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DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
SISTEMA VECTORIAL

¿Cómo se le llama al espacio tridimensional
en el que vivimos?
En ℝ𝟑 se cumplen dos condiciones:
i. Si 𝑨 ∈ ℝ𝟑 y𝑩 ∈ ℝ𝟑, entonces 𝑨 + 𝑩 ∈ ℝ𝟑
ii. Si 𝝀 ∈ ℝ y 𝑪 ∈ ℝ𝟑, 𝐞𝐧𝐭𝐨𝐧𝐜𝐞𝐬 𝝀𝑪 ∈ ℝ𝟑
espacioℝ3

VECTORES EN LA VIDA COTIDIANA

LOGRO DE LA SESIÓN
Al finalizar la sesión, el
estudiante identifica,
diferencia y clasifica
vectores en R2 y R3,
multiplica escalarmente y
vectorialmente utilizando
las reglas del algebra
lineal, en forma correcta y
ordenada y lo hace en
base al análisis y síntesis
que todo estudiante de
ingeniería debe de poseer.

CONTENIDO DE LA SESIÓN
SABERES PREVIOS
(PRE REQUISITOS)
 Vectores en el espacio R3
 Definición
 Operaciones
 Producto Escalar
 Norma de un vector
 Paralelismo y ortogonalidad
 Proyección ortogonal de un
vector sobre otro
 Ángulo entre vectores
 Producto Vectorial
 Triple producto escalar
 Aplicaciones
 Operaciones
con los números
reales
 Conjuntos
 Operaciones
con matrices
 Operaciones
con funciones

DEFINICIÓN
Consideremos el plano cartesiano. Un vector es un
segmento de recta dirigido o una flecha que
corresponde a un desplazamiento del punto A hacia
otro punto B.

Los científicos emplean el
término vector para
indicar una cantidad,
ejemplo: velocidad y
fuerza.
Notación: Al vector de A
en B lo denotaremos por
VECTORES EQUIVALENTES
u AB

Ambos tienen la misma
magnitud y dirección pero
en diferentes posiciones, se
llaman vectores equivalentes
(o iguales).
El vector cero, denotado por
0, tiene longitud cero pero sin
dirección específica.
Del gráfico anterior, se tienen
los vectores:
,
u AB v CD
 
Los vectores u y v son
equivalentes.

COORDENADAS DE
UN VECTOR EN EL
PLANO
 
2 2
,
B x y
 
1 1
,
A x y
   
 
2 2 1 1
2 1 2 1
, ,
,
AB B A
x y x y
x x y y
 
 
  
Si las coordenadas de A y B son:
Las coordenadas o
componentes del vector AB son:
El conjunto representa gráficamente al
plano cartesiano. Entonces el conjunto
de todos los puntos A en el plano,
corresponden al conjunto de todos los
vectores cuyos orígenes están en el
origen O. A cada punto del conjunto
R2 le corresponde al vector y a cada
vector con origen en O, le corresponde
su punta A.
VECTOR DE POSICIÓN
A
B
u
w
v
C
OC
w
OB
v
OA
u



Donde:

SUMA VECTORIAL
• Considere dos vectores A y B como se muestra:
• El vector suma se puede determinar mediante la regla
del paralelogramo o del triángulo .
Si u y v son vectores colocados de modo que el punto
inicial de v está en el punto terminal de u, entonces la
suma u + v es el vector del punto inicial de u al punto
terminal de v.
OPERACIONES CON VECTORES

A
B
ADICIÓN DE VECTORES
Método del paralelogramo
Método del triángulo
𝑹= 𝑨+𝑩
𝑹= 𝑨+𝑩
2AB.cosθ
2
B
2
A
R 


2
2
B
A
R 

Si los vectores son
perpendiculares:
B
A
R

Diferencia de vectores
La resta se realiza en forma
análoga a la adición.
Método del polígono
Se emplea, sobre todo, cuando se
desean sumar varios vectores a la
vez. En el extremo del primer vector
se sitúa el punto de aplicación del
segundo, sobre el extremo del
segundo vector se coloca el punto
de aplicación del tercero y así hasta
terminar de dibujar todos los vectores.
El vector resultante es el que se
obtiene al unir el punto de aplicación
del primero con el extremo del último
B
A
C
D
𝑅 = Ԧ
𝑟 + −Ԧ
𝑠

PRODUCTO ESCALAR. DEFINICIÓN Y
PROPIEDADES
DEFINICIÓN. Sean los
siguientes vectores
Se define el producto
escalar de
como:
  
3
3
2
2
1
1
3
2
1
3
2
1
.
.
.
,
,
.
,
,
.
b
a
b
a
b
a
b
b
b
a
a
a
b
a




PROPIEDADES
 
     
0
.
0
)
5
.
.
.
.
)
4
.
.
.
)
3
.
.
)
2
.
)
1
2








a
b
r
a
b
a
r
b
a
r
c
a
b
a
c
b
a
a
b
b
a
a
a
a
 
 
3
2
1
3
2
1
,
,
,
,
,
b
b
b
b
a
a
a
a


b
y
a

NORMA DE UN VECTOR Y VECTOR UNITARIO
 Sea el vector Ԧ
𝑎:
Ԧ
𝑎 = (2,1,2) Ԧ
𝑎 = 22 + 12 + 22 = 3
⟹
El vector
no es
unitario
Ԧ
𝑎
Ԧ
𝑎
= (
2
3
,
1
3
,
2
3
) ⟹ Ԧ
𝑎
Ԧ
𝑎
= (
2
3
)2+(
1
3
)2+(
2
3
)2= 1
Ԧ
𝑎
Ԧ
𝑎
= 𝑢
El vector
se vuelve
unitario

PARALELISMO Y ORTOGONALIDAD DE
VECTORES
Dos vectores Paralelos se representan como: Ԧ
𝑎//𝑏
Ԧ
𝑎//𝑏 → Ԧ
𝑎 = k𝑏(k es un escalar)
Si un escalar multiplicado por un vector Ԧ
𝑎 da el vector 𝑏
entonces ambos vectores son Paralelos.
El concepto del módulo de un vector y el reconocimiento del
paralelismo genera un Teorema de aplicación para la física.
𝑻𝑬𝑶𝑹𝑬𝑴𝑨: 𝒂//𝒃 →
𝒂
𝒂
=
𝒃
𝒃
Si dos vectores a y b son paralelos entonces sus vectores
unitarios son iguales
VECTORES PARALELOS

EJEMPLO 1
 Determine si los vectores son paralelos:
Ԧ
𝑎 = 6, −5,12 𝑏 = −2,10, −4 Ԧ
𝑐 = (3, −15,6)
Si entonces
6
−2
=
−5
10
=
12
−4
Si entonces
−2
3
=
10
−15
=
−4
6
Si entonces
6
3
=
−5
−15
=
12
6
Ԧ
𝑎//𝑏 No es equivalente a las demás
Son equivalentes
Por tanto son
paralelos
No es equivalente a las demás
𝑏//Ԧ
𝑐
Ԧ
𝑎//Ԧ
𝑐

VECTORES PERPENDICULARES
Dos vectores 𝑢 y Ԧ
𝑣 son perpendiculares si y solo si : 𝑢 . Ԧ
𝑣 = 0
Si: 𝑢⊥ Ԧ
𝑣 ↔ 𝑢 . Ԧ
𝑣 = 0
Decir Perpendiculares implica a decir que entre ellos el
ángulo es de 90°.
Teorema: Sean a, b vectores en 2 y  un número real,
entonces:
 a.0 = 0
 a.b = b.a (propiedad conmutativa)
 (a).b = (a.b) = a.( b)
 a.(b + c) = a.b + a.c (propiedad distributiva)
 Si a . b = 0 entonces el vector a es perpendicular al
vector b
𝑎. 𝑎 = 𝑎 2

EJEMPLO 2
Sean u = (2, −5, −1)v = (4,1,3) Compruebe si son
perpendiculares:
u.v = 2(4) + (-5)(1)+ (-1)(3)=0
Además: 𝑢 = 30 Ԧ
𝑣 = 26
Luego: Cos𝜃 =
0
30. 26
= 0 Finalmente: 𝑢 𝑤

PROYECCION ORTOGONAL
En la siguiente figura
muestran las
representaciones
Proyección escalar de b sobre a
a
b
a
b
Compa
.

PR
y
PQ
Proyección vectorial de b sobre a
a
a
b
a
a
a
a
b
a
b
oya





















 2
.
.
Pr
b
a

PRODUCTO ESCALAR PRODUCTO VECTORIAL
Si el producto escalar
cos
a b a b 
 
de dos vectores es
cero, entonces:
1) Al menos uno de
los dos es cero.
2) Los vectores son
perpendiculares, es
decir que:
   
90 / 2 ó 70 3 / 2
  
 
Sean los vectores:
 
, ,
x y z
x y z
A A A A
A A i A j A k

  
x y z
x y z
i j k
C AxB A A A
B B B
 
     
y z z y x z z x x y y x
C A B A B i A B A B j A B A B k
     
 
, ,
x y z
x y z
B B B B
B B i B j B k

  
 
 
, ,
y z z y x z z x x y y x
C A B A B A B A B A B A B
    

EJEMPLO 3
Dados los siguientes vectores:
Determine:
k
j
i
b ˆ
ˆ
ˆ 3
3
4 



k
j
c ˆ
ˆ 4




c
b
a



3
2 
 )
( b
c
b



2
3
4 

 )
(

Solución:
c
b
a



3
2 
 )
(
87
12
5
3
9
0
10 






 )
)(
(
)
)(
(
)
)(
(
b
c
b



2
3
4 

 )
(
)
ˆ
12
ˆ
3
(
)
ˆ
5
ˆ
9
ˆ
10
( j
i
k
j
i 






)
ˆ
12
ˆ
3
(
)
ˆ
6
ˆ
6
ˆ
8
ˆ
ˆ
3
ˆ
2
( k
j
k
j
i
k
j
i 









j
i
k
j
k
j
i ˆ
9
ˆ
16
)
ˆ
4
ˆ
(
3
)
ˆ
3
ˆ
3
ˆ
4
(
4 







j
i
c
b ˆ
9
ˆ
16
)
3
4
( 







k
j
i
b ˆ
ˆ
ˆ 6
6
8
2 



k
j
i
k
j
i
b
c
b ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
)
( 24
96
54
6
6
8
0
9
16
2
3
4 












MÓDULO DEL PRODUCTO VECTORIAL
Interpretación Geométrica (área de
un paralelogramo y triángulo)
a b
a b


s
a b a b en
 
A
B
h A sen
 
Area B h
 
Area A B sen

Area AxB


ÁNGULO ENTRE VECTORES
Sean 𝑢 𝑦 Ԧ
𝑣 dos vectores no nulos que
tienen el mismo origen, sea θ el
menor de los ángulos positivos
formado por dichos vectores que
satisfacen:
0 ≤ θ ≤  donde:
Finalmente:

EJEMPLO 4
 Sean los vectores: 𝒖 = 4i+ 2j ; 𝒗 = i + 4j
Obtenga el ángulo entre ellos:
Solución: Realizamos un pequeño bosquejo de los
dos vectores, recordemos que; lo que está en i es lo
que está en “x” y lo que está en j es lo que hay en “y”.
Aplicando nuestra fórmula tenemos lo siguiente:
𝜑 = 𝑐𝑜𝑠−1
0,6508 = 49,4°
cos 𝜑 =
𝑢 . Ԧ
𝑣
𝑢 𝑣
=
(4𝑖 + 2𝑗)(𝑖 + 4𝑗)
( 42 + 22)( 12 + 42)

TRIPLE PRODUCTO ESCALAR
Es un escalar que resulta del
producto escalar de un vector
por el vector resultante del
producto vectorial de dos
vectores. Sean los vectores:
   
x y z x y z
x y z
i j k
A BxC A i A j A k B B B
C C C
    
 
, ,
x y z
x y z
A A A A
A A i A j A k

  
 
, ,
x y z
x y z
B B B B
B B i B j B k

  
Donde:
 
, ,
x y z x y z
C C C C C i C j C k
   
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
El valor absoluto del triple
producto escalar (a b c)
tiene una interpretación
geométrica sencilla. Es
igual al volumen del
paralelepípedo P con a, b,
c, como aristas
adyacentes.

APLICACIONES
Dados los vectores u = (1, –2,
3); v = (0, 4, 2) y w = (–4,
1, –1), obtenga el volumen del
paralelepípedo delimitado
por ellos.
Solución:
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
   
       
2 3 0 4 2
4 1 1
1 4 2 0 8 0 16
i j k
u vxw i j k
u vxw
    
 
       
  3
50.9
V u vxw u
  

CONCLUSIONES
DIAPOSITIVA N° 27
 ¿Qué aprendí de los
vectores?
 ¿Cómo diferenciar el
paralelismo y la
ortogonalidad de
vectores?
 ¿Qué dificultades se
presentaron en la
resolución de ejercicios?
 ¿De qué manera
resolvieron las dificultades
encontradas?

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
DIAPOSITIVA N° 28
 512.5 GROS 2012/
Grossman, Stanley/
Álgebra lineal.
 512.5 POOL 2011/ Poole,
David/ Algebra
lineal/ una introducción
moderna

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