)
- 11. COORDENADAS CILÍNDRICAS Las coordenadas cilíndricas son una extensión del sistema de coordenadas polares al espacio tridimensional. Generalmente, en lugar de utilizar x, y y z, se usan r, el ángulo theta y la variable z, x o y. La última variable designa la extensión máxima de una superficie. Para elegir que variable dejar intacta, hay que observar la gráfica de la función; la variable que no cambia es aquella sobre cuyo eje abre la superficie.
- 12. COORDENADAS CILINDRICAS El nombre de estas coordenadas proviene de la idea de que cada punto en el espacio es un punto de la superficie de una infinita cantidad de cilindros circulares, todos con un radio arbitrario de valor r. Las integrales triples en este sistema de coordenadas se designan de la siguiente manera:
- 13. COORDENADAS CILINDRICAS CARTESIANAS A POLARES En caso de empezar con una función en coordenadas cartesianas, estas se pueden convertir a coordenadas polares Nuevamente se hace énfasis en que el sistema puede cambiar. Por ejemplo, r puede depender de y y de z siendo x la variable que no cambia. Todo depende de la superficie con la que se trabaja.
- 14. COORDENADAS CILINDRICAS El cono abre hacia el eje z, así que la región plana que se usa para obtener el volumen está en el plano xy, y corresponde a una circunferencia de radio 1. Por lo tanto, la integral se plantea así: La integral se calcula igual que en cualquier integral común, respetando el orden de integración
- 15. COORDENADAS ESFÉRICAS El sistema de coordenadas esféricas es un cambio total de las variables en el espacio tridimensional. El cambio se da por las siguientes fórmulas:
- 16. COORDENADAS POLARES Las nuevas variables anteriores representan la posición de un punto respecto a la distancia que hay entre este y el origen y los ángulos que se forman entre ese vector y el eje z y la proyección del mismo vector y el eje x. Al igual que en coordenadas cilíndricas, el sistema de referencia puede cambiar
- 17. COORDENADAS ESFÉRICAS COORDENADAS ESFERICAS A COORDENADAS CARTESIANAS Toda integral en coordenadas esféricas se representa de la siguiente manera: Por ejemplo, se pide investigar el volumen del ejemplo usado para explicar la integración en coordenadas cilíndricas. Para ello la conversión a coordenadas esféricas se hace de la siguiente formar:
- 18. COORDENADAS ESFÉRICAS (ESFÉRICAS A CARTESIANAS)
- 19. COORDENADAS ESFÉRICAS (ESFÉRICAS A CARTESIANAS) Finalmente, la integral triple para encontrar el volumen se escribe como: De igual forma, esta integral se resuelve como cualquier integral iterada.
- 20. SIMETRIA •Como simetría se denomina la correspondencia exacta que se verifica en la forma, el tamaño y la posición de las partes de un objeto considerado como un todo. •En matemática y geometría se denomina simetría a la correspondencia exacta que se registra en la disposición regular de las partes o puntos que conforman un cuerpo o figura, considerado con relación. a un centro, eje o plano. Así, se verifican distintos tipos de simetrías: • Simetría esférica: es aquella que ocurre bajo cualquier tipo de rotación. • Simetría axial (también llamada rotacional, radial o cilíndrica): es aquella que ocurre a partir de un eje, lo que significa que cualquier giro producido a partir de ese eje no conduce a ningún cambio de posición en el espacio. • Simetría reflectiva o especular: es aquella definida por la existencia de un único plano donde una mitad es el reflejo de la otra. • Simetría de traslación o traslacional: es aquella que se verifica en un objeto o figura cuando este se repite a una distancia siempre idéntica del eje y a lo largo de una línea que puede estar colocada en cualquier posición y que puede ser infinita.
- 21. SIMETRÍA Simetría fuera de las matemáticas La simetría nos rodea y está en todas partes: •En un espejo o en el reflejo del agua. La imagen que se refleja es simétrica a la imagen real. •En nosotros mismos: tenemos una mano derecha y una mano izquierda, una oreja derecha y otra izquierda, y cada pareja es simétrica. Nuestro cuerpo está dividido en dos partes simétricas, izquierda y derecha, respecto a un eje vertical que nos cruza por el centro desde la cabeza hasta los pies. •La mayoría de las casas y edificios tienen fachadas simétricas respecto a un eje vertical. En el arte también encontramos simetría. Los autores la utilizan en pintura, escultura, música e infinidad de disciplinas
- 22. FUNCIONES Una función es una relación entre dos conjuntos donde a cada elemento del primer conjunto le corresponde un solo elemento del segundo conjunto. Esta es la definición matemática de una función. Existen funciones comunes que poseen una variable independiente (x) que cambia libremente sin depender de ningún parámetro y una variable dependiente (y) que cambia respecto a x.
- 23. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Las funciones de varias variables son funciones como cualquier otra, cumplen la misma definición de función; una relación. La diferencia es que una variable dependiente estará regida por más de una variables independiente. Es muy común trabajar con funciones de tres variables, generalmente llamadas z = f(x,y). La idea de relación es más compleja puesto que el valor de z depende no solo del valor de x o de y, sino de puntos coordenados a los que les corresponde un valor de z.
- 24. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Las funciones de varias variables no están exentas de ello. El problema es que no todas las funciones de varias variables se pueden graficar. De hecho, el máximo número de variables que permite graficar es de tres variables. dimensionalmente no se pueden observar más de tres variables interactuando entre sí, o al menos no gráficamente. Un ejemplo de como se ve una función de tres variables es el siguiente
- 25. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES . La función genera resultados para y = f(x) dependiendo el valor que tome x. En el mundo real, estas funciones describen fenómenos que depende de una sola variable, Por ejemplo, en cinemática, la rama de la física que estudia el movimiento sin preocuparse por las causas que lo provocan, la posición de un objeto se define por funciones que varían respecto al tiempo t. Son funciones de una única variable dependiente. Sin embargo, existen fenómenos de la naturaleza cuyo comportamiento no depende únicamente de un solo factor. Estas son funciones de varias variables dependen de solo una variable Las funciones de varias variables son funciones como cualquier otra, cumplen la misma definición de función; una relación. La diferencia es que una variable dependiente estará regida por más de una variables independiente. Es muy común trabajar con funciones de tres variables, generalmente llamadas z = f(x,y). La idea de relación es más compleja puesto que el valor de z depende no solo del valor de x o de y, sino de puntos coordenados a los que les corresponde un valor de z.
- 26. DOMINIO Y RANGO DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Las funciones de varias variables también se someten a un rango y dominio, tal y como ocurre en funciones de dos variables. Sin embargo, la idea es la misma. El dominio es el conjunto de valores que puede tomar el argumento de la función sin que esta se indefina. El rango es el conjunto de valores reales que toma la función z en función del dominio. El proceso para encontrar el dominio es similar a el caso de funciones de dos variables, pero ahora se debe el dominio depende de como interactúan estas variables. Por ejemplo
- 27. DOMINIO DE FUNCIÓN DE VARIAS VARIABLES Esta función es muy simple. El dominio es el conjunto de valores de x y de y tal que ambas variables pueden tomar cualquier valor de los números reales, puesto que la función f jamás se indefinirá. La manera formal de escribirlo es: De tal manera que el rango de la función es el conjunto de valores toma f o z, que en realidad son todos los reales, pues nunca se indefine
- 28. DOMINIO DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES En funciones de varias variables, es posible graficar el dominio. Esto da una idea de los valores que toman x y y en un plano, en el caso de una función de tres variables. Para la función anterior, el gráfico del dominio es el siguiente: Todos los valores de x y de y son permitidos, y es por eso que se marca todo el plano cartesiano, en dos dimensiones solamente.
- 29. DOMINIO DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES SEGUNDO EJEMPLO Esta función es algo más compleja. Existe una raíz que afecta al argumento. El método para encontrar dominios no es siempre el mismo. En este caso, se sabe que argumento de una raíz cuadrada no puede ser negativo, por lo que el dominio queda de la siguiente forma Este dominio es el conjunto de puntos que simplemente no indefinen a la función f. La imagen se encuentra evaluando a la función desde el punto en que comienza a definirse y el punto donde se alcanza el valor máximo de f, si es que lo hay: Máximo valor
- 30. DOMINIO DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES El dominio gráfico de la función se haya encontrando una gráfica bidimensional que sirva de frontera para la indefinición y evaluando un punto por dentro y otro por fuera y así determinar que región indefine a f y cual no. Mínimo valor
- 31. DOMINIO DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Esta función resulta ser una semiesfera que abarca al eje z positivo. La circunferencia que describe a la mitad es justamente la frontera del dominio. El último dominio que se puede graficar es el de una función de cuatro variables. En estos caso, el dominio es una gráfica tridimensional. Por ejemplo: El dominio se encuentra de la misma forma. Aunque la función tenga tres variables en su argumento, existe un conjunto de valores que probablemente indefinan a f.
- 32. DOMINIO DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES La raíz cuadrada del denominador no puede ser igual a 0. Así mismo, su argumento no puede ser negativo. Por la conjunción de ambas condiciones se tiene que el dominio es: La gráfica del dominio está en tres dimensiones El grafico es una esfera
- 33. CONCLUSIÓN •Tras el aprendizaje de cada una de las funciones matemáticas, se concluye que son esenciales, de mucho valor y utilidad para la solución de problemas de la vida cotidiana de todos nosotros, así como, problemas de economía, de estadísticas, de finanzas, de ingeniería, de química y física, y de cualquier otra área social que requiera la relación de variables.
- 34. BIBLIOGRAFÍA Azcarate Gimenez, Carmen. Deulofeu, Piquet. (1989) Funciones y graficas, Bogotá. Perán Mazón , Juan. Rodríguez Marín, Luis (1996) Funciones de varias variables.