VECTORES.ppt

ANÁLISIS VECTORIAL
CONCEPTO DE UN VECTOR
Un vector es un ente matemático que nos sirve para representar una
magnitud vectorial, es decir, que tenga un módulo o valor, una
dirección y un sentido; como por ejemplo: la fuerza aplicada a un
cuerpo, el desplazamiento de una partícula, la velocidad de un móvil,
el campo eléctrico, etc.
CARACTERÍTICAS
El módulo
o valor del vector está representado por el segmento OA
La dirección
SISTEMA DE COORDENADAS TRIDIMENSIONAL
O
(x; y; z)
está dado por los ángulos directores: ,  y .
: es el ángulo que forma el vector con el eje (+X)
: es el ángulo que forma el vector con el eje (+Y)
: es el ángulo que forma el vector con el eje (+Z)
El sentido
está dado por la flecha del vector OA

ALGUNOS TIPÒS DE VECTORES
VECTOR UNITARIO (u )
Un vector unitario de un vector
A, es aquel vector cuyo valor es
la unidad y la dirección es la del
vector A.
uA uA uA uA uA uA
A
La fórmula del vector unitario es:
6 uA = A
AuA = A
uA = A / A
VECTORES IGUALES
Dos vectores A y B, son
iguales, si tienen el mismo
módulo, la misma dirección y
sentido.
A
B
VECTOR OPUESTO
Un vector A es opuesto a otro
vector B, si tienen el mismo
módulo, la misma dirección
pero sentido diferente
A
B = -A
MULTIPLICACIÓN DE UN
ESCALAR CON UN VECTOR
Dado un escalar nR y un
vectorA. El resultado de
multiplicar nA, es un
vectorB, con la misma
dirección, del vector A y su
valor y sentido del vectorB
depende de “n” .
Si n es positivo: n = 2
A B=2A
Si n es negativo: n = -2
A B=-2A

SUMA DE VECTORES
SOLUCIÓN GRÁFICA
(MÉTODO DEL TRIÁNGULO)
s =a +b
a
b
CASO DE MAS DE DOS VECTORES
(MÉTODO DEL POLÍGONO)
a
b
c
d
s=a +b +c +d
SOLUCIÓN ANALÍTICA
MÉTODO DEL PARALELOGRAMO
a
b
s =a +b
 
El módulo o valor del vector
suma o resultante está dado
por la siguiente fórmula:
La dirección del vector suma
con respecto al vector a se
encuentra con la fórmula
siguiente:
 = arc sen (a sen  /s )
DIFERENCIA DE VECTORES
La diferencia de vectores es
la suma de uno de ellos con el
vector opuesto del otro, es
decir: a - b =a + (-b )

VECTORES UNITARIOS RECTANGULARES
Son los vectores unitarios que tienen la dirección de los ejes del
sistema de coordenadas.
El vector unitario a lo largo del eje X se le asigna la letra (i ); al
que actúa a lo largo del eje Y se le asigna la letra (j ) y al que actúa
a lo largo del eje (Z) se le asigna la letra (k ) de tal manera que se
cumple:
i
j
k
X
Y
Z
i = j = k = 1
VECTOR POSICIÓN (r )
Es aquel vector que ubica un punto
del espacio. Sea un punto P (
x,y,z); entonces el vector posición
del punto P en términos de los
vectores unitarios rectangulares
será:r = rXi + rYj + rZk

r
P(x,y,z)
yj
zk
xi Y
X
Z
EJEMPLO
Una partícula esta en el punto P(3,5,-2). Hallar el vector posición de
dicha partícula.
r = 3i + 5j - 2i

VECTOR DESPLAZAMIENTO (d )
Es aquel vector que ubica un punto
del espacio con respecto a otro. Sea
un punto P(x,y,z); entonces el
vector desplazamiento de P con
respecto al punto Q(a, b, c) será:
r =(x-a)i +(y-b)j +(z-c)k
Y
X
Z •P(x.y,z)
•
Q(a,b,c)
EJEMPLO
Calcular el vector desplazamiento de una partícula que va del
punto P(3,4,-5) al punto Q(1,-3,-1)
SOLUCIÓN
Y
Z
X
P(3,4,-5)
Q(1,-3,-1)

COMPONENTES RECTANGULARES DE UN VECTOR
Sea un punto P(x,y) que es el extremo del vector a con origen en
el punto (0,0). Las componentes rectangulares del vector a
son:aX y aY
aX
a
P(x,y)
aY
X
Y


O
Q
a = aX + aY …………… (1)
Por definición:
aX = aX i
aY = aY j
Reemplazando en (1) se tiene:
a = aXi + aYj ………. (2)
En el triángulo rectángulo OPQ, será:
aX = a cos  y aY = a cos  en (2)
a = a cos  i + a cos  j ………(3)
Además: a = a ua ……….. (4)
Las ecuaciones (1), (2) , (3) y (4), son las formas de expresar
matemáticamente un vector

CALCULO DEL VALOR DEL VECTOR :a
En el triángulo OPQ, por el teorema de
Pitágoras:
a2 = ax
2 + aY
2
CÁLCULO DE LA DIRECCIÓN DEL VECTOR: a
En el triángulo OPQ, por trigonometría, se tiene:
Cos  = aX / a luego  = arcos ( aX / a )
Cos  = aY / a luego  = arcos ( aY / a )
RELACIÓN ENTRE LOS ÁNGULOS DIRECTORES:
Cos2 + Cos2 = 1
a
P(x,y)
aY
X
Y


O
Q

Generalizando las ecuaciones anteriores para los vectores en tres
dimensiones, se tiene:
a = aX + aY ……………(1) a = aX + aY + aZ
a = aXi + aYj … …… (2) a = aXi + aYj + aZk
a=a cos  i + a cos  j …(3) a=a cos i +a cos j +a cosk
a = a ua ……….. (4)
Además:
a2 = aX
2 + aY
2 + aZ
2
 = arcos ( aX / a )
 = arcos ( aY / a )
 = arcos (aZ / a )
Cos2 + Cos2 + Cos2 = 1
a = a ua

EJEMPLO:
Un vector se dirige del punto
P(6,-5,-1) al punto Q(9,-9.-1).
Si el valor del vector es 50
unidades. Hallar el vector en
términos de los vectores
unitarios rectangulares.
SOLUCIÓN
•
P(6; -5; -1)
•
Q(9; -9; -1)
50
EJEMPLO:
Hallar el vector y la dirección de los
vectores A y B,. sabiendo que
cada cuadrito tiene como lado la
unidad.
SOLUCIÓN
A
B
Y
i
3
j
4
La dirección del vector A es:
La dirección del vector B es:

ÁLGEBRA VECTORIAL EN TÉRMINOS DE SUS COMPONENTES
RECTANGULARES
ADICIÓN
Si a = aXi + aYj + aZ k y b = bXi+ bYj + bZ k
Entonces: c=a+b =(aX + bX)i + (aY +bY)j + (aZ +bZ) k
SUSTRACCIÓN
Entonces: d=a -b =(aX - bX)i + (aY - bY)j + (aZ - bZ) k
MULTIPLICACIÓN DE UN ESCALAR CON UN VECTOR
Si nR y a = aXi + aYj + aZ k entonces
na =n aXi + n aYj + n aZk

EJEMPLO
Dado los siguientes vectores:a = 20i + 4pj + rk
b = 4 i + 8 j + (p + q)k
c = 8qi + 8qj + 15k
en donde p,q y r son escalares y a +b =c , determinar: p, q y r
SOLUCIÓN
24 = 8q
q = 3
4p +8 = 8q
4p +8 = 8(3)
p = 4
r + p + q = 15
r + 4 + 3 = 15
r = 8
4p +8 = 24
4p = 16

EJEMPLO
Dados los vectores a y b mostrado en la figura, determinar la
diferencia a -b =c y los cosenos directores de c.
SOLUCIÓN
b
a
3
4
10
5
Y
Z
X
j
a
j
a
i
a
a Z
y
x 


k
5
j
0
i
10
a 


k
b
j
b
i
b
b Z
y
x 


k
4
j
3
i
0
b 


k
)
4
5
(
j
3)
-
(0
i
0)
-
0
1
(
b
-
a 



k
j
3
-
i
0
1
b
-
a 
 5
,
10
1
)
3
(
10
b
-
a 1
2
2





95
,
0
5
,
10
10
c
c
cos x



 29
,
0
5
,
10
3
c
c
cos
y







EJEMPLO
Una partícula sufre tres desplazamientos sucesivos en un plano:
4√2 m al sur oeste, 5 m al este y 10 m en una dirección de 53º al
norte del este. Hallar:
a) Las componentes de cada desplazamiento
b) Las componentes del desplazamiento total o resultante
c) La magnitud y dirección del desplazamiento total
d) El desplazamiento que habría que dar para regresar al
punto de partida
SOLUCIÓN
S
N
O E
45º
4√2m
1
d
5m
2
d
3
d
10m
53º

S
N
O E
45º
4√2m
1
d
5m
2
d
3
d
10m
53º
4
4
j
4
1
4
d1 


1
5
d2 
8
6
j
8
1
6
d3 

T
d
j
4
i
7
d
d
d
d 3
2
1
T 




Una partícula sufre tres desplazamientos sucesivos en un plano:
4√2 m al sur oeste, 5 m al este y 10 m en una dirección de 53º
al norte del este. Hallar:
a) Las componentes de cada desplazamiento
b) Las componentes del desplazamiento total o resultante
c) La magnitud y dirección del desplazamiento total
d) El desplazamiento que habría que dar para regresar al
punto de partida

PRODUCTO ESCALAR O PRODUCTO PUNTUAL DE DOS
VECTORES
Se denomina así, porque el resultado de la multiplicación es
una cantidad escalar. Se dice producto puntual porque se
utiliza un punto entre los dos vectores para representar la
operación.
La definición matemática es a  b = a b cos
Donde “” es el ángulo entre los vectores, debe estar entre:
0º    180º
EL PRODUCTO ESCALR ES CONMUTATIVO
a  b = b  a
EL PRODUCTO ESCALAR ES DISTRIBUTIVO
a  (b +c )=a b + a c
PRODUCTO ESCALAR PARA DOS VECTORES UNITARIOS
RECTANGULARES i  i = j  j = k  k = 1
i  j = j  k = k  i = 0

COMPONENTE DE UN VECTOR EN LA DIRECCIÓN DE OTRO
VECTOR DADO
Dados los vectores a yb , se define la componente del
vector a en la dirección del vectorb como:
a
b

Comp b a
b
b
a
a
Compb


SEGUNDA DEFINICIÓN DE PRODUCTO ESCALAR
Se demuestra que:
ab = aX bX + aY bY + aZ bZ
PERPENDICULARIDAD ENTRE VECTORES
El vector a es perpendicular al vector b, si se cumple que:
a  b = 0

EJEMPLO
Dados los vectores:a =2i +3j +6k yb =1 2i + 4j + 3k
Hallar el ángulo entre los vectores
SOLUCIÓN
)
3
)(
6
(
)
4
)(
3
(
)
12
)(
2
(
b
a 


 54
b
a 

2
2
2
6
3
2
a 


2
2
2
3
4
12
b 


7
a 
13
b 
54
cos
(b)
a)
(
b
a 

 
54
cos
(13)
7)
( 

6
,
0
91
54
cos 


6
,
0
cos
arc



PRODUCTO VECTORIAL O PRODUCTO CRUZADO DE DOS
VECTORES
Considérese ahora el segundo tipo de multiplicación de dos vectores
que se llama producto vectorial, porque el resultado de la operación
es un vector. Se dice producto cruzado, porque se utiliza el signo del
aspa entre los vectores para representar la operación.
En la figura se tiene dos vectores a y b , se define el
producto vectorial a el vector c que tiene las siguientes
características:
a
b

Plano P
c =a xb
MODULO
Es el valor del producto vectorial y su
fórmula es : c = a b sen 
DIRECCIÓN
El producto vectorial tiene una
dirección que es perpendicular a el
plano formado por los vectores a
y b
O
SENTIDO
regla de la mano derecha

EL PRODUCTO VECTORIAL NO ES CONMUTATIVO
Se cumple que:a xb  b xa ó a xb = -b xa
EL PRODUCTO VECTORIAL ES DISTRIBUTIVO
a x (b +c ) = a x b +a x c
PRODUCTO VECTORIAL ENTRE DOS VECTORES IGUALES
a x a = 0
PRODUCTO VECTORIAL ENTRE VECTORES UNITARIOS
RECTANGULARES
i xi = j xj =k xk = 0
i xj =k j xk =i k xi =j
j xi = -k k xj =-i i x k=-j
i
j
k

Z
Y
X
Z
Y
X
b
b
b
a
a
a
k
j
i
b
x
a 
SEGUNDA DEFINICIÓN DEL PRODUCTO
VECTORIAL
Si a = aXi + aYj + aZ k y
b = bXi+ bYj + bZ k

EJEMPLO
Dados los vectores: a = 4i + 7j + 5k y
b = 11i - 8j + 2k
Obtener el valor y los cosenos directores del producto vectorial
SOLUCIÓN
40i
8j
-
77k
-
-32k
55j
i
14
2
8
-
11
5
7
4
k
j
i
b
x
a 





k
37
j
47
i
54
c
b
x
a 



1369
2209
2916
37
47
54
c 2
2
2





 80,6
c 
67
,
0
6
,
80
54
c
c
cos x





EJEMPLO
Determinar el área del triángulo cuyos vértices son:
O(0,0,0) ; A(2,4,10) y B(3,12,5)
SOLUCIÓN
•
•
•
O(0,0,0)
A(2,4,10)
B(3,12,5)
h
2
(OC)(h)
Area 
2
n
(OC)(OA)se
Area


θ
sen
(OA)(OB)
OB
x
OA 

2
OB
x
OA
Area 
k
10
j
4
i
2
OA 

 k
5
j
12
i
3
OB 


5
12
3
10
4
2
k
j
i
OB
x
OA 

EJEMPLO
Determinar la distancia mínima entre el punto A(1,4,8) y la
recta que pasa por el punto O(0,0,0) y B(2,14,5)
SOLUCIÓN
•
•
O(0,0,0)
B(2,14,5)
•
A(1,4,8)
d
B
A
θ

sen
A
d 
B
sen
(A)(B)
d


B
B
x
A
d 

1. Sea PQRSTM los vértices de un exágono regular de lado “a”, hallar la
resultante de las fuerzas representados por los vectores PQ, PR, PS,
PT y PM en términos de “a”
PRACTICA CALIFICADA DE FISICA I
P
Q R
S
T
M
a
P
Q R
S
T
M
a
P
Q R
S
T
M
a
En el triángulo PRS, la
resultante de PR y RS
será:
P
Q R
S
T
M
a
En el triángulo PTS, la
resultante de PT y TS
será:
P
Q R
S
T
M
a
La resulatnte total
será:
R = 3 PS
R = 3 (2a)
R = 6a

2. Cuales son los valores de m y n para que el vector
a = m i – 2n j + k y b = n i – m j + 3 k sean perpendiculares. a = 3
a • b = (m)(n) + (-2n)(- m) + (1)(3) = 3mn + 3 = 0
mn = -1 ........ (1)
Si a = 3 entonces 9 = m2 + (-2n)2 + 12
m2 + 4 n2 = 8 ........ (2)
de (1) y (2) m2 + 4 ( -1 / m )2 = 8
m4 - 8 m2 + 4 = 0
3
2
4
2
3
4
8
2
48
8
16
-
64
8
m2








2
3
2
4
m 

3
2
4
1
-
m
1
-
n




3. Calcular la distancia desde el punto P, de coordenadas (4, 5, -6) en
cm, a la recta que pasando por el punto Q, de coordenadas (-3,5,7)
en cm, es paralela al vector a = 4 i –12 j + 3 k
d
θ
•
•
Q(-3,5,7)
•
P(4,5,.6)
3k
12j
-
i
4
a 

b

sen
b
d 
a
u
a
u
a
a
u
sen
u
b
d


a
a
u
u
x
b
d  u
x
b
d a

k
-
j
0
i
7
b 

k
13
3
j
13
12
i
13
4
ua 


13
3
13
12
13
4
1
-
0
7
k
j
i
u
x
b a 

4. Obtener La componente del vector a en la dirección de el vector
b que se muestra en la figura, en donde m es el punto medio del
segmento BG, a = 700 y b = 650
a
b
G
B
6
3
2
m
•
)
9
36
4
k
3
j
6
i
2
(
700
a





X
Y
Z
•
(0,6,0)
•
(2,0,3) m (2,6,1.5)
a
u
700
a  k
300
j
600
i
200
a 


b
comp b
b
a
a
compb


b
u
650
b  )
25
,
2
36
4
k
5
,
1
j
6
i
2
(
650
b




 k
150
j
600
i
200
b 


45000
360000
40000
b
a 




5. Dados los puntos P ( 2,1,3) , Q( 1,2,1) , R ( -1, -2, -2) y S ( 1, -4, 0).
Hallar la distancia mínima entre las rectas PQ y RS.

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